Stochastik Grundlagen

Stochastik Grundlagen
Einführung in die
Wahrscheinlichkeitsrechnung
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Zufallsexperiment

Zufallsexperiment:
– Der Ausgang ist ungewiss, mehrere
Ergebnisse sind möglich.
– Welches der möglichen Ergebnisse eintritt,
ist nicht vorhersagbar

Ergebnis
Alle möglichen Ergebnisse ex bilden die
Ergebnismenge: S={e1,e2,...en}
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Zufallsexperiment

Beispiel:
– Der Wurf eines Würfels ist ein
Zufallsexperiment.
– Die möglichen Ergebnisse sind 1,2,3,4,5
oder 6 Augen. Also gilt:
Ergebnismenge S = {1,2,3,4,5,6}
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Zufallsexperiment

Ereignis
– Das Ereignis ist eine Teilmenge der
möglichen Ergebnisse: A
– z.B. ist das Würfeln einer „geraden
Augenzahl“ ein Ereignis, das die
Ergebnisse 2, 4 und 6 beinhaltet
Ergebnismenge: S= {1,2,3,4,5,6}
Ereignis „gerade“: A = {2,4,6}
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Zufallsexperiment

Besondere Ereignisse
– Unmögliches Ereignis:
kann nicht eintreten, da es keine
Ergebnisse enthält A = {}
– Sicheres Ereignis:
tritt bei jedem Experiment ein, da es alle
Ergebnisse enthält: A = S
– Elementarereignis:
enthält genau 1 Ergebnis der
Ergebnismenge
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Zufallsvariable

Wenn die Ergebnisse eines Versuches
Zahlen sind, stellt man sie als Variablen dar
– X = 5:
die Zahl 5 ist gefallen: A = {5}
– X > 3:
die Zahlen 4, 5 oder 6 sind gefallen: A = {4,5,6}
– X ≤ 3:
A={1,2,3}
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Häufigkeiten



Absolute Häufigkeit von A:
Ein Zufallsexperiment wird n mal wiederholt,
das Ereignis A tritt dabei H-mal auf:
H(A) = absolute Häufigkeit
Relative Häufigkeit von A: h(A) = H/n
Beispiel: Bei 10 Würfen fällt 4 mal die Zahl 2
A = {2}, H = 4, h(A)= 4/10 = 0,4
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Gesetz der großen Zahlen


Gesetz der großen Zahlen:
Führt man ein Zufallsexperiment beliebig oft
durch, so stabilisieren sich die relativen
Häufigkeiten um einen festen Wert
Beispiel:
Eine Münze wird 100-mal geworfen. Die
relative Häufigkeit des Ereignisses „Kopf“
wird als Funktion von n aufgezeichnet
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Gesetz der großen Zahlen
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Wahrscheinlichkeit

Ordnet man den Ergebnissen feste
relative Häufigkeiten zu, so nennt
man diese Wahrscheinlichkeit P des
Ergebnisses e:
I. 0 ≤ P(ei) ≤ 1 für alle i
II. P(e1)+P(e2)+…+P(en) = 1
III. Bsp: P(Kopf) + P(Zahl)= ½ + ½ = 1
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Summenregel

Wahrscheinlichkeit P eines
Ereignisses A: Summe der einzelnen
Ergebniswahrscheinlichkeiten
I. Beispiel Würfel: „Gerade Augenzahl“
II. A = {2,4,6}
III. P(2)+P(4) +P(6) = 1/6+1/6+1/6 = 3/6
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Gleichverteilungen
LaPlace-Wahrscheinlichkeiten:

–
–
Alle Ergebnisse eines Experimentes sind
gleich wahrscheinlich
Bei n Ergebnissen: P(e) = 1/n
I. Beispiel Würfel: 6 mögliche Ergebnisse
II. P(1) = 1/6, P(2) = 1/6, etc.
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Gleichverteilungen
LaPlace-Wahrscheinlichkeiten:

–
Ereignisse bei LaPlace-Experimenten:
P(A) = Anzahl günstige Ereignisse /
Anzahl mögliche Ereignisse
I. Beispiel Würfel: „gerade Augenzahl“
II. S = {1,2,3,4,5,6} A={2,4,6}
III. P(A) = 3 / 6 = ½
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Baumdiagramm
Mehrstufige Experimente:

–
Führt man mehrere Experimente
nacheinander aus, stellt man sie in
Baumdiagrammen dar
–
Beispiel Würfel:
Wie hoch ist die Wkt., dass man
innerhalb von 3 Würfen eine 6 schafft?
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Baumdiagramm

Im 1., 2. und 3. Wurf kann man jeweils
eine „6“ würfeln (P = 1/6) oder keine
„6“ würfeln (P = 5/6)
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Pfadregel


Im Baumdiagramm werden die
Wahrscheinlichkeiten entlang eines
Pfades multipliziert
Führen mehrere Pfade auf ein
günstiges Ereignis, dann werden diese
Wahrscheinlichkeiten wie gewohnt
addiert
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Viel Spaß bei den
Aufgaben!
Weiter geht’s in den
Übungsgruppen…
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