übung_teil_1 [Schreibgeschützt] - Department für Bautechnik und
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Baustatik Übungen Kolloquiumsvorbereitung Universität für Bodenkultur Department für Bautechnik und Naturgefahren Wien, am 15. Oktober 2004 DI Dr. techn. Roman Geier Theoretischer Teil: • Ziele / Allgemeine Informationen • Einführung und Definitionen • Lagerung von Tragwerken • Innere Kräfte – Schnittgrößen Praktischer Teil: • Beispiele zu statischen Systemen Inhalt der Übungseinheit Ziele / Allgemeine Informationen Part Teil II • Wiederholung der Grundlagen aus Mechanik • Quantitative und Qualitative Ermittlung von Schnittkraftverläufen statisch bestimmter Systeme • Darstellung von Schnittkraftverläufen bei statisch unbestimmten Systemen • Kritische Evaluierung der Ergebnisse von Computerprogrammen Positiver Abschluss ist Voraussetzung für weitere Absolvierung der Baustatik Ziele Einführung und Definitionen Part TeilIIII Begriffe: Kraft, Weg, Zeit Mechanik Beschreibung der Vorhersage der Bewegung von Körpern sowie der Kräfte, welche die Bewegung verursachen Kinematik Dynamik Lehre vom geometrischen und zeitlichen Bewegungsablauf ohne Kraftwirkung Allgemeiner Fall eines mechanischen Vorganges. Beschäftigt sich mit Kräften und den resultierenden Bewegungen Statik Latein „status“ – stehen Zustand der Ruhe, d.h. Kräfte sind im Gleichgewicht Gliederung der Mechanik • 1. Newtonsche Axiom (Trägheitsgesetz) jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen, geradlinigen Bewegung, solange er nicht durch eine äußere Kraft gezwungen wird, den Bewegungszustand zu ändern • 2. Newtonsche Axiom (Dynamisches Grundgesetz) die Bewegung eines Körpers ändert sich proportional zur einwirkenden Kraft. F=m.a • 3. Newtonsche Axiom (Reaktionsgesetz) Die von zwei Körpern aufeinander ausgeübten Wirkungen (Kräfte, Momente) sind stets gleich groß und entgegengesetzt gerichtet Actio = Reactio Newtonsche Axiome Statik Latein „status“ – stehen Zustand der Ruhe, d.h. Kräfte sind im Gleichgewicht • Kraft resultiert aus der täglichen Erfahrung • Kraft lässt sich nur durch Abstraktion erklären • Kraft lässt sich nicht direkt beobachten à Die Wirkung von Kraft, d.h. die Kraftwirkung lässt auf ihre Existenz schließen (Verformung, Dehnung, Verschiebung, etc.) Eine Kraft ist durch drei Eigenschaften bestimmt: - Betrag - Richtung - Angriffspunkt Eine Kraft wird mit dem Symbol F (engl. force) bezeichnet Die Maßeinheit für den Betrag der Kraft ist N (Newton) oder kN Kraft Kraft ist ein gebundener Vektor • “Gebunden” heißt: die Kraft ist an eine Wirkungslinie gebunden und besitzt einen eindeutigen Angriffspunkt • “Frei” heißt: einen freien Vektor kann man im Raum zu sich selbst parallel verschieben. Dies ist bei einem Kraftvektor nicht möglich. • Die Kraft als Vektor wird mit dem Symbol F gekennzeichnet • Der Betrag, die Wirkungsgröße, ist durch das Symbol F gekennzeichnet Wirklinie Kraftvektor F Angriffspunkt Die Kraft • Flächenlast, Volumskraft Arten der Kraft (Bsp.) F Kraftwirkung auf ein System Kolbenantrieb Tacoma Narrows Brücke, 1940 [Prof. J. L. Lilien] Ben Ahnin Brücke, Belgien [www.arup.com] Milleniumbrücke, 2000 [Prof. Fujino] Tokyobay-Brücke, Japan Lagerung von Tragwerken Part III Teil Ebene Raum Durch Lagerung erfolgt eine Einschränkung der Bewegungsmöglichkeiten Freiheitsgrade a=1 a=2 a ... Lagerreaktionen Auflagerarten a=3 Freischnitt von Kräften bzw. Schnittprinzip führt auf Wechselwirkungsgesetz: actio = reactio Prinzip Es besagt, dass zu jeder Kraft immer eine gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Gegen- bzw. Reaktionskraft gehört. Die Kräfte, welche zwei Körper aufeinander ausüben, sind gleich groß, entgegengesetzt gerichtet und liegen auf der gleichen Wirklinie Wechselwirkungsprinzip Freischneiden von Bauteilen Wird die Anzahl der Unbekannten Auflagerreaktionen mit a bezeichnet, so gilt für ein starres, ebenes Tragwerk: a>3 a=3 a<3 statisch unbestimmte Lagerung statisch bestimmte Lagerung bewegliches System Besteht ein System aus mehreren einteiligen Tragwerken, so ist neben der Zahl s der starren Tragwerke auch die Anzahl der Gelenkkräfte g (g = 2 je Gelenk) zu berücksichtigen. 3s < a + g 3s = a + g 3s > a + g statisch unbestimmte Lagerung statisch bestimmte Lagerung bewegliches System Abzählkriterium a=3 Statisch bestimmte Lagerung F q L = 10 m a=4 Statisch unbestimmt – einfach überbestimmt F q L = 10 m a=2 Statisch unbestimmt – bewegliches System Beispiele 3s = a + g 3s = a + g 3*2 = (1+3) + 2 Statisch bestimmte Lagerung 3s < a + g 3*2 < (2+3) + 2 Statisch unbestimmt 3s > a + g 3*2 > (1+2) + 2 bewegliches System Beispiele Innere Kräfte Schnittgrößen Teil IV Koordinatenrichtungen Neben den äußeren Kräften (Belastung, Lagerreaktionen) wirken innere Kräfte und Momente als Maß für die Beanspruchung des Systems. Durch das Schnittprinzip freigesetzte Beanspruchungen werden als SCHNITTGRÖSSEN bezeichnet. Belastet und freigeschnitten Schnitt durch einen Körper Aufgebrachte Kräfte und Reaktionskräfte sind äußere Kräfte Durch den Schnitt freigelegte Kräfte sind innere Kräfte Schnittprinzip Koordinatenrichtungen Koordinatenrichtungen Positives Schnittufer Negatives Schnittufer Vorzeichenregelung • Zerlegung der resultierenden Kraft in Normal- und Queranteil N: Normalkraft (in Richtung der Schwerachse) Q: Querkraft (senkrecht zur Schwerachse) M: Biegemoment • Durch den Schnitt ergeben sich zwei Teile mit Schnittufern • Schnittgrößen sind stets entgegengesetzt gleich groß (actio = reactio) Σ H = 0, Σ V = 0 und Σ M = 0 Schnittgrößen und Gleichgewicht z Last – Querkraft - Biegemoment Last – Querkraft - Biegemoment • Last entspricht der ersten Ableitung der Querkraft • Querkraft ist die erste Ableitung des Momentes • Biegemoment hat einen Extremwert, wenn die Querkraft Null ist bzw. ihr Vorzeichen ändert • Positive und negative Querkraftfläche ist vom Betrag gleich groß Belastung = Einzelkräfte: Querkraft ist abschnittsweise konstant und weist einen Sprung an der Stelle der Last auf. Momentenlinie hat geradlinigen Verlauf mit Knicken unter der Last Belastung = gleichförmig: Querkraft linear veränderlich, Momentenlinie entspricht einer quadratischen Parabel. Last – Querkraft - Biegemoment Beispiel Danke für die Aufmerksamkeit ! [email protected] Fallbeispiele
