8. Übungsblatt

Prof. T. Grundhöfer
Sommersemester 2016
Übungen zur Lie-Theorie
Blatt 8
(Abgabe Mittwoch 22. Juni)
22. Sei A eine (nicht notwendig assoziative) R-Algebra von endlicher Dimension. Eine Derivation von A ist eine R-lineare Abbildung δ : A → A mit δ(xy) = xδ(y) + δ(x)y für alle
x, y ∈ A. Zeigen Sie:
(a) Die Gruppe G = {g ∈ GL(A) | g(xy) = g(x)g(y) für alle x, y ∈ A} aller R-linearen
Automorphismen von A ist eine abgeschlossene Untergruppe von GL(A), und die
zugehörige Lie-Algebra L(G) besteht genau aus den Derivationen von A. Insbesondere
bilden die Derivationen von A eine Lie-Unteralgebra von gl(A).
(b) Jede Derivation von R oder C ist trivial (d.h. konstant 0). Die Derivationen von H
sind genau die "inneren Derivationen", d.h. die Abbildungen x 7→ ax − xa mit a ∈ H,
und diese bilden eine zu o3 R isomorphe Lie-Algebra (vgl. Aufgabe 11c).
23. Seien I und J Ideale einer Lie-Algebra L. Zeigen Sie:
P
(a) Die Menge [I, J] := { tk=1 [ik , jk ] | t ∈ N, ik ∈ I, jk ∈ J} ist ein Ideal von L.
(b) Für jedes n ∈ N ist die n-te Kommutatoralgebra I (n) ein Ideal von L.
(c) L ist genau dann auflösbar, wenn I und L/I auflösbar sind.
(d) Sind I und J auflösbar, so ist auch I + J ein auflösbares Ideal von L.
24. Beweisen Sie die folgenden Behauptungen für n ≥ 2.
(a) Für jeden kommutativen Körper F der Charakteristik 0 ist sln F eine einfache LieAlgebra (d.h. es gibt kein nicht-triviales echtes Ideal).
Hinweis: Sei Eij die Matrix mit dem Eintrag 1 an der Stelle (i, j) und dem Eintrag
0 an allen anderen Stellen. Berechnen Sie [[X, Eij ], Eij ] für eine beliebige Matrix X
sowie die Kommutatoren [Eij , Ejk ].
(b) Die Lie-Algebra sun C ist einfach.
1
Hinweis: Folgern Sie aus der Gleichung x = 21 (x − xtransp ) + i 2i
(x + xtransp ) die
Beziehung sln C = sun C ⊕ i sun C und benutzen Sie (a).
Die Übungen zur Vorlesung werden von Dmitri Nedrenco geleitet und finden montags ab 10.00 Uhr im
Raum SE 30 statt. Abgabe Ihrer schriftlichen Lösungen: mittwochs vor Beginn der Vorlesung. Maximal
zwei Übungsteilnehmer dürfen zusammen ein Lösungsblatt erstellen. Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen
auf Ihr Lösungsblatt.
Die Übungsblätter gibt es auch unter http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/∼nedrenco.
Exercises on Lie theory
Assignment 8
(due on Wednesday 22 June)
22. Let A be a (possibly not associative) R-algebra of finite dimension. A derivation of A is
an R-linear mapping δ : A → A such that δ(xy) = xδ(y) + δ(x)y for all x, y ∈ A. Prove
the following assertions:
(a) The group G = {g ∈ GL(A) | g(xy) = g(x)g(y) for all x, y ∈ A} of all R-linear
automorphisms of A is a closed subgroup of GL(A), and the corresponding Lie algebra
L(G) consists of all derivations of A. In particular, the derivations of A form a Lie
subalgebra of gl(A).
(b) Every derivation of R or C is trivial (i.e. constant with value 0). The derivations of
H are the ‘inner derivations’, i.e. the mappings x 7→ ax − xa with a ∈ H, and these
mappings form a Lie algebra isomorphic to o3 R (compare Exercise 11c).
23. Let I and J be ideals of a Lie algebra L. Prove the following assertions:
P
(a) The set [I, J] := { tk=1 [ik , jk ] | t ∈ N, ik ∈ I, jk ∈ J} is an ideal of L.
(b) For every n ∈ N the n-th commutator subalgebra I (n) is an ideal of L.
(c) L is solvable if, and only if, I and L/I are solvable.
(d) If I and J are solvable, then also I + J is a solvable ideal of L.
24. Prove the following assertions for n ≥ 2.
(a) For every field F of characteristic 0 the Lie algebra sln F is simple (i.e. there exists no
nontrivial proper ideal).
Hint: Let Eij be the matrix with entry 1 at the position (i, j) and entry 0 at all
other positions. Compute [[X, Eij ], Eij ] for an arbitrary matrix X as well as the
commutators [Eij , Ejk ].
(b) The Lie algebra sun C is simple.
1
Hint: Deduce from x = 21 (x − xtransp ) + i 2i
(x + xtransp ) that sln C = sun C ⊕ i sun C
and use (a).