1. Zufallsexperimente und Ergebnismengen
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1. Zufallsexperimente und Ergebnismengen
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1.1 Der Ergebnisraum
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Viele Experimente besitzen keine exakt vorhersagbaren Ergebnisse. Man spricht von Zufallsexperimenten.
Beispiel :
Experiment : Werfen eines Würfels
Menge der möglichen Ergebnisse : Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Experiment : Werfen einer Münze
Menge der möglichen Ergebnisse : Ω = Z, K
Bei einem Zufallsexperiment seien n verschiedene Ergebnisse ωi , 1 ≤ i ≤ n, möglich.
Dann heißt
Ω = ω1, ω2, ........, ωn
eine Ergebnismenge des Experiments.
Die Anzahl n der Elemente von Ω heißt Mächtigkeit Ω von Ω .
Ein und demselben Zufallsexperiment können je nach Betrachtungsweise verschiedene Ergebnisräume zugeordnet werden.
Beispiel:
Experiment : Werfen eines Würfels
Ergebnisraum "Augenzahlen" : Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Ergebnisraum "gerade oder ungerade Augenzahl" : Ω2 = g, u
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1.2 Der Ergebnisraum zusammengesetzter Zufallsexperimente
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Viele Zufallsexperimente sind aus mehreren Teilexperimenten zusammengesetzt, sei es, dass
man ein und dasselbe Experiment mehrmals ausführt oder verschiedene Experimente als ein
Experiment betrachtet.
Beispiele :
Experiment : Zweimaliges Werfen einer Münze
Ergebnisraum : Ω = KK, KZ, ZK, ZZ
Das Zustandekommen der Ergebnisse bei einem zusammengesetzten Zufallsexperiment lässt
sich durch ein Baumdiagramm veranschaulichen.
1. Wurf
K
Z
2. Wurf
K
Z
K
Z
Ω = 2 ⋅ 2 = 4
Einen von oben nach unten führenden Streckenzug in einem Baumdiagramm nennt man einen Pfad, jede Strecke eines Pfades einen Ast.
Die Anzahl aller Pfade ist gleich der Mächtigkeit des Ergebnisraumes.
Beispiel:
Eine Urne enthält 3 weiße, 2 rote und 1 schwarze Kugel. Es werden 2 Kugeln
a) einzeln und hintereinander mit Zurücklegen
b) einzeln und hintereinander ohne Zurücklegen
b) gleichzeitig
entnommen.
a) Baumdiagramm :
Ω = ww, wr, ws, rw, rr, rs, sw, sr, ss
b)
Ω = ww, wr, ws, rw, rr, rs, sw, sr
c) Ω = {w,w}, {w,r}, {r,r}, {r,s}
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1.3 Ereignisse
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Experiment : Würfeln
Ergebnisraum : Ω = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
Ereignis "Gerade Augenzahl" : A = 2, 4, 6
Eine Teilmenge A der Ergebnismenge Ω eines Zufallsexperiments heißt Ereignis.
Ω
A
Das Ereignis A tritt dann ein, wenn das Versuchsergebnis ω in A liegt;ω ∈ A, es tritt nicht
ein, wenn ω ∉ A.
{} ⊆ Ω bzw. heißt unmögliches Ereignis ({} ist die leere Menge)
ω
mit ω ∈ Ω ist ein einelementiges Ereignis
Ω ⊆ Ω heißt sicheres Ereignis
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1.4 Zusammengesetzte Ereignisse
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------A : Das Ereignis A tritt nicht ein
A
A
Ω
A ∩ B : Ereignis A und Ereignis B tritt ein
A
B
A∩B
Ω
A ∪ B : Ereignis A oder Ereignis B tritt ein
A
B
A∪B
Ω
A ∩ B : Ereignis A tritt und ein Ereignis B tritt nicht ein
A
B
A∩B
Ω
A ∪ B = A ∩ B : Weder Ereignis A noch Ereignis B tritt ein
A
A
B
B
A∪B
A ∩ B = A ∪ B : Ereignis A und Ereignis B treten nicht
zusammen ein
A
Ω
B
A∩B
Ω
(A ∩ B) ∪ (A ∩ B) : Entweder Ereignis A oder Ereignis B tritt
ein
A
B
(A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
Ω
Die Fächeninhalte können als Maß für die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse gedeutet
werden.
1.5 Wahrscheinlichkeit
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Eine Funktion P, die jedem Ereignis A ⊆ Ω eine reelle Zahl P(A), die Wahrscheinlichkeit
P(A) von A zuordnet,
P : A → P(A),
heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn die Axiome von Kolmogorow
W 1 P(A) ≥ 0
∀A∈A
W 2 P(Ω
Ω) = 1
W 3 A, B ∈ A A ∩ B = ∅
⇒
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
gelten.
Folgerungen:
P(A) = 1 − P(A)
und
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
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