6. Statistik und Wahrscheinlichkeit

Universität Regensburg
Naturwissenschaftliche Fakultät I – Didaktik der Mathematik
Dr. Günter Rothmeier
WS 2008/09
Private Vorlesungsaufzeichnungen
Kein Anspruch auf Vollständigkeit
und Fehlerfreiheit
51 722 Elementarmathematik (LH)
6.
Statistik und Wahrscheinlichkeit
6.1.
Datenerfassung und Darstellung
6.1.1. Definitionen
Die Eigenschaften, die man über Personen oder Sachen erfragt, heißen Merkmale. Eine solche
Umfrage heißt Datenerhebung. Es sind drei Möglichkeiten der Datenerhebung üblich: die Befragung, die Beobachtung und die Analyse.
Als Hilfsmittel zur Datenerhebung kann die Strichliste dienen. Die Anzahl, wie oft ein Merkmal
vorkommt, heißt Häufigkeit. Eine Strichliste kann man deshalb auch Häufigkeitsliste.
6.1.2. Darstellung von Daten
Säulendiagramm
Balkendiagramm
Tabelle.
4
3
2
März
Februar
1
Januar
Jan.
2
März
Februar
Januar
1
Feb.
1
März
4
2 3 4
Diagramme müssen die Häufigkeit möglichst korrekt darstellen. Kommt ein Merkmal doppelt so
häufig vor wie ein anderes, so muss die zugehörige Darstellung auch den doppelten Eindruck vermitteln.
6.2.
6.2.1.
Listen und Tabellen
Urliste
Eine Urliste ist eine ungeordnete Zusammenstellung der Beobachteten Ergebnisse eines
Zufallsversuchs oder einer Datenerhebung.
6.2.2.
Rangliste
Die geordnete Zusammenstellung von beobachteten Ergebnissen wird als Rangliste bezeichnet.
6.2.3.
Strichliste
Eine Strichliste gibt an, wie oft jedes einzelne
Ergebnis auftritt.
3
2
3
2
1
1
5
4
4
3
1
1
1
3
1
3
2
3
2
4
3
4
Zahl
Anzahl
1
III
2
II
3
IIII
4
II
6.3.
6.3.1.
Häufigkeiten
Absolute Häufigkeit
Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein Wert in einer Datenmenge auftritt. Wiederholt man daselbe Zufallsexperiment n-mal und tritt dabei ein Ereignis k-mal auf, so nennt man k die absolute
Häufigkeit
6.3.2.
Relative Häufigkeit
Wiederholt man dasselbe Zufallsexperiment nmal und tritt dabei ein Ereignis k-mal auf, so berechnet man k die relative Häufigkeit so:
6.3.3.
Mittelwert
Summe aller Werte durch Anzahl der Werte
k
absolute Häufigkeiteines Ereignisses
=
n
Gesamtzahl der Zufallsversuche
x =
x1 + x 2 + . . . + xn
n
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6.4.
6.4.1.
Statistische Kenngrößen
Spannweite R
Die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert einer Datenmenge heißt Spannweite R
6.4.2.
Empirische Varianz
Die empirische Varianz V ist ein Maß dafür, wie
weit die Werte um das arithmetische Mittel
streuen
V =
6.4.3.
Empirische Standardabweichung
Sie ergibt sich aus der empirischen Varianz
s=
6.4.4.
Erwartungswert
Wird ein Zufallsexperiment mehrmals durchgeführt, so stabilisiert sich das arithmetische Mittel der
Ergebnisse mit zunehmender Zahl von Experimenten um einen Wert, den Erwartungswert.
6.5.
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
6.5.1.
Zufallsversuch
Ein Zufallsversuch ist ein Vorgang, bei dem genau eines von mehreren möglichen Ergebnissen eintritt.
e1; e2; . . . en
Ergebnisraum (Ergebnismenge)
Menge Ω aller möglichen, einander ausschließender Ergebnisse eines Zufallsexperiments.
Ω = {e1; e2; . . . en}
Ereignis
Jede Teilmenge E des Ergebnisraumes Ω heißt
Ereignis.
E ⊆ Ω
6.5.2.
6.5.3.
(x1 − x)2 + (x 2 − x)2 + . . . + (x1 − x)2
n
V
6.5.4.
Laplace-Experiment
Zufallsexperiment mit endlich vielen Ergebnissen und gleicher Wahrscheinlichkeit.
6.5.5.
Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit P(E) ist ein Maß für das
Eintreten eines bestimmten Ereignisses.
0 =< P(E) =< 1
P(E) =
|E|
|Ω|
6.6.
Spezielle Ereignisse
6.6.1.
Sicheres Ereignis
Ein bestimmteΩs Ereignis tritt bei jeder Durchführung ein.
E=Ω
P(Ω) = 1
Unmögliches Ereignis
Ein bestimmtes Ereignis tritt bei jeder Durchführung niemals ein.
E= ∅
P(E) = 0
6.6.2.
6.6.3.
6.6.4.
Unmögliches Ereignis
Ein Ereignis hat nur ein Ergebnis.
Gegenereignis
Ein Ereignis, das genau dann eintritt, wenn E
nicht eintritt.
E = {e}
E∪ E =Ω
P( E ) = 1 – P(E)
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6.7.
Mehrstufige Zufallsversuche
6.7.1. Definition
Werden n nacheinander ablaufende Zufallsversuche zu einem einzigen Zufallsversuch zusammengefasst, so spricht man von einem n-stufigen Zufallsversuch.
Ein einzelnes Ergebnis eines n-stufigen Zufallsversuchs ist eine „Kette“, die aus n Ergebnissen der
einzelnen Versuche besteht.
6.7.2. Zählprinzip
Gibt es bei der Besetzung von Positionen in fester Reihenfolge bei jeder Position eine bestimmte
Anzahl von Möglichkeiten, so erhält man die Gesamtzahl aller möglichen Besetzungen, indem man
diese Anzahlen miteinander multipliziert.
6.8. Baumdiagramm
6.8.1. Grundbegriff
Alle auftretenden Ergebnisse werden in Form eines Baumes dargestellt.
q1
b1
b2
c1
c2
c3
p1
a1
q2
c4
p2
a2
q3
c5
b3
p1 + p2 = 1
q4
b4
c6
c7
c8
6.8.2. Verzweigungsregel
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten an den
Ästen, die vom selben Verzweigungspunkt
ausgehen, ist stets 1.
p1 + p2 = 1
q1 + q2 = q3 + q4 = 1
6.8.3. Produktregel (1. Pfadregel)
Die Wahrscheinlichkeit P eines Ergebnisses ist
das Produkt der Wahrscheinlichkeiten des Pfades.
p1 + p2 = 1
P(a1, b2 . . .) = p1 ⋅ q2 ⋅ . . .
6.8.4. Summenregel (2. Pfadregel)
Die Wahrscheinlichkeit P eines Ergebnisses ist
gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die für dieses Ereignis günstig sind.
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6.6.5.
Übungsblatt: Statistik und Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 1
1.1
1.2
Würfeln Sie 10 (50; 100)-mal und stellen Sie jedes Mal die Abweichung in der absoluten
und relativen Wahrscheinlichkeit als Bruch und prozentual fest.
Geben Sie Ω an.
Aufgabe 2
2.1
2.2
2.3
Erstellen Sie für ein doppeltes Zufallsexperiment mit zwei Würfeln ein Baumdiagramm.
Führen Sie einen Ast des Baumdiagramms praktisch durch.
Geben Sie die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten an.
Aufgabe 3
3.0
Eine Messreihe hat folgende Messwerte ergeben:
1,25
3.1
3.2
3.3
1,36
1,27
1,30
1,32
1,28
1,26
1,29
Berechnen Sie das arithmetische Mittel.
Welche empirische Varianz ergibt sich.
Geben Sie die Standardabweichung an.
Lösung
Aufgabe 1
Beispiel für 50 Würfe
Anzahl Ereignis
absolute
Häufigkeit
relative
Häufigkeit
Abweichung
1
7
2
9
3
10
4
8
5
6
6
10
7
≈0,14
50
1
≈ 0,167
6
–16,2 %
9
≈0,18
50
1
≈ 0,167
6
+7,8 %
10
≈0,20
50
1
≈ 0,167
6
+19,8 %
8
≈0,16
50
1
≈ 0,167
6
–4,19
6
≈0,12
50
1
≈ 0,167
6
–28,14
10
≈0,20
50
1
≈ 0,167
6
+19,8 %
Aufgabe 2
1
6
1
6
3|2
2
3
1
36
Aufgabe 3
1, 25 + 1,36 + 1, 27 + 1,30 + 1,32 + 1,28 + 1, 26 + 1, 29
=
8
10,33
x = 1,29
x =
8
x =
Arithmetisches Mittel:
Empirische Varianz:
V =
(1, 25 − 1, 29)
2
+ (1, 36 − 1, 29)
2
+ (1, 27 − 1, 29)
2
+ (1, 30 − 1, 29)
2
+ (1, 32 − 1, 29)
2
+ (1, 28 − 1, 29)
8
V =
( −0,04)
2
+ (0, 07)
2
+ ( −0, 02)
2
+ (0, 01)
2
+ (0,03)
2
8
Empirische Standardabweichung: 0,033
+ ( −0, 01)
2
+ ( −0, 03)
2
+ (0)
2
=
0,0089
= 0,0011
8
2
+ (1, 26 − 1, 29)
2
+ (1, 29 − 1, 29)
2