WS03/04 mit Lösung - homepages.math.tu

Technische Universität Berlin
Wintersemester 2003/2004
Fakultät II; Institut für Mathematik
V. Mehrmann, T. Stykel
Lineare Algebra II
Lösung der Klausuraufgaben von 19.02.2004
Aufgabe 1: Definiere die Begriffe adjungiert“, selbstadjungiert“ und normal“ in Bezug auf Abbildungen.
”
”
”
Lösung:
Sei V ein euklidischer (unitärer) Vektorraum.
1. Sei f : V −→ V ein Endomorphismus. Ein Endomorphismus f ad : V −→ V heißt adjungiert zu f , falls
hf ad (v), wi = hv, f (w)i für alle v, w ∈ V .
2. Ein Endomorphismus f : V −→ V heißt selbstadjungiert, falls hf (v), wi = hv, f (w)i für alle v, w ∈ V .
3. Ein Endomorphismus f : V −→ V heißt normal, falls f ◦ f ad = f ad ◦ f .
Aufgabe 2: Definiere die Begriffe algebraische Vielfachheit“ und geometrische Vielfachheit“.
”
”
Lösung:
Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper K. Sei f : V −→ V ein Endomorphismus und sei
λ ∈ K ein Eigenwert von f .
1. Die Dimension des Eigenraums Eλ = Kern(λ idV − f ) zum Eigenwert λ heißt geometrische Vielfachheit
von λ.
2. Die größte Zahl a(λ), so dass (x − λ)a(λ) ein Teiler des charakteristischen Polynoms von f ist, heißt
algebraische Vielfachheit von λ.
Aufgabe 3: Kreuze jeweils an, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Seien dazu A, B ∈ Rn,n .
wahr
(a)
Sind A und B ähnlich, so haben A und B dasselbe charakteristische Polynom und
dasselbe Minimalpolynom.
(b)
Haben A und B dasselbe charakteristische Polynom und dasselbe Minimalpolynom,
so sind A und B ähnlich.
(c)
Die Matrizen AB und BA haben dieselben Eigenvektoren.
(d)
Die Matrizen AB und BA haben dieselben Eigenwerte.
falsch
Lösung:
(a) ist wahr.
(b)
ist falsch. Z.B.

1
 0
A=
 0
0
1
1
0
0
0
0
1
0

0
0 
,
1 
1

1
 0
B=
 0
0
1
1
0
0
0
0
1
0

0
0 

0 
1
Es gilt PA (x) = (x − 1)4 = PB (x), mA (x) = (x − 1)2 = mB (x), aber die Matrizen A und B sind nicht
ähnlich.
2 1
2 0
(c) ist falsch. Z.B. A =
,
B=
.
−1 0
−1 1
4
2
3 1
. Eigenwerte von C1 und C2 sind λ1 = 1,
und C2 = BA =
Seien C1 = AB =
−3 −1
−2 0
λ2 = 2. Eigenräume von C1 sind gegeben durch
t
t
E1 (C1) =
, t∈R ,
E2 (C1) =
, t∈R
2t
−t
und Eigenräume von C2 sind
E1 (C2) =
t
3/2t
,
t∈R
,
E2 (C2) =
t
−t
,
t∈R
,
also E1 (C1) 6= E1 (C2 ) und E2 (C1) = E2 (C2 ).
(d) ist wahr (Satz 13.14).
Aufgabe 4: Sei V ein Vektorraum über dem Körper R. Seien B1 und B2 Orthonormalbasen von V mit der
Basisübergangsmatrix P , d.h., B2 = B1 P . Kreuze die richtigen Aussagen an.
(Mehrfachaussagen sind möglich!)
a) Sei f : V → V ein Endomorphismus. Ist F1 die Matrixdarstellung von f bezüglich B1 und F2 die Matrixdarstellung von f bezüglich B2 , so ist
F 2 = P T F1 P ;
F1 = P −1 F2 P ;
F1 = P F 2 P T ;
F2 = P F1 P −1 .
b) Sei α : V × V → K eine Bilinearform. Ist A1 die Matrixdarstellung von α bezüglich B1 und A2 die
Matrixdarstellung von α bezüglich B2 , so ist
A1 = P A 2 P T ;
A2 = P −1 A1 P ;
A2 = P A 1 P T .
A1 = P −1 A2 P ;
Lösung:
Da B1 und B2 Orthonormalbasen sind, ist die Basisübergangsmatrix P orthogonal. Dann ist P −1 = P T .
a)
b)
Aufgabe 5: Sind die folgenden Aussagen (immer) wahr oder (i.A.) falsch?
wahr
(a)
Falls A eine reelle Matrix ist, so ist A + iI invertierbar.
(b)
Falls A eine Hermite’sche Matrix ist, so ist A + iI invertierbar.
(c)
Falls A eine unitäre Matrix ist, so ist A + iI invertierbar.
(d)
Falls A eine normale Matrix ist, so ist A + iI invertierbar.
falsch
Lösung:
(a) ist falsch. Z.B. ist A =
(b)
0 1
−1 0
reell, aber A + iI =
i 1
−1 i
ist nichtinvertierbar.
ist wahr. (Hermite’sche Matrix A hat nur reelle Eigenwerte, also Eigenwerte von A+iI sind λ = a+i 6= 0
mit a ∈ R. Damit ist A + iI invertierbar.)
0 1
i 1
(c) ist falsch. Z.B. ist A =
unitär, aber A + iI =
ist nichtinvertierbar.
−1 0
−1 i
0 1
i 1
(d) ist falsch. Z.B. ist A =
normal, aber A + iI =
ist nichtinvertierbar.
−1 0
−1 i
Aufgabe 6: (Bewertet wird hier nur das Ergebnis, nicht der Rechenweg. Man kann also versuchen, mit so wenig
Rechnen wie möglich auszukommen!) Gegeben seien die reellen 3 × 3-Matrizen






6 −2 −10
0 −1 0
6 −8 −16
6
16  ,
0 0 ,
6
10  .
A =  −8
P =  −1
B = P AP =  −2
6 −3 −11
0
0 1
3 −6 −11
T
T
T
Es sei bekannt, dass v1 = 2 0 1
, v2 = 1 −1 1
und v3 = 1 2 0
Eigenvektoren der Matrix
A sind. Gib die Eigenvektoren von B an:
h
h
iT
iT
iT
h
, w2 =
, w3 =
.
w1 =
Lösung:
Da P eine orthogonale Matrix ist, gilt P −1 = P T = P , also B = P −1 AP , d.h. A und B sind ähnlich und die
Eigenvektoren von B sind






0
1
−2
w1 = P v1 =  −2  ,
w2 = P v2 =  −1  ,
w3 = P v3 =  −1  .
1
1
0
Aufgabe 7: Seien f, g ∈ R3 −→ R Homomorphismen gegeben durch f ([x1 , x2 , x3 ]T ) = 3x1 + 2x2 + x3 und
g([x1 , x2 , x3 ]T ) = x1 + 2x2 + 3x3 .
a) Zeige, dass die Abbildung α : R3 × R3 −→ R mit α(x, y) = f (x)g(y) eine Bilinearform ist.
b) Bestimme die Matrixdarstellung von α bezüglich der kanonischen Basis von R3 .
Lösung:
a)
(i)
∀ x 1 , x2 , y ∈ R 3
α(x1 + x2 , y) = f (x1 + x2 )g(y) = (f (x1 ) + f (x2 )) g(y)
= f (x1 )g(y) + f (x2 )g(y) = α(x1 , y) + α(x2 , y);
3
(ii)
∀ x, y ∈ R , λ ∈ R α(λx, y) = f (λx)g(y) = λf (x)g(y) = λα(x, y);
(iii)
∀ x, y1 , y2 ∈ R3
α(x, y1 + y2 ) = f (x)g(y1 + y2 ) = f (x) (g(y1 ) + g(y2 ))
= f (x)g(y1 ) + f (x)g(y2 ) = α(x, y1 ) + α(x, y2 );
(iv)
3
∀ x, y ∈ R , λ ∈ R α(x, λy) = f (x)g(λy) = λf (x)g(y) = λα(x, y);
b) Die Matrixdarstellung von α bezüglich der kanonischen Basis von R3 hat die Form




1
3 2 1
A =  2 [3 2 1] =  6 4 2 .
3
9 6 3
Aufgabe 8: Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper K, sowie f : V → V ein Endomorphismus. Zeige: Hat f 2 + f einen Eigenwert −1, so hat f 3 einen Eigenwert 1.
Lösung:
f 2 + f hat einen Eigenwert −1
⇒
⇒
⇒
: (f 2 + f )(v) = −v ⇒ (f 2 + f + idV )(v) = 0
f (f 2 + f + idV ) (v) = (f 3 + f 2 + f )(v) = 0
∃ v ∈ V, v 6= 0
f 3 (v) = − (f 2 + f )(v) = v
| {z }
−v
⇒
f 3 hat einen Eigenwert −1.
Aufgabe 9: Sei A ∈ Cn,n eine Matrix, so dass A = −AH . Zeige:
a) A ist normal.
b) Alle Eigenwerte von A haben Realteil Null.
Lösung:
a) AAH = −AH AH = AH A
⇒
A ist normal
b) Sei v ∈ Cn \ {0} ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ ∈ C.
⇒
hAv, vi = λhv, vi und hAv, vi = hv, AH vi = −hv, Avi = −λ̄hv, vi
⇒
λ = −λ̄
⇒
Re(λ) = 0.
Aufgabe 10: Zeige: Jede invertierbare Matrix A ∈ Rn,n ist darstellbar als Produkt A = U S einer orthogonalen
Matrix U ∈ Rn,n und einer symmetrischen, positiv definiten Matrix S ∈ Rn,n .
Lösung:
Sei A = P ΣQT Singulärwertzerlegung von A, wobei P und Q orthogonal sind und Σ = diag(σ1 , . . . , σn ) ist reell,
nichtsingulär.
⇒
A = P QT QΣQT = U S mit U = P QT , S = QΣQT
⇒
⇒
U T U = QP T P QT = QQT = I, d.h., U – orthogonal
S T = QΣQT = S und
∀ v ∈ Rn \ {0} hSv, vi = hQΣQTv, vi = hΣQTv, QTvi = σ1 v12 + · · · + σn vn2 > 0 mit [v1 , . . . , vn ]T = QTv
⇒
S – symmetrisch, positiv definit.