Slides aus Vorlesung 01

Lineare Algebra I
- 1.Vorlesung Prof. Dr. Daniel Roggenkamp
&
Falko Gauß
Monday 12 September 16
1. Mengen und Abbildungen:
Mengen gehören zu den Grundlegendsten Objekten in der Mathematik
Kurze Einführung in die (naive) Mengelehre
Monday 12 September 16
11 Mengen
und Abbildungen
1.1
Mengen
Mengen
und Abbildungen
3
In diesem Kapitel werden zunächst einige Grundbegri↵e der Mengenlehre diskutiert, die für
1.1lineare
Mengen
die
Algebra relevant
Dabei wird auf eine axiomatische und formale Einführung
1
Mengen
und sind.
Abbildungen
verzichtet.
In diesem Kapitel werden zunächst einige Grundbegri↵e der Mengenlehre diskutiert, die für
1.1. Mengen
die lineare
Algebra relevant sind. Dabei wird auf eine axiomatische und formale Einführung
1.1
Mengen
•verzichtet.
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem neuen
Man kann
sie z.B.
ählung
definieren:der Mengenlehre diskutiert, die für
In Objekt.
diesem Kapitel
werden
zundurch
ächstAufz
einige
Grundbegri↵e
die
lineare
Algebra
relevant
sind. Dabei wird
eine axiomatische
und formale
Einfneuen
ührung
• Eine
Menge
ist eine
Zusammenfassung
vonauf
unterscheidbaren
Objekten
zu einem
M = {1, 5, 7} ,
M = {1, 2, 3, . . . , 10} ,
M = {1, 7, {2, 3}} .
verzichtet.
Objekt. Man kann sie z.B. durch Aufzählung definieren:
•• Eine
kann
aus
Objekten
Mist
= auch
{1, 5,Zusammenfassung
7} ,unendlich
M = vielen
{1, 2,von
3,
. . unterscheidbaren
. , 10} ,bestehen.
M =Wichtige
{1,
7, {2,unendliche
3}}zu. einemMenEine Menge
Menge
eine
Objekten
neuen
gen
sind Man
z.B. die
Menge
der durch
natürlichen
Zahlen
Objekt.
kann
sie z.B.
Aufzählung
definieren:
• Eine Menge kann auch aus unendlichNvielen
Objekten
bestehen. Wichtige unendliche Men=
{1,
2,
3,
.
.
.}
,
= Menge
{1, 5, 7}der
, natM
= {1, 2,Zahlen
3, . . . , 10} ,
M = {1, 7, {2, 3}} .
gen sind z.B.Mdie
ürlichen
die Menge der natürlichen Zahlen mit 0
N vielen
= {1, 2,
3, . . .} , bestehen. Wichtige unendliche Men• Eine Menge kann auch aus unendlich
Objekten
N0 = {0, 1,
2, 3, . . .} ,
gen sind z.B. die Menge der natürlichen
Zahlen
die Menge der natürlichen Zahlen mit 0
oder die Menge der ganzen Zahlen N = {1, 2, 3, . . .} ,
N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} ,
= {0, 1,mit
1, 2,
die
Menge der natürlichenZZahlen
0 2, 3, 3, . . .} .
oder die Menge der ganzen Zahlen
N01,
{0,
2,
• Die Anzahl der Elemente einerZMenge
M=wird
und als |M | geschrieben.
= {0,
1, 2,1,Ordnung
2,3,
3,. . .}
3, ,.genannt
. .} .
• Geh
Objekt
zu einerZahlen
Menge M , so sagen wir auch ‘x ist in M enthalten’, oder
oderört
dieein
Menge
derxganzen
• auch
Die Anzahl
der Elemente
Menge
M wirdxOrdnung
genannt und
als |M | wir
geschrieben.
‘x ist Element
von einer
M ’, und
schreiben
2 M . Anderenfalls
schreiben
x2
/ M.
Z = {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, . . .} .
So gilt z.B.
• Gehört ein Objekt x zu einer Menge M , so sagen wir auch ‘x ist in M enthalten’, oder
1 2 Z , aber 1 2
/ N.
auch ‘x ist Element von M ’, und schreiben x 2 M . Anderenfalls schreiben wir x 2
/ M.
• Die
Anzahl
Elemente einer Menge M wird Ordnung genannt und als |M | geschrieben.
So gilt
z.B. dersind
• Zwei
Mengen
gleich, M = N genau dann wenn die Aussagen x 2 M und x 2 N
2Z
12
/wir
N . ungleich,
(x 2xMzu,einer
x 2 Menge
N ),1anderenfalls
sind
sie
M in
6= M
N . enthalten’, oder
• äquivalent
Gehört einsind
Objekt
M,,aber
so sagen
auch ‘x ist
auch
‘x
ist Element
von M ’,=und
schreiben
x 2 M . die
Anderenfalls
schreiben
wirxx22
/ NM .
Zweileere
Mengen
sind ;gleich,
genau
Aussagen
2 M
•• Die
Menge
= {} M
ist dieNMenge
zudann
der wenn
kein Objekt
gehört, xd.h.
x 2
/und
; für
alle
So
gilt z.B.sind (x 2 M , x 2 N ), anderenfalls sind sie ungleich, M 6= N .
1.1
äquivalent
Objekte
x.
1 2 Z , aber 1 2
/ N.
Monday 12 September 16
Mengen
N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} ,
oder die Menge der ganzen ZZahlen
N01,= {0,
= {0,
1, 2,1, 2,2,3,
3,. . .}
3, ,. . .} .
oder die Menge der ganzen Zahlen
Z = {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, . . .} .
oder die Menge der ganzen Zahlen
• Die Anzahl der Elemente einer Menge M wird Ordnung genannt und als |M | geschrieben.
Z = {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, . . .} .
ZMenge
= {0, 1,
2, 3,wir3,auch
. .genannt
.} .‘x ist und
Die ört
Anzahl
der Elemente
einer
Menge
M, 1,
wird
Ordnung
|M | geschrieben.
•• Geh
ein Objekt
x zu einer
M
so2,sagen
in Malsenthalten’,
oder
• auch
Die Anzahl
der Elemente
einer
Menge
M wird
genannt und
als |Mwir
| geschrieben.
‘x ist Element
von M
’, und
schreiben
x Ordnung
2 M . Anderenfalls
schreiben
x2
/ M.
•
Geh
ört
ein
Objekt
x
zu
einer
Menge
M
,
so
sagen
wir
auch
‘x
ist
in
M
enthalten’,
oder
• Die
Anzahl
So gilt
z.B. der Elemente einer Menge M wird Ordnung genannt und als |M | geschrieben.
‘x ein
ist Element
M ’, und
x 21 2
M
. Anderenfalls
wir x 2
/ oder
M.
• auch
Gehört
Objekt x von
zu einer
Menge
, so sagen
in M enthalten’,
1 schreiben
2 ZM, aber
/ wir
N
. auch ‘x ist schreiben
• Geh
ört‘xz.B.
ein
x zu
einer
M , so sagen
wir. Anderenfalls
auch ‘x ist inschreiben
M enthalten’,
So
gilt
auch
ist Objekt
Element
von
M ’,Menge
und schreiben
x2M
wir x oder
2
/ M.
‘x
ist Element
von M
schreiben
Anderenfalls
wirxx 22
/N
M.
2 Z , dann
aberx 2
1M2
/. N
. Aussagen schreiben
So gilt
z.B.
• auch
Zwei
Mengen
sind gleich,
M ’,=und
N 1genau
wenn
die
x 2 M und
So
gilt z.B.sind (x 2 M , x 2 N ), 1anderenfalls
äquivalent
M 6= N .
2 Z , aber sind
12
/sieNungleich,
.
• Zwei Mengen sind gleich, M = N1 genau
dann wenn
2 Z , aber
12
/ N die
. Aussagen x 2 M und x 2 N
•• Die
Menge
;gleich,
=
die
Menge
zudann
der kein
Objekt
gehört,Md.h.
2
/ ;und
für xalle
äquivalent
sindsind
(x 2
M {}
,ist
x2
), anderenfalls
sind
siedie
ungleich,
6=
Nx.M
Zweileere
Mengen
M
=NN
genau
wenn
Aussagen
x 2
2 N
• Zwei
Mengen
sind
gleich,
N),genau
dann wenn
die ungleich,
AussagenMx 6=
2N
M. und x 2 N
Objekte
x. sind
äquivalent
(x 2
M ,Mx =
2N
anderenfalls
sind sie
• äquivalent
Die leere sind
Menge
=,
{} x
ist2die
zu dersind
keinsie
Objekt
gehört,
/ ; für alle
(x 2;M
N ),Menge
anderenfalls
ungleich,
M 6=d.h.
N. x 2
•• Es
auch
möglich,; Mengen
Charakterisierung
Elemente
Objekte
x. Menge
Dieistleere
= {} istdurch
die Menge
zu der kein ihrer
Objekt
gehört, zu
d.h.definieren.
x2
/ ; fürSoalle
kann
manx.hMenge
äufig die;Menge
all derjeniger
die eine
Eigenschaft
• Die
leere
= {} ist
die MengeObjekte
zu der bilden,
kein Objekt
geh
ört, d.h. x E2
/ besitzen:
; für alle
Objekte
• Objekte
Es ist auch
x. möglich, Mengen durch Charakterisierung ihrer Elemente zu definieren. So
Mall
= derjeniger
{x | x hat
die
Eigenschaft
E}
häufig
die Menge
Objekte
bilden,ihrer
die, eine
Eigenschaft
E besitzen:
• kann
Es istman
auch
möglich,
Mengen
durch
Charakterisierung
Elemente
zu definieren.
So
• Es
ist man
auchhäufig
möglich,
Mengenalldurch
Charakterisierung
ihrer
zu definieren.
So
kann
die Menge
derjeniger
Objekte bilden,
die Elemente
eine Eigenschaft
E besitzen:
d.h. xman
ist genau
Element
von
wenn
die Eigenschaft
Zum Beispiel
M
{xM
| x, hat
diex Eigenschaft
E}eine
,E besitzt.
kann
häufigdann
die Menge
all=
derjeniger
Objekte
bilden, die
Eigenschaft
E besitzen:
Meine
= {x
| x hat
die
Eigenschaft
E}
, 4, 6, . . .} .
= {xElement
| x ist
gerade
nat
ürliche
Zahl}
=
{2,
d.h. x ist genauMdann
von
M
,
wenn
x
die
Eigenschaft
M = {x | x hat die Eigenschaft E} , E besitzt. Zum Beispiel
d.h. x ist genau dann Element von M , wenn x die Eigenschaft E besitzt. Zum Beispiel
= {x
| x ist eine
natxürliche
Zahl} = {2,
6, . . .} .Zum Beispiel
d.h. x ist genauM
dann
Element
von gerade
M , wenn
die Eigenschaft
E4,besitzt.
M = {x | x ist eine gerade natürliche Zahl} = {2, 4, 6, . . .} .
M = {x | x ist eine gerade natürliche Zahl} = {2, 4, 6, . . .} .
Achtung...
1.1 Mengen
Monday 12 September 16
Abbildung 1: Mengenoperationen am Beispiel von Teilmengen des R2 .
Achtung - das geht nicht immer: betrachte z.B.
M = {x | x ist eine Menge und x 2
/ x} .
Würde M existieren, so würde dies zu einem Widerspruch führen, denn für eine Menge x
würde nach der Definition von M gelten
x2M ,x2
/ x.
Angewendet auf x = M würde das bedeuten
M 2M ,M 2
/M,
.
Das nennt man die Russelsche Antinomie.
Definition 1.1.
(1) Eine Menge M ist Teilmenge (oder auch Untermenge) einer Menge N , falls für alle
x 2 M auch gilt x 2 N . Dann schreiben wir M ✓ N oder N ◆ M . N nennt man dann
Aufpassen
bei unendlichen Mengen, die Mengen enthalten!
auch Obermenge von M .
Probleme
werden
Vorlesung
nicht
vorkommen
.)
(2) (Solche
Ist darüberhinaus
außerdem
M 6=inNdieser
, so nennt
man M echte
Teilmenge
von N ...
und
schreibt M ⇢ N , bzw. N M .
Bemerkung 1.2.
(1) Aus A ✓ B und B ✓ C folgt A ✓ C.
(2) Aus A ✓ B und B ✓ A folgt A = B.
Beweis. (1) Sei A ✓ B und B ✓ C. Dann folgt aus x 2 A auch x 2 B und daraus wiederum
x 2 C. Also ist A ✓ C.
1.1
Monday 12 September(2)
16 Sei A ✓ B und B ✓ A. Dann folgt aus x 2 A auch x 2 B, und umgekehrt folgt aus
Mengen
würde nach auf
derxDefinition
vondas
Mbedeuten
gelten
Angewendet
= M würde
x 2,MM,2
/, x . .
M 2M
/ xM2
Angewendet
= M würde Antinomie.
das bedeuten
Das
nennt manauf
diex Russelsche
M 2M ,M 2
/M, .
Definition 1.1.
(1) Eine Menge M ist Teilmenge (oder auch Untermenge) einer Menge N , falls für alle
Das
nennt
mangilt
diexRusselsche
Antinomie.
x2
M auch
2 N . Dann schreiben
wir M ✓ N oder N ◆ M . N nennt man dann
auch Obermenge von M .
Definition
1.1.
(2) Ist darüberhinaus
außerdem M 6= N , so nennt man M echte Teilmenge von N und
(1) schreibt
Eine Menge
Teilmenge
M ⇢M
N , ist
bzw.
N M . (oder auch Untermenge) einer Menge N , falls für alle
x 2 M auch gilt x 2 N . Dann schreiben wir M ✓ N oder N ◆ M . N nennt man dann
Bemerkung
1.2.
auch Obermenge
von M .
(1)
A ✓überhinaus
B und B ✓außerdem
C folgt AM
✓ 6=
C.N , so nennt man M echte Teilmenge von N und
(2) Aus
Ist dar
(2) Aus
A✓B
A folgt
schreibt
Mund
⇢ NB, ✓
bzw.
N AM=. B.
Beweis.
(1) Sei1.2.
A ✓ B und B ✓ C. Dann folgt aus x 2 A auch x 2 B und daraus wiederum
Bemerkung
x 2(1)
C.Aus
AlsoAist✓AB✓und
C. B ✓ C folgt A ✓ C.
(2) Sei A ✓ B und B ✓ A. Dann folgt aus x 2 A auch x 2 B, und umgekehrt folgt aus
(2) Aus A ✓ B und B ✓ A folgt A = B.
x 2 B auch x 2 A. Die Aussagen x 2 A und x 2 B sind somit äquivalent, x 2 A , x 2 B,
und
daher (1)
A =Sei
B.A ✓ B und B ✓ C. Dann folgt aus x 2 A auch x 2 B und daraus wiederum
Beweis.
x 2 C. Also ist A ✓ C.
(2) Sei A ✓ B und B ✓ A. Dann folgt aus x 2 A auch x 2 B, und umgekehrt folgt aus
Definition 1.3. Für zwei Mengen M und N definieren wir die folgenden Mengen:
x(1)
2 Bden
auch
x 2 A. Die Aussagen
2 |A
und
Durchschnitt
M \ N :=x{x
x2
M x^2xB2 sind
N }, somit äquivalent, x 2 A , x 2 B,
und
A = B.
(2) daher
die Vereinigung
M [ N := {x | x 2 M _ x 2 N } und
(3) die Di↵erenz M \ N := {x | x 2 M ^ x 2
/ N }.
Definition 1.3. Für zwei Mengen M und N definieren wir die folgenden Mengen:
(1) den Durchschnitt M \ N := {x | x 2 M ^ x 2 N },
(2) die Vereinigung M [ N := {x | x 2 M _ x 2 N } und
(3) die Di↵erenz M \ N := {x | x 2 M ^ x 2
/ N }.
Monday 12 September 16
1.1 Mengen
x 2 C. Also ist A ✓ C.
(2) Sei A ✓ B und B ✓ A. Dann folgt aus x 2 A auch x 2 B, und umgekehrt folgt aus
x 2 B auch x 2 A. Die Aussagen x 2 A und x 2 B sind somit äquivalent, x 2 A , x 2 B,
und daher A = B.
Mengenoperationen:
Definition 1.3. Für zwei Mengen M und N definieren wir die folgenden Mengen:
(1) den Durchschnitt M \ N := {x | x 2 M ^ x 2 N },
(2) die Vereinigung M [ N := {x | x 2 M _ x 2 N } und
(3) die Di↵erenz M \ N := {x | x 2 M ^ x 2
/ N }.
Wird auch
Komplement
genannt!
1 Mengen und Abbildungen
5
Die Di↵erenz wird auch das Komplement von N in M genannt, und auch als M
geschrieben. (Vgl. Abbildung 1.)
N
Definition 1.4. Zwei Mengen M und N nennt man disjunkt, falls ihr Durchschnitt leer
ist, M \ N = ;.
Bemerkung 1.5. Für Mengen M und N gilt:
(1) M \ N ✓ M ✓ M [ N und genauso M \ N ✓ N ✓ M [ N
(2) M \ N ✓ M
(3) (M \ N ) \ N = ;
(4) M \ N = ; , M ✓ N
(5) M [ N = ; , (M = ; ^ N = ;)
1.1 Mengen
Beweis. (1) Aus x 2 M \ N folgt x 2 M ^ x 2 N . Daraus folgt insbesondere x 2 M .
Monday 12 September 16
Die Di↵erenz wird auch das Komplement von N in M genannt, und au
geschrieben. (Vgl. Abbildung 1.)
Regeln:
Definition 1.4. Zwei Mengen M und N nennt man disjunkt, falls ihr Du
ist, M \ N = ;.
Bemerkung 1.5. Für Mengen M und N gilt:
(1) M \ N ✓ M ✓ M [ N und genauso M \ N ✓ N ✓ M [ N
(2) M \ N ✓ M
(3) (M \ N ) \ N = ;
(4) M \ N = ; , M ✓ N
(5) M [ N = ; , (M = ; ^ N = ;)
Beweis. (1) Aus x 2 M \ N folgt x 2 M ^ x 2 N . Daraus folgt insbeso
Damit ist die erste Gleichung in (1) gezeigt. Für die zweite Gleichung bem
aus x 2 M auch folgt x 2 M _ x 2 N . Den zweiten Teil beweist man analo
(2) Sei x 2 M \ N . Das bedeutet x 2 M ^ x 2
/ N , woraus aber insbesondere
(3) Nehme an, es gibt ein x 2 (M \ N ) \ N . Dann gilt x 2 M \ N und x 2
x 2 M \ N folgt insbesondere x 2
/ N . Aber x 2 N ^ x 2
/ N ist ein Widerspru
ein solches x also nicht geben, daher ist (M \ N ) \ N = ;.
(4) Sei M \ N = ;. Daraus folgt, dass es kein x 2 M gibt mit x 2
/ N . Daher fo
auch x 2 N , und M ✓ N . Sei umgekehrt M ✓ N , d.h. aus x 2 M folgt x 2 N
kein x 2 M mit x 2
/ N , und daher ist M \ N = ;.
1.1
Mengen
(5)
Falls
M
[
N
=
;
folgt
aus
(1)
sofort,
dass
M
⇢
;
ist.
Daher
M
=
;. Gleic
Monday 12 September 16
(4) Sei M \ N = ;. Daraus folgt, dass es kein x 2 M gibt mit x 2
/ N . Daher folgt aus x 2 M
auch x 2 N , und M ✓ N . Sei umgekehrt M ✓ N , d.h. aus x 2 M folgt x 2 N . Es gibt al
kein x 2 M mit x 2
/ N , und daher ist M \ N = ;.
(5) Falls M [ N = ; folgt aus (1) Regeln:
sofort, dass M ⇢ ; ist. Daher M = ;. Gleiches gilt für d
Menge N . Daraus folgt die Richtung “)”der Aussage. Für die andere Richung nehme a
dass M [ N 6= ;. Das bedeutet, dass es ein x 2 M oder ein x 2 N geben muss. Es könne
also nicht beide Mengen M und N leer sein. Das ist die Negation von M = ; ^ N = ;.
Bemerkung 1.6. Für Mengen M, N und O gilt:
(1) M \ N = N \ M und M [ N = N [ M
(2) (M \ N ) \ O = M \ (N \ O) und (M [ N ) [ O = M [ (N [ O)
(3) (M [ N ) \ O = (M \ O) [ (N \ O) und (M \ N ) [ O = (M [ O) \ (N [ O)
(4) (M \ N ) \ O = (M \ O) \ N = (M \ O) \ (N \ O)
(5) O \ (M \ N ) = (O \ M ) [ (O \ N ) und O \ (M [ N ) = (O \ M ) \ (O \ N )
Beweis. Exemplarisch wird die erste Gleichung von (5) gezeigt. Sei x 2 O \ (M \ N ). Dan
gilt x 2 O und x 2
/ M \ N , d.h. x 2
/ M oder x 2
/ N . Also x 2 O \ M oder x 2 O \ N . Dah
x 2 (O \ M ) [ (O \ N ). Es folgt O \ (M \ N ) ✓ (O \ M ) [ (O \ N ).
Sei andererseits x 2 (O \ M ) [ (O \ N ). Dann gilt x 2 (O \ M ) oder x 2 (O \ N ), also (x
O^x2
/ M ) _ (x 2 O ^ x 2
/ N ). Das ist gleichbedeutend mit (x 2 O) ^ (x 2
/M _x2
/N
was wiederum gleichbedeutend ist mit (x 2 O) ^ (x 2
/ (M \ N )). Es folgt x 2 O \ (M \ N
Also (O \ M ) [ (O \ N ) ✓ O \ (M \ N ). Mit Hilfe von Bemerkung 1.2(2) folgt (5)
1.1 Mengen
Monday 12 September 16
Definition 1.7. Das Produkt zweier Mengen M und N ist definiert als die Menge
M ⇥ N = {(x, y) | x 2 M ^ y 2 N }
Definition 1.7. Das Produkt zweier Mengen M und N ist definiert als die Menge
6
1.2 Abbildungen
der geordneten Paare (x, y), x 2
M, y 2 N.
Mengenprodukt:
⇥ N2 =
x 21}M⇢ ^R ydas
2 N}
Beispiel 1.8. Sei I = [0, 1] M
= {x
R {(x,
| 0 y)x| 
Intervall zwischen
0 und
1. Dann ist das Mengen
Produkt M
I ⇥und
I gerade
Definition
1.7.Paare
Das
Produkt
N ist definiert als die Menge
der geordneten
(x, y), x 2zweier
M, y 2 N.
das Quadrat mit Eckpunkten (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0) in der
Beispiel 1.8. Sei I = [0, 1] = {x 2 R | 0  x  1} ⇢ R das
Ebene.
M ⇥ N = {(x, y) | x 2 M ^ y 2 N }
Intervall zwischen 0 und 1. Dann ist das Produkt I ⇥ I gerade
Bemerkung
1.9. Eckpunkten
Seien M, N and0),
O Mengen.
Dann gilt
das geordneten
Quadrat mit
der
Paare (x, y), x (0,
2 M , (0,
y 21),
N (1,
. 1), (1, 0) in der
Ebene.
(1) (M \ N ) ⇥ O = (M ⇥ O) \ (N ⇥ O)
Beispiel
1.8.
SeiOI==(M
[0,⇥
1] O)
=[
{x(N
2⇥
R O)
| 0  x  1} ⇢ R das
(2) (M [
N) ⇥
Bemerkung
Seien
N \and
Mengen.
Intervall
und
ist O
das
ProduktDann
I ⇥ Igilt
gerade
(3) (M zwischen
\ N ) 1.9.
⇥ O0=
(M1.M,
⇥Dann
O)
(N
⇥
O)
(M \ Nmit
)⇥O
= (M ⇥ O)(0,
\ 0),
(N (0,
⇥ O)
das(1)Quadrat
Eckpunkten
1), (1, 1), (1, 0) in der
Ebene.
Beweis.
und⇥(3)
(2) (M Zeige
[ N ) (1).
⇥ O(2)
= (M
O)folgen
[ (N analog.
⇥ O) Sei x 2 (M \N )⇥O. Das ist äquivalent zu x =
(a,(3)
b) mit
O. \Das
ist äquivalent zu x 2 (M ⇥ O) \ (N ⇥ O).
(M a\ 2
NM
) ⇥\ON=und
(Mb⇥2 O)
(N wiederum
⇥ O)
Bemerkung 1.9. Seien M, N and O Mengen. Dann gilt
(1) (M \Zeige
N ) ⇥(1).
O=
O)folgen
\ (N ⇥
O) Sei x 2 (M \N )⇥O. Das ist äquivalent zu x =
Beweis.
(2)(M
und⇥(3)
analog.
(2)b) (M
)M⇥\ODas
(M
[Das
(NMengen
⇥ O) M1ist
Definition
1.10.
Produkt
, . .äquivalent
. , Mn ist definiert
als ⇥
die
(a,
mit [a N
2
N=und
b⇥2O)
O.von
wiederum
zu x 2 (M
O)Menge
\ (N ⇥ O).
(3) (M \ N ) ⇥ O = (M ⇥ O) \ (N ⇥ O)
M1 ⇥ . . . ⇥ Mn = {(x1 , . . . , xn ) | x1 2 M1 , . . . , xn 2 Mn }
Beweis.
Zeige
(1).Das
(2) und
(3) folgen
analog. M
Sei1 , x. .2
)⇥O. Dasalsistdie
äquivalent
Definition
1.10.
Produkt
von Mengen
. , (M
Mn \N
ist definiert
Menge zu x =
derb)geordneten
. , xDas
. , xäquivalent
(a,
mit a 2 Mn-Tupel
\ N und(xb1 ,2. .O.
wiederum
n ), x
1 2 M1 , . .ist
n 2 Mn . zu x 2 (M ⇥ O) \ (N ⇥ O).
M1alle
⇥ .1. .⇥iM
{(x1 , . . . ,wir
x n ) | x 1 2 M1 , . . . , xn 2 Mn }
Im Fall Mi = M für
nn=schreiben
n
der geordneten
n-Tupel
(x1 , . . . , von
xnM
), Mengen
x1=2M
, .{z
2. nMist
.1., ⇥
Definition
1.10.
Das Produkt
.,.x.M
1M
n,}M
n . definiert als die Menge
| M⇥
Im Fall Mi = M für alle 1  i  n schreibenn Faktoren
wir
M1 ⇥ . . . ⇥ Mn = {(x1 , . . . , xn ) | x1 2 M1 , . . . , xn 2 Mn }
n
M
=M
. . ⇥ M} .
1.2 Abbildungen
| ⇥ .{z
1.1 Mengen
der geordneten n-Tupel (x1 , . . . , xn ), x1 2 Mn1 ,Faktoren
. . . , xn 2 Mn .
Monday 12 September
16 Beziehungen zwischen Mengen zu beschreiben verwendet man Abbildungen.
Um
|
{z
}
Beispiel 1.13. Abbildungen f : R ! R, xn7 Faktoren
! f (x) werden auch Funktionen genannt.
(1) Zum Beispiel definieren die Vorschriften f (x) = x2 , oder f (x) = ex sin(x) Funktionen.
1.2
Abbildungen
(2) Man
kann auch andere Funktionen definieren:
⇢
⇢ 2 man Abbildungen.
Um Beziehungen zwischen Mengen
zu beschreiben verwendet
1, x 0
x , x2Q⇢R
f (x) =
, oder f (x) =
.
0
,
x
<
0
0
,
x
2
/
Q
Definition 1.11. Eine Abbildung f von einer Menge M in eine Menge N ist eine Vorschrift,
die jedem Element m 2 M ein eindeutiges Element n = f (m) 2 N zuordnet. Man schreibt1
(3) Beachten Sie, dass f auf dem gesamten Definitionsbereich definiert sein muss. So de1
finiert die Vorschrift f (x)f =
: R
: Mx keine
! N Abbildung
, m 7 ! ff(m)
. ! R, da sie in 0 2 R nicht
wohldefiniert ist. Sie definiert aber sehr wohl eine Abbildung f : R \ {0} ! R.
(4)Menge
Allgemeiner
werden
von Rn die
!R
Funktionen
Ein Beispiel
Die
M nennt
manauch
den Abbildungen
Definitionsbereich,
Menge
N dengenannt.
Wertebereich
der
einer solchen Funktion ist die Additition
Abbildung.
1.2. Abbildungen
R2 ! R , (x, y) 7 ! x + y .
Beispiel 1.12.
1
Manchmal wird der Name der Abbildung auch über den Pfeil gesetzt:
Definition 1.14. Zwei Abbildungen f : M ! N und g : M ! N sind gleich, geschrieben
als f = g, falls f (m) = g(m) für alle m 2 M
M . f!
DieN Menge
aller Abbildungen f : M ! N
.
wird mit Abb(M, N ) bezeichnet.
Abbildungen können auf Teilmengen des Definitionsbereiches eingeschränkt werden:
Definition 1.15. Seien M und N Mengen, f : M ! N eine Abbildung, und M 0 ⇢ M eine
Teilmenge. Die Einschränkung von f auf M 0 ist definiert durch2
f
M0
: M 0 ! N , m 7 ! f (m) .
Genauso kann man den Bildbereich einer Funktion ausdehnen: für f : M ! N und
e , so ist die Ausdehnung von f auf N
e die Abbildung M ! N
e , m 7 ! f (m). Man
N ⇢N
gibt dieser Abbildung typischerweise keinen neuen Namen, sondern bezeichnet sie einfach
e.
als f : M ! N
1.2 Abbildungen
2 16
Monday 12 September
In der
Tat kann man die Einschränkung auf M 0 auch als eine Abbildung