Praktikumsbericht

Universität Konstanz
Fachbereich Physik, SS 2012
Wheatstonesche Brücke &
Elektrolytischer Trog
Physikalisches Anfängerpraktikum 2
René Sedlak, Simon Hönl
Tutor: Felix Book
Versuchsdatum: 15./22. 05.2012, Abgabedatum: 29.05.2012
Praktikumsbericht
AP-Bericht „Wheatstonesche Brücke & Elektrolytischer Trog“ – René Sedlak, Simon Hönl
Inhaltsverzeichnis
1.
3.
Grundlagen ...................................................................................................................................... 2
1.1
Einführung und Ziel des Versuchs ........................................................................................... 2
1.2
Die Kirchhoffschen Gesetze..................................................................................................... 2
1.3
Ohmsches Gesetz .................................................................................................................... 2
1.4
Gleich- und Wechselstromwiderstände .................................................................................. 4
1.5
Phasenbeziehung zwischen Strom und Spannung .................................................................. 7
1.6
Wheatstonesche Brückenschaltung ...................................................................................... 10
1.7
Elektrostatik........................................................................................................................... 13
1.8
Elektrolytischer Trog.............................................................................................................. 14
1.9
Elektronenoptik ..................................................................................................................... 15
1.10
Fragen „Wheatstonesche Brücke“ ........................................................................................ 18
1.11
Fragen „Elektrolytischer Trog“ .............................................................................................. 21
Auswertung „Wheatstonesche Brücke“ ........................................................................................ 23
2.1
Versuchsdurchführung und Messwerte ................................................................................ 23
2.2
Berechnung der unbekannten Induktivitäten, Kapazitäten und Ohmschen Widerstände ... 24
4.
Auswertung „Elektrolytischer Trog“ .............................................................................................. 25
5.
Fehlerrechnung ............................................................................................................................. 26
5.1
Fehlerrechnung „Wheatstonesche Brücke“ .......................................................................... 26
5.2
Fehlerdiskussion „Elektrolytischer Trog“ .............................................................................. 28
Quellenverzeichnis ................................................................................................................................ 28
1
1. Grundlagen
1.1 Einführung und Ziel des Versuchs
Die Wheatstonesche Brücke ist eine Schaltung, mit der Ohmsche Widerstände,
Kapazitäten und Induktivitäten unbekannter Bauteile bestimmt werden können. Das
Prinzip beruht hierbei auf den Kirchhoffschen Gesetzen für Spannung und Stromstärke
in einem Stromkreis. Durch Vergleich mit Bauteilen, deren Werte bekannt sind, können
die fehlenden Größen auf einfache Weise berechnet werden.
Der Elektrolytische Trog dient der Veranschaulichung elektrischer Felder von
verschiedenen Elektrodenbauarten. Das Potential in der Umgebung verschiedenster
Elektroden wird gemessen und aufgezeichnet.
1.2 Die Kirchhoffschen Gesetze
Die Kirchhoffschen Gesetze beschreiben, wie sich Spannung und Stromstärke in
verzweigten Stromkreisen verhalten.
Die Knotenregel besagt, dass in einem Verzweigungspunkt im Stromkreis die Summe
der abfließenden Ströme gleich der Summe der zufließenden Ströme ist. Die
Gesamtsumme aller Ströme durch den Verzweigungspunkt ist also gleich Null.
= 0
Die Maschenregel sagt aus, dass die Summe aller Teilspannungen in einem
geschlossenen Stromkreis gleich der außen anliegenden Generatorspannung ist.
= Liegt keine äußere Spannung an, so ist die Summe der Teilspannungen natürlich gleich
Null.
1.3 Ohmsches Gesetz
Die Spannung U, die Stromstärke I und der Widerstand R sind die drei elementaren
Größen der Elektrotechnik. Der Widerstand R ist definiert als
2
= .
Die Spannung ist also direkt proportional zur Stromstärke .
≔
Einheitenbetrachtung
Spannung U
1V
1 Volt
Stromstärke I
1A
1 Ampère
Widerstand R
1 Ohm
1 =1Ω
Der Ohmsche Widerstand eines Drahtes hängt von seiner Länge, seiner
Querschnittsfläche und einer spezifischen Materialkonstante ab.
Die Einheit der Materialkonstante, auch spezifischer Widerstand genannt, ist
[] = 1 Ωm².
=∙
Reihenschaltung von Ohmschen Widerständen:
Abbildung 1: Reihenschaltung von Widerständen
Sind mehrere Widerstände in Reihe geschaltet, so ist der Gesamtwiderstand
= Parallelschaltung von Ohmschen Widerständen:
Abbildung 2: Parallelschaltung von Widerständen
3
Im Falle einer Parallelschaltung der Widerstände gilt die Formel:
1
1
=
1.4 Gleich- und Wechselstromwiderstände
Bei Gleichstrom ist der Widerstand eines Kondensators unendlich groß. Der
Gleichstromwiderstand einer Spule ist gleich ihrem Ohmschen Widerstand. Bei
Wechselstrom ändert sich dies.
Hierfür wird der Wechselstromwiderstand eingeführt, auch Reaktanz genannt. Er
besitzt dieselbe Einheit wie der Gleichstromwiderstand.
Die Reaktanz eines Ohmschen Widerstands ist gleich seinem Gleichstromwiderstand.
= Eine ideale Spule– also ohne Ohmschen Widerstand– mit der Induktivität besitzt
unter Wechselstrom der Frequenz mit ! = 2# ∙ den Wechselstromwiderstand
$ = !
Herleitung:
Für die induzierte Spannung % in einer idealen Spule gilt die Beziehung
% &' = − ∙ )
Aus der Maschenregel des Kirchhoffschen Gesetzes folgt
&' + % &' = 0
cos ! − ∙ ) = 0
&' = /
cos ! .
=
.
cos !
. =
sin !
!
⟹ =
$ =
!
=
= !
!
4
Man spricht auch von ihrer Induktanz.
Ein Kondensator mit Kapazität 3 hat bei Wechselstrom mit Kreisfrequenz ! den
Wechselstromwiderstand
1
4 =
!3
, auch Kapazitanz genannt.
Herleitung:
daher:
&' = ∙ sin !
5&' = 5
∙ sin !
&' = 5) &' = ! ∙ 5
∙ cos ! = ! ∙ 3 ∙ ∙ cos ! = ∙ cos !
⟹ = ! ∙ 3 ∙ 4 =
1
=
=
! ∙ ∙ 3 !3
Nun soll noch ein wichtiger allgemeiner Fall betrachtet werden, die LCR-Schaltung. In
einem Wechselstromkreis werden ein Ohmscher Widerstand R, ein Kondensator der
Kapazität C und eine Spule der Induktivität L in Reihe geschalten.
Abbildung 3: LCR-Schaltung
5
Es soll nun der Gesamtwiderstand Z ermittelt werden.
Man wählt den Ansatz
&' = ∙ 6 %78
&' = ∙ 6 %&789:'
Aus der Maschenregel der Kirchhoffschen Gesetze folgt, dass die Summe aus äußerer
Spannung und durch die Spule induzierter Spannung gleich der Summe der Spannungen
an Kondensator und Ohmschem Widerstand sein muss.
+ %; = 4 + =
Einsetzen von &' und &':
5
.
+ ∙ + ∙ ) <
3
.
. .
.=
= + ∙+∙ =
.
. 3 .
∙ 6 %&789:'
+ >!
∙ 6 %&789:' ∙ + ∙ > = != ∙ 6 %&789:'
3
1
>!
∙ 6 %78 = ∙ 6 %&789:' ? + >! − != @
3
>!
∙ 6 %78 =
1
= 6 9%: ?
+ − >!@
>!3
A = 6 9%: B + > ∙ ?! −
1
@C
!3
Man sieht, dass der Gesamtwiderstand eine komplexe Größe ist. Die Darstellung auf der
komplexen Zahlenebene erfolgt im folgenden Kapitel.
Der Betrag des Gesamtwiderstands, auch als Scheinwiderstand oder Impedanz
bezeichnet, berechnet sich stur nach den Rechenregeln für komplexe Zahlen.
also
|A| = E6&A'= + F&A'=
|A| = G = + ?! −
1 =
@
!3
6
1.5 Phasenbeziehung zwischen Strom und Spannung
Solange nur Ohmsche Widerstände beteiligt sind, sind Spannung und Stromstärke in
Phase, d.h. ihre Phasenverschiebung beträgt 0°. Bei Kondensator und Spule sind diese
beiden Funktionen jedoch phasenverschoben. Üblicherweise wird in solchen Fällen ein
Zeigerdiagramm zur Darstellung der Funktionen verwendet.
Spule:
Bei einer Spule wird der einsetzende Stromfluss durch die Selbstinduktion behindert.
Man sagt, der Strom „hinkt der Spannung hinterher“. Die Phasenverschiebung beträgt
K
H$ = 90° = = .
Abbildung 4: Phasendiagramm Spule
Ein praktisches Hilfsmittel bieten hier die komplexen Zahlen. Die
Wechselstromwiderstände werden mithilfe eines Zeigerdiagramms auf der komplexen
Zahlenebene ausgedrückt. Die Phasenverschiebung H$ zwischen Strom und Spannung
ist im polaren Koordinatensystem der komplexen Zahlenebene der Winkel zur reellen
Achse.
Da bei einer idealen Spule die Phasenverschiebung 90° beträgt, ist der Realteil der
kompexen Zahl $ gleich Null. Der Betrag des induktiven Widerstands ist !, also gilt:
$ = >!
Abbildung 5: Zeigerdiagramm Spule
7
Kondensator:
Beim Kondensator muss zuerst Strom fließen, um ihn aufzuladen und damit eine
Spannung zu erzeugen, also hinkt diesmal die Spannung dem Strom hinterher. Die
K
Phasenverschiebung beträgt hier H4 = −90° = − .
=
Abbildung 6:Phasendiagramm Kondensator
Analog wie bei der Spule wird auch hier der Wechselstromwiderstand auf die komplexe
Zahlenebene übertragen, sein Vektor erstreckt sich nur in diesem Fall in Richtung
negative Imaginärachse.
4 = −>
1
1
=
!3 >!3
Abbildung 7: Zeigerdiagramm Kondensator
LCR-Schaltung:
Im vorigen Kapitel wurde die Impedanz bei einer Reihenschaltung von Ohmschem
Widerstand, Spule und Kondensator hergeleitet. Nun soll noch die Phasenbeziehung von
Spannung und Stromstärke betrachtet werden.
Bei den beiden einfachen vorangegangenen Fällen einer idealen Spule bzw. eines
Kondensators wurde deutlich, dass die Phasenverschiebung zwischen Spannung und
8
Stromstärke auf der komplexen Zahlenebene dem Winkel H zwischen dem Vektor des
Gesamtwiderstands und der reellen Achse entspricht.
Die komplexe Größe A kann ganz einfach auf die komplexe Zahlenebene übertragen
werden:
Abbildung 8: Zeigerdiagramm LCR-Schaltung
Für den Winkel H$4 gilt nun
tan H$4
1
F&A' ! − !3
=
=
6&A'
9
1.6 Wheatstonesche Brückenschaltung
Bestimmung Ohmscher Widerstände
Abbildung 9: Brückenschaltung zur Bestimmung von Ohmschen Widerständen
Bei Ohmschen Widerständen genügt schon Gleichstrom. Rx ist der unbekannte
Widerstand, der Widerstand R ist bekannt. Der Schleifkontakt des Potentiometers
(grüne Linie) wird verschoben, bis das Voltmeter zwischen Punkt C und Punkt D keinen
Ausschlag mehr anzeigt, zwischen C und D also keine Spannungsdifferenz mehr
vorhanden ist. Die Spannung in C ist also gleich der Spannung in D.
4 = N
Im Folgenden wird der Ohmsche Widerstand des Streckenabschnitts O mit P und der
Ohmsche Widerstand des Streckenabschnitts − O mit Q benannt. Nach den
Kirchhoffschen Gesetzen gilt:
4 =
Q
=
= N
P + Q
+ R
Q R + Q = P + Q P R
=
Q
10
Aus Kapitel 1.3 wissen wir, wie der Ohmsche Widerstand eines Drahtes auszurechnen
ist:
O
= R
−O
O
R
=
−O
R = ∙
Also
O
−O
Bestimmung von Kapazitäten
Abbildung 10: Brückenschaltung zur Bestimmung von Kapazitäten
3R ist die unbekannte Kapazität, die Kapazität C ist bekannt. Da die Kondensatoren bei
Gleichstrom eine Unterbrechung des Stromkreises darstellen, ist hier Wechselstrom
vonnöten. Wieder wird der Schleifkontakt verschoben, bis mit dem Kopfhörer keine
Spannungsdifferenz mehr festgestellt werden kann (also nichts mehr gehört werden
kann). Wie oben kann nun das Verhältnis der Wechselstromwiderstände bestimmt
werden.
1
O
R !3R
=
=
1
−O
!3
11
⟹ 3R = 3 ∙
O
−O
Bestimmung von Induktivitäten
Abbildung 11: Brückenschaltung zur Bestimmung von Induktivitäten
Auch bei der Bestimmung der unbekannten Induktivität R ist selbstverständlich
Wechselstrom vonnöten. Die Vorgehensweise ist dieselbe wie zuvor: der Schleifkontakt
wird solange verschoben, bis das hörbare Lautstärkeminimum die Potentialgleichheit
anzeigt.
R !R
O
=
=
!
−O
⟹ R = ∙
O
−O
Man muss beachten, dass die Spulen keine idealen, sondern reale Spulen sind, d.h. da sie
aus Draht gewickelt sind, besitzen sie auch einen Ohmschen Widerstand. In die
Schaltung ist ein regelbarer Ohmscher Phasenausgleichswiderstand integriert. Mit ihm
wird das Verhältnis der Ohmschen Widerstände verändert, bis die Phasenverschiebung
zwischen Spannung und Stromstärke bei beiden Spulen gleich ist. So ist die Spannung in
jeder LR-Kombination phasengleich mit der Spannung am Ohmschen Widerstand und
die Formeln können ohne Probleme angewendet werden.
12
1.7 Elektrostatik
Die Elektrostatik beschäftigt sich mit den Wechselwirkungen nicht bewegter
Ladungen. Elektrische Ladungen können positiv oder negativ sein. Ladungen
gleichen Vorzeichens stoßen sich ab, Ladungen verschiedenen Vorzeichens
ziehen sich an. Zwischen zwei Ladungen S und S= wirkt die sogenannte
Coulomb-Kraft.
TU =
W
:
r :
6UY :
1 S ∙ S=
∙
∙ 6UY
4#W
X=
elektrische Feldkonstante (≈ 8,85 ∙ 109=
^
Abstand zwischen den Ladungen
_
)
Einheitsvektor in Richtung der Verbindungsstrecke der Ladungen
Um die Kräfte, in der Umgebung eines geladenen Teilchens, zu erfassen, wird die
elektrische Feldstärke àU &XU' eingeführt. Sie beschreibt die Kraft, die durch die
felderzeugende Ladung5 auf die sich im Abstand XU befindliche Probeladung S
wirkt.
àU &XU' =
1
5
TU
=
∙ = ∙ 6UY
S 4#W
X
Der Verlauf der Feldstärke wird durch Feldlinien beschrieben, die stets vom
Pluspol zum Minuspol verlaufen. Elektrische Feldlinien schneiden sich nicht.
Das Superpositionsprinzip besagt, dass sich die elektrischen Feldstärken
mehrerer Quellen in einem beliebigen Punkt einfach addieren.
Elektrische Felder sind in der Elektrostatik konservativ, d.h. die Arbeit, um von
einem Punkt zum anderen Punkt zu gelangen, ist wegunabhängig. Das
geschlossene Linienintegral ist Null. Jedem Punkt P kann also ein Potential H&b'
zugeordnet werden.
c
H&b' = / àU ∙ .
d
Im Unendlichen wird das Potential Null.
Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten P1 und P2 wird als Spannung U
bezeichnet.
de
= = H&b= ' − H&b ' = / àU ∙ .
Einheit: gh = 1i = 1i
df
13
Um eine Probeladung S vom Punkt P1 zum Punkt P2 zu bringen, muss die Arbeit
j= = S ∙ ∆H = S ∙ =
aufgewendet werden.
Außerdem ist das elektrische Feld der negative Gradient des Potentials.
àU &XU' = −∇H&XU'
Alle Punkte, die auf dem gleichen Potential liegen, bilden eine Äquipotentiallinie.
Die Äquipotentiallinien stehen senkrecht auf den Feldlinien. Dies hilft uns bei
diesem Versuch, die Feldlinien zu bestimmen.
1.8 Elektrolytischer Trog
Der elektrolytische Trog dient dazu, den Verlauf der elektrischen Feldlinien
verschiedener Elektrodenanordnungen aufzuzeichnen. Die Elektroden werden in
ein Wasserbecken getaucht und eine Spannung angelegt. Mit einer
verschiebbaren Elektrode werden nun die Äquipotentiallinien bestimmt, indem
eine gewisse Spannung eingestellt wird und mithilfe eines Nullinstruments der
Nullausschlag gesucht wird. Die verschiebbare Elektrode ist mit einem
Zeichenstift verbunden, der automatisch mitbewegt wird. Mit einem
Drahtauslöser hinterlässt er einen Punkt auf dem Papier und zeichnet so
maßstabsgetreu die Äquipotentiallinien ein.
Das Einstellen verschiedener Spannungen ist durch den Einsatz eines
Stromteilers möglich. Der einfachste Fall – zwei verschiedene Spannungen – ist
hier dargestellt.
14
Abbildung 12: Spannungsteiler
Die Widerstände sind in Reihe geschalten, also ist die Stromstärke überall gleich.
Durch die Kirchhoffschen Gesetze ergibt sich:
= ∙
= = ∙
+ =
=
+ =
In diesem Versuch wird von der stromlosen Messung Gebrauch gemacht. Ein
Spannungsmessgerät an der verschiebbaren Elektrode misst, wann die
Potentialdifferenz Null wird, denn dann ist die am Spannungsteiler eingestellte
Spannung im Feld „gefunden“.
Bei genauerem Hinsehen fallen einem gewisse Parallelen der Elektrostatik und –
dynamik zur Strömungsmechanik auf. Die Spannung verhält sich wie der
hydrodynamische Druck, dem Stromfluss entspricht die Menge an Flüssigkeit.
1.9 Elektronenoptik
In der Elektronenoptik bedient man sich Elektronenstrahlen, um höhere
Auflösungen zu erzielen, als es mit Licht möglich wäre. Der Grund dafür ist, das
die Ausmaße von Elektronen viel kleiner als die optischen Wellenlängen ist.
Sämtliche optischen Hilfmittel, wie Linsen oder Filter, können mithilfe
elektrostatischer und magnetischer Kräfte effizienter nachgebaut werden.
So wie eine optische Linse einen Lichtstrahl bündelt oder aufweitet, vermag es
die elektrostatische Linse, einen Elektronenstrahl zu bündeln oder aufzuweiten.
15
Der Elektronenstrahl wird durch zwei Lochblenden gelenkt, die unterschiedliche
Potentiale besitzen. So werden die Elektronen durch das sich verdichtende oder
sich ausweitende elektrische Feld näher zusammengeführt oder auseinander
gezogen, da durch das inhomogene Feld die äußeren Elektronen eine andere
Beschleunigung als die inneren Elektronen erfahren.
Abbildung 13:Elektronenkanone
Die Abbildung zeigt das Schema einer Elektronenkanone, mit der ein
Elektronenstrahl erzeugt werden kann. Die Glühwendel werden durch die
Heizspannung m aufgeheizt, sodass durch den glühelektrischen Effekt freie
Elektronen austreten. Sind die Elektronen schnell genug, so treten sie in das
elektrische Feld an, das mit der Beschleunigungsspannung n zwischen der
Kathode 2 und der Anode 3 anliegt. Die negativ geladenen Elektronen werden
von der negativen Kathode abgestoßen und gleichzeitig von der positiv
geladenen Anode angezogen und so in dem Kondensator beschleunigt. Durch ein
Loch in der Anode tritt der Elektronenstrahl schließlich aus.
Die elektrische Energie wird in Bewegungsenergie umgewandelt, also gilt nach
dem Energieerhaltungssatz:
1
F p = = 6 ∙ n
2 o
26n
p=G
Fo
Die Kathode 2 heißt auch Wehnelt-Zylinder und dient der Elektronenbündelung.
Da er negativ geladen ist, schaffen es nur die schnellsten Elektronen mit
passender
Bewegungsrichtung
durch
den
Durchgang
in
die
Beschleunigungsstrecke. Damit werden die Elektronen gebündelt beschleunigt
und „treffen“ auch durch das Loch in der Anode.
Ein weiteres elektronenoptisches Hilfsmittel ist das Spektrometer für qStrahlung. Es dient dazu, die Geschwindigkeit von q-Strahlung, also Elektronen,
zu bestimmen. Der Elektronenstrahl wird in ein Magnetfeld B geleitet, dessen
Feldlinien senkrecht zur Bewegungsrichtung verlaufen. Durch die Lorentzkraft
16
wird er dadurch auf eine Kreisbahn gezwungen, deren Radius von der
Geschwindigkeit der Elektronen abhängt.
Fo ∙ p =
=6∙p∙r
X
X=
Fo ∙ p
6∙r
So besitzen Elektronen, die am gleichen Ort ankommen, die gleiche
Geschwindigkeit. Auf diese Art kann man also auch Elektronen einer bestimmten
kinetischen Energie herausfiltern.
Eine weitere Möglichkeit, Elektronen oder Ionen einer festen Geschwindigkeit
herauszufiltern, ist der Wienscher Filter. Ein elektrisches Feld und ein
magnetisches Feld werden so überlagert, dass Coulombkraft und Lorentzkraft,
die auf das geladene Teilchen wirken, entgegengesetzt verlaufen. Für eine
bestimmte Geschwindigkeit v ergibt sich ein Kräftegleichgewicht der beiden
Kräfte und das Teilchen verlässt den Filter unabgelenkt durch eine Lochblende.
Tos = T$
S∙ =S∙p∙r
p=
r
Die gewünschte Geschwindigkeit v kann also durch Regelung der
Kondensatorspannung U oder der magnetischen Flussdichte B eingestellt
werden.
Um eine unbekannte Substanz zu identifizieren, z.B. in der Kriminaltechnik,
bedient man sich eines Massenspektrometers. Die Substanz wird ionisiert und
vorbeschleunigt in den Wienschen Filter geschossen. Teilchen gleicher
Geschwindigkeit treten aus und treten anschließend in ein magnetisches Feld ein,
in dem sie auf die charakteristische Kreisbahn gelangen und nach einem
Halbkreis auf eine Platte auftreffen, an der sich der Radius ablesen lässt.
X=
F∙p
undp =
S∙r
r
S
=
F X ∙ r=
17
Über das charakteristische Verhältnis
v
_
kann der Stoff bestimmt werden.
Mittels Elektronenoptik wurde auch die Mikroskopie revolutioniert. Es gibt zwei
wesentliche Varianten des Elektronenmikroskops, das TransmissionsElektronenmikroskop (TEM) und das Rasterelektronenmikroskop (REM). Bei
beiden Anordnungen wird ein Elektronenstrahl durch obige Verfahrenstechniken
erzeugt, gebündelt und auf die Probe geschossen.
Beim TEM werden die Elektronen des Strahls entweder durch elastische Stöße
mit den Atomkernen der Probe oder inelastischen Stößen mit den Elektronen der
Probe gestreut und dadurch abgelenkt oder gehen ungehindert durch die Probe
durch. Durch Linsensysteme wird das „Beugungsbild“ auf einen Schirm
abgebildet und die Probe kann somit vergrößert betrachtet werden.
Das REM tastet die Probe mit dem Elektronenstrahl ab, der durch
Ablenkkondensatoren bewegt werden kann. Die auftreffenden Elektronen lösen
aus der Probe Sekundärelektronen aus, die registriert und letztendlich in ein
Bildschirmsignal umgewandelt werden.
1.10
Fragen „Wheatstonesche Brücke“
1. „Messbereichserweiterung“: Sie haben ein Spannungsmessgerät, das bei einer
Spannung von 1 V Vollausschlag anzeigt und einen Innenwiderstand von
% = 100wΩ besitzt. Weiterhin steht Ihnen ein Sortiment verschiedenster Ohmscher
Widerstände zur Verfügung. Wie können Sie damit den Messbereich so erweitern,
dass eine Spannung von 100 V gerade Vollausschlag ergibt?
Um den Messbereich zu erweitern, ist ein Vorwiderstand x erforderlich, der vor das
Spannungsmessgerät geschalten wird. In einer Reihenschaltung ist der Strom konstant,
eine Erhöhung des Widerstandes y führt zu einer Spannungserhöhung.
y =
= . =
xzY{oY P|{{oY
=
%
y
P|{{oY ∙ % 100i ∙ 100000Ω
=
= 10}Ω
xzY{oY
1i
x = y − % = 10}Ω − 100wΩ = 9,9}Ω
Es muss ein Widerstand von x = 9,9}Ω vor das Messgerät geschalten werden.
2. Leiten Sie mit Hilfe der Kirchhoffschen Gesetze her, dass
a) bei einer Reihenschaltung von Widerständen der Gesamtwiderstand gleich der
Summe der Einzelwiderstände ist.
b) bei einer Parallelschaltung von Widerständen der Kehrwert des
Gesamtwiderstands gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände ist.
a)
18
Es seien w Widerstände in Reihe geschalten. Dann gilt nach der Maschenregel der
Kirchhoffschen Gesetze für die Teilspannungen und die außen anliegende
Gesamtspannung :
= Also gilt bei konstanter Stromstärke :
yo^
b)
=
1
=
= ∙ = Nun seien w Widerstände parallel geschalten. Da gemäß der Knotenregel an einem
Verzweigungspunkt keine Ladungen erzeugt oder vernichtet werden, gilt für die
Gesamtstromstärke und die hinter jedem Widerstand fließende Teilstromstärke :
= In einer Parallelschaltung ist die Spannung konstant, also folgt:
1
yo^
1
1
=
=
= 3. Stellen Sie die Wechselstromwiderstände in der komplexen Ebene dar und
diskutieren Sie die Bedeutung des „Phasenausgleichswiderstand“ x in der
komplexen Widerstandsebene.
Darstellung der Wechselstromwiderstände
Abbildungen 5,7 und 8.
in
der
komplexen
Ebene:
siehe
Der Phasenausgleichswiderstand x kompensiert die durch die Induktivitäten
hervorgerufene Phasenverschiebung. Die Formel hierfür lautet:
R
R
=
+ x
4. Stellen Sie eine Differentialgleichung für Spannung und Strom an einer
Hintereinanderschaltung von Induktivität L, Kapazität C und Ohmschem
Widerstand R auf. Zeigen Sie, dass der komplexe Ansatz
19
&' = ∙ 6 %78
&' = ∙ 6 %&789:'
eine Lösung darstellt und dass gilt:
tan H =
! −
1
!3
1 =
G
= A = ² + ?! −
@
!3
Wie erhält man aus den komplexen Größen die „wirklichen“ Werte für Spannung
und Strom?
Die Herleitung wurde im Grundlagenteil erbracht (Kapitel 1.4). Die „wirklichen“
Werte für Spannung und Strom erhält man durch den Ansatz
&' = sin !
&' = sin&! − H'
5. Beweisen Sie, dass der Messfehler minimal wird, wenn der Schleifkontakt nach dem
Nullabgleich gerade in der Mitte des Drahtes liegt.
Der relative Fehler beim Widerstand berechnet sich nach den Regeln der
Fehlerrechnung zu:
Es gilt: R = s9R
R
s9R

<+<
<
< <=<
R
s9R
R
s9R
∙ s9R ∙ R + ∙ R ∙ s9R
⟹ || = || ∙ ?<
<+<
<@ = <
<=
R
s9R
R ∙ s9R
∙ & − R ' ∙ R + ∙ R ∙ R
= ∙ R
=€
€=€
€
R ∙ & − R '
R ∙ − R=
Der Bruch wird minimal, wenn der Nenner maximal wird. Also wird dessen Maximum
ausgerechnet.
.
.
1
1
|| =
&R ∙ − R= ' = − 2R = 0 ⟺ R = ⟺ s9R = = R
.R
.R
2
2
Die Widerstände der beiden Teilstrecken müssen gleichgroß sein. Um den Messfehler
minimal zu halten, müssen die Teilstrecken somit gleich lang sein, der Schleifkontakt
also in der Mitte des Drahtes liegen.
20
6. Warum wird die Messung der Induktivität ungenauer, wenn man den zusätzlichen
Widerstand x nicht je nach Bedarf immer nur in einen der beiden Zweige schaltet,
sondern ihn als Potentiometer betreibt?
In diesem Fall wird der Phasenausgleichswiderstand an den Nullabgleich gekoppelt,
man muss also zwei variable Größen (Phasenausgleich und Nullabgleich) zugleich nach
dem Minimum absuchen. Dadurch, dass nicht an einem, sondern an zwei „Rädchen
herumgedreht“ werden muss, wird die Suche erheblich schwerer und das Ergebnis
ungenauer. Die nun feineren Nuancen im Lautstärkeunterschied können vom
menschlichen Gehör nicht mehr hinreichend genau wahrgenommen werden.
7. Welche Bedeutung hat die spezielle Kreisfrequenz
1
!
=
√3
offenbar in Gleichung (4.7.30)?
Setzt man die spezielle Kreisfrequenz in die Formel der Impedanz ein, fällt auf, dass die
Wechselstromwiderstände verschwinden und nur noch der Ohmsche Widerstand gilt.
A = G = + ?!
−
=
1
√3
@ = G = + B
−
C = ƒ = + „ G − G … = E = = !
3
3
3
3
√3
=
=
Die andere Formel zeigt, dass auch die Phasenverschiebung verschwindet.
tan H =
1.11
!
−
1
!
3
† − †
3
3
=
=0⇔H=0
Fragen „Elektrolytischer Trog“
1. Warum benutzt man bei Messungen am elektrolytischen Trog zweckmäßigerweise
Wechselspannung und nicht Gleichspannung?
Bei Gleichspannung würden sich mit der Zeit Ablagerungen an den Elektroden bilden, auch
Debye-Schicht genannt. Diese würde für einen Spannungsabfall verursachen. Bei
Wechselspannung scheiden sich keine Ablagerungen ab.
2. Beweisen Sie, dass bei der koaxialen Elektrodenanordnung die folgende Beziehung
gilt:
`&X' = ./X
21
mit
` = elektrische Feldstärke
X = Abstand vom Mittelpunkt der Elektrodenanordnung
Im Lösungshinweis ist die Formel Formel zur Verschiebungsdichte ‰ eines Zyklinders
der Länge Š, der Ladung 5 und dem Radius X gegeben.
‰&X' =
5
2# ∙ X ∙ Š
Außerdem ist die Beziehung zwischen Verschiebungsdichte und elektrischer Feldstärke
gegeben.
⟹ `&X' =
‰ = W
∙ WY ∙ `
5
1
1
‰
=
∙ ∶= w ∙
X
W
∙ WY W
∙ WY ∙ 2# ∙ Š X
Die Ladung 5 und die Länge Š sind konstant, also lässt sich der gesamte Quotient als
Konstante w definieren. `&X' ist somit proportional zu .
Y
2. Unter welchen Voraussetzungen gibt es Feldlinien, die beim Dreielektrodensystem
direkt von der einen äußeren Elektrode zur anderen äußeren Elektrode verlaufen?
Die Feldlinien müssen so verlaufen, wie sie es ohne die mittlere Platte täten. Deswegen
muss das Potential der mittleren Platte gleich dem Potential der Äquipotentiallinie am
gleichen Ort bei Abwesenheit der mittleren Platte sein. Gemäß der Formel
`=
ergibt sich dann
mit
.
._ ∙ y
_ y
=
⟹ _ =
._ .y
.y
_ :
Potential der mittleren Elektrode bzgl. der rechten (linken) Elektrode
._ :
Abstand der mittleren Elektrode zur rechten (linken) Elektrode
y :
.y :
Potential zwischen den äußeren Elektroden
Abstand der beiden äußeren Elektroden
22
4. Welche Veränderung der Äquipotentiallinien erwarten Sie, wenn Sie bei der
Elektrodenanordnung aus Punkt 4 der Versuchsdurchführung an den kreisrunden
Leiter ein Potential zwischen den beiden Potentialen der äußeren Elektroden anlegen?
Welchem Stromlinienverlauf aus der Strömungsmechanik entsprechen diese
Äquipotentiallinien?
Die Äquipotentiallinien entsprechen dem Stromlinienverlauf einer laminaren Strömung,
die einen kreisrunden Körper umfließen. Es gibt keine Verwirbelungen. Legt man nun
ein Potential zwischen den beiden äußeren Potentialen an den kreisrunden Leiter, so
umfließen ihn die Äquipotentiallinien noch immer, allerdings verlaufen sie immer
weniger parallel, da mit zunehmendem Potential des Kreisrings allmählich auch die
entfernteren Linien bereits in seine Richtung gekrümmt werden.
3. Auswertung „Wheatstonesche Brücke“
2.1 Versuchsdurchführung und Messwerte
Es wurden die oben beschriebenen Schaltungen verwendet. Die Länge des Drahtes
beträgt 1m. Der Schieberegler wurde jeweils so weit verschoben, bis das
Spannungsmessgerät keinen Ausschlag mehr anzeigte, bzw. das akustische Signal der
Kopfhörer am leisesten wurde.
Jede Messung wurde fünfmal wiederholt, d.h. der Schieberegler wurde wieder zurück in
die Mitte geschoben und das Minimum erneut gesucht. Durch die Mittelung der Werte
x1-x5 ergibt sich ein genaueres Messergebnis.
In der folgenden Tabelle sind die Wegstrecken angegeben, bei denen die Minima für je
drei verschiedene Ohmsche Widerstände, Spulen und Kondensatoren zu verzeichnen
waren.
Für R1 und R3 wurden 100 Ω als Vergleichswiderstand verwendet, bei R2 1000 Ω.
Die Vergleichsinduktivität betrug 8,6 mH.
Als Vergleichskapazität dienten 4,66 µF.
R1
R2
R3
x1 [cm]
56,1
37,4
61,1
x2 [cm]
56,1
37,1
60,9
x3 [cm]
56,2
37,1
61,0
x4 [cm]
56,1
37,2
61,0
x5 [cm]
56,2
37,2
61,0
L1
L2
L3
25,0
77,5
89,0
22,0
77,7
88,6
23,0
78,3
88,4
22,5
77,9
88,3
23,2
78,2
88,6
C1
C2
C3
51,9
58,0
60,6
51,7
58,1
60,7
51,7
58,2
60,4
51,7
58,2
60,5
51,7
58,1
60,6
23
2.2 Berechnung der unbekannten Induktivitäten, Kapazitäten und
Ohmschen Widerstände
Mit den oben hergeleiteten Formeln werden nun die Werte der Ohmschen Widerstände,
Kapazitäten und Induktivitäten berechnet. Diese sind zur Erinnerung:
Ohmscher Widerstand:
Kapazität:
R = ∙
O
−O
⟹ 3R = 3 ∙
Induktivität:
⟹ R = ∙
R1
R2
R3
127,8
597,4
157,1
L1
L2
L3
5,03
6,44
7,17
C1
C2
C3
2,87
29,6
69,6
O
−O
O
−O
Errechnete Werte für R, L und C
Œ gŽh
127,8
128,3
127,8
589,8
589,8
592,4
155,8
156,4
156,4
 gμ’h
5,00
5,00
5,00
6,46
6,49
6,49
7,20
7,11
7,14
” g•–h
2,43
2,57
2,50
30,0
31,0
30,3
66,8
65,5
64,9
128,3
592,4
156,4
5,00
6,46
7,17
2,60
30,8
66,8
Die Werte der unbekannten Bauteile betragen also:
Ohmsche Widerstände:
R1:
R2:
R3:
= 128&3'Ω
= = 592&13'Ω
˜ = 156&4'Ω
Kondensatoren:
24
R gŽh
128,0
592,4
156,4
3R̅ gμ’h
5,00
6,47
7,16
R g•–h
2,6
30,4
66,7
C1:
C2:
C3:
3 = 5,00&9'μF
3= = 6,47&7'μF
3˜ = 7,16&6'μF
L1:
L2:
L3:
= 2,6&3'mH
= = 30&4'mH
˜ = 667&14'mH
Spulen:
4. Auswertung „Elektrolytischer Trog“
Mithilfe des elektrolytischen Trogs wurden die Äquipotential- und Feldlinien für die
folgenden Elektrodenanordnungen bestimmt:
•
zwei koaxiale zylinderförmige Elektroden
•
eine Spitze gegenüber einer ebenen Elektrode
•
Dreielektrodensystem, einmal mit dem Potential der mittleren Elektrode
zwischen den Potentialen der äußeren Elektroden, einmal mit dem Potential der
mittleren Elektrode größer als die Potentiale der äußeren Elektroden
•
kreisrunder Leiter im homogenen elektrischen Feld zwischen zwei ebenen
Elektroden
Die Bilder der Feldlinien liegen als Anhang bei.
Für den Fall der koaxialen Elektrodenanordnung soll noch das Potential als Funktion
über dem Radius aufgetragen werden. Die prozentualen Angaben bei Einstellen des
Widerstands geben an, welcher Anteil der Gesamtspannung von 11 Volt jeweils anliegt.
Radius [cm]
2,7
6,0
8,7
14,0
Spannungsanteil
90 %
50 %
30 %
0%
Potential [V]
9,9
6,5
3,3
0,0
25
Abbildung 14: logarithmische Abhängigkeit des Potentials vom Radius
5. Fehlerrechnung
5.1
Fehlerrechnung „Wheatstonesche Brücke“
Die errechneten Werte für die Bauteile wurden jeweils aus fünf Werten gemittelt.
Deshalb empfiehlt es sich, die Standardabweichungen zu betrachten, die Aussage über
die wahre Breite der Messwerteverteilung machen. Die Formel für die
Standardabweichung ist:
1
žR = ƒ
&O% − O̅ '=
&Ÿ − 1'
%
Mittelwerte und Standardabweichungen der errechneten Werte
Gemittelter Wert
Standardabweichung
R1
= 128,0Ω
0,28
R2
= = 592,4Ω
3,11
R3
˜ = 156,4Ω
0,46
L1
= 5,00mH
0,17
L2
= = 6,47mH
0,59
L3
˜ = 7,16mH
1,80
26
3 = 2,59μF
3= = 30,4μF
3˜ = 66,7μF
C1
C2
C3
0,02
0,02
0,03
Für die Ohmschen Widerstände und die Kondensatoren wird ein Messfehler von
|O| = 0,5F angenommen. Bei den Spulen konnten die Minima weniger genau
lokalisiert werden, der mögliche Bereich eines akustischen Minimums war breiter.
Deshalb wird für die Spulen ein Messfehler von |O| = 2,0F veranschlagt.
Nach den Regeln der Fehlerfortpflanzung ergeben sich für die Messfehler von R, L und C
die folgenden Formeln:
R = <
¡R
< ∙ O = ∙
∙ O
¡O
& − O'²
¡R
< ∙ O = ∙
∙ O
R = <
& − O'=
¡O
¡3R
3R = <
< ∙ O = 3 ∙ ∙ O
¡O
O²
R1
R2
R3
Fehlerbetrachtung Ohmsche Widerstände
R
Relativer FehlerR /R
2,6 Ω
2,0 %
12,7 Ω
2,1 %
3,3 Ω
2,1 %
L1
L2
L3
Fehlerbetrachtung Induktivitäten
R
Relativer FehlerR /R
0,29 mH
11,2 %
3,53 mH
11,6 %
13,2 mH
19,8 %
C1
C2
C3
Fehlerbetrachtung Kapazitäten
3R
Relativer Fehler3R /3R
0,09 µF
1,8 %
0,07 µF
1,1 %
0,06 µF
0,8 %
Man sieht, dass die Bestimmung der Induktivitäten am ungenauesten ist. Das liegt daran,
dass mit dem Phasenausgleichswiderstand eine zusätzliche Größe geregelt werden
muss, um die Phasenverschiebung zu kompensieren. Per Hand ist dies natürlich nur
bedingt möglich. Desweiteren verliert das menschliche Gehör bei sehr leisen Signalen an
27
Genauigkeit. Durch äußere Störgeräusche, wie die beachtliche Anzahl sich
unterhaltender Physik-Studenten im Zimmer, verschlechtern das Ergebnis zusätzlich.
Ob die Länge des Drahtes exakt 100 cm beträgt, ist ebenfalls fraglich, auch kann nicht
ausgeschlossen werden, dass der Draht durch häufiges Schieben des Reglers bereits
Schaden genommen hat. Es ist uns zudem aufgefallen, dass der Kontakt am
Schieberegler nicht immer am Draht anliegt und des Öfteren an ihn herangedrückt
werden muss. Die dadurch entstehenden Spannungsschwankungen haben
möglicherweise die Genauigkeit des Spannungsmessgerätes beeinträchtigt. Dennoch
sind zumindest die Fehler bei der R- und C-Bestimmung im akzeptablen Bereich.
5.2
Fehlerdiskussion „Elektrolytischer Trog“
Eine bedeutende Fehlerquelle stellt die Messsonde, die nur aus einem Draht besteht,
dar, da er sich schon oft durch versehentliches Berühren der Elektroden verbogen hat
und deswegen nicht mehr gerade war. In den Verlauf der Feld- und Äquipotentiallinien
haben sich durch die Freihandzeichnung viele Ungenauigkeiten eingeschlichen. Durch
die Krümmung ist auch nicht gewährleistet, dass die Feldlinien perfekt senkrecht auf
den Äquipotentiallinien stehen. Desweiteren war der Nullausschlag des
Zeigerinstruments nicht immer eindeutig festzustellen, weswegen auch hier ein
gewisser Fehlerbereich entsteht. Im Allgemeinen haben sich jedoch sehr gute
Feldlinienverläufe ergeben, die der Realität nahekommen.
Quellenverzeichnis
•
Bernd-Uwe Runge: "Script - Physikalisches Anfängerpraktikum", S.
•
Bernd-Uwe Runge: "Script - Physikalisches Anfängerpraktikum", S. 651 – 667
•
http://wikipedia.org
•
http://leifiphysik.de
•
http://static.cosmiq.de/data/de/314/f0/314f0ec9773a1bd7e1a6245935edfb1f_1_ori
g.jpg
•
http://www.hobby-bastelecke.de/bilder/schaltungen/spannungsteiler1.gif
28