CH16: Mathematik 2, Serie 1

CH16: Mathematik 2, Serie 1
1. Sinus- und Cosinussatz
Berechnen Sie alle Seiten und Winkel des allgemeinen Dreiecks ABC mit
Hilfe des Sinus- und des Cosinussatzes.
(a) a = 15cm, α = 35◦ , β = 50◦
(c) c = 12.3cm, β = 9.7◦ , γ = 93.8◦
(e) a = 49cm, b = 57cm, α = 84◦
(b) b = 8cm, α = 54◦ , γ = 39◦
(d) a = 20cm, b = 34cm, β = 72◦
Lösungen:
(a) b = 20cm, c = 26.1cm, γ = 95◦
(c) a = 12.0cm, b = 2.08cm, α = 76.5◦
(e) −
(b) a = 6.48cm, c = 5.04cm β = 87◦
(d) c = 34.4cm, α = 34.0◦ , γ = 74.0◦
2. Additionstheorem Tangens
Berechnen Sie mit den Additionstheoremen für den Sinus und den Kosinus
ein Additionstheorem für den Tangens.
Lösung:
tan(α + β) =
sin(α + β)
tan(α) + tan(β)
=
cos(α + β)
1 − tan(α) tan(β)
3. Additionstheorem
Berechnen Sie mittels den Additionstheoremen die folgenden Werte:
( )
(a) sin α2 (sin(α) sei (bekannt) und 0 ≤ α ≤ π2 .
T ipp:sin (α) = sin α2 + α2 .
(π)
(b) Berechnen Sie( mithilfe
des
Resultates
aus
(a)
und
sin
6 = 1/2 den
)
π
Wert von sin 12 .
Lösungen:
(a) Man erhält die Gleichung
(
)2
(α) (
( α ))
· 1 − sin2
2
2
( )
oder mit der Substitution u = sin2 α2 die Gleichung
sin(α)
2
= sin2
(
u2 − u +
Damit ist
sin
(b) sin
(π)
12
√ (
=
1
2
(α)
1−
2
sin(α)
2
)2
= 0.
√ (
)
√
1
=
1 ± 1 − sin2 (α) .
2
) √ (
√
√ )
1 − (1/2)2 = 14 2 − 3 .
1
4. Verknüpfung
Gegeben seien die Funktionen g(x, t) = k x − ω t + a und f (x) = sin(x).
Betrachten sie nun die Verknüpfung
h(x, t) = f [g(x, t)] .
Was bewirken die verschiedenen Parameter der Funktion. Zeichnen Sie
ausgewählte Beispiele auf.
In der Optik wird die Länge einer Periode im Ort (hier mit x bezeichnet)
als Wellenlänge λ bezeichnet. Schreiben sie die Wellenlänge als Funktion
der Wellenzahl k auf. Die Periodenlänge in der Zeit t wird Periodendauer
τ bezeichnet. Berechnen Sie die Periodendauer der Funktion h(x, t). Was
ändert sich falls man für f (x) = cos(x) wählt.
Lösung:
a bewirkt eine Verschiebung in y-Richtung. ω streckt oder staucht die
Funktion in der Zeitrichtung. k streckt oder staucht die Funktion in der
Raumrichtung.
2π
2π
λ=
, τ=
.
k
ω
5. Periodendauer
Skizzieren sie die folgenden Funktionen und geben sie dabei wichtige Grössen
wie die Periodenlänge an. Eine Funktion ist periodisch, falls für alle x gilt,
dass f (x + xp ) = f (x). Das heisst, dass man die Funktion auf der x-Achse
um den Betrag xp (heisst Periode) verschieben kann und dass man dann
wieder die gleiche Funktion bekommt.
√
(a) f (x) = 7 sin(11 x)
(b) f (x) = −5 − 3 cos( 3x)
(c) f (x) = 5 cos(2x + π) − x (d) f (x) = √
cos2 (3 x + π4 )
(e) f (x) = e−λ x sin(βx)
(f) f (x) =
(g) f (x) = sin(x)
x
(i) f (x) = ln(sin(2x))
(k) f (x) = tan(x2 )
(h) f (x) = sin( x1 )
(j) f (x) = tan(2x)
x
cos( 12
+ 3) +
Lösungen:
(a) Periodendauer xp =
(c) keine
(e) keine
(g) keine
(i) xp = π
(k) keine
2π
11
2π
(b) xp = √
3
2π
(d) xp = 6
(f) xp = 24π
(h) keine
(j) Periodendauer xp =
2
π
2
4
10
6. Ableitungen
Berechnen sie die ersten Ableitungen der Funktionen aus der letzten Aufgabe.
Lösungen:
(a) f ′ (x) = 77 cos(11x)
(c) f ′ (x) = 10 sin(2x) − 1
(e) f ′ (x) = e−λx (−λ sin(βx) + β cos(βx))
−
(g) f ′ (x) = cos(x)
x
2
(i) f ′ (x) = tan(2x)
(k) f ′ (x) = cos2x
2 (x2 )
sin(x)
x2
(√ )
3
(b) f ′ (x) = 3 2 sin 3x
(d) f ′ (x) = −3 cos(6x)
sin( x +3)
(f) f ′ (x) = − √ 12x
24 cos( 12 +3)+ 25
cos( 1 )
(h) f ′ (x) = − x2x
(
)
(j) f ′ (x) = cos22(2x) = 2 1 + tan2 (2x)
7. Schiefer Wurf
Die Bahn des schiefen Wurfs (aus der Höhe H0 )ist im (x, y)-Koordinatensystem
gegeben durch
(
)
(
)
(
)
0
cos(α)
0
⃗s(t) =
+v
t+
t2 /2 .
H0
sin(α)
−g
Berechnen Sie den Winkel α, mit dem man einen Ball am weitesten wirft
für H0 = y(0) = 0 .
Lösung:
Zuerst muss in der Gleichung der x Komponente nach t aufgelöst und in
die y Komponente eingesetzt werden. Die erhaltene Gleichung wird nach
x aufgelöst und davon das Maximum berechnet.
2
sin(α)
Die Gleichung, die maximiert werden soll, ist durch x = 2v cos(α)
g
gegeben. Damit erhält man einen Winkel von α = π4 (maximale positive
Weite) oder α = 3π
4 (maximale negative Weite).
8. Schnittwinkel
Skizziere die Graphen und die Funktionen f1 und f2 im Intervall [0, π2 ].
Unter welchem Winkel schneiden sich f1 und f2 ?
(a) f1 = sin(x), f2 = cos(x),
(b) f1 = 3x2 − 4 und f2 = 5 − 6x,
(c) f1 = a cos(x) und f2 = sin(x) mit a > 0.
Hinweis: Benutzen Sie zur Berechnung die trigonometrischen Beziehungen
tan(α) − tan(β)
.
tan(α − β) =
1 + tan(α) tan(β)
Lösungen:
(a) f1 und f2 schneiden sich bei x =
√
1.23 oder tan(α) = 2 2.
π
4
(
unter einem Winkel von 2 arctan
√1
2
(b) Schneiden sich bei x = −3 resp. x = 1 unter einem Winkel von
α = 6.28◦ resp. α = 161.1◦
3
)
=
2
a
(c) Sie schneiden sich bei sin2 (x0 ) = 1+a
2 . Damit ist der erste Schnittpunkt beim positiven Vorzeichen. Der Winkel ist gegeben durch
f ′ (x0 ) − f2′ (x0 )
tan(α) − tan(β)
= 1 ′
.
1 + tan(α) tan(β)
1 + f1 (x0 )f2′ (x0 )
√
√
a2
′
f1′ (x0 ) = −a sin(x0 ) = −a 1+a
1 − sin2 (x0 ) =
2 und f2 (x0 ) = cos(x0 ) =
√
√
a2
1
1 − 1+a
2 =
1+a2 ). Es wurden gerade die richtigen Vorzeichen benutzt daher kann man es nur noch einsetzen und erhält tan(α − β) =
3
(−1)(1 + a2 ) 2 .
tan(α − β) =
9. Integration
Berechnen Sie folgende Integrale.
∫
∫
(a) ∫ sin(a x)dx
(b) ∫ cos(a x + b)dx
(c) 2 sin(x) cos(x)dx (d) sin2 (x)dx
Lösungen:
x)
(a) − cos(a
a
(c) − cos(2x)
2
(b)
(d)
sin(a x+b)
a
sin(2x)
x
2 −
4
10. Flächenberechnung
Berechne die Fläche zwischen den Kurven y1 und y2 von x = 0 bis zum
ersten Schnittpunkt.
(a)
y1 = cos
(x)
2
, y2 =
1
,
2
(b)
y1 = sin (2x) , y2 = cos2 (x) ,
(c)
y1 =
tan(x)
sin(2x)
, y2 =
.
10
15
Lösungen:
(a)
√
π
3−
3
(b)
1
cos−1
2
(c)
1
60
(
(
ln
4
(
64
27
2
√
5
)
)
)
−1