Statistical Analysis System - Wiwi Uni-Frankfurt - Goethe
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SAS Statistical Analysis System Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Dipl.-Vw. Marco Caliendo Dipl.-Vw. Dubravko Radi Lehrtstuhl für Statistik und Ökonometrie (Empirische Wirtschaftsforschung) Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt/M. Datum dieser Version: 26.04.2001 Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie (Empirische Wirtschaftsforschung) Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis .............................................................................................. 1 Einführung ......................................................................................................... 2 Aufbau von SAS ................................................................................................ 4 Datenmanagement in SAS ................................................................................. 5 Prozedur SQL .................................................................................................. 13 Graphische Aufbereitung ................................................................................. 20 Deskriptive Auswertungen ............................................................................... 21 Lineare Regression........................................................................................... 23 Prozedur PROBIT............................................................................................ 25 Prozedur MODEL............................................................................................ 30 Prozedur ARIMA............................................................................................. 36 Prozedur AUTOREG ....................................................................................... 40 Quantitative Methoden der Volkswirtschaftslehre............................................ 44 Grundlagen der Ökonometrie ........................................................................... 46 Mikroökonometrie ........................................................................................... 50 Finanzökonometrie .......................................................................................... 52 1 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Einführung Bei SAS (Statistical Analysis System) handelt es sich um ein 1970 entwickeltes Statistikprogramm, mit dem nahezu alle in empirischen und ökonometrischen Fragestellungen anfallenden Probleme gelöst werden können. Durch die Integration von SQL und der Möglichkeit der Makroisierung von Programmabläufen, ist es darüber hinaus möglich, das Programm individuellen Bedürfnissen anzupassen. Erweiterungen des Basisprogramms, wie z.B. der „Enterprise Miner“, sorgen dafür, dass auch unternehmensrelevante Fragestellungen (Marketing, Data Warehouse, Data Mining, etc.) erledigt werden können. Dieses Skript dient als Kurzeinführung in das Programm und ist zugleich Grundlage für die vorlesungsbegleitenden Übungen in „Quantitative Methoden der Volkswirtschaftslehre“, „Grundlagen der Ökonometrie“, „Mikroökonometrie“ und „Finanzökonometrie“. Das Skript ist modular aufgebaut und sollte chronologisch abgearbeitet werden. Jeder Programmpunkt wird anhand von Datensätzen erläutert, die in Kapitel 11 näher beschrieben sind und jedem Interessierten zur Verfügung gestellt werden. Das Skript bezieht sich auf die Programmversion 6.12; leichte Abweichungen zu anderen Versionen lassen sich nicht vermeiden. Als Literaturempfehlungen seien neben der ca. 2000 Seiten umfassenden SAS-Dokumentation folgenden Quellen genannt: - - - - - Batz, Wolf-Dieter: Das SAS-Survival-Handbuch – Eine praxisorientierte Einführung, Springer-Verlag, 1995. Ortseifen, Carina: Der SAS Kurs – Eine leicht verständliche Einführung, Thomson Verlag, Bonn u.a., 1997. Göttsche, Thomas: Einführung in das SAS-System für den PC, Gustav FischerVerlag, Stuttgart, 1990. Falk, M., Becker, R., Marohn, F.: Angewandte Statistik mit SAS – Eine Einführung, Springer Verlag, Berlin u.a., 1995. Delwiche, Lora D., Susan, J. Slaughter: The little SAS Book – A primer, SAS Institute Inc., Cary, 1999. Genau wie dieses Skript, können auch dieses Bücher nur sehr kleine Bereiche des SASProgramms darstellen. Für eine ausführliche Darstellung wird auf die SAS-Dokumentation verwiesen. Darüber hinaus gibt es in SAS auch eine ausführliche Hilfefunktion die in Anspruch genommen werden sollte. SAS kann auf zwei Arten genutzt werden: Zum einen kann die SAS eigene Programmiersprache verwendet werden, um empirische Analysen durchzuführen. Einfachere Statistiken können aber auch mit Hilfe von SAS ASSIST erstellt werden, der eine einfache menügesteuerte Benutzeroberfläche, ähnlich wie in SPSS, bereitstellt. Der geneigte Leser mag sich fragen, warum wir uns dazu entschlossen haben, im folgenden die wichtigsten Elemente der SAS Programmiersprache darzustellen und nicht näher auf den einfacher zu bedienenden SAS ASSIST eingehen. Wir sind davon überzeugt, dass die Notwendigkeit, bei empirischen Analysen eigene Programme schreiben zu müssen eine Reihe von Vorteilen bietet. 2 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Sie trägt zum einen zu einer Klärung der Gedanken bei. Der Anwender wird gezwungen die einzelnen Schritte bei seiner empirischen Analyse genau zu überdenken, bevor er sie implementiert. Ein weiterer Vorteil ist die Nachvollziehbarkeit: Sowohl der Nutzer selbst als auch weitere Personen, die die Programmiersprache kennen, können nachvollziehen, was mit den einzelnen Bestandteilen des Programms bezweckt wurde, um so die Ergebnisse besser interpretieren zu können. Ein weiterer Grund, der für die Erlernung der SAS Programmiersprache spricht, ist die Tatsache, dass kompliziertere Analysen nicht mit mit SAS ASSIST zu bewerkstelligen sind. Zum besseren Verständnis werden SAS-Befehlszeilen nachfolgend in courier dargestellt. Erklärungen zur Syntax sind mit dem Icon gekennzeichnet. Zusätzlich werden alle Befehlszeilen, die sich auf einen Beispieldatensatz beziehen und die ausgeführt werden sollen in einen Kasten gesetzt. Datensätze, auf die in diesem Skript eingegangen wird, ebenso wie Beispielprogramme und weitere Unterlagen, sind auf unserer Homepage erhältlich: http://www.wiwi.uni-frankfurt.de/Professoren/hujer/. Folgen Sie den Links, die auf die einzelnen Vorlesungen bzw. Übungen hinweisen. Frankfurt/M., im April 2001. 3 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Aufbau von SAS Nach dem Starten von SAS erscheinen drei Fenster. Im OUTPUT-Fenster werden die Ergebnisse der aufgerufenen Prozeduren angezeigt. Im LOG-Fenster zeigt SAS Informationen über die Abarbeitung der einzelnen Schritte des SAS-Programms (=SAS-Job) an. Neben der Zeit die ein Job benötigt hat, wird hier auch angezeigt, ob bei der Abarbeitung Fehler (und wenn ja, welche) aufgetreten sind. An dieser Stelle soll auf die „SAS-Farbenlehre“ eingegangen werden: Blau, so wird jeder SAS Nutzer bald feststellen, ist dabei die angenehmste und beruhigendste Farbe, zeigt sie doch an, dass das Programm ohne weitere Probleme abgearbeitet wurde. Mit grün werden Warnungen angezeigt, die jedoch nicht so gravierend waren, als das sie zu einem Abbruch des Programms geführt hätten. Mit rot hingegen werden schwerwiegende Fehler ausgegeben, die schließlich zu einem Abbruch des Programms geführt haben. In den PROGRAM-EDITOR (PGE) werden die Programmzeilen geschrieben und abgespeichert. Zum Abspeichern von Programmzeilen ist es wichtig, dass das PGE-Fenster aktiviert ist, da sonst evtl. der Inhalt eines anderen Fenster abgespeichert wird und die Programmzeilen verloren sind. Will man eine Programmzeilen laufen lassen, markiert man die entsprechenden Stellen und drückt F3 oder die RUN-Taste. Alle Befehle in der SAS-Kommandosprache sind grundsätzlich mit einem Semikolon abzuschließen. Will man die Befehlszeilen kommentieren (was sehr zu empfehlen ist), muss man mit der Zeichenkombination /* beginnen und der Zeichenkombination */ enden. Beispiel: /* Dies ist ein Kommentar */ 4 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Datenmanagement in SAS Daten werden von SAS, ähnlich wie in EXCEL, in Tabellen abgelegt. In den Zeilen stehen die Beobachtungen (z.B. für einzelne Jahre) während die Spalten die Variablen (z.B. Bruttosozialprodukt, Konsum) angeben. In SAS werden diese Tabellen DATASETS oder synonym TABLES genannt. DATASETS die zu einem gemeinsamen Projekt gehören, werden in sogenannten LIBRARIES (Bibliotheken) abgelegt. Eine LIBRARY ist nichts anderes als eine andere Bezeichnung für einen Pfad, in dem einzelne DATASETS abgelegt werden. Will man mit einem bestimmten DATASET arbeiten, spricht man diesen mit seinem und dem LIBRARY-Namen an. Die Namen dürfen dabei aus maximal 8 Buchstaben bestehen. Beispiel: sasdat.uebung1 /* Die Library sasdat enthält einen SAS dataset mit dem Namen uebung1 */ Lässt man den Librarynamen weg, wird ein temporäres, voreingestelltes Arbeitsverzeichnis (WORK) angesprochen. Datasets, die in diesem Verzeichnis gespeichert werden, sind nach Beendigung der Sitzung verloren! Die Zuweisung einer LIBRARY zu einem existierenden Pfad auf dem System erfolgt durch die folgende Syntax: LIBNAME sasdat „C:\SASKURS“; /* Die Library sasdat wird dem Verzeichnis C:\SASKURS zugewiesen und enthält einen SAS dataset mit dem Namen sasubd1 */ Um zu überprüfen, ob die Zuweisung der Library erfolgreich war, wählen Sie bitte aus dem Icon-Menü den Punkt LIBRARIES. Hier sollte nun im linken Fenster die Library sasdat und der spezifizierte Systempfad zu sehen sein. 1. Einlesen und Formatieren von Daten Das Einlesen von Daten erfolgt mit einem DATA-step. Dieser DATA-step erzeugt einen neuen Datensatz an der definierten Stelle, gibt an, wie viele Variablen eingelesen werden sollen, ob die Daten bearbeitet werden sollen und auch ob Daten behalten oder gestrichen werden sollen. Der DATA-Step ist als eine „Schleife“ durch den einzulesenden Datensatz zu verstehen. Die Input-Daten werden zeilenweise eingelesen. Ein RUN-Befehl schließt die Schleife ab. Die Syntax sieht folgendermaßen aus: 5 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker DATA library.dataset; In der Library sasdat wird ein SAS dataset erzeugt. Der Name kann frei gewählt werden, darf aber maximal 8 Zeichen lang sein. INFILE „rohdatenfile“; INFILE bezeichnet die Datei, in der die Rohdaten im ASCII-Format gespeichert sind. Der Ausdruck rohdatenfile muss die komplette Pfadangabe enthalten. INPUT var1 var2...; Mit INPUT werden die Variablen aufgelistet, die in der ASCII-Datei rohdatenfile enthalten sind. Wichtig ist, dass die Reihenfolge der Variablennamen im INPUTBefehl der Reihenfolge der Variablen im rohdatenfile entspricht. LABEL var1=’Beschreibung der Variable’; Mit LABEL kann optional eine bis zu vierzig Zeichen lange Variablenbeschreibung vergeben werden. FORMAT var1 Formatangabe; Die FORMAT-Anweisung weist den eingelesenen Variablen eine bestimmtes Format zu. Numerische Variablen werden durch eine Variablen-Länge und die Nachkommastellen definiert. Die Zahl 100.334 würde z. B. mit der Formatangabe 7.3 korrekt angezeigt werden. Der Dezimalpunkt ist bei der Länge mit einzurechnen. Character (=Zeichen)-Variablen, werden durch das Dollar-Zeichen $ und eine Längen-Angabe formatiert. Die Zeichenkette NAME kann mit der Formatangabe $4 korrekt formatiert ausgegeben werden. RUN; Der RUN-Befehl schließt den DATA-Step ab. Nachdem wir nun die Syntax für das Einlesen und Formatieren von Daten kennen gelernt haben, wenden wir dieses Wissen auf einen Beispieldatensatz an. Sie benötigen dazu den ASCII-Datensatz uebung1.prn. 6 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Übungsaufgabe 1: Einlesen und Formatieren eines ASCII-Datensatzes 1. Erstellen Sie auf Ihrem Rechner ein SAS-Arbeitsverzeichnis, z.B. C:\SASKURS. 2. Kopieren Sie die Datei uebung1.prn in dieses Verzeichnis. 3. Vergeben Sie einen Library-Namen und weisen die Library dem Arbeitsverzeichnis zu. LIBNAME sasdat „C:\SASKURS“; 4. Lesen Sie den Datensatz uebung1.prn ein, formatieren und benennen Sie die Variablen. DATA sasdat.uebung1; INFILE "C:\SASKURS\uebung1.prn"; INPUT JAHRE ECP EIP K LE LHT LSE PECP POP PXGNP RL TIME UCUM X XGNPDM YDH YL YLA YNNI; FORMAT JAHRE 4.0 ECP EIP K X XGNPDM YDH YL YNNI 8.3 LE LSE POP 7.4 LHT 5.0 PXGNP PECP 6.2 RL 5.3 TIME 3.0 UCUM YLA 6.3; LABEL JAHRE ECP EIP K LE LHT LSE PECP POP PXGNP RL TIME UCUM X XGNPDM YDH YL YLA YNNI = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 'Jahre' 'Privater Verbrauch (Mrd. DM 1985)' 'Anlageinv. a. Untern. (Mrd. DM 1985)' 'Bruttoanlageverm. insg. (Mrd. DM 1985)' 'Beschäftige Arbeitnehmer insg. (Mio)' 'Arbeitsvolumen insgesamt (Mio Std.)' 'Selbständige und Mithelfende (Mio)' 'Impl. Preisindex. priv. Verb.(1985=100)' 'Wohnbevölkerung (Mio.)' 'Impliziter Preisindex BSP (1985 = 100)' 'Langfristiger Zins' 'Zeittrend' 'Kapazitätsauslastung insgesamt' 'Bruttowertschöpfung (Mrd. DM 1985)' 'Bruttosozialprodukt (Mrd. DM)' 'Verfügb. Eink. der priv. HH. (Mrd. DM)' 'Eink. aus unselbst. Arbeit insg.(Mrd.DM)' 'Durchsch. Eink. je Beschäftigter(Tsd.DM)' 'Nettosozialp. zu Faktork. (Mrd. DM)'; RUN; 7 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker 2. Bearbeiten von Daten, Erzeugen und Transformieren von Variablen Während wir im letzten Abschnitt einen ASCII-Datensatz in einen SAS-Datensatz umgewandelt haben, gehen wir nun davon aus, dass bereits ein SAS-Datensatz vorliegt, den wir bearbeiten wollen. Dies ist z.B. dann der Fall, wenn wir Variablen aus dem Datensatz entfernen oder neue Variablen generieren wollen. Zusätzlich zu dem DATA-Step lernen wir nun den SET-Befehl kennen. Die Syntax sieht folgendermaßen aus: DATA library.dataset; Der SAS-dataset library.dataset soll erzeugt werden, bzw. ein bereits vorhandener SAS-dataset mit diesem Namen soll editiert werden. SET library.dataset Falls schon ein SAS-dataset existiert, kann er mit dem Befehl SET direkt angesprochen werden. SET bezeichnet den SAS-dataset aus dem die zu bearbeitenden Daten entnommen werden sollen. var1=Funktion zur Variablengenerierung; Für die Generierung von Variablen ist eine Reihe von mathematisch/statistischen Funktionen vorhanden. Zu den validen Operatoren gehören z.B.: +, - , / , LN(var1), EXP(var1), LAG(var1) .....; Die Funktion LAG erzeugt aus var1 eine um eine Beobachtung verzögerte Variable. DATA library.dataset(DROP=var1 var2) Mit dem Befehl DROP können einzelne Variablen aus dem Datensatz entfernt werden. DATA library.dataset(KEEP=var1 var2) Mit dem Befehl KEEP werden nur die angegebenen Variablen behalten. Wir verwenden dieses Befehle nun, um aus dem bereits erstellten Datensatz uebung1 die Kapitalintensität zu berechnen und diese in einen neuen Datensatz mit dem Datensatz uebung2 abzuspeichern. 8 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Übungsaufgabe 2: Berechnung des Indikators Kapitalintensität in einem neuen Datensatz 1. Erstellen Sie einen neuen Datensatz mit dem Namen uebung2 Benutzen Sie als Datengrundlage den Datensatz uebung1. 2. Berechnen und benennen Sie die Kapitalintensität. DATA sasdat.uebung2; SET sasdat.uebung1; ki = k/lht; label ki = ’Kapitalintensität’; RUN; 3. Streichen Sie aus dem neuen Datensatz uebung2 alle Variablen bis auf die Kapitalintensität. DATA sasdat.uebung2(KEEP=ki); SET sasdat.uebung2; RUN; 3. Bedingte Ausführung von Befehlen im DATA-Step In einem DATA-Step lassen sich auch bedingte Transformation durchführen. Dies kann z.B. sinnvoll sein, wenn man Beobachtungen mit bestimmten Eigenschaften selektieren will. Die Syntax sieht folgendermaßen aus: IF Bedingung THEN DO; Befehl_1; END; Falls die Bedingung erfüllt ist, wird ein bestimmter Befehl_1 ausgeführt. Der Befehl_1 wird mit END abgeschlossen. ELSE DO; Befehl_2; END; Falls die Bedingung nicht erfüllt ist, wird stattdessen der Befehl_2 ausgeführt. WHERE Bedingung; Mit dem WHERE-Befehl können Beobachtungen mit bestimmten Eigenschaften selektiert werden. 9 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Die Bedingung kann sich z.B. auf einzelne Beobachtungen beziehen, die mit der Systemvariablen _N_ angesprochen werden können. _N_ ist 1 für die erste Beobachtung, 2 für die zweite, etc. Wir nutzen diese Syntax nun, um eine Dummy-Variable zu erzeugen und den Datensatz anhand dieser Dummy-Variable zu splitten. Übungsaufgabe 3: Erzeugung einer Dummy-Variablen und Splitten des Datensatzes 1. Erzeugen Sie im SAS-dataset sasubd1 für die ersten 10 Beobachtungen eine DummyVariable, die den Wert Eins annimmt. DATA sasdat.uebung1; SET sasdat.uebung1; IF _N_<=10 THEN DO; dummy = 1; END; ELSE DO; dummy = 0; END; LABEL dummy = ‘Beobachtungen 1-10?’; RUN; 2. Erzeugen Sie einen neuen Datensatz uebung3 in dem nur die ersten 10 Beobachtungen enthalten sind. DATA sasdat.uebung3; SET sasdat.uebung1; WHERE dummy=1; RUN; Spätestens nachdem man nun zum fünften Mal den dataset sasdat.uebung1 angesprochen und niedergeschrieben hat, lernt man die Benutzung von Makrovariablen schätzen. Mit Makrovariablen kann SAS effizienter genutzt werden. Makrovariablen werden mit dieser Anweisung erzeugt: %LET makrovariable = Name der Makrovariablen; &makrovariable; Mit dem LET-Befehl wird eine Makrovariable erzeugt, die dann im Programmcode mit &makrovariable angesprochen werden kann. Um in unserer Analyse nicht ständig den Datensatz sasdat.uebung1 mit Library-Name und Dataset-Name ansprechen zu müssen, könnten wir die folgenden Makrovariable erzeugen: 10 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Übungsaufgabe 4: Erzeugung einer Makrovariablen 1. Erzeugen Sie für sasdat.uebung1 eine Makrovariable mit dem Namen Data1. Erzeugen Sie für die ersten 5 Beobachtungen eine Dummy-Variable die den Wert Zwei annimmt. %LET Data1=sasdat.uebung1; DATA &Data1; SET &Data1; IF _N_<=5 THEN DO; dummy2 = 2; END; ELSE DO; dummy2 = 0; END; LABEL dummy2 = ‘Beobachtungen 1-5?’; RUN; 4. Datenausgabe Nachdem wir zu Beginn dieses Abschnitts aus einem ASCII-Datensatz einen SAS-Datensatz erstellt haben, wollen wir nun einen SAS-Datensatz als ASCII-Datensatz zur Weiterverarbeitung bereitstellen. Der Vorteil der ASCII-Schreibweise ist, das sie von nahezu allen anderen StatistikProgrammen erkannt wird und verarbeitet werden kann. Der Nutzen dieses Befehls ist allerdings, in Zeiten von DBMS-Copy, begrenzt. Die Ausgabe zur Weiterverarbeitung erfolgt wiederum in einem DATA-step und ist analog zum Einlesen von ASCII-Daten. Die Syntax: DATA _NULL_; Es soll kein SAS-dataset erzeugt werden. Dies wird mit dem dataset-Namen _NULL_ erreicht. FILE „rohdatenfile“; FILE bezeichnet die Datei, in der die Rohdaten im ASCII-Format gespeichert sind. rohdatenfile muss die komplette Pfadangabe enthalten. PUT var1 var2 .....; Die Variablen var1 var2 ...... werden in den ASCII-Datensatz geschrieben. 11 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Die Daten können dann etwa mit EXCEL wieder eingelesen werden. Wir üben dies mit dem oben erzeugten dataset uebung3. Übungsaufgabe 5: Ausgabe eines Datensatzes im ASCII-Format 1. Schreiben Sie den oben erzeugten Datensatz, in dem nur die ersten 10 Beobachtungen enthalten sind (uebung3), im ASCII-Format raus. Exportieren Sie die Variablen ECP, EIP und KI. DATA _NULL_; SET sasdat.uebung3; FILE "c:\SASKURS\test1.dat"; PUT ecp eip ki; RUN; 12 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Prozedur SQL SQL – Structured Query Language – ist eine international genormte Datenbanksprache. Sie dient sowohl der Erzeugung als auch der Abfrage von relationalen Datenbanken. In nahezu jedem Datenverwaltungsprogramm ist eine solche SQL Umgebung implementiert. Obwohl international nach dem sog. ANSI Standard genormt, gibt es dennoch unterschiedliche Features und „Dialekte“ in unterschiedlichen Softwarepaketen. Im folgenden soll gezeigt werden, wie mit der SQL Prozedur in SAS Datenbankabfragen vorgenommen und verschiedene relationale Datensätze miteinander verknüpft werden können. 1. Abfragebefehl SELECT Mit Hilfe des SELECT Befehls können komplexe Abfragen vorgenommen werden. Im folgenden sollen nur die wichtigsten Bestandteile des SELECT Befehl innerhalb von SQL dargestellt werden:1 Proc SQL; Ruft die SQL Umgebung in SAS auf. Select var1 var2 ...; Enthält die Liste der ausgewählten Spalten. From dataset; Datensatz, auf den zugegriffen werden soll. Where bedingung; Bedingung, die erfüllt sein muss für die Abfrage. Run; Quit; Die SQL Umgebung muß zusätzlich zu Run noch mit dem Befehl Quit verlassen werden. Im folgenden sollen mit Hilfe einiger Beispiele die Einsatzmöglichkeiten des SELECT Befehls aufgezeigt werden. 1 Für eine umfassende Einführung in SQL, vgl. Schicker, E. (1999), Datenbanken und SQL, Stuttgart u.a. Aus diesem Buch ist auch der Beispieldatensatz entnommen. 13 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker 2. Abfrage Operationen Die nachfolgenden Beispiele beziehen sich auf den folgenden Datensatz schick.bier: Nr Sorte Hersteller 1 3 4 8 11 16 20 23 24 26 28 33 36 39 47 Hell Roggen Pils Export Weißbier Hell Hell Hell Starkbier Dunkel Märzen Weizen light Pils alkoholfrei Weißbier Pils Lammsbräu Thurn&Taxis Löwenbräu Löwenbräu Paulaner Spaten Spaten EKU Paulaner Kneitlinger Hofbräu Lamms Löwenbräu Erdinger Bischofshof Typ Träger Träger Träger Fass Träger Sixpack Träger Fass Träger Träger Träger Träger Sixpack Träger Fass Anzahl 12 10 22 6 7 5 12 4 4 8 3 6 5 9 3 Übungsaufgabe 6: SQL Abfragen mit Hilfe des SELECT Befehls 1. Mit dem folgenden Befehl werden aus dem Datensatz schick.bier diejenigen Sorten (sorte) und derjenige Hersteller (herstell) in dem Output Fenster ausgegeben, auf die der Typ „Fass“ zutrifft: PROC SQL; SELECT sorte, herstell FROM schick.bier WHERE typ = "Fass"; QUIT; RUN; Die in where spezifizierten Bedingung können dabei auch mit den logischen Operatoren and, or, not, in, between, etc. verknüpft werden. 14 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Übungsaufgabe 7: SQL Abfragen mit Hilfe des SELECT Befehls 1. In dem folgenden beiden Beispielen werden zunächst Hersteller und Anzahl ausgegeben, bei denen die beiden Bedingungen „Pils“ und „Träger“ zutreffen, während bei dem nächsten Beispiel Sorte, Hersteller und Anzahl ausgegeben werden, für die die Anzahl kleiner als vier ist: PROC SQL; SELECT herstell, anzahl FROM schick.bier WHERE sorte = "Pils" and typ = "Träger"; QUIT; RUN; PROC SQL; SELECT sorte, herstell, anzahl FROM schick.bier WHERE anzahl < 4; QUIT; RUN; 2. Mit in und between werden diejenigen Sorten ausgegeben, bei denen die Anzahl zwischen drei und vier beträgt bzw. drei, vier, fünf oder sechs: PROC SQL; SELECT * FROM schick.bier WHERE anzahl between 3 and 4; QUIT; RUN; PROC SQL; SELECT * FROM schick.bier WHERE anzahl IN(3,4,5,6); QUIT; RUN; 3. Darüberhinaus besteht auch die Möglichkeit, nach Stringeinträgen in Zeilen zu suchen, die mit einem bestimmten vorgegebenen String übereinstimmen. Mit dem nachfolgenden Befehl z.B. werden für alle Spalten (*) diejenigen Zeilen ausgegeben, für die die Bedingung: name enthält „heinz“ erfüllt ist. PROC SQL; SELECT * FROM schick.bier WHERE name CONTAINS "heinz"; QUIT; RUN; Mit den bisherigen Befehlen wurde das Ergebnis der Abfrage lediglich in das Outputfenster von SAS geschrieben. Möchte man die Ergebnisse in einem neuen Datensatz speichern, um später mit ihnen weiterarbeiten zu können, muss man die obigen Anweisungen noch um den Befehl create table ergänzen. 15 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Übungsaufgabe 8: Erzeugen eines neuen Datensatzes in SQL 1. Mit dem nachfolgenden Befehl etwa wird das Ergebnis der select Abfrage in den neuen Datensatz library.out geschrieben. PROC SQL; CREATE TABLE AS SELECT * FROM schick.bier; WHERE name CONTAINS “heinz”; QUIT; RUN; 3. Statistische Funktionen in SQL Bei den Select Abfragen besteht die Möglichkeit, vordefinierte arithmetische und statistische Funktionen zu benutzen, um so neue Variablen zu definieren. Übungsaufgabe 9: Artithmetische Funktionen in SQL 1. Mit dem folgenden Befehl etwa wird auf die Datei schick.bier zugegriffen und die folgenden Spalten ausgegeben: name und dosen, für diejenigen Zeilen, für die die Bedingung Typ = „Sixpack“ erfüllt ist. Aus der Spalte anzahl, in der die Anzahl an Sixpacks enthalten ist, entsteht durch die Multiplikation mit sechs die Anzahl an Dosen; diese Variable wird unter dem Namen dosen abgespeichert: PROC SQL; SELECT herstell, 6*anzahl AS dosen FROM schick.bier; WHERE typ = “sixpack”; RUN; QUIT; In SQL sind darüberhinaus eine Reihe von statistischen Funktionen implementiert: Die Ermittlung des Durchschnittswertes über alle Zeilen erfolgt mit avg, die Anzahl an Zeilen mit (count), der Maximal- bzw. Minimalwert mit max bzw. min und der Summenwert über alle Zeilen eines Datenfiles mit sum. 16 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Übungsaufgabe 10: Statistische Funktionen in SQL 1. Mit dem folgenden Befehl etwa wird die durchschnittliche Anzahl an verschiedenen Biersorten unter dem Namen avg, die maximale Anzahl unter max und die Anzahl an verschiedenen Biersorten im Lager unter anzahl ausgegeben: PROC SQL; SELECT AVG(anzahl) AS avg, MAX(anzahl) AS max, COUNT(anzahl) AS anzahl FROM schick.bier; RUN; QUIT; 4. Where Bedingung Mit der where Bedingung kann die Abfrage auf bestimmte Zeilen des Datensatzes beschränkt werden, die die where Bedingung erfüllen. Übungsaufgabe 11: Bedingte Abfragen mit dem WHERE Befehl in SQL 1. Mit dem folgenden Befehl wird aus der Datei schick.bier die niedrigste Anzahl ermittelt, die 5 überschreitet: PROC SQL; SELECT MIN(anzahl); FROM schick.bier; WHERE anzahl > 5; RUN; QUIT; 2. Nachfolgend eine Abfrage nach der maximalen Anzahl unter der Gruppe der hellen Biere (man beachte, daß Stringvariablen, hier also hell, in Klammern gesetzt werden müssen): PROC SQL; SELECT MAX(anzahl) FROM schick.bier; WHERE sorte = “hell”; RUN; QUIT; 5. Zusammenfügen von Datensätzen Im folgenden wollen wir zeigen, wie man mit SQL verschiedenen separate Datensätze zu einem neuen Datensatz zusammenfügen kann. Die wichtigste Unterscheidung ist dabei die zwischen einem sog. inner und outer join. Der Unterschied zwischen diesen beiden Verknüpfungen (joins) soll mit dem folgenden Beispiel verdeutlicht werden. 17 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Gegeben seien zwei Datensätze. Der erste library.tab1 enthalte die beiden Variablen Id und V1, der zweiten library.tab2 die beiden Variablen Id und V2. Diese beiden Datensätze sollen nun über die in beiden Datensätzen enthaltene Id Variable verknüpft werden. Bei einem inner join werden nur diejenigen Individuen in den neu zu erzeugenden Datensatz library.neu geschrieben, die sowohl in dem ersten als auch dem zweiten Datensatz enthalten sind. Der entsprechende SAS Befehl würde wie folgt aussehen: Proc sql; create table library.neu as select a.id, a.v1, b.v2 from library.tab1 a inner join library.tab2 b on a.id = b.id; run; Die neu zu erzeugende Datei enthält aus der ersten Datei die beiden Variablen id und v1 und aus dem zweiten Datensatz die Variable v2. Den auszuwählenden Variablen in der dritten Zeile werden dabei noch sog. Aliase, in unserem Beispiel die beiden Buchstaben a und b, vorangestellt. In der vierten Zeile, in der spezifiziert wird, auf welche Datensätze zugegriffen werden soll, muß dabei definiert werden, welche Datei zu welchem Alias gehört. Das Ergebnis dieser Verknüpfung würde wie folgt aussehen: Id V1 1 10 2 20 3 30 4 40 5 50 + Id V2 1 100 2 200 5 500 6 600 = Id V1 V2 1 10 100 2 20 200 5 50 500 Ein outer join wird durch folgenden Befehl ausgeführt : Proc sql; create table library.neu as select a.id, a.v1, b.v2 from library.tab1 a full join library.tab2 b on a.id = b.id; run; 18 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Folgendes Ergebnis wird erzeugt: Id 1 2 3 4 5 V1 10 20 30 40 50 + Id 1 2 5 6 V2 100 200 500 600 = Id 1 2 3 4 5 6 V1 10 20 30 40 50 - V2 100 200 500 600 Man erkennt, daß die Ergebnisdatei nun alle Individuen enthält, die in einer der beiden Dateien auftauchen. Analog arbeiten der left und der right join. Bei einem left join sind in der Ergebnisdatei alle Individuen enthalten, die in der ersten Datei auftauchen und die entprechenden Individuen der zweiten Datei. Bei einem right join arbeitet die Verknüpfung umgekehrt. 19 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Graphische Aufbereitung Im folgenden soll mit der Prozedur GPLOT eine Möglichkeit der graphischen Aufbereitung von Daten, insbesondere Zeitreihen gegeben werden. Die vereinfachte allgemeine Syntax sieht dabei wie folgt aus: SYMBOL1 V = dot I = spline h = 0.5 Für jede Zeitreihe, die geplottet werden soll, können nach dem SYMBOL Statement allgemeine Optionen festgelegt werden. SYMBOL1 legt z.B. für die erste geplottete Zeitreihe fest, daß die einzelnen Beobachtungen mit Punkten gekennzeichnet werden sollen. Alternativ könnte hier auch STAR angegeben werden. I = spline verbindet die einzelnen Punkte mit einer Spline-Funktion. Mit h kann die Dicke der Linien und Punkten geregelt werden. PROC GPLOT DATA = library.dataset; Nach dem DATA Statement wird der Datensatz spezifiziert, der die Variablen enthält, die geplottet werden sollen. PLOT var_y * var_x; Nach dem PLOT Statement wird mit var_y diejenige Variable spezifiziert, die auf der Y-Achse und mit var_x diejenige, die auf der X-Achse abgetragen werden soll. PLOT (var_y1 var_y2) * var_x / OVERLAY LEGEND Sollen zwei Variablen, z.B. var_y1 und var_y2, in einer Graphik gegebenüber einer dritten Variablen var_x abgetragen werden, so muß zusätzlich noch die Option OVERLAY spezifiziert werden. LEGEND fordert eine erklärende Legende der einzelnen Variablen an. RUN; QUIT; Übungsaufgabe 12: Graphische Aufbereitung 1. Plotten Sie aus dem Datensatz uebung1 die Entwicklung der Variablen ECP im Zeitablauf. PROC GPLOT DATA=sasdat.uebung1; PLOT ecp * jahre; RUN; QUIT; 2. Bereiten Sie die zeitliche Entwicklung der Variablen ECP und XGNPDM in einer Graphik auf, verbinden Sie die einzelnen Punkte miteinander und geben Sie auch eine Legende an. SYMBOL1 I = spline; PROC GPLOT DATA=sasdat.uebung1; PLOT (ecp xgnpdm) * jahre / OVERLAY LEGEND; RUN; QUIT; 20 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Deskriptive Auswertungen Wir wenden uns nun einem wichtigen Bereich der statistischen Analyse, der Deskription des vorliegenden Datenmaterials durch die Ermittlung von Kennwerten, zu. Deskriptive Auswertungen werden in SAS mit Prozeduren (procedures) durchgeführt. Der PROC-step beginnt mit der Anweisung PROC procedurename und endet mit dem RUN-Befehl.Die Auswahl des geeigneten Verfahrens und die dieses Verfahren umsetzende SAS-Prozedur hängt u.a. vom Mess- oder Skalenniveau der betrachteten Variablen ab. Bei kategoriellen (oder nominalen) Variablen (z.B. Geschlecht oder Wohnort), möchte man Häufigkeiten berechnen, während bei stetigen, intervallskalierten Variablen eher der Mittelwert, der Median und entsprechende Streuungsmaße gefragt sind. Aus der Fülle von Statistikprozeduren, die das SAS-System bietet, können nur einige wenige Prozeduren vorgestellt werden. Mit der Prozedur PROC MEANS oder PROC UNIVARIATE werden Kennwerte berechnet, Konfidenzintervalle für den Mittelwert bestimmt, Tests von Mittelwerten gegen einen festen Wert und der Test auf Normalverteilung durchgeführt. Darüber hinaus können damit grafische Darstellungen der empirischen Verteilungen einer Stichprobe erzeugt werden. Die Prozedur PROC FREQ dient zur Tabulierung von Häufigkeiten und Kreuztabulierungen, während die Prozedur PROC CORR Zusammenhangsmaße zwischen Variablen berechnet. Die Syntax: PROC MEANS DATA=library.dataset NOPRINT; CLASS var1; VAR var1 var2...; OUTPUT OUT=library.outputname; In der ersten Zeile wir die MEANS-Prozedur aufgerufen und bestimmt, auf welchen SAS-dataset sich die Auswertung bezieht. Verwendet man nur die DATA-Option werden die Standardkennwerte aller numerischen Variablen im OUTPUT-Fenster aufgelistet. Mit VAR kann man die Auswahl auf einige Variablen beschränken. Mit der CLASS-Anweisung werden die Kennwerte getrennt für die Ausprägungen der CLASS-Variablen berechnet. Werden die Kennwerte für weitere Berechnungen benötigt, kann man sie mit der Anweisung OUTPUT in einen neuen SAS-dataset umleiten. Will man die Ergebnisse ausschließlich in einen dataset (und nicht in das OUTPUT-Fenster) schreiben, ergänzt man die erste Programmzeile um den Befehl NOPRINT. PROC MEANS DATA=library.dataset [Weitere Optionen]; [NMISS RANGE VAR CLM ALPHA=0.01 T PRT] Einige weitere interessante Optionen, die dem DATA-Statement (ohne eckige Klammern) folgen können, seien hier erwähnt: NMISS liefert die Anzahl der fehlenden Werte, Range informiert über die Spannweite und VAR liefert die Varianz. Um das 95%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert zu berechnen wird als Schlüsselwort CLM angegeben. Mit der ALPHA-Option lassen sich auch andere Konfidenzintervalle berechnen. Mit der Option T wird die Teststatistik angefordert und mit PRT der dazugehörige p-Wert. 21 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker PROC UNIVARIATE DATA=library.dataset; VAR var1...; Während die MEANS-Prozedur Konfidenzintervalle und Hypothesentests berechnet, die nur für normalverteilte Variablen sinnvoll interpretiert werden können, erhält man mit der UNIVARIATE-Prozedur zusätzliche Kennwerte, die auch für nicht-normalverteilte und quantitative Variablen von Bedeutung sind (Median, Modalwert, Quartile, Quantile, etc...). PROC FREQ DATA=library.dataset; TABLES var1 var2 ...; Mit dem FREQ-Befehl können die empirischen Häufigkeiten für die mit TABLES spezifizierten Variablen berechnet werden. Man erhält die absoluten, relativen und kumulierten Häufigkeiten. PROC CORR DATA=library.datasetname [SPEARMAN]; VAR var1 var2 var3...; Mit der CORR-Prozedur können verschiedene Zusammenhangsmaße berechnet und Korrelationen zwischen Variablen genauer untersucht werden. Standardmäßig (d.h. ohne weitere Angaben) wird der Pearsonsche’ Korrelationskoeffizient berechnet. Darüber hinaus kann aber auch der Korrelationskoeffizient nach Spearman mit der Option SPEARMAN (ohne Klammern) berechnet werden. Übungsaufgabe 13: Deskriptive Auswertungen 1. Berechnen Sie aus dem Datensatz uebung1 deskriptive Statistiken für die Variablen ECP, EIP und XGNPDM. Unterscheiden Sie dabei die ersten 10 Beobachtungen von dem Rest der Beobachtungen. Schreiben Sie die Ergebnisse in einen neuen dataset mit dem Namen DESCRIP1. PROC MEANS DATA=sasdat.uebung1; CLASS dummy; VAR ECP EIP XGNPDM; OUTPUT OUT=sasdat.DESCRIP1; 2. Untersuchen Sie den Zusammenhang zwischen den Variablen ECP (Privater Verbrauch) und YLA (Durchschn. Einkommen je Beschäftigtem). PROC CORR DATA=sasdat.uebung 1; VAR ECP YLA; 22 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Lineare Regression Lineare Regressionen werden in SAS mit der Prozedur PROC REG durchgeführt. Die Syntax hierzu sieht folgendermaßen aus: PROC REG DATA= library.datasetname; label:MODEL var1 = var2 var3 ....; Es wird eine lineare Regression mit der abhängigen Variablen var1 und den exogenen Variablen var2,var3,.... durchgeführt. Das Modell kann optional mit einem Namen versehen werden (label). MODEL var1 = var2 var3... /NOINT DW; Standardmäßig wird eine Regressionskonstante berücksichtigt, die mit der Option NOINT des MODEL-Befehls unterdrückt werden kann. Außerdem können zusätzliche Teststatistiken wie z.B. die Durbin-Watson-Teststatistik d mit der Option DW ebenfalls im MODEL-Befehl angefordert werden. TEST var2=0, var3=var4; Möchte Möchte man bestimmte Hypothesen über die Parameter simultan überprüfen, also einen F-Test durchführen, so lässt sich dies mit dem Befehl TEST erreichen. Die Hypothese, dass der Parameter von var2 (var3) nicht signifikant von 0 (dem Parameter von var4) verschieden ist, wird hier simultan mit einem F-Test geprüft. RESTRICT var2=2*var3; Man kann auch bestimmte Parameter mit dem Befehl RESTRICT von vorneherein restringieren. Der Parameter von var2 wird auf das Zweifache des Parameters von var3 restringiert. OUTPUT OUT=library.dataset R=resid P=predic; Mit dem Befehl OUTPUT kann man Schätzergebnisse für die weitere Verarbeitung herausschreiben. Mit dem Keyword OUT wird der neue SAS dataset bezeichnet, in dem die Regressionsergebnisse abgespeichert werden sollen Verfügbar sind z.B. die geschätzten Residuen (R) und die Schätzwerte für die abhängige Variable (P). PLOT R.*OBS.; Mit dem Befehl PLOT können außerdem Plots für bestimmte Schätzergebnisse angefordert werden. Z.B. erzeugt der obige Befehl zusätzlich zu den Schätzergebnissen einen PLOT der geschätzten Residuen über die Beobachtungen. 23 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Um diese neue Prozedur kennen zu lernen schätzen wir mit dem Datensatz uebung1 eine keynesianische Konsumfunktion, bei der der private Verbrauch vom verfügbaren Realeinkommen abhängt. Übungsaufgabe 14: Keynesianische Konsumfunktion 1. Berechnen Sie zunächst aus dem Datensatz uebung1 das verfügbare Realeinkommen. DATA sasdat.uebung1; SET sasdat.uebung1; YDHR = (ydh/pecp)*100; LABEL YDHR = ‘reales verfügbares Einkommen’; RUN; 2. Schätzen Sie nun die Konsumfunktion, benennen Sie das Modell und berechnen die DWTeststatistik. Schreiben Sie die Ergebnisse, inklusive der R- und P-Werte in einen neuen Datensatz uebung4 und veranschaulichen Sie den Fit der Residuen graphisch. PROC REG DATA = sasdat.uebung1; Keynes:model ecp = ydhr / DW; OUTPUT OUT = dasdat.uebung4 R=Resid P=Predic; PLOT R.*OBS.; RUN; 24 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Prozedur PROBIT Für die Schätzung von Logit- und Probit-Modellen stehen in SAS zwei Prozeduren zur Verfügung. Mit Hilfe der PROBIT-Prozedur können dichotome Probit- und Logit-Modelle modelliert und deren Parameter geschätzt werden, während die LOGISTIC-Prozedur zusätzlich polytome abhängige Variable berücksichtigt. Wir geben zunächst eine kurze Einführung in die wichtigsten Befehle der PROBIT-Prozedur, behandeln anschließend ein empirisches Beispiel, bevor wir im nächsten Kapitel auf die LOGISTIC-Prozedur zu sprechen kommen. PROC PROBIT DATA = library.datasetname; CLASS variables; Mit dem PROC PROBIT Befehl wird die Prozedur gestartet. Innerhalb dieses ersten Schrittes erfolgt auch die Festlegung des Input-Datensatzes. Der CLASS-Befehl definiert, welche Variable in dem anschließenden Modell die abhängige Variable ist. label:MODEL var1 = var2 var3... / Options; Analog zur linearen Regression kann das Modell auch hier benannt werden. Der Befehl MODEL initiiert das Modell, wobei var1 die endogene Variable ist und var2, var3... die exogenen Variablen darstellen. Die abhängige Variable kann auch als Quotient zweier anderer Variablen spezifiziert werden., z.B. kann eine Variable Erfolg definiert werden als Erfolg = Treffer/Schüsse. Es muss lediglich gewährleistet sein, dass der Quotient zwischen null und eins liegt, das also in diesem Fall Treffer < Schüsse für jede Beobachtung gilt. Im Anschluss an den MODEL-Befehl können optionale Einstellungen vorgenommen werden, die nachfolgend erklärt werden. D = Verteilung; Nach dem Befehl d = kann eine Verteilungsannahme getroffen werden. Zur Auswahl stehen die Normal- (normal), die logistische (logistic) und die Gompertzverteilung (gompertz), wobei die Normalverteilung voreingestellt ist. C = Schwellenwert; Dieser Befehl legt einen bestimmten Schwellenwert fest. Voreinstellung ist dabei ein Schwellenwert von null, so dass z.B. in dem Fall einer dichotomen Variablen Y diese einen Wert von 1 annimmt, wenn die latente Variable Y* einen Wert größer null annimmt. OPTC; Mit diesem Befehl wird der Schwellenwert als unbekannt betrachtet und innerhalb des Modells geschätzt. 25 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker INVERSECL HPROB=p; Sollen für die erste unabhängige Variable Konfidenzintervalle berechnet werden, die für ein gegebenes Signifikanzniveau zu einem bestimmten Wert für die abhängige Variable führen, muss der Befehl inversecl verwendet werden. Mit dem Befehl hprob=p kann dabei ein bestimmtes Signifikanzniveau p vorgegeben werden, das bei der Berechnung der Konfidenzintervalle verwendet wird. Voreinstellung ist dabei ein Signifikanzniveau von 10%. LACKFIT; Mit dem Befehl lackfit können Gütemaße berechnet und angezeigt werden. Es werden ein Pearson Chi-Quadrat Test und ein Log-Likelihood-Ratio Test durchgeführt. OUTPUT OUT = library.outfile; Mit dem OUTPUT Befehl wird ein neuer Datensatz kreiert, der alle Variablen des Inputdatensatzes, die geschätzten Wahrscheinlichkeiten (prob), die geschätzten x´β (xbeta) und die geschätzten Standardfehler (std) enthält. Der Befehl out = library.outfile legt den Namen des Outputdatensatzes fest. 1. SAS-Besonderheiten – Umkodieren der abhängigen Variable Eine (nicht zu erklärende) Besonderheit von SAS ist, dass im Falle einer abhängigen dichotomen Variable die Wahrscheinlichkeit p für den kleineren und nicht für den größeren Wert der Variablen modelliert wird. Wenn z.B. die Variable die beiden Ausprägungen 0 und 1 annehmen kann und ein Schwellenwert von c=0 unterstellt wird, so gilt: p = P(Yi=0) = P(Yi*≤0) = P(ui*≤-xi´β) = 1-F(xi´β). SAS hingegen schätzt p wie folgt: p = P(Yi=0) = F(xi´β), so dass man als Parametervektor nicht β erhält, sondern -β. Wenn man also einen Parameter βk mit negativem Vorzeichen erhält, so heißt das nicht, dass die exogene Variable xk c.p. die Wahrscheinlichkeit P(Yi=1) sondern die Wahrscheinlichkeit P(Yi=0) verringert, also die Wahrscheinlichkeit P(Yi=1) erhöht. Um eine Aussage treffen zu können, ob eine bestimmte exogene Variable xk die Wahrscheinlichkeit P(Yi=1) erhöht, muss das Vorzeichen des entsprechenden β umgekehrt werden oder man kodiert die abhängige Variable vor Durchführung der Schätzung um. Handelt es sich um eine dichotome Variable, so muss aus der „0“ eine „1“ und umgekehrt aus der „1“ eine „0“ werden. Mit den folgenden Programmzeilen kann eine solche Umkodierung erfolgen. In dem Datensatz inputfile, der die abhängige Variable endo enthält, wird eine neue umkodierte Variable endo_2 erzeugt: data library.inputfile; 26 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker set library.inputfile; endo_2 = 1-endo; run; Nach einer solchen Umkodierung können die Parameterergebnisse in der gewohnten Weise interpretiert werden. 2. Optionale Ausgestaltung des Schätzverfahrens Bevor wir nun die PROBIT-Prozedur auf ein empirisches Beispiel anwenden wollen, lernen wir noch einige Optionen kennen, die die Schätzerfahren in SAS betreffen. CONVERGE = wert MAXITER = wert NOINT; Mit dem CONVERGE-Befehl kann ein Konvergenzkriterium angegeben werden. Die Parameter werden iterativ mit dem Newton-Raphson Verfahren geschätzt. Die Schätzung wird abgebrochen, wenn bei einem Parameter größer als 0,01 die relative Veränderung zwischen zwei Schritten kleiner als der angegebene Wert ist und bei einem Parameter kleiner als 0,01 die absolute Veränderung zwischen zwei Schritten kleiner als der angegebene Wert ist. Voreinstellung ist ein Wert von 0,001. Mit dem Befehl MAXITER-Befehl kann die maximale Anzahl an Iteration angegeben werden. Voreinstellung ist dabei eine Anzahl von 50. Mit NOINT wird ein Modell ohne Konstante spezifiziert und geschätzt. BY var2 NOTSORTED; Es besteht zudem noch die Möglichkeit, den Datensatz in verschiedene Gruppen einzuteilen und für jede Gruppe eine separate Schätzung durchzuführen. Dazu wird nach dem Befehl BY diejenige Variable angegeben, die festlegt zu welcher Gruppe der beobachtete Wert gehört. SAS erwartet dabei, dass der Datensatz aufsteigend nach der Gruppenvariablen sortiert ist. Ist dies nicht der Fall, so muss entweder der Datensatz mit PROC SORT vor Durchführung der Schätzung entsprechend sortiert werden oder nach dem BY Befehl die Option NOTSORTED angegeben werden. WEIGHT; Mit dem WEIGHT-Befehl kann jede Beobachtung gewichtet werden. Gewichtet wird sie dabei mit dem Wert der Variablen, die nach dem WEIGHT-Befehl angegeben wird. Der Beitrag jeder Beobachtung zur Likelihood wird dann mit dem Gewichtungsfaktor multipliziert. 27 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker 3. Das Output-Fenster bei der PROBIT-Prozedur Bevor wir zu unserem Beispiel kommen ist es noch angebracht, das OUTPUT-Fenster der PROBIT-Prozedur ein wenig zu kommentieren. Im Output-Fenster erhalten wir neben den Parameterwerten und der Standardabweichung auch einen CHISQUARE-Wert., der das Quadrat der üblichen t-Statistik ist. Die dahinterstehende Überlegung ist, dass die t-Statistik asymptotisch und unter der Nullhypothese, dass der Parameterwert gleich Null ist eine standardnormalverteilt ist. Das Quadrat einer standardnormalverteilten Variable ist χ 2 -verteilt mit einem Freiheitsgrad. Der p-Wert im Output-Fenster basiert auf dieser Annahme. Als weitere Information erhalten wir den Wert der Log-Likelihhod-Funktion. Eine Warnung ist an dieser Stelle angebracht. Bei allen nicht-linearen Schätzproblemen müssen Entscheidungen über Algorithmen, Konvergenzkriterien und die Berücksichtigung von Kovarianzmatrizen getroffen werden. Unterschiedliche Softwareprogramme lösen diese Aufgabe in unterschiedlicher Weise, so dass es durchaus möglich ist, das zwei verschiedene Programme zu unterschiedlichen Ergebnissen kommen. Den Wert der Log-Likelihood können Sie verwenden um z.B. das R2 nach McFadden oder Aldrich-Nelson zu berechnen. 4. Beispiel: Schätzung der Kaufwahrscheinlichkeit für ein Produkt Zur Verdeutlichung wenden wir uns nun einem empirischen Beispiel.2 Der SAS-Datensatz KAUF_ROH enthält 25 Beobachtungen von Individuen (INDIV), die ein bestimmtes Produkt gekauft haben (BUY=1) oder nicht (BUY=0). Als zusätzliche Informationen sind in dem Datensatz die Variablen Geschlecht (SEX) und Einkommen (INCOME) enthalten. Sie sollen den Produktkauf in Abhängigkeit dieser beiden Variablen modellieren. Übungsaufgabe 15: Modellierung Kaufentscheidung (Dichotomes Logit-Modell) 1. Erzeugen Sie zunächst eine neue umkodierte abhängige Variable BUY_2. DATA sasdat.kauf; SET sasdat.kauf_roh; BUY_2 = 1 - BUY; RUN; 2. Schätzen Sie nun ein LOGIT-Modell (mit Konstante) für die Kaufwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit der Variablen SEX und INCOME. Berechnen Sie auch Gütemaße. Schreiben Sie die Ergebnisse, sowie die berechnete Kaufwahrscheinlichkeit, die Standardabweichung und den Wert für x 'β in einen neuen Datensatz KAUF_OUT. PROC PROBIT DATA = sasdat.kauf; CLASS BUY_2; LOGIT:MODEL BUY_2 = SEX INCOME / d = logistic lackfit; OUTPUT OUT = sasdat.kauf_out PROB = PROB STD = SA xbeta = xb; 2 Aus: „Ökonometrie“ von Eckey/Kosfeld/Dreger. 28 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker run; 3. Vergleichen Sie die Kaufwahrscheinlichkeiten der Konsumenten 1 und 2. Stimmen die Wahrscheinlichkeiten mit dem tatsächlichen Kaufverhalten überein? Wie wirkt sich eine Einkommenserhöhung von 100,- DM auf das Kaufverhalten der beiden betrachteten Konsumenten aus? (Hinweis: 0,00448041 ist der berechnete Beta-Parameter aus 2.) DATA sasdat.kauf_OUT; SET sasdat.kauf_OUT; pdf = (exp(xb)/(1+exp(xb))**2); marg_100 = pdf*0.00448041*100; label marg_100 = 'marginaler Effekt von 100,-DM'; run; 4. Berechnen Sie als Gütemaß das R2 nach McFadden und Aldrich-Neslon. (-6.0719 ist der berechnete Wert der Log-Likelihood-Funktion aus 3). data sasdat.guete(keep=LL_0); set sasdat.kauf; LL_0=14*log(14/25)+11*log(11/25); run; data sasdat.guete; set sasdat.guete; R_2MF=1-(-6.0719/LL_0); R_2AN=(2*(-6.0719/LL_0))/(2*(-6.0719/LL_0)+25); run; 29 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Prozedur MODEL Mit Hilfe der SAS Prozedur MODEL können unbekannte Parameter von Mehrgleichungsmodellen geschätzt werden. Mit den geschätzten Modellen können anschließend Simulationen und Prognosen durchgeführt werden. Diese kurze Einführung soll den Leser mit den wichtigsten Befehlen und Eigenschaften dieser Prozedur bekannt machen. 1. Einführung Die vereinfachte allgemeine Syntax der MODEL Prozedur sieht wie folgt aus: Proc Model; options; Reset options; Include ...; Endogenous variables; Exogenous variables; Parameters ...; Var variables; Festlegung der Variablen und der Struktur des Modells; Festlegung von allgemeinen Optionen Fit equations; Instruments ...; Weight variables; Schätzung des Modells (Fit) Solve variables; Prognose und Simulation (Solve) By variables; Id variables; Kontrolle über die beobachteten Werte Range variables (=first) To (=last); Outvars variables; Festlegung der Variablen im Outputdatensatz Run; In dieser Reihenfolge werden nun die wichtigsten Bestandteile der MODEL Prozedur anhand von Beispielen vorgestellt. 2. Festlegung der Variablen und der Struktur des Modells In einem ersten Schritt werden die Variablen und Paramater, die in dem Modell auftauchen, sowie die Gleichungen, die diese miteinander verbinden, definiert. 30 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Dabei kann man entweder explizit angeben, welche der in dem Modell auftauchenden Variablen endogen (nach dem Befehl Endogenous, abgekürzt Endo) und welche exogen (nach dem Befehl Exogenous, abgekürzt Exo) sind, oder man gibt, ohne eine Unterscheidung zu treffen, alle verwandten Variablen nach dem Befehl Var an und überläßt es SAS, eine Unterscheidung zu treffen. SAS trifft diese Entscheidung gemäß der Rolle, die die Variablen in den Subprozeduren Fit und Solve spielen. Die getrennte Eingabe dient dabei vor allem der besseren Übersichtlichkeit und weist SAS zudem noch an, daß es bei späterer Verwendung des Solve Befehls das System nach den endogenen Variablen lösen soll. Nach der Parameters Anweisung (abgekürzt Parms) werden die Paramater des Gleichungssystems festgelegt. Hierbei besteht zudem noch die Möglichkeit, den Parametern bestimmte Werte vorzugeben, indem man den entsprechenden Wert nach dem Parameter setzt (z.B. wird mit d1 1 der Parameter d1 auf 1 restringiert, insbesondere um die Identifikation der Modelle zu gewährleisten, sind solche Restriktion notwendig). Im Anschluß werden die Strukturgleichungen des Modells festgelegt. Bei der Eingabe der Gleichungen stehen zwei Wege zur Verfügung: Eingabe in normalisierter Form oder in Standardform. Eingabe der Gleichungen in normalisierter Form meint dabei die Eingabe der Gleichungen aufgelöst nach jeweils einer endogenen Variablen: y = f(Y, X) + ε. Eingabe in Standardform meint die Eingabe jeweils aufgelöst nach der Störvariable: ε = g(Y, X). Bei dieser Eingabeart müssen zudem noch die Gleichungen bezeichnet werden (siehe Beispiel weiter unten). Als Beispiel sei folgendes Zweigleichungsmodell betrachtet: (1) quantitydemand = quantity = d0 + d1price + d2income + ε1 (2) quantitysupply = quantity = s0 + s1price + s2unitcost + ε2 mit den beiden endogenen Variablen: quantitydemand = quantitysupply = quantity und price und den exogenen Variablen: income und unitcost. Die Eingabe der Gleichungen erfolgt im folgenden sowohl in normalisierter als auch in Standardform.3 Den dazugehörigen Beispieldatensatz lesen wir dabei in einem ersten Schritt mit der cards Anweisung unter dem Namen dataset ein. Nach input werden dabei die Namen der einzulesenden Variablen angegeben. Nach dem cards Statement folgen dann die einzulesenden Variablen, getrennt mit einem Leerzeichen. /* Einlesen des Datensatzes */ data library.dataset; input year income unitcost price quantity; cards; 1976 2221.87 3.31220 0.17903 1977 2254.77 3.61647 0.06757 1978 2285.16 2.21601 0.82916 1979 2319.37 3.28257 0.33202 266.714 276.049 285.858 295.034 3 Die einzelnen Programmbestandteile der Model Procedure werden der besseren Übersichtlichkeit halber getrennt nacheinander aufgeführt. Um das Programm aber laufen lassen zu können, müssen die einzelnen Bestandteile zusammen in einem Block eingegeben und dann gestartet werden. 31 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker 1980 1981 1982 1983 1984 1985 2369.38 2395.38 2419.52 2475.09 2495.09 2536.72 2.84494 2.94154 2.65301 2.41686 3.44096 2.30601 0.63564 0.62011 0.80753 1.01017 0.52025 1.15053 310.773 319.185 325.970 342.470 248.321 360.750 proc model; /* Festlegen der Variablen */ var price quantity income unitcost; /* Alternativ */ endo quantity price; exo income unitcost; /* Festlegen der Parameter */ parms d0-d2 s0-s2; /* Festlegen der Gleichungen */ /* Eingabe in Standardform */ eq.demand = d0 + d1*price + d2*income - quantity; /* Nachfragegleichung */ eq.supply = s0 + s1*price + s2*unitcost - quantity; /* Angebotsgleichung */ /* Alternativ */ /* Eingabe in normalisierter Form */ quantity = e0 + e1*income + e2*unitcost; price = t0 + t1*income + t2*unitcost; 3. Schätzung des Modells (Fit) In dem zweiten Schritt werden die Parameter des zuvor spezifizierten Modells geschätzt. Dazu muss festgelegt werden, auf welchen Datensatz zugegriffen, welche Gleichungen der zuvor spezifizierten mit welchem Schätzverfahren geschätzt und in welchen Datensatz die Schätzergebnisse der Parameter abgespeichert werden sollen. An Schätzmethoden stehen zur Verfügung: Ordinary least squares (OLS), seemingly unrelated least squares (SUR), two stage least squares (2SLS) und three stage least squares (3SLS), wobei alle Schätzverfahren sowohl lineare als auch nichtlineare Gleichungssysteme schätzen können. Wenn auf 2SLS oder 3SLS zurückgegriffen wird, können zudem mit dem Befehl Instruments die Instrumentenvariablen explizit festgelegt werden. In dem Beispiel sollen die beiden Gleichungen supply und demand bzw. die beiden abhängigen Variablen quantity und price mit dem 2SLS Verfahren geschätzt werden. Dabei soll auf den zuvor erzeugten Datensatz library.dataset zugegriffen und der geschätzte Parametersatz in die Datei library.output geschrieben werden. Wenn nicht explizit angegeben wird, welche Gleichungen geschätzt werden sollen, so schätzt SAS alle zuvor spezifizierten Gleichungen. /* Bei Eingabe in Standardform */ fit supply demand / data = library.dataset outest = library.output 2sls; instruments income unitcost; /* Angabe optional */ 32 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker run; /* Bei Eingabe in normalisierter Form */ fit quantity price / data = library.dataset outest = library.output 2sls; instruments income unitcost; /* Angabe optional */ run; /* Alternativ bei beiden Eingabe */ fit / data = library.dataset outest = library.output 2sls; 4. Prognose und Simulation mit dem Modell (Solve) Mit dem Unterbefehl Solve können Prognosen und Simulationen für einen bestimmten Inputdatensatz mit dem Modell durchgeführt werden. In dem Prognosemodus wird, sofern vorhanden, der aktuelle Wert einer Variablen als Lösungswert des Gleichungssystems verwandt, während in dem Simulationsmodus auf den entsprechenden vorhergesagten Wert zurückgegriffen wird. In dem Prognosemodus (forecast) löst Proc Model also nur nach den aktuellen Variablen, die in dem Inputdatensatz fehlen, während in dem Simulationsmodus (simulate) auch diejenigen Variablen gelöst werden, die evtl. in dem Inputdatensatz vorhanden sind. Zunächst muß also ein Datensatz angegeben werden, in dem die Inputvariablen enthalten sind. Danach kann der Modus spezifiziert werden: Prognose- oder Simulationsmodus (Voreinstellung ist der Simulationsmodus). Abschließend ist der Outputdatensatzes, in den die vorhergesagten Werte geschrieben werden sollen, festzulegen. In unserem Beispiel soll für den nachfolgenden Datensatz, der bestimmte Werte für die exogenen Variablen enthält eine Prognose für die endogenen Variablen erstellt werden. Zu diesem Zweck lesen wir mit cards zunächst den Inputdatensatz unter dem Namen input_1 ein: 33 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker data library.input_1; input year income unitcost; cards; 1986 2571.87 2.31220 1987 2609.12 2.45633 1988 2639.77 2.51647 1989 2667.77 1.65617 1990 2705.16 1.01601; Nun sollen Prognosen für die endogenen Variablen price und quantity für die entprechenden Jahre 1986-1990 erstellt werden. Die Ergebnisse sollen in den Datensatz output_1 geschrieben werden: solve price quantity / data = library.input_1 out = library.output_1 forecast; run; Natürlich besteht auch die Möglichkeit, das Modell nach anderen als den endogenen Variablen aufzulösen. Zu diesem Zweck lesen wir einen zweiten Datensatz input_2 ein, der fiktive Werte für die endogene Variable quantity und fiktive Werte für die exogene Variable income enthält und lassen die prognostizierten Ergebnisse für die beiden anderen Variablen price und unitcost in den Datensatz output_2 schreiben: data library.input_2; input year income quantity; cards; 1986 2571.87 3794.4 1987 2603.24 3794.8 1988 2644.12 3795.2 1989 2678.13 3795.6 1990 2709.77 3796.0 ; solve price unitcost / data = library.input_2 out = library.output_2 forecast; run; Es besteht auch die Möglichkeit, die endogenen Variablen für den Beobachtungszeitraum mit dem Modell zu simulieren. Als Inputdatensatz dient uns also der gleiche Inputdatensatz, den wir auch schon zur Schätzung des Modells verwandt haben. In unserem ersten Beispiel ist das der Datensatz dataset. Die simulierten Ergebnisse für die beiden endogenen Variablen werden in den Datensatz output_3 geschrieben: 34 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker solve price quantity / data = library.dataset out = library.output_3 simulate; run; 35 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Prozedur ARIMA Mit Hilfe der ARIMA Prozedur können ARMA Modelle identifiziert, geschätzt und zu Prognosezwecken genutzt werden. Diese kurze Einführung soll den Leser mit den wichtigsten Befehlen und Eigenschaften dieser Prozedur bekannt machen. 1. Einführung Die vereinfachte allgemeine Syntax der ARIMA Prozedur sieht wie folgt aus: Proc Arima data = library.dataset; Identify var = Zeitreihe aus dem Datensatz; Estimate p = Ordnung AR-Teil q = Ordnung MA-Teil; outest = library.Datei für Schätzergebnisse method = Schätzmethode; Forecast alpha = Signifikanzniveau für Konfidenzintervalle id = Variable, die Zeitstempel enthält; interval = Periodizität der Prognose lead = Anzahl an zu prognostizierenden Perioden out = Datei, in die die Prognoseergebnisse geschrieben werden; Quit; Run; Bevor ein ARMA-Modell geschätzt werden kann, muß die Ordnung des Prozesses, d.h. die maximale Laglänge des AR- und MA-Teils, so festgelegt werden, daß er zu der modellierten Zeitreihe paßt. Die erfolgt in SAS mit Hilfe des Identify-Statements. Ist ein entsprechender ARMA-Prozeß festgelegt worden, kann er mit dem Estimate-Statement geschätzt werden. Das geschätzte Modell kann anschließend mittels des Forecast-Statements zu Prognosezwecken genutzt werden. In dieser Reihenfolgen sollen nun die wichtigsten Bestandteile der ARIMA Prozedur vorgestellt werden, wobei auch auf den theoretischen Hintergrund eingegangen werden soll. 36 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker 2. Analyse der Zeitreihe mit Identify Bei der Identifikation einer Zeitreihe müssen eine Reihe von Schritten durchlaufen werden: 1. White Noise Test der Zeitreihe 2. Vergleich zwischen empirischen und theoretischen Autokorrelationen bzw. partielle Autokorrelationen 3. Durchführen von Schätzungen für verschiedene p und q 4. Bestimmen von Informationswerten für die verschiedenen geschätzten Modelle 5. Überprüfen, ob die Parameter signifikant sind 6. White Noise Test der Residuen Bei den Schritten eins und zwei wird man von SAS durch die Subprozedur Identify unterstützt. Die entsprechende Befehlssequenz lautet dabei: Proc arima data = library.series; identify var = variable; run; Als Ergebnis erhält man eine Reihe von statistischen Auswertungen für die Variable variable aus dem Datensatz library.series, die für die Schritte eins und zwei genutzt werden können. In dem ersten Schritt, dem White Noise Test, muß überprüft werden, ob die zu modellierende Zeitreihe autokorreliert ist. Ist sie es nicht, so kann sie auch nicht mit ARIMA-Modellen modelliert werden. SAS gibt zu diesem Zweck die Ergebnisse der Ljung-Box-Prüfgröße heraus. Sind diese für mindestens eine Laglänge signifikant von null verschieden, so kann die Nullhypothese: Die Zeitreihe ist White Noise, abgelehnt und eine Modellierung mit ARMA Modellen versucht werden. Die Ljung-Box-Prüfgröße ist dabei wie folgt definiert: k Q(k ) = T /( T + 2) ( T − i)−1ri2 i=1 mit : T = Anzahl an Beobachtun gen ri 2 = Quadrierte Autokorrelationen i − ter Ordnung k = Anzahl der berücksichtigten Autokorrelationen Sie ist asymptotisch χ²-verteilt mit k Freiheitsgraden. Wenn für mindestens ein k die empirische Prüfgröße den kritischen Schwellenwert übersteigt, wird die Nullhypothese, daß die Zeitreihe einem White Noise Prozeß folgt, abgelehnt. In einem zweiten Schritt, der Analyse der Autokorrelationen (ACF) und der partiellen Autokorrelationen (PACF), werden die theoretischen mit den empirischen ACF und PACF verglichen. Die ACF mißt die Korrelation zwischen zwei Zeitpunkten, d.h. sowohl den direk37 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker ten Zusammenhang zwischen diesen beiden Zeitpunkten als auch den indirekten. Die PACF hingegen mißt nur die direkte Abhängigkeit der Zeitreihe zu zwei Zeitpunkten. Zur Identifikation des richtigen Prozesses können die folgenden heuristischen Regeln angewandt werden:4 1. Ein AR(p)-Prozeß weist eine Autokorrelationsfunktion auf, die mit zunehmendem time lag exponentiell oder in Form einer gedämpften Schwingung gegen Null fällt. Die ersten p partiellen Autokorrelationen sind ungleich, die restlichen gleich Null. 2. Die ersten q Autokorrelationen eines MA(q)-Prozesses sind ungleich, die restlichen gleich Null. Die partiellen Autokorrelationen streben mit zunehmendem time lag exponentiell oder in Form einer gedämpften Sinusschwingung gegen Null. 3. Die Autokorrelationsfunktion eines gemischten ARMA(p,q)-Prozesses strebt nach einem time lag von (q − p) Perioden wie die eines AR-Prozesses gegen Null, während sich die partielle Autokorrelationsfunktion des ARMA-Prozesses nach (p − q) Perioden wie diejenige eines MA-Prozesses verhält. Falls die Differenzen (q − p) bzw. (p − q) negativ sind, werden sie gleich Null gesetzt. 3. Schätzen eines ARMA Modells mit Estimate Hat man aufgrund der identify Subprozedur eine Spezifikation für das zu schätzende Modell gewählt, kann mit der Subprozedur estimate das Modell geschätzt werden: Proc arima data = library.series; identify var = variable; estimate q = 0 p = 3 outest = library.out method = ML; quit; run; Durch den obigen Code wird die zuvor analysierte Variable genutzt, um ein ARMA(3,0) Modell zu schätzen (q bezeichnet die Länge des MA-, p die des AR-Teils). Die geschätzten Ergebnisse (vorhergesagten Werte, vorhergesagte Residuen, etc.) werden in die Datei library.out geschrieben. Als Optimierungsverfahren wird die Maximum Likelihood Methode verwandt. Zusätzlich zu den geschätzten Parametern erhält man sog. Informationswerte, deren Kenntnis von Nutzen sein kann zur Identifikation des richtigen Prozesses. Das Ziel besteht darin, ein Modell zu wählen mit einem möglichst geringen Informationswert. SAS gibt zwei Informationswerte aus. Der Akaike Informationswert ist definiert als: AIC = -2lnL + 2(p+q), wohingegen der Schwarz-Bayes Informationswert definiert ist als: SBC = 2lnL + (p+q)lnT. 4 Vgl. Hansmann, Karl-Werner (1983): Kurzlehrbuch Prognoseverfahren, Wiesbaden, S. 78. 38 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Die geschätzten Paramter sollten alle signifikant sein. Ähnlich wie bei der Probit Prozedur ist hierbei jedoch eine Besonderheit von SAS zu beachten: SAS kehrt die Vorzeichen der geschätzen Parameter um! Aus einem Plus wird ein Minus und umgekehrt. Während die modellierte Zeitreihe kein White Noise Prozeß sein darf, sollen die geschätzten Residuen des ARMA-Modells jedoch, wie von der Theorie gefordert, White Noise sein! SAS gibt hierzu die Ergebnisse eines White Noise Checks for Residuals aus. Im Gegensatz zu dem zuvor besprochenen Ljung-Box-Test sollte nun die Nullhypothese: Die Zeitreihe ist White Noise, beibehalten werden. 4. Prognose mit ARMA Modellen mit Forecast Hat man ein ARMA Modell identifiziert und geschätzt, kann es genutzt werden, um die Entwicklung der Zeitreihe mit Hilfe der Subprozedur forecast zu prognostizieren. Proc arima data = library.series; identify var = variable; estimate q = 0 p = 3 outest = library.out method = ML; forecast alpha = 0.05 id = date interval = month lead = 24 out = library.out_p; quit; run; Mit dem der zusätzlichen forecast Zeile in dem obigen Befehl wird eine Prognose für die nächsten 24 Monate vorgenommen. Für die prognostizierte Zeitreihe werden zusätzlich Konfidenzintervalle auf dem 5% Niveau ausgewiesen. Die Ergebnisse werden dabei in der Datei library.out_p gepeichert. 39 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Prozedur AUTOREG Wann immer davon ausgegangen werden muß, daß die Residuen nicht White Noise sind und/oder die quadrierten Residuen einer untersuchten Zeitreihe nicht White Noise sind, muß für die Residuen und/oder die quadrierten Residuen ein autoregressives Modell unterstellt werden. Zu diesem Zweck kann die SAS Prozedur AUTOREG verwandt werden. Diese kurze Einführung soll den Leser mit den wichtigsten Befehlen und Eigenschaften dieser Prozedur bekannt machen. 1. Einführung Proc AUTOREG kann genutzt werden, um lineare multiple Regressionsmodelle zu schätzen, unter zusätzlicher Berücksichtigung von: - Autoregressiven Prozessen für die Residuen ARCH bzw. GARCH Prozessen für die Residuen Die allgemeine Modellspezifikation lautet dabei wie folgt: y t = x 'tβ + v t v t =ε t −ϕ1v t −1 − ... − ϕm v t −m ε t = ht e t ht = ω + q i =1 αiε 2t −i + p j =1 γ jht − j e t ~ i.i.d.N(0,1) Man erkennt, daß bei dieser allgemeinen Modellstruktur sowohl die Autokorreliertheit der Residuen als auch der quadrierten Residuen berücksichtigt wird. Die vereinfachte allgemeine Syntax der Prozedur AUTOREG, mit der diese Modellstruktur implementiert werden kann, sieht wie folgt aus: Proc Autoreg data = library.dataset; Datensatz, auf den zugegriffen werden soll Model y = var_1 ... / nlag = 2; Regressionsmodell und Anzahl an berücksichtigten Lags des AR-Prozesses Garch = (Q=q, P = p) maxit = 100; Spezifikation des GARCH Prozesses und maximale Anzahl an Iterationen Output out = library.dataset; Outputdatensatz Run; Quit; 40 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Die Vorgehensweise bei der Spezifikation dieser Art von Modellen ist ein interaktiver Prozeß, der die folgenden Schritte umfassen sollte: Test, ob autokorrelierte und/oder heteroskedastische Residuen vorliegen 2. Spezifizieren des Modells für die Residuen 3. Schätzen des Modells In dieser Reihenfolgen sollen nun die wichtigsten Bestandteile der AUTOREG Prozedur vorgestellt werden. 2. Testen auf Autokorrelation mittels Generalized Durbin-Watson Teststatistiken Der Test auf Autokorrelation der Residuen erfolgt in SAS mittels folgender Befehlssequenz: proc autoreg data = library.dataset; model y = var_1 ... / dw = 4 dwprob; run; Mit data = library.dataset wird die zu analysierende Datei spezifiziert. Mit model y = var_1 ... wird das eigentlich zu schätzende Modell spezifiziert. Mit dw = 4 wird die maximale Laglänge angeben, bis zu der generalized Durbin Watson Prügrößen berechnet werden sollen. dwprob weist SAS an, zusätzlich noch Signifikanzniveaus zu den Prüfgrößen auszugeben. Mit den generalized DW Prüfgrößen kann nicht nut Autokorreliertheit erster, sondern auch höherer Ordnung modelliert werden. Wenn zumindest eine DW Prüfgröße signifikant ungleich null ist, muß die Nullhypothese, daß die Zeitreihe nicht autokorreliert ist, abgelehnt werden. 3. Testen auf Heteroskedastie mittels Portmanteau Q-Teststatistiken Der Test auf Heteroskedastie der Residuen erfolgt in SAS mittels folgender Befehlssequenz: proc autoreg data = xxx.xxx; model y = var_1 ... / nlag = 2 archtest dwprob; run; 41 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Bis auf die Option nlag = 2, mit der die maximale Laglänge angeben wird, bis zu der QStatistiken berechnet werden sollen, stimmen die übrigen Befehle mit denen überein, die wir bereits oben kennengelernt haben. Natürlich können diese beiden Schritte auch in einem Befehl ausgeführt werden. SAS gibt dann die Ergebnisse des sog. Portmanteau Q-Test heraus. Wieder gilt, daß wenn zumindest eine Laglänge diese Prüfgröße signifikant von null, verschieden ist, die Nullhypotheses abgelehnt werden muß, daß die Zeitreihe nicht heteroskedastisch sei. Wenn festgestellt wurde, daß die Residuen einem autokorrelierten Prozeß folgen und zudem noch GARCH Effekte vorhanden sind, kann ein passender Prozeß für die Residuen entsprechend der bereits in dem vorhergehenden Kapitel besprochenen Kriterien spezifiziert werden. 4. Schätzung des Modells mit autokorrelierten Residuen und GARCHEffekt Hat man ein Modell für die Residuen mit der Hilfe der oben beschriebenen Tests spezifizieren können, kann anschließend die Schätzung erfolgen: proc autoreg data = xxx.xxx; model y = var_1 ... / nlag = 2 garch = (Q=q,P=p) maxit = xxx; output out = yyy.yyy cev = n p = m; run; Neu hinzugekommene Befehle sind dabei: nlag = 2, mit dem spezifiziert wird, bis zu welcher Laglänge Autokorrelationen der Residuen zugelassen werden, garch = (Q=q, P=p), mit dem zusätzlich noch ein bestimmtes GARCH(p,q)-Modell für die Residuen modelliert wird, maxit = xxx, mit dem die maximale Anzahl an Iterationen festgelegt werden kann und cev = n bzw. p = m, womit die geschätzten Residuen bzw. geschätzten Werte in der Outputdatei yyy.yyy unter dem Namen n bzw. m gespeichert werden können. 42 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Übungsaufgaben: Quantitative Methoden der Volkswirtschaftslehre Zur Bearbeitung dieser Aufgabe benötigen Sie den ASCII-Datensatz uebung1.asc. Er steht auf unserer Homepage http://www.wiwi.uni-frankfurt.de/Professoren/hujer/ zum Download bereit. AUFGABE 1 (INDIKATOREN UND INDIZES): a) Berechnen Sie aus den gegebenen Daten für die Bundesrepublik Deutschland die Zeitreihen für folgende Kenngrößen: - Kapitalintensität - Arbeitsproduktivität - Kapitalproduktivität - unbereinigte Lohnquote - bereinigte Lohnquote b) Bilden Sie wegen der besseren Vergleichbarkeit aus den berechneten Größen Indizes mit der Basis 1960 gleich 100. Stellen Sie die berechneten Indizes sowie die Wachstumsraten der Indizes graphisch dar und interpretieren Sie die Verläufe. AUFGABE 2 (OLS): a) Schätzen Sie mit Hilfe der Kleinst-Quadrate-Methode für die Bundesrepublik Deutschland die Parameter der folgende Cobb-Douglas-Produktionsfunktion: Yt = C ⋅ K t ⋅ A t ⋅ e ⋅t mit: Y: Output K: Kapital A: Arbeit t: Zeittrend C, α, β, λ: zu schätzende Parameter. b) Interpretieren Sie die geschätzten Parameter und Teststatistiken. Vorgehensweise: - Logarithmische Transformation der Produktionsfunktion - Auswahl und Generierung der benötigten Variablen - Schätzung der logarithmierten Funktionsform mit Hilfe der Kleinst-QuadrateMethode - Interpretation der geschätzten Parameter und Teststatistiken 43 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker AUFGABE 3 (ARBEITSNACHFRAGE UND OLS): a) Leiten Sie gemäß der neoklassischen Theorie die nachfolgende Arbeitsnachfragefunktion unter der Restriktion der in Aufgabe 2 spezifizierten Cobb-Douglas-Produktionsfunktion her. ln( L t ) = b 0 + b1 ⋅ ln (Yt ) + b 2 ⋅ ln (w ) + b 3 ln (r ) + b 4 ⋅ t Um etwaige Rigiditäten auf dem Arbeitsmarkt berücksichtigen zu können, erweitern Sie obige Arbeitsnachfragefunktion gemäß dem Modell der partiellen Anpassung zu: ln( L t ) = b 0 + b1 ⋅ ln (Yt ) + b 2 ⋅ ln (w ) + b 3 ln (r ) + b 4 ⋅ t + b 5 ⋅ ln( L t −1 ) mit: L: Y: w: r: t: b0, b1, b2, b3, b4, b5: Beschäftigte Arbeitnehmer reales Bruttosozialprodukt Reallohn reale Kapitalkosten Zeittrend zu schätzende Parameter b) Schätzen Sie die Parameter der beiden obigen Arbeitsnachfragefunktionen für die Bundesrepublik Deutschland mit Hilfe der Kleinst-Quadrate-Methode. Interpretieren Sie die geschätzten Parameter und Teststatistiken. Vorgehensweise: - Theoretische Herleitung der Arbeitsnachfragefunktion gemäß der neoklassischen Theorie, d.h. entweder nach dem Gewinnmaximierungsansatz oder nach dem Kostenminimierungsansatz - Formulierung eines Modells der partiellen Anpassung und Berücksichtigung des Anpassungsprozesses in der zu schätzenden Arbeitsnachfragefunktion - Auswahl und Generierung der benötigten Variablen - Schätzung der beiden Arbeitsnachfragefunktionen und Interpretation der geschätzten Parameter und Teststatistiken 44 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Übungsaufgaben: Grundlagen der Ökonometrie Die folgenden Übungen beruhen größtenteils auf den Büchern: • • GRIFFITHS/HILL/JUDGE (1993): Learning and Practicing Econometrics, New York. HILL (1993): Learning SAS: A Computer Handbook for Econometrics. A Guide to Programming for Learning and Practicing Econometrics and Introduction to the Theory and Practice of Econometrics, New York [SAS-Begleitbuch zu GRIFFITHS/HILL/JUDGE (1993)]. Zur Bearbeitung der Aufgabe benötigen Sie die ASCII-Datensätze airtrans.asc, kleingol.asc, sugarcan.asc, weizen.asc und brd.asc. Die Datensätze stehen auf unserer Homepage http://www.wiwi.uni-frankfurt.de/Professoren/hujer/ zum Download bereit. ÜBUNG 1 (OLS): Der ASCII-Datensatz airtrans.asc enthält Daten für den Zeitraum 1948-1979 für den Luftfracht-Sektor in den USA in der folgenden Reihenfolge: Jahr, Output (Y), Kapitalkosten (R), Kapital (K), Lohn (W) und Arbeit (L), mit Ausnahme des Jahres jeweils in Form eines Index. Es soll überprüft werden, wie das Verhältnis von Arbeit und Kapital vom relativen Preis beider Faktoren und von der Höhe des Outputs abhängt. Dazu wird folgendes Modell aufgestellt: L ln t = Kt Wt + 1 + 2 ln Rt 3 ln Yt + u t a) Welches Vorzeichen erwarten Sie für den Koeffizienten 2 ? Wie hängt das Vorzeichen von 3 mit der Gestalt des Expansionspfades in einem Diagramm mit Kapital auf der xund Arbeit auf der y-Achse zusammen? b) Führen Sie eine OLS-Schätzung des Modells durch. Lesen Sie dazu zunächst den Datensatz airtrans.asc ein und führen die notwendigen Variablentransformationen durch. Interpretieren Sie die Schätzergebnisse. Welcher Anteil der Varianz von ln (L t K t ) wird durch das Modell erklärt? c) Testen Sie die gemeinsame Hypothese, daß Hintergrund für diesen Test? 2 = 1 und 3 = 0 . Was ist der theoretische 45 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker ÜBUNG 2 (MULTIKOLLINEARITÄT): KLEIN/GOLDBERGER (1955)5 verwenden das folgende Modell zur Schätzung des inländischen Konsums in der USA (c) in Abhängigkeit vom Lohneinkommen (w), Einkommen aus Landwirtschaft (a) und Einkommen, das weder Lohneinkommen noch Einkommen aus Landwirtschaft ist, (p) für den Zeitraum 1928-1950: ct = 1 + 2 wt + 3 pt + 4 at + ut . a) Klein/Goldberger schließen den Zeitraum von 1942-1944 aus der Schätzung aus. Warum? b) Erwarten Sie a priori Multikollinearität in diesem Modell? Warum? c) Überprüfen Sie Ihre Erwartung durch eine Korrelationsanalyse. Sie finden die Daten in dem ASCII-Datensatz kleingol.asc (c, w, p, a). d) Führen Sie eine OLS-Schätzung des Modells durch. Können Sie Multikollinearität in den Schätzergebnissen erkennen? Berechnen Sie sich auch die 95%-Konfidenzintervalle für die Parameterschätzwerte. e) Welche Lösungsmöglichkeiten zur Behebung von Multikollinearität kennen Sie? Klein/Goldberger verwenden folgende Parameter-Restriktionen zur Behebung, die auf früheren empririschen Untersuchungen beruhen: 3 = 0,75 2 und 4 = 0,625 2 . Schätzen Sie das Modell erneut unter Berücksichtigung dieser Restriktionen. Wie sehen die Schätzergebnisse nun aus? Was ist das grundsätzliche Problem dieser Vorgehensweise? Überprüfen Sie mit einem F-Test, ob die Restriktionen vereinbar mit den Daten sind. ÜBUNG 3 (AUTOKORRELATION): In Bangladesch wird u.a. Zuckerrohr angebaut. Es soll ein Modell geschätzt werden, das die Fläche erklären soll, auf der Zuckerrohr angebaut wird (Variable: area). Als erklärende Variable dient der relative Preis des Zuckerrohrs gegenüber dem wichtigsten Alternativprodukt Jute. Der Preis des Zuckerrohrs ist p_sugar, der von Jute p_jute. In dem ASCII-Datensatz sugarcan.asc finden sich die Variablen area, p_sugar, p_jute. Das zu schätzende Modell lautet: p _ sugar ln (area ) = 1 + 2 ln + ut . p _ jute a) Führen Sie eine OLS-Schätzung des Modells durch. Hat der Schätzer für 2 das erwartete Vorzeichen? Überprüfen Sie mit einem geeigneten Test, ob Autokorrelation 1.Ordnung vorliegt. Schauen Sie sich auch den Plot der Residuen über die Beobachtungen an. b) Modifizieren Sie Ihre Schätzung so, daß Ihnen die OLS-Residuen nach der Schätzung erhalten bleiben und ermitteln Sie einen Schätzwert für ρ in dem autoregressiven Prozeß 1. Ordnung (AR(1)-Prozeß), der Autokorrelation 1. Ordnung zugrundeliegt (vgl. Gujarati, S.407 und 427). Ist das Ergebnis Ihrer Schätzung mit dem Ergebnis aus (a) vereinbar? (Hinweis: Achten Sie darauf, ob der AR(1)-Prozeß eine Konstante enthält!) 5 KLEIN/GOLDBERGER (1955): An Econometric Model of the United States, 1929-1952, Amsterdam. 46 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker c) GUJARATI (1995), S.427-428, schlägt mit der GLS-Methode eine Möglichkeit zur Behebung der Autokorrelation vor. Transformieren Sie Ihre Daten entsprechend und führen Sie die Schätzung aus (a) erneut durch. Wie sieht Ihre Teststatistik nun aus? (Hinweise: Verwenden Sie zur Transformation den Schätzwert für ρ aus (b); auch die Regressionskonstante ist zu transformieren - generieren sie sich dazu eine neue Variable, die sie statt der standardmäßigen Regressionskonstante in der Schätzung berücksichtigen; beachten Sie auch, daß die die ersten Beobachtungen (_n_=1) anders transformieren müssen.) d) Warum ist ein Vergleich der Standardabweichungen aus (a) und (c) irreführend? ÜBUNG 4 (HETEROSKEDASTIE): Wir betrachten die produzierte Menge an Weizen aggregiert über alle Farmen in einem einzelnen Anbaugebiet in Australien über 26 Jahre. Man kann sicherlich sagen, dass diese Menge zum einen vom (evtl. erwarteten) Weizenpreis, von der Technologie und vom Wetter abhängt. Die Umsetzung in ein ökonometrisches Modell stößt auf das Problem, dass es die „Wettervariable“ nicht geben kann, Wettereffekte werden deshalb Teil der Störvariable sein. Außerdem ist die verwendete Technologie schwer messbar. Wir verwenden deshalb Zeit als eine Proxyvariable, die Änderungen in der Technologie repräsentieren soll. Unser Modell sieht dann wie folgt aus (q = produzierte Menge Weizen; p = von der Regierung garantierter Preis für Weizen; t = 1, ,26 als Trendvariable): qt = 1 + 2 pt + 3 t + ut . Es ist außerdem bekannt, dass nach dem dreizehnten, hier betrachteten Jahr neue Weizenarten eingeführt wurden, die weniger anfällig auf das Wetter reagieren. Da Wettereinflüsse in unsere Störgröße eingehen, wird die Annahme einer homoskedastischen Störvariablen nicht zu halten sein. Vielmehr werden nun folgende Annahmen über die Störgröße zugrundegelegt: E[u t ] = 0 E u 2t = 12 E u 2t = 22 [ ] [ ] t = 1,2, ,26 t = 1,2, ,13 t = 14, ,26 Außerdem erwarten wir dem Hintergrund entsprechend, daß 2 2 < 2 1 (warum?). a) Lesen Sie den ASCII-Datensatz weizen.asc (q, p, t) ein und führen Sie separate OLSSchätzungen für die beiden Teilzeiträume durch. Stimmen sie mit den Erwartungen überein? b) Führen Sie aufgrund der Schätzergebnisse einen Goldfeld-Quandt-Test auf Heteroskedatie durch (s. GUJARATI (1995, S.374-377); aber besser: GREENE (1993, S.393-394)6). Verzichten Sie dabei aus Vereinfachungsgründen darauf, vorher Beobachtungen aus dem Sample zu entfernen. Dies hat nur einen Einfluß auf die Macht des Tests. 6 GREENE, WILLIAM (1993): Econometric Analysis, 2nd edition, New York. 47 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker c) Führen Sie eine feasible GLS-Schätzung für das gesamte Sample durch. Von einer feasible GLS-Schätzung wird gesprochen, wenn man das von GUJARATI (1995, S.381-382) diskutierte Verfahren anwendet und dabei statt der unbekannten wahren Varianzen die geschätzen Varianzen verwendet. Interpretieren Sie die Schätzergenisse im Vergleich zu denen aus (a). (Hinweis: Erneut ist auch eine Transformation der Regressionskonstanten notwendig!) ÜBUNG 5 (PRODUKTIONSFUNKTION FÜR DIE BUNDESREPUBLIK) Schätzen Sie mit Hilfe von OLS die Parameter der folgenden Cobb-DouglasProduktionsfunktion für die Bundesrepublik Deutschland 1960 - 1991 und interpretieren Sie die Schätzergebnisse: Yt = ⋅ K t ⋅ A t ⋅ e mit: ⋅t Y = Output; K = Kapital; A = Arbeit und t = Zeittrend Grundlage ist der Datensatz brd.asc mit folgenden Variablen: JAHR ECP EIP K LE LHT LSE PECP POP PXGNP RL TIME UCUM X XGNPDM YDH YL YLA YNNI Jahr Privater Verbrauch (Mrd. DM 1985) Anlageinvestitionen aller Untern. (Mrd. DM 1985) Bruttoanlagevermögen insg. (Mrd. DM 1985) Beschäftige Arbeitnehmer insg. (Mio) Arbeitsvolumen insgesamt (Mio Std.) Selbständige und Mithelfende (Mio) Impl. Preisindex priv. Verb. (1985=100) Wohnbevölkerung (Mio.) Impliziter Preisindex BSP (1985 = 100) Langfristiger Zins Zeittrend Kapazitätsauslastung insgesamt Bruttowertschöpfung (Mrd. DM 1985) Bruttosozialprodukt (Mrd. DM) Verfügbares Einkommen der priv. HH. (Mrd. DM) Eink. aus unselbst. Arbeit insg.(Mrd.DM) Durchsch. Einkommen je Beschäftigtem (Tsd.DM) Nettosozialprodukt zu Faktorkosten (Mrd. DM). 48 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Übungsaufgaben: Mikroökonometrie Die folgenden Übungen beruhen größtenteils auf den Büchern: • • • • GRIFFITHS/HILL/JUDGE (1993): Learning and Practicing Econometrics, New York. HILL (1993): Learning SAS: A Computer Handbook for Econometrics. A Guide to Programming for Learning and Practicing Econometrics and Introduction to the Theory and Practice of Econometrics, New York [SAS-Begleitbuch zu GRIFFITHS/HILL/JUDGE (1993)]. Greene (1997): Econometric Analysis, New York. Eckey/Kosfeld/Dreger (1995): Ökonometrie, Gabler-Verlag Zur Bearbeitung der Aufgabe benötigen Sie die SAS-Datensätze TEACH und VOTE. Die Datensätze stehen auf unserer Homepage http://www.wiwi.uni-frankfurt.de/Professoren/hujer/ zum Download bereit. AUFGABE 1 (VERGLEICH ZWISCHEN LWM, LOGIT UND PROBIT): Spector und Mazzeo (1980) untersuchten in einer Studie die Wirkung einer neuen Lehrmethode in dem Fach Ökonomie auf die Leistung von Schülern. Der SAS-Datensatz TEACH enthält 32 Beobachtungen von Schülern, die mit dieser neuen Lehrtechnik unterrichtet wurden (PSI = 1). Die abhängige Variable GRADE zeigt an ob sich die Leistung verbessert hat (GRADE=1) oder nicht (GRADE=0). Als weitere Variablen sind GPA, die Durchschnittsnotenpunktzahl, und TUCE, das Ergebnis eines Vortests der das ökonomische Basiswissen überprüft hat, enthalten. a) Berechnen Sie die Erfolgswahrscheinlichkeit P(GRADE = 1) in Abhängigkeit der Variablen GPA, PSI und TUCE. Schätzen Sie zunächst eine lineares Wahrscheinlichkeitsmodell, dann ein Probit-Modell und abschließend ein Logit-Modell. b) Interpretieren Sie die Ergebnisse. Wie erklären Sie sich die Unterschiede in den verschiedenen Modellen? c) Berechnen Sie Mc Faddens R2 für das Logit- und das Probit-Modell. d) Wie hoch ist die Erfolgswahrscheinlichkeit für einen Schüler, mit den Ausprägungen (GPA: 2.4, TUCE: 27, PSI: 1) im Logit-Modell? 49 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker AUFGABE 2 (LOGIT UND PROBIT): Der Datensatz VOTE enthält die Ergebnisse der US-Präsidentschaftswahlen des Jahres 1976 für 51 Staaten. Die Variablen DEMO und REP enthalten jeweils die auf die Demokratische und die Republikanische Partei entfallenen Stimmen (in Tausend). INCOME ist das durchschnittliche Familieneinkommen aus dem Jahre 1975. Die Variable SCHOOL gibt die durchschnittliche Anzahl von Schuljahren an, die von Personen über 17 Jahren absolviert wurden. URBAN ist der Prozentanteil von Personen, die in einem „städtischen Gebiet“ wohnen und REGION ist eine regionale Dummy-Variable, die die folgenden Ausprägungen annehmen kann: 1 = Northeast, 2 = Southeast, 3 = Midwest und Middle South, 4 = West und Mountain States. a) Generieren Sie eine Indexvariable, die den Wert 1 annimmt, wenn die Demokratische Partei in einem Staat gewonnen hat. b) Schätzen Sie ein Logit- und ein Probit-Modell und verwenden Sie als erklärende Variablen: INCOME, SCHOOL, URBAN und die Regionen. Interpretieren Sie die Ergebnisse. 50 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker Übungsaufgaben: Finanzökonometrie Für die folgenden Übungen benötigen Sie Datensätze, die Sie von unsere Homepage downloaden können: http://www.wiwi.uni-frankfurt.de/Professoren/hujer/. Die Datensätze sind zumeist dem Buch von Mills (1996), The Econometric Modelling of Financial Time Series, Cambridge, entnommen. AUFGAGE 1 (IDENTIFIKATION VON ARIMA MODELLEN): Modellieren Sie die Zeitreihe whatami, die Sie in der Datei whatami finden können. Dieser Zeitreihe liegt ein simulierter stochastischer ARMA(p,q) Prozess zugrunde. Identifizieren Sie die Ordnung der AR und MA-Teile. AUFGAGE 2 (SCHÄTZEN VON UND PROGNOSE MIT ARIMA MODELLEN): Modellieren Sie die Zeitreihe der nominalen FTA-all-share monatlichen Returns (FTARET) als ARIMA-Prozess. a) Prüfen Sie, zunächst nur graphisch und anhand der empirischen Autokorrelationen, die Stationarität von FTARET. Versuchen Sie zunächst, anhand der empirischen Autokorrelationsfunktion einen zugrundeliegenden ARIMA-Prozess zu identifizieren. b) Schätzen Sie die Parameter der Modelle mit der Maximum-Likelihood-Methode. Schätzen Sie die von Ihnen gewählten AR(p) Prozesse mit Conditional Least Squares und Maximum Likelihood. Vergleichen Sie die Schätzergebnisse. c) Begründen Sie die Wahl Ihres Modells anhand des Akaike- und Schwarz-Kriteriums, der Signifikanz der Parameter-Schätzwerte und der Korrelationsstruktur der geschätzten Residuen. Schreiben Sie das geschätzte Modell in verschiedenen Notationen eines ARMA-Modells. d) Prognostizieren Sie FTARET 12 Perioden in die Zukunft. Diskutieren Sie die Prognosegüte des von Ihnen gewählten Ansatzes. Stellen Sie die Prognose und die unteren und oberen Grenzen des 95 % Konfidenzintervalles graphisch dar. AUFGAGE 3 (SCHÄTZEN VON GARCH-MODELLEN): Modellieren Sie die Zeitreihe der nominalen FTA-all-share monatlichen Returns (FTARET) als GARCH-Prozess. a) Spezifizieren Sie zunächst ein ARCH(1) und ein GARCH(1,1) Modell und schätzen Sie die Parameter der Modelle mit der Maximum-Likelihood-Methode. Prüfen Sie die Stationarität der von Ihnen geschätzten bedingten Varianzen. b) Plotten Sie die sich ergebende Schätzung der bedingten Varianz der beiden Modelle zusammen mit der Originalzeitreihe und diskutieren Sie die unterschiedlichen Ergebnisse 51 Caliendo und Radi : SAS – Eine erste anwendungsorientierte Einführung für Ökonometriker c) Wählen Sie nach Ihnen bekannten Modell-Selektionskriterien ein geeignetes GARCH(p,q)-Modell zur Beschreibung von FTARET. Begründen Sie Ihre Entscheidung d) Schätzen Sie ein E-GARCH-Modell und prüfen Sie die Hypothese asymmetrisch wirkender Schocks auf die Volatilität von FRARET. Nehmen Sie das von Ihnen gewählte EGARCH-Modell in Ihr Modellportfolio auf? e) Prüfen Sie auf G(ARCH) in Mean-Effekte. (Höherer Return bei höherer Volatilität). f) Schätzen Sie die Modelle nochmals unter der Annahme von t-verteilten Innovationen. Prüfen Sie die Hypothese der Normalverteilung. 52
