4.3. Wahrscheinlichkeit, einstufige Versuche (Theorie)

Fachgruppe Mathematik der Kantonsschule am Burggraben, St.Gallen
Mathematik-Repetitorium für den Maturastoff
4.3. Wahrscheinlichkeit, einstufige Versuche (Theorie)
Einige Begriffe
Zufallsexperiment
Experiment, dessen Ausgang nicht vorausgesagt werden kann
(Bsp. Versuche, Meinungsumfragen, Glücksspiele wie Würfeln, Münzenwurf, Los ziehen, Kugel aus Urne nehmen, Glücksrad drehen)
Ergebnis
(Elementarereignis)
ein möglicher Ausfall eines Zufallsexperimentes
(z.B. Augenzahl = 5 beim einmaligen Würfeln)
Stichprobenraum
(Ergebnismenge)
Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes
(wird meist mit Ω bezeichnet)
Ereignis
Menge von Ergebnissen mit einer bestimmten Eigenschaft, also eine Teilmenge E des Stichprobenraumes Ω
(z.B. Augenzahl ist ungerade, E = {1,3,5})
Merke:
Ein Ergebnis ist auch ein Ereignis.
Der Stichprobenraum Ω ist das sichere Ereignis, die
leere Menge {} dagegen das unmögliche Ereignis.
Bezeichnungen
(Stichprobenraum Ω, Ereignisse A und B, Ergebnis ω)
ω ∈A
das Ereignis A ist eingetreten, ω ist günstig für A
ω ∉A
ω ∈A ∩ B
ω ∈A ∪ B
das Ereignis A = Ω \ A ist eingetreten (Gegenereignis von A)
das Ereignis „A und B“ ist eingetreten (A und B gleichzeitig)
das Ereignis „A oder B“ ist eingetreten (A oder B oder beide)
__
Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Tritt ein Ereignis E bei n Versuchen k mal ein, so heisst die Zahl h n (E ) =
k
die relative Häufigkeit
n
des Ereignisses E in dieser Versuchsfolge. Die Zahl hn macht also eine Aussage über einen Zufallsversuch, der bereits durchgeführt wurde.
Eigenschaften der relativen Häufigkeit:
•
•
0 ≤ h n (E) ≤ 1
h n (E) = ∑ h n (ω)
ω∈E
•
h n ({}) = 0
h n (Ω ) = 1
h n (A ∪ B) = h n (A ) + h n (B) − h n (A ∩ B)
A ∩ B = {} ⇒ h n (A ∪ B) = h n (A ) + h n (B)
•
h n ( E ) = 1 − h n (E)
•
•
•
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Fachgruppe Mathematik der Kantonsschule am Burggraben, St.Gallen
Mathematik-Repetitorium für den Maturastoff
Die relative Häufigkeit eines Ereignisses stabilisiert sich mit zunehmender Versuchszahl um einen
festen Wert (empirisches Gesetz der grossen Zahlen).
Da stets nur endlich viele Versuche durchgeführt werden können, wird dieser stabile Wert nie erreicht
und kann nicht exakt ermittelt werden. Der Ausweg der Mathematik besteht darin, die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E als der stabile Wert der relativen Häufigkeiten zu interpretieren.
Die Wahrscheinlichkeit wird als Funktion p : Ω → R , E ⊂ Ω a p(E) aufgefasst, die jedem Ereignis
E die Wahrscheinlichkeit p(E) zuordnet. Die Zahl p(E) macht also eine Aussage über einen Versuch,
der erst durchgeführt wird. Die Funktion p wird als Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet.
Definition:
Die Wahrscheinlichkeit p(E) eines Ereignisses E ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse ω in E.
p( E ) =
∑ p(ω)
ω∈E
Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsverteilung p:
•
•
•
•
•
0 ≤ p( E ) ≤ 1
p({}) = 0
p(Ω ) = 1
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
A ∩ B = {} ⇒ p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
•
p( E ) = 1 − p( E )
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Laplace-Wahrscheinlichkeit
Sind bei einem Zufallsexperiment alle Ergebnisse (Elementarereignisse) gleich wahrscheinlich, so
nennt man den Versuch ein Laplace-Experiment. Für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E gilt:
p( E ) =
E
Anzahl für E günstige Ergebnisse
=
Anzahl mögliche Ergebnisse
Ω
Beispiel
Einer Urne mit zwanzig von 1 bis 20 nummerierten Kugeln wird zufällig eine Kugel entnommen. Es
handelt sich um ein Laplace-Experiment, da für jede Kugel die Wahrscheinlichkeit gleich ist. Betrachtet werden die Ereignisse A = „Nummer ist durch 4 teilbar“ und B = „Nummer ist durch 6 teilbar“.
Ω = {1, 2, 3, … , 20}
A = {4,8,12,16,20}
A ∩ B = {12}
p(A ∩ B) =
A ∪ B = {4,6,8,12,16,18,20}
p(A ∩ B) =
__
A∩ B = {6, 18}
B = {6,12,18}
(A ∩ B)
Ω
7
20
__
2
1
p(A∩ B) =
=
20 10
=
1
20