Stochastik I, HU Berlin, SS 2013

Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
Prof. Dr. U. Horst
Stochastik I SS 2013
Übungsblatt 11
1.
[Lindeberg-Bedingung, Feller-Bedingung]
Für n ∈ N seien Xn ∈ L2 (Ω, A, P) unabhängige Zufallsvariablen sowie σn2 = Var[Xn ] > 0 und
sn :=
n
X
!1
2
σk2
.
k=1
Zeigen Sie:
(a) Erfüllt die Folge (Xn ) die Bedingung a) für die zentrale Grenzwerteigenschaft (Satz
5.2), so erfüllt (Xn ) auch die Lyapunov-Bedingung, d.h. es gilt:
n
P
es gibt ein δ > 0, so dass lim
E |Xk − E[Xk ]|2+δ
k=1
n→∞
s2+δ
n
= 0,
und damit auch die Lindeberg-Bedingung.
(b) Erfüllt die Folge (Xn ) die Lindeberg-Bedingung, so erfüllt (Xn ) auch die Feller-Bedingung,
es gilt also:
σk
= 0.
1≤k≤n sn
lim max
n→∞
2.
[Lindeberg-Bedingung, Lyapunov-Bedingung]
Es seien (Yn )n∈N unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit E[Yn ] = 0 und
Var[Yn ] = 1 für alle n ∈ N. Weiter sei Xn,l := √Ynl für n ∈ N und 1 ≤ l ≤ n. Zeigen Sie, dass
(Xn,l )1≤l≤n die Lindeberg-Bedingung erfüllt und geben Sie eine Integrabilitätsbedingung an
Y1 an, so dass (Xn,l )1≤l≤n auch die Lyapunov-Bedingung erfüllt.
3.
[Schema von Zufallsvariablen]
Definition: Für n ∈ N seien Xn,1 , . . . , Xn,n reelle Zufallsvariablen. Man nennt
(Xn,l ) = (Xn,l : 1 ≤ l ≤ n, n ∈ N)
ein Schema von Zufallsvariablen und definiert stets Sn = Xn,1 +. . .+Xn,n als die Zeilensumme.
Das Schema heißt
• unabhängig, falls für jedes n ∈ N die Familie (Xn,l )1≤l≤n unabhängig ist;
• zentriert, falls Xn,l ∈ L1 (Ω, A, P) und E[Xn,l ] = 0 für alle n ∈ N und 1 ≤ l ≤ n;
• normiert, falls Xn,l ∈ L2 (Ω, A, P) und
n
P
l=1
Var[Xn,l ] = 1 für jedes n ∈ N.
Ein zentriertes Schema heißt asymptotisch vernachlässigbar, falls für jedes ε > 0 gilt:
lim max P(|Xn,l | > ε) = 0.
n→∞ 1≤l≤n
Zeigen Sie: Gilt für ein unabhängiges, zentriertes und normiertes Schema (Xn,l ) die LindebergBedingung, so ist (Xn,l ) asymptotisch vernachlässigbar.
4.
[Zentraler Grenzwertsatz]
(a) Es sei (Xn )n∈N eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen mit
P (Xn = 0) = 2−n ,
1
P (Xn = 1) = P (Xn = −1) = (1 − 2−n )
2
für alle n ∈ N. Zeigen Sie, dass für die Folge der Xn der zentrale Grenzwertsatz gilt.
(b) In jedem Jahr werden in Deutschland etwa 700.000 Babys geboren. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Neugeborenes ein Junge ist, beträgt ca. 0,51. In welchen Grenzen wird
sich die relative Anzahl der Jungen mit Wahrscheinlichkeit 0,9 (0,95; 0,99) befinden?