Elektronische Eigenschaften von Halbleitern - KIT

Elektronische Eigenschaften von Halbleitern
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In der Vorlesung “Elektronische Schaltungen” lernen Sie das Verhalten
verschiedener Halbleiterbauelemente kennen:
– Dioden, Bipolare Transistoren, Feldeffekttransistoren
Source: ES-Skript
•
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Warum verhalten sich die Bauelemente so ?
Wie designt man neuartige Bauelemente ?
Elektronische Eigenschaften von Halbleitern
– Das vollständige Ersatzschaltbild einer Diode (benutzt z.B. für
Schaltungssimulationen mit PSPICE):
Source: ES-Skript
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Hier:
– woher kommen die Ersatzschaltbilder
– wie gut stimmen diese mit der Realität überein
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Beweglichkeit von Kristallelektronen
•
Wie bewegen sich Elektronen in Kristallen?
HL
E
makroskopisch:
j = sE
r
ur
j = sE
bzw.
Wie berechnet man σ ??
Geschwindigkeit von Materiewellen
ur
E
Gruppengeschwindigkeit:
vg =
Abb.: Wellenpaket im periodischen Potential
dω
∂ω
bzw.
dk
∂k
Dieser Zusammenhang gilt
auch für Blochelektronen !
Lassen wir also einmal ein elektrisches Feld
auf ein Wellenpaket einwirken ...
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Beschleunigung von Materiewellen
Für die Gruppengeschwindigkeit gilt:
vg =
∂ω 1 ∂E (k )
=
;
∂k h ∂k
Ziel: Ableitung einer Bewegungsgleichung für ein
Elektron im Kristall:
Klassische Änderung der Energie pro infinitesimaler Zeiteinheit:
dE
= F ⋅v
dt
für ein Blochelektron:
dE 1 ∂E (k ) d ( hk )
=
dt 1
h424
∂k3 12
dt3
...um E zu ändern, muss k
geändert werden
vg
D.h. äußere Kraft verschiebt den k-Vektor des
Wellenpaketes gemäß
F
dk 1
= F
dt h
Beschleunigung von Materiewellen
Wie sieht es mit der Beschleunigung aus ?
1 d  ∂E 
a=
=
=
dt
h dt  ∂k 
dv g
1  ∂ 2E  dk
1  ∂ 2E 
= 


F
h  ∂k 2  dt h2  ∂k 2 
Analog zum klassischen F=ma kann also eine Masse des
Blochelektrons definiert werden:
1
1 ∂ 2E ( k )
= 2
*
m
h ∂k 2
bzw.
 ∂ 2E ( k ) 
m* = h 2 

2
 ∂k 
-1
„Masse“ des Kristallelektrons wird bestimmt durch die Bandstruktur !!!
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Elektronen in Kristallen
•
Transporteigenschaften von Kristallelektronen werden bestimmt durch
die Bandstruktur
•
(Gruppen)Geschwindigkeit ist
gegeben durch
vg =
•
1 ∂E (k )
;
h ∂k
Die effektive Masse dieser
Elektronen ist:
 ∂ 2E ( k ) 
m =h 

2
 ∂k 
*
•
W
-1
2
Kristallelektronen benehmen sich
bei Beschleunigung wie Teilchen
der Masse meff!
Beispiel: Kosinusförmiges Band I (W(k)=E(k))
•
Bsp.: kosinusförmiges
Band
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Beispiel: Kosinusförmiges Band II
•
Eine konst. Kraft F
bewirkt das folgende k(t):
in vg(t)
..und in x(t)
•
Nach diesem Modell erwarten wir eine oszillierende Bewegung der
Elektronen (Bloch-Oszillationen) mit einer Periode von ca. 0,8 ps.
Aber: Einfluss von Störungen
•
In einem realen Kristall wird die Bewegung des Elektrons
unterbrochen durch z.B.
– Stöße mit Gitterschwingungen (Wechselwirkung mit Phononen)
– Streuung an Defekten
– Elektron-Elektron-Streuung
•
Die Zeit τ für diese Störungen ist
typischerweise viel kürzer als die
Periode der Bloch-Oszillation.
•
Bloch-Oszillationen können nur in speziell hergestellten künstlichen
Kristallen beobachtet werden.
– THz-Technik
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Ströme in Halbleitern
Strom im Halbleiter:
Abfolge von Phasen der Beschleunigung und abrupten Stößen
Elektronen werden durch den Halbleiter getrieben
„Drift“ströme
Elektronenbahn
ohne/mit Feld
Driftströme
Elektronen werden im Mittel nach der Zeit τ durch
Stoß mit Atomrumpf abrupt abgebremst.
Damit ergibt sich als mittlere Geschwindigkeit:
Damit ergibt sich eine zentrale Größe der
Halbleiterelektronik, die Beweglichkeit µ:
v=
F
qEτ −eEτ
τ= * =
≡ −µ E
m
m
m*
µ=
eτ
m*
Sie ist ein Maß dafür, wie schnell sich ein Elektron im Halbleiter unter
Einwirkung des elektrischen Feldes bewirkt
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Driftströme
Stromdichte durch ein Volumenelement:
j = q ⋅n ⋅v
mittlere Geschwindigkeit
Einheit: m/s
Ladung pro
Teilchen
(Einheit: C)
Dichte der Ladungen
(Einheit: m-3 bzw cm-3)
Die Stromdichte ist direkt proportional zur Beweglichkeit:
j = qnv = qnµF
-hohe Beweglichkeiten
-hohe Stromdichten
-geringe Schaltzeiten
Beweglichkeit in Si, Ge und GaAs
Source:[5]
•
Elektronen hoher Energie haben z.B. eine geringere Beweglichkeit
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GaAs Bandstruktur und Beweglichkeit
•
Die effektive Masse der
Ladungsträger ist eine
Funktion des k-Wertes und
des Bandes.
•
Die Zeitkonstante τ ist
ebenfalls nicht konstant.
Deshalb ist die
Beweglichkeit nicht für alle
Elektronenzustände gleich.
•
Si Bandstruktur und Beweglichkeit
•
•
•
•
Die Träger relaxieren durch
Stöße zu den niedrig
gelegenen Zuständen im Band.
Deshalb heißt τ auch
Intrabandimpulsrelaxationszeit.
Die Elektronenbeweglichkeit im
Leitungsband ist bei Si kleiner
als bei GaAs.
Dies sieht man an der
geringeren Bandkrümmung im
Minimum.
µ=
et
m eff
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Halbleiter mit hoher Beweglichkeit
Für Hochfrequenzbauelemente
(optische Nachrichtentechnik,
Mobilfunk) sind die Si-Elektronen
u. U. nicht schnell genug.
Erforschung und Einsatz von
anderen Halbleitermaterialien
z.B. GaAs, SiGe
Chipfabrik Frankfurt/Oder:
Aus für Frankfurter Chipfabrik - Communicant AG geht
in Liquidation
Beweglichkeiten
Die Beweglichkeit ist nicht naturgegeben:
Wird bestimmt durch:
- Reinheit des Halbleiters (wenige Streuprozesse)
- Wahl des Materials
- den k-Zustand (Energie) des Elektrons
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Beweglichkeiten in anderen Materialien
A typical device consists of 3 layers
+ + + + + + + +
Beweglichkeiten:
+
+
-
teilweise nur 10-8cm2/Vs
–
– – – – – – – –
Beweglichkeit in Si, Ge und GaAs
v = −µ E
µ=
et
m eff
Source:[5]
•
Für kleine Feldstärken ist die Beweglichkeit der Ladungsträger und
damit die effektive Masse ungefähr konstant. In diesem Bereich ist die
Parabelnäherung zur Bandstruktur anwendbar.
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Parabolische Näherung
•
•
Da die Bandstruktur in diesen Bereichen symmetrisch ist, können wir
sie durch eine Parabel annähern.
Die Elektronen verhalten sich wie freie Elektronen mit einer
konstanten effektiven Masse.
Direkter Halbleiter
z.B. GaAs
Indirekter Halbleiter
z.B. Si, Ge
Parabolische Näherung
me,h: Effektive Elektron(Loch)masse
r
r qE
a=
me , h
r
1
1 ∂ 2 En ( k )
=
me h 2 ∂k 2
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Parabelnäherung: Löcherbewegung
- Strombeiträge einzelner Elektronen in einem vollbesetzten Band
kompensieren sich paarweise:
- Strom wird nur getragen von teilweise gefüllten Bändern
Autobahn-Analogie
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•
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Wir wollen Pakete per Auto von Karlsruhe nach Frankfurt bringen.
Jedes Auto kann ein Paket mitnehmen.
Wenn wir kein Auto haben, können wir nichts transportieren.
Je mehr Autos wir auf die Straße schicken, desto mehr Pakete
können wir transportieren.
•
Aber wenn alles voll
ist, geht auch nichts
mehr!
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Primitives Bändermodell
•
Für die meisten Berechnungen in Halbleiterbauelementen sind nur
wenige Bänder wichtig:
– die (fast) gefüllten Bänder mit der höchsten Energie
– die (fast) leeren Bänder mit der niedrigsten Energie
•
Die Bandstruktur wird dann in einem vereinfachten Bändermodell
dargestellt:
EC
EG
EV
Primitives Bändermodell
•
Für die meisten Berechnungen in Halbleiterbauelementen sind nur
wenige Bänder wichtig:
– die (fast) gefüllten Bänder mit der höchsten Energie
– die (fast) leeren Bänder mit der niedrigsten Energie
•
Die Bandstruktur wird dann in einem vereinfachten Bändermodell
dargestellt:
EC: Minimum des Leitungsbands
(Conduction band)
EC
EV: Maximum des Valenzbandes
(Valence band)
EG
EV
EG: Energielücke
(Energy gap)
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Besetzung der Bänder mit Elektronen
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Die Verteilung von Elektronen auf die Bänder sieht bei Metallen,
Halbleitern und Isolatoren bei Raumtemperatur folgendermaßen aus:
Source: B. Van Zeghbroeck
Defektelektronen (Löcher) im Valenzband
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Anstatt die vielen unbeweglichen (im Stau stehenden) Elektronen im
Valenzband zu betrachten, ist es einfacher die wenigen beweglichen
Defektelektronen (Löcher) zu analysieren.
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Berechnung der Leitfähigkeit
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Quantitativ wird die Leitfähigkeit σ berechnet durch:
Anzahl der
Defektelektronen
im Valenzband
Ladung des Elektrons
Beweglichkeit der
Ladungsträger im
Leitungsband
•
Anzahl der
Ladungsträger im
Leitungsband
Beweglichkeit der
Ladungsträger im
Valenzband
Wie kommen die Elektronen bei Halbleitern eigentlich ins
Leitungsband und wie viele gibt es dort?
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