¨Ubungen zur Höheren Quantenmechanik (WS 2013/14) 4. ¨Ubung

H.-W. Hammer
Institut für Kernphysik
Übungen zur Höheren Quantenmechanik (WS 2013/14)
4. Übung
12.11.2013
A.6 Streuung an der harten Kugel
In der Vorlesung wurde die Streuung an der sog. harten Kugel“ besprochen, die durch
”
das Potential
(
∞ für r ≤ R
V (r) =
0 für r > R
beschrieben wird. Für die Streuphase δ` der `-ten Partialwelle wurde gezeigt:
tan δ` (k) =
j` (kR)
,
n` (kR)
wobei j` , n` die sphärischen Bessel- bzw. Neumann-Funktionen bezeichnen. Im Grenzfall niedriger Energien, d.h. kR 1, gilt
j` (kR) '
(kR)`
,
(2` + 1)!!
n` (kR) ' −
(2` − 1)!!
,
(kR)`+1
mit (2n + 1)!! = 1 · 3 · · · (2n + 1) ,
während die Asymptotik für hohe Energien, kR → ∞, gegeben ist durch
1
`π 1
`π j` (kR) '
sin kR −
,
n` (kR) ' −
cos kR −
.
kR
2
kR
2
Die Streuamplitude lässt sich laut Vorlesung in folgender Form schreiben:
f` (k) =
e2iδ` (k) − 1
1
=
.
2ik
k cot δ` (k) − ik
Verhalten bei niedrigen Energien
1. Warum können höhere Partialwellen (` = 1, 2, . . .) für kleine Energien vernachlässigt
werden?
2. Verwenden Sie j0 (x) = sinx x , n0 (x) = − cosx x und entwickeln Sie f0−1 (k) bis O(k 2 ).
Allgemein bezeichnet man die Entwicklung
k 2`+1 cot δ` = −
1
r`
+ k2 + · · ·
a`
2
als effektive Reichweitenentwicklung“, wobei a` die Streulänge und r` die effektive
”
Reichweite des Potentials ist. Wie groß sind Streulänge a0 und effektive Reichweite
r0 bei der harten Kugel?
3. Berechnen Sie den totalen Wirkungsquerschnitt für niedrige Energien σNE bis zu
quadratischer Ordnung in k.
Verhalten bei hohen Energien
Bei größeren Energien tragen auch höhere Partialwellen jenseits von ` = 0 zum Streuquerschnitt bei. Für die weitere Rechnung treffen wir die plausible Annahme `max = kR 1.
Die Standardformel für den totalen Streuquerschnitt lautet dann
σHE
`max
4π X
(2` + 1) sin2 δ` .
= 2
k `=0
4. Zeigen Sie, dass für große Energien (d.h. kR 1) die Beziehung sin2 δ` ' sin2 (kR −
`π
) gilt.
2
5. Zeigen Sie, dass die Relation sin2 δ` + sin2 δ`+1 ' 1 gilt und nutzen Sie diese Beziehung aus, um σHE auszurechnen.
Hinweis:
Für die Berechnung des totalen Streuquerschnitts ist es vorteilhaft, die
auftauchenden Terme paarweise umzuordnen.
Vergleich mit dem klassischen Resultat
6. Wie groß ist der klassische Wirkungsquerschnitt σkl für die Streuung an der harten
Kugel?
7. Vergleichen Sie die Ergebnisse für σNE , σHE und σkl miteinander.
A.7: Hauptwert-Formel
In der Vorlesung wurde die Cauchysche Hauptwertformel für die Integration über g(x) =
1/x verwendet, die man in symbolischer Notation meist wie folgt schreibt:
1
1
= P ∓ iπδ(x) .
x ± i
x
(∗)
Dabei bezeichnet P den Cauchyschen Hauptwert (“principal value”) des Integrals. In der
Schreibweise von Gl. (∗) ist impliziert, dass die Formel auf glatte Funktionen f (x), die für
|x| → ∞ schnell genug abfallen und keinen Pol auf der reellen Achse haben, angewendet
wird. Gemeint ist also
Z −
Z +∞
Z +∞
Z +∞
f (x)
f (x)
f (x)
lim
dx
= lim
dx
+
dx
∓ iπ
dx f (x) δ(x) .
→0 −∞
x ± i →0 −∞
x
x
−∞
In dieser Aufgabe soll die Anwendung von Gl. (∗) vertieft werden. Berechnen Sie dazu
das Integral
Z +∞
1
dx 2
lim
,
a ∈ R \ {0}, > 0
2
→0 −∞
(x + a )(x − i)
1. unter Verwendung der Hauptwertformel Gl (∗),
2. mit Hilfe des Residuensatzes.
H.4: Partialwellenentwicklung des elastischen
Wirkungsquerschnitts
Die nach Legendre-Polynomen entwickelte Streuamplitude lautet:
f (θ) =
∞
X
(2` + 1)f` (k)P` (cos(θ) ,
`=0
wobei
f` (k) =
1
1
e2iδ` − 1 = eiδ` sin(δ` ) .
2ik
k
dσ
1. Skizzieren Sie die Winkelabhängigkeit des differentiellen Wirkungsquerschnitts
(θ)
dΩ
für
(a) reine s-Wellen-Streuung,
(b) reine p-Wellen-Streuung,
(c) reine d-Wellen-Streuung,
(d) Interferenz von ` = 0 und ` = 1 .
2. Skizzieren Sie die Wertemenge von A` (k) = k f` (k) (Argand-Amplitude) in der
komplexen Ebene.
3. Beschreiben Sie den totalen elastischen Wirkungsquerschnitt σtot als Funktion der
partiellen Wirkungsquerschnitte σ` . Durch welche Funktion wird der Wirkungsquerschnitt begrenzt? Für welche Werte der Streuphase wird diese Grenze angenommen?
4. Vergleichen Sie den in Teil (c) hergeleiteten Ausdruck mit der Partialwellenzerlegung
der Vorwärtsstreuamplitude f (θ = 0) und zeigen Sie so das optische Theorem.