Übung (11) Erster Block: Die laufende Übung 11, die in der ersten Übung nach den Weihnachtsferien besprochen wird und abzugeben ist, neben den Arbeiten zum zweiten (Wiederholungs-) Block 1. Sie haben einen Test, mit dem Sie erkennen, ob Werkstücke einer bestimmten Sorte in Ordnung sind oder eben defekt. Aber dieser Test funktioniert nicht sicher, er ist ein wenig grob und diagnostiziert mit Wahrscheinlichkeit 0.1 ein defektes Stück als ’brauchbar’ (und mit Wahrscheinlichkeit 0.9 korrekt als ’defekt’) und ebenso mit Wahrscheinlichkeit 0.1 ein brauchbares Stück als ’defekt’ (und entsprechend mit Wahrscheinlichkeit 0.9 korrekt als ’brauchbar’). Hinweis: Bei dieser Aufgabe kommt es auch darauf an, dass Sie (so wenig wie möglich und so viel wie nötig) selbständig symbolische Bezeichnungen wählen - die Sie natürlich auch kurz erklären müssen. (a) Wenn unter allen in Frage kommenden Werkstücken 5% defekte sind und ein zufällig gewähltes Stück das Testergebnis ’brauchbar’ bekommt: Wie sicher sind Sie dann, dass es tatsächlich brauchbar ist? (b) Dieselbe Frage, nur mit der Voraussetzung, dass 70% aller Werkstücke tatsächlich defekt sind. (c) Was wird mit den Resultaten von a,b illustriert? Kommentieren Sie ein wenig die Resultate. (d) Dieselben Fragen wie bei a und b, aber unter der Voraussetzung, dass der Test viel besser ist und nach beiden Richtungen nur mit Wahrscheinlichkeit 0.01 ein falsches Resultat liefert. (e) Denken Sie darüber nach, ob es immer so sein muss, dass eine falsche Diagnose auf ’defekt’ und eine falsche auf ’brauchbar’ (wofür irgendein Merkmal und sein Komplement stehen könnte) gleiche Wahrscheinlichkeit haben müssen. Finden Sie Beispiele, in denen das nicht so ist? 2. Es wird eine Münze 20 mal geworfen. Bei jedem Wurf kann sich entweder ’Kopf’ oder ’Zahl’ ereignen. (a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass kein einziger Wurf ’Kopf’ ergibt. (b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zehn mal oder genau 11 mal ’Kopf’ kommt. (c) Schreiben Sie die Summe hin (mit großem Summenzeichen bitte), welche die Wahrscheinlichkeit dafür ergibt, dass höchstens 12 mal ’Kopf’ unter den 20 Würfen kommt. (d) Rechnen Sie letztere Wahrscheinlichkeit näherungsweise mittels Normalverteilung aus - bitte mit Stetigkeitskorrektur. Vielleicht können Sie einen sehr genauen Wert der Summe aus c mit einem Computeralgebraprogramm ermitteln und die Genauigkeit der Näherung über die Normalverteilung anschauen. 3. In einer Urne liegen 40 Kugeln, davon sind 20 weiß und 20 schwarz. Gezogen werden zufällig 20 Kugeln aus der Urne, aber ohne Zurücklegen. Rechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür aus, dass von den gezogenen Kugeln genau 10 oder genau 11 weiß sind. Zusatzfrage: Worin liegt der Unterschied zu 1.b? Welche Frage wäre mit 1b bezüglich dieser Urne bereits beantwortet? 4. Zeichnen Sie die Binomialverteilung mit n = 4, p = 12 auf, einmal als Stabdiagramm, sodann den Graphen der Verteilungsfunktion FB(n,p) . Hinweis: Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X ist definiert durch FX (a) := P (X ≤ a) . Entsprechend ist FB(n,p) dasselbe wir FX für eine Variable X, welche (n, p) − binomialverteilt ist. 5. Es sei p1 = P (40 ≤ X ≤ 60) für eine Variable X, welche binomialverteilt ist mit nX = 100, pX = 12 . Ferner sei p2 = P (400 ≤ Y ≤ 600) für eine binomialverteilte Variable Y mit nY = 1000, pY = 12 . Können Sie vorab einen Grund dafür angeben, dass p1 = p2 , und welche die größere ist? Bestätigen Sie durch Näherungsrechnung über Normalverteilung. 6. Es seien X, Y unabhängige Variablen, auf derselben Ergebnismenge Ω definiert. Es seien µ (X) = 2, µ (Y ) = −3, σ (X) = 4, σ (Y ) = 5. Berechnen Sie: (a) µ (3X − 2Y ) (b) σ (3X − 2Y ) (n) (n) (n) ,σ X (dabei ist X der arithmetische Mittelwert von n unabhängig beobachteten Werten (c) µ X von X, bei n− maliger unabhängiger Wiederholung des zugehörigen Experiments). 1 (n) (n) (m) (m) und σ X − Y . (d) Berechnen Sie µ X − Y Zweiter Block: Aufgaben zur Wiederholung - ein Hinweis zur Klausur: Diese wird 4-6 Aufgaben vom Kaliber der folgenden (nicht mit so vielen Unterpunkten wie hier zum Teil) enthalten. Die Klausur wird aber mindestens eine größere Aufgabe aus dem Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung enthalten. Wo hier schwierigere Fragen auftauchen, wird das gesagt. −3 1 1. Es sei A = . 1 −2 (a) Begründen Sie ohne Rechnung, dass A durch eine orthogonale Matrix diagonalisiert werden kann. (b) Geben Sie eine orthogonale Matrix S und eine Diagonalmatrix D an, so dass D = S T AS. − → → → (c) Was können Sie über die Stabilität des Gleichgewichtspunktes 0 bei der DGL − y ′ (t) = A− y (t) sagen? − → → T − (d) Was können Sie über die Quadrik sagen, welche durch die Gleichung x A x = −1 definiert ist? Zusatzfrage: → → Welche Lösungsmenge hat die Gleichung − x T A− x = 1? 2. Von einer reellen symmetrischen Matrix A sei bekannt: Die Eigenwerte von A sind λ1,2 = −2, 3. Der Vektor T (1, 4) ist Eigenvektor von A zum Eigenwert −2. (a) Rekonstruieren Sie daraus die Matrix A selbst. − → → → (b) Was können Sie über die Stabilität des Gleichgewichtspunktes 0 bei der DGL − y ′ (t) = A− y (t) sagen? − → − → ′ (c) Geben Sie die allgemeine Lösung von y (t) = A y (t) an. → → x = 1 beschrieben? (Geben Sie auch die Gestalt der (d) Was für eine Quadrik ist mit der Gleichung − x T A− Gleichung im diagonalisierenden System.) Zeichnen Sie diese Quadrik grob mit richtiger Lage in das ur→ → sprüngliche System − e 1, − e 2 ein. 1 −2 0 3. Betrachten Sie die Matrix A = 1 −1 1 . 0 0 j 2 (a) Rechnen Sie nach, dass 1 − j ein Eigenvektor von A ist, und ersehen Sie daraus auch den zugehörigen 0 Eigenwert. (b) Berechnen Sie das charakteristische Polynom von A, und bestimmen Sie alle Eigenwerte von A. (c) Ist A diagonalisierbar über C? (Begründen Sie Ihre Antwort.) → 4. Betrachten Sie die Kurvenschar (a > 0 ist der Scharparameter) − x a (t) = t 2 e−at , t ∈ R. (a) Skizzieren Sie grob etwa zwei Exemplare der Kurven, und deuten Sie an, zu welchem Exemplar der größere Wert von a gehört. (b) Berechnen Sie allgemein für a > 0 die Krümmung mit Vorzeichen, κsign,a (t) . Welche Eigenschaften der Krümmung, die man intuitiv auch erraten hätte, können Sie mit dem Rechenausdruck für κsign,a (t) bestätigen? (Es handelt sich um das Vorzeichen sowie das Verhalten für t → ±∞, dazu um die Sonderrolle von κsign,a (0) und dann allgemeiner um die Frage nach Extrema. (Den Rest der letzteren Frage sollten Sie qualitativ beantworten können; wenn Sie das eingehender behandeln können und damit die Frage qualitativ exakt beantworten können und nebenbei sehen, dass quantiativ nur numerisch etwas zu machen ist, dann ist das sehr schön.) 2 → − (c) Berechnen Sie eine Parameterdarstellung für die Evolute − y→ x a , auch dies allgemein für a, und skizzieren Sie grob den typischen Verlauf. Hinweis: Sie sollten die Parametrisierung explizit angeben und ein paar grobe Aspekte davon betrachten, insbesondere die Stellen sehen, an denen man ins Unendliche verschwindet. → Aber versuchen Sie eine grobe Skizze auf intuitve Weise, von der Kurve − x a selbst ausgehend. (Das ist nicht so leicht!) Vielleicht können Sie mit einem Computeralgebraprogramm zeichnen und bestätigen bzw. korrigieren, was Sie gedacht haben. cos (t) → 5. Betrachten Sie die Kurve − x (t) = sin (2t) , t ∈ R. t (a) Finden Sie heraus, wie die Bahn der Kurve aussieht (Hinweis: Betrachten Sie zunächst nur die Projektion auf die xy− Ebene.) (b) Was erwarten Sie für die absolute Krümmung κ (t) vorab? Berechnen Sie diese, und versuchen Sie Ihre Erwartungen bestätigt zu finden oder zu korrigieren. Hinweis: Es genügt ein gewisser Teil, insbesondere sollten Sie aber herausfinden, wo die Krümmung Null wird. Die Frage nach Extrema beantworten Sie am einfachsten mit einer Computeralgebrazeichnung des Graphen von κ (t) . (c) Formulieren Sie ebenso Vorerwartungen für die Torsion. Berechnen Sie die Torsion τ (t) . Wo wird sie Null? Was können Sie noch erkennen? (Letztere Frage ist wieder nicht so leicht.) − → → 6. (a) Berechnen Sie ein Potential für das Vektorfeld f − x = 1 − → − → x für − x ∈ R2 (wo existiert das?). Beantworten → x − → Sie damit folgende Fragen noch: (i) Welche Arbeit müssen Sie gegen das Kraftfeld f verrichten, um vom Punkt (1, 2) zum Punkt (2, 1) zu gelangen? (ii) Dieselbe Frage für (1, 2) , (3, 3) . − → → − → − 1 − → − → → 3 (b) Berechnen Sie ein Potential für f − x , für x ∈ R und damit natürlich auch für f x ∈ R3 . x = − − 3 → x (Es handelt sich hier um ein physikalisch realistisches Beispiel, kennen Sie so etwas?) 7. Beantworten Sie die Extremwertfrage für das Skalarfeld s (x, y) = x arctan (y). 8. Beantworten Sie die Extremwertfrage für das Skalarfeld s (x, y) = (x + y)2 + e−x 2 3 −y 2 .