Document

GravitationsFELD, GravitationsFELDSTÄRKE g(r)
3.1.2 Gravitationsfeld
Bisher: Newtonsches Gravitationsgesetz F = G ⋅
erklärt beschreibt Gravitationskraft
zwischen zwei Massepunkten
im Abstand r („Fernwirkung“)
m1
m2
r
F21
1
♦ Universum besteht
nicht nur aus
zwei Massepunkten
m1 ⋅ m2
r2
r
F12
3
5
2
N Massepunkte
4
Bsp.: 5 Körper - auf Körper Nr. 5 wirken
4 Kräfte:
r
1) Sonne
Apfel
F
r15
2) Erde
Apfel
F
r25
3) Mond
Apfel
F
r35
4) Jupiter
Apfel
F
45
r
mm
r
i) Körper "i"
Körper "j" F = G i 2 j ⋅ (− eij )
ij
rij
Allgemein: Gesamt-Kraft auf Körper "j":
Vektorsumme der Kräfte aller anderen Körper ("i") auf "j":
r r r
r
r

m r 
rij = rj − ri r
Fj = ∑ Fij = m j  − G ∑ 2i eij 
Fij
i≠ j
i ≠ j rij


r
ri
Einheitsvektor i
j:
r
r r
r
rij rj − ri
y
rj
r
eij = r = r r
rij rj − ri
0
x
Jeder Körper übt anziehende Kraft
auf jeden anderen Körper aus
„Fernwirkungskraft“
♦ Feldkonzept – Kraftwirkung wird in 2 Schritten modelliert
FELD:
Eigenschaft des Raumes
beschrieben als math. Funktion des Orts (-vektors)
Körper erzeugt im Raum ein Gravitationsfeld
das Gravitationsfeld wirkt auf Körper
r r
r
r
−r


r
m
r
r
r
eij = rj ri
F j = m j  − G ∑ 2i eij  = m j ⋅ g (rj ) ,
rj − ri
i ≠ j rij


m r
m
r r
r r
g (rj ) = −G ∑ 2i eij = −G ∑ r ir 3 (rj − ri )
i ≠ j rij
i ≠ j r j − ri
r r
r
g (rj ): Gravitationsfeldstärke am Ort rj
r r
Erinnerung: An der Erdoberfl. ist g (rj ) ≈ 9,81 m/s² !
Erde ist bekanntlich nicht punktförmig
(Erdradius RE ≈ 6370 km)
Warum können wir die Gravitationsfeldstärke auf
der Oberfläche berechnen …
…wie wenn die ganze Erdmasse in einem
Massenpunkt im Abstand 6370 km wäre?
Newton
hat zur Beantwortung dieser Frage erst
einmal die Differential- und
Integralrechnung erfunden!
Wie kann Gravitationsfeldstärke bei beliebigen
Massenanordnungen berechnet werden?
g(r)
FELD-Berechnung bei kontinuierlicher Massenvertlg.
Kugelsymmetrische Massenverteilung
r
r
Dichte hängt nur von r ′ = r ′ ab: ρ = ρ( r ′ )
AUSSENRAUM
dV'
r
r
d F = m⋅d g
r
r
Fres
F2 m
mE
m
r
r′
F1
© 1997 kr
FH HN
Kräfte ⊥ zur Verb.-Linie zum Mittelpunkt heben sich weg!
Gesamtkraft entspr. Kraft zw. Punktmassen
m ⋅m
F =G E2
mit r = Abst. der Mittelpunkte
r
Ohne Beweis … (siehe auch E-Statik, Gauß’scher Satz!)
Punktmassen
Kontinuum
Massepunkte
r
mi bei ri
erzeugen Feld
infinitesimale Massenelemente
r
r
d m′ = ρ(r ′) ⋅ d V ′ bei r ′
erzeugen Feld
Summe über Massen i:
∑K
i≠ j
r
Feldstärke bei rj :
r r
rj − ri
r r
g (rj ) = −G ∑ r r 3 mi
i ≠ j r j − ri
INNENRAUM
Hohlkugel mit homogener
Massenbelegung
m1
F1
m
© 1997 kr r1
FH HN
F2
r
Integral : ∫ Kd m′
r
Feldstärke bei r :
r r
r − r′
r r
r
g (r ) = −G ∫ r r 3 ⋅ ρ(r ′) d V ′
1
4
24
3
Vol.
r − r′
= d m′ !
Fläche
A1 ~ r12
A2 ~ r22
Masse
m1 ~ A1 ~ r12
r m
F1 ~ 21
r1
r
r/12
F1 = const . ⋅ 2
r/1
r
r
F1 = F2 ,
m2 ~ A2 ~ r22
r m
F2 ~ 22
r2
r
r/22
F2 = const . ⋅ 2
r/2
r r r
F1 + F2 = 0 !
Kräfte
res. Kraft
Körper im Innenraum ist KRÄFTEFREI !
Vergl. elektr. Feld einer homogen geladenen Kugelschale!
m2
Feld im Innern einer massiven Kugel
Vollkugel, Dichte ρ = ρ(r ′)
Masse m bei Radius r
Äußere Kugelschalen ( r ′ > r )
bewirken keine Kraft auf Masse
im Innern!
Auf m wirkt nur (Grav.-) Kraft
der Innenkugel ( r ′ < r )
 m

F = m ⋅  G Innenk.

2
r 

r
m
r
mit mInnenk. = ∫ ρ(r ′) d V ′ = ∫ ρ(r ′) ⋅ 4πr ′2 d r ′
0
Spezialfall: Homogene Kugel ( ρ = const .)
r
1
1
1
F = m ⋅ G 2 mInnenk . = m ⋅ G 2 ρ ∫ 4πr ′2 d r ′ = m ⋅ G 2 ρ ⋅ (43 πr 3 )
r
r 0
r
F (r ) = m ⋅ G ⋅ ρ ⋅ 43 π ⋅ r
Kraft nimmt linear mit r zu!
Annahme: Erde sei homogenen Kugel …
Kraft an Oberfläche (r = RE ):
oder:
F = m⋅ g
F ( RE ) = m ⋅ G ⋅ ρ ⋅ 43 π ⋅ RE
r
F (r ) = m ⋅ g
RE
Wie bewegt sich ein Körper unter dem Einfluss
einer solchen linearen Kraft ?
Wie lange dauert die Reise von HN nach NZ
auf dem „direkten“ Weg?
Vergl. elektr. Feld einer homogen geladenen Vollkugel!