1 Zufallsexperimente

Übungsmaterial
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Zufallsexperimente
1.1 Ergebnisräume einfacher Zufallsexperimente
Damit ein Experiment ein
Zufallsexperiment
ist, müssen folgende Eigenschaften erfüllt sein:
1) Das Experiment lässt sich beliebig oft unter festgelegten Regeln wiederholen.
2) Es gibt mindestens zwei mögliche Ausgänge des Experiments.
3) Das Ergebnis lässt sich nicht vorhersagen.
Beispiel: Der Wurf eines Würfels oder einer Münze ist ein Zufallsexperiment, ebenso das blinde Ziehen
von Kugeln aus einer Urne oder das Werfen von (leeren) Streichholzschachteln.
Denition
Unter dem
Ergebnisraum
Ω
(Omega) versteht man die Menge aller möglichen Ausgänge eines
Zufallsexperiments.
Die Anzahl der Elemente von
Ω
nennen wir
Mächtigkeit
Beispiel: Beim Wurf eines Würfels ist der Ergebnisraum
Ω
von
Ω,
|Ω|.
6}, |Ω| = 6.
in Zeichen
= {1, 2, 3, 4, 5,
Beispiele
1) Wir werfen zwei Würfel und addieren jeweils die Augen.
Der Ergebnisraum ist
Ω = {2, 3, 4, ..., 11, 12}, |Ω| = 11.
2) In einer Lostrommel benden sich 300 Gewinne (G) und 600 Nieten (N).
Ω = {G, N }.
= {GG, GN, N G, N N }. Wenn einen nur die Anzahl
Wenn man ein einziges Los aus der Trommel zieht, ist
0
Zieht man zwei Lose aus der Trommel, ist Ω
der Gewinne und nicht der Zeitpunkt ihres Ziehens interessiert, könnte dieser Ergebnisraum auch
Ω0 = {0, 1, 2}
lauten.
3) Wurf einer Streichholzschachtel:
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Eine Streichholzschachtel kann auf sechs
verschiedenen Flächen landen, wobei aus
Symmetriegründen auf drei Flächen reduziert werden kann:
Ω
= {1, 2, 3}.
Seite 3
Seite 2
Übungsmaterial
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1.2 Mehrstuge Zufallsexperimente
Führt man ein und das selbe Zufallsexperiment mehrmals hintereinander durch, oder erst ein, dann
mehrstugen Zufallsexperiment .
Bei mehrstugen Zufallsexperimenten dient ein Baumdiagramm zur Veranschaulichung. Jeder Pfad
ein anderes Zufallsexperiment, spricht man von einem
durch das Baumdiagramm (vom Start- bis zum Endpunkt) liefert ein Ergebnis.
Ω
ist dann die Menge
dieser Ergebnisse.
Beispiel
In einer Urne benden sich drei rote und vier blaue Kugeln, eine zweiten Urne enthält sechs blaue und
2 grüne Kugeln. Im ersten Schritt des Experiment wählt man nun eine Urne aus, im zweiten Schritt
zieht man aus der gewählten Urne eine Kugel.
Wir veranschaulichen das Experiment mithilfe eines Baumdiagramms:
rot
Urne 1
blau
Start
blau
Urne 2
grün
Wir können den Ergebnisraum nun an der rechten Seite des Baumdiagramms ablesen:
Ω = {1r, 1b, 2b, 2g}.
1.3 Ereignisse
Der Begri
Ereignis
bezeichnet eine beliebige Teilmenge des Ergebnisraumes
Ω.
Beim Werfen eines
Würfels sind beispielsweise Ich würfele eine 5 und Die gewürfelte Zahl ist gerade Ereignisse. Das
erste ist ein
Elementarereignis , eine einelementige Teilmenge von Ω, das zweite beinhaltet drei mög-
liche Ausgänge des Zufallsexperiments (der Würfel zeigt 2, 4 oder 6 an).
Ein Ereignis E tritt genau dann ein, wenn sich ein Versuchsergebnis einstellt, das in A enthalten ist.
Gegenereignis .
Ø (unmögliches Ereignis ) und Ω selbst (sicheres Ereignis ) sind Ereignisse.
Zu einem Ereignis E bezeichnet
Auch die leere Menge
Der
Ereignisraum
P
E
das zugehörige
ist die Menge aller möglichen Teilmengen von
liche und das sichere Ereignis.
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Den Ereignisraum bezeichnet man auch mit dem Begri
Potenzmenge .
Ω1 .
Er enthält auch das unmög-
Übungsmaterial
3
Beispiel
Wir werfen wieder zwei Würfel und addieren jeweils die Augen.
Das Ereignis A: Die Augensumme ist gerade ist die Menge
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}.
Das Ereignis A
tritt ein, wenn eine dieser Augensummen erzielt wird.
A = {3, 5, 7, 9, 11}.
B = {2}, also ein Elementarereignis.
Das Gegenereignis von A ist Die Augensumme ist ungerade, also
Das Ereignis B: Die Augensumme ist eine gerade Primzahl ist
1.4 Aufgabe 1
1) Aus einer Urne mit zwei roten, 3 schwarzen und einer blauen Kugel wird zweimal eine Kugel
a) ohne Zurücklegen
b) mit Zurücklegen
gezogen. Zeichne jeweils ein Baumdiagramm und bestimme den Ergebnisraum
Ω.
2) Ein Farb-Würfel trägt auf den Seiten die Farben weiÿ (zweimal), lila (zweimal), rot und blau. Er
wird zweimal gewürfelt. Die Reihenfolge der Würfe wird beachtet.
Gib den Ergebnisraum an sowie die Mengen A: Der zweite Wurf liefert weiÿ und B: Die beiden
Würfe haben unterschiedliches Ergebnis.
Lösung
1a) Ohne Zurücklegen:
Ω = {rr, rs, rb, sr, ss, sb, br, bs}
rot
Start
schwarz
rot
rr
schwarz
rs
blau
rb
rot
sr
schwarz
ss
blau
sb
rot
br
schwarz
bs
blau
b) Mit Zurücklegen:
Ω = {rr, rs, rb, sr, ss, sb, br, bs, bb}
Übungsmaterial
rot
schwarz
Start
blau
2)
Der Ergebnisraum ist
4
rot
rr
schwarz
rs
blau
rb
rot
sr
schwarz
ss
blau
sb
rot
br
schwarz
bs
blau
bb
Ω = {ww, wl, wr, wb, lw, ll, lr, lb, rw, rl, rr, rb, bw, bl, br, bb}.
A = {ww, lw, rw, bw}
B = {wl, wr, wb, lw, lr, lb, rw, rl, rb, bw, bl, br}
1.5 Aufgabe 2
1) Beim Münzwurf werden folgende Ereignisse betrachtet:
A: Gerade Augenzahl
B: Augenzahl ist Primzahl
C: Augenzahl ist durch drei teilbar
D: Augenzahl ist gröÿer als 3
a) Gib die Mengenschreibweisen der Ereignisse an.
b) Fasse das Ereignis
A∩D
(sowohl A als auch D) in Worte und gib seine Mengeschreibweise
an.
2) Eine 1-Euro-Münze wird zweimal geworfen.
a) Zeichne ein Baumdiagramm und gib den Ergebnisraum an.
b) Welche Pfade führen zu den Ereignissen
E1 :
Der erste Wurf ist Zahl und
E2 :
Der zweite
Wurf ist Zahl?
Gibt es einen Pfad, der beide Ereignisse erfüllt (in Mengenschreibweise:
Lösung
1a)
A = {2, 4, 6}
B = {2, 3, 5}
E1 ∩ E2 )?
Übungsmaterial
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C = {3, 6}
D = {4, 5, 6}
b)
2)
A ∩ D:
Die Augenzahl ist gerade und gröÿer als 3;
A ∩ D = {4, 6}
Baumdiagramm:
E1 ∩ E2
Der Pfad, der sowohl zum Ereignis
E1
E2
E1
als auch zum Ereignis
E2
führt, ist der Pfad ganz links.