Kapitel 7: Quasioptische Komponenten 1. Teil

7 Quasioptische Komponenten
Ein optisches System im THz-Bereich wird in der Regel durch eine ganze Reihe von Komponenten aufgebaut. Hornantennen dienen als Sende- und Empfangsantennen, fokussierende Elemente dienen dazu Strahl Taillen zu transformieren und an die gewünschten
Begebenheiten anzupassen oder sie dienen lediglich dazu einen Strahl am zu starken Divergieren zu hindern. Andere Komponenten beeinflussen die Polarisation der Strahlung
und können in der einfachsten Form zum Aufteilen eines Strahles verwendet werden.
Auf eine Reihe dieser Komponenten soll in diesem Kapitel eingegangen werden.
7.1 Fokussierende Elemente
Ein ideales fokussierendes Element wird eine Eingangstaille in eine Ausgangstaille transformieren, wobei eine Grundmode wieder in eine Grundmode überführt wird. Bei unseren
Betrachtungen gingen wir bisher davon aus, dass die fokussierende Komponente gross
genug dimensioniert sei, um nicht etwa zu Beugungseffekten zu führen. In der Praxis
hingegen wirken diese Elemente nicht bloss wie ein Phasentransformator, sondern sie
werden auch zu Verlusten durch Absorption oder Reflexion führen und zudem können
auch Anteile in höhere Moden gestreut werden oder Anteile in der Kreuzpolarisation
auftreten. Falls höhere Moden generiert werden, kann dies wegen der unterschiedlichen
Ausbreitung der Phasen zu einer Verzerrung des Strahles führen.
7.1.1 Parabolspiegel
Im Gegensatz zu refraktiven fokussierenden Elementen, die Verluste in der Komponente
aufweisen und Fehlanpassungen am Übergang vom einen Medium ins andere produzieren, ist diese Problematik bei metallischen Spiegeln weitgehend unbedeutend. Die
Reflektivität metallischer Spiegel ist im THz-Bereich praktisch eins. Ein Hauptnachteil eines Spiegels ist aber gerade durch die Reflektivität selbst gegeben, nämlich dass
einfallender und reflektierter Strahl unter Umständen aufeinander zu liegen kommen.
Das führt dann dazu, dass der eine den anderen ganz oder teilweise überdeckt, was die
Anordnung von Komponenten erschwert. Dies ist besonders bei axial symmetrischen
Aufbauten der Fall. Es gibt Fälle, wo das bewusst in Kauf genommen wird, etwa bei
einem Cassegrain-System. In quasioptischen Aufbauten, wie wir sie behandeln, kommt
aber viel häufiger die Variante zum Zuge, wo ein fokussierender Spiegel nicht axial, sondern sog. off-axis“ verwendet wird. Im Falle eines Parabolspiegels führt das dazu, dass
”
der Spiegel nicht den Scheitel beinhaltet, sondern aus einem daneben liegenden Segment,
eben off-axis, besteht.
131
7 Quasioptische Komponenten
Wir können uns die Frage stellen, welche Form die Oberfläche eines reflektierenden
fokussierenden Spiegels haben muss. Wir verlangen, dass die Phasenänderungen entlang
des Strahles für jeden Pfad gleich ist. Wir betrachten einen Strahl mit Eingangstaille im Abstand z vom Spiegel, der zu einer Ausgangstaille im Abstand z 0 führt. Die
Phasenänderung δ(axial) entlang der Achse zwischen den Ebenen, welche die Taillen
beinhalten ist dann
δ(axial) = k(z + z 0 ) + Φ(z) + Φ0 (z 0 ),
(7.1)
wobei mit Φ = arctan(z/zc ) der Phasenterm eines Gauss Strahles gemeint ist. Entlang
eines anderen Pfades, der den Spiegel in der axialen Ebene im Punkt (α, β) trifft, wird
die entsprechende Phasenänderung δ(α, β) gegeben durch
πα2 πβ 2
−
,
(7.2)
λR
λR0
wobei die Zusatzterme mit den Krümmungsradien R resp. R0 von den Phasenfehlern im
Abstand α resp. β von der Achse stammen. Ein idealer Spiegel sollte so beschaffen sein,
dass δ(axial) = δ(α, β) für jeden Punkt auf der Spiegelfläche gilt. In den meisten Fällen
sind die Werte für α und β klein, und wir können folgende Vereinfachungen nutzen
δ(α, β) = k(z + β + z 0 − α) + Φ(z + β) + Φ0 (z 0 − α) +
λβ
z 2 −1
∂Φ
β=
(1 + 2 )
Φ(z + β) − Φ(z) ≈
∂z
πw02
zc
(7.3)
und analog für den Fall mit α. 1 Damit wäre die Spiegeloberfläche definiert. Doch meistens führt das auf so komplizierte Gleichungen, dass eine optische Komponente nicht so
gefertigt werden kann.
Wir wollen nun untersuchen, wie ein Paraboloid mit der Brennweite f auf einen Gauss
Strahl wirkt. Ein Paraboloid der Brennweite f und mit Scheitel und Brennpunkt auf
der z-Achse wird beschrieben durch
x2 + y 2
.
(7.4)
z=
4f
Man kann die Oberfläche auch in sphärischen Polarkoordinaten ausdrücken, wobei der
Ursprung des Koordinatensystems im Brennpunkt liegt und der Abstand eines Punktes
auf dem Spiegel vom Brennpunkt mit ρ und der Winkel zwischen der Achse und der
Verbindungsstrecke zum Punkt mit ϑ bezeichnet wird, wie dies in Figur 7.1 dargestellt
ist. Es gilt
2f
.
(7.5)
ρ=
1 + cos ϑ
Ein zur z-Achse paralleler Einfalls-Strahl wird einen Winkel ϑi zur Spiegel-Normalen
im Auftreffpunkt P machen und unter demselben Winkel reflektiert werden. Wenn der
Strahl durch den Brennpunkt geht, dann ist ϑ = 2ϑi und damit ist x = 2ρ sin ϑi cos ϑi
und die Parabelgleichung wird 2
f
ρ=
.
(7.6)
cos2 ϑi
−1
2
∂
Die Ableitung von Φ ist ∂z
arctan zzc = z1c 1 + zz2
c
2
es wird Gebrauch gemacht von der Identität cos2 α = 1/2(1 + cos 2α)
1
132
7 Quasioptische Komponenten
z
"
!
f
x
Abbildung 7.1: Darstellung einer Parabel in Polarkoordinaten
Eine symmetrische Parabel ist aber aus bereits erwähnten Gründen meist nicht sehr
praktisch und es ist günstiger eine off-axis Parabel zu verwenden. Wir wollen nun einen
analytischen Ausdruck für ein off-axis Segment herleiten und führen zu diesem Zweck
verschiedene Koordinatensysteme ein, wie dies in Figur 7.2 gezeigt ist. Das lokale Koordinatensystem (x0 , z 0 ) mit Ursprung im Punkt P wird beschrieben durch die Koordinatenachse x0 , welche im Punkt P tangential zur Spiegelkurve ist, und der Achse z 0 , welche
senkrecht auf der Spiegeloberfläche steht. Der Aufpunkt P hat im Koordinatensystem
(x, z) die Koordinaten (∆x, ∆z). Gesucht sind die Koordinaten eines Punktes auf der
off-axis Parabel (x0 , z 0 ) ausgedrückt im Koordinatensystem (x, z).
1. Schritt:
Rotation von (x0 , z 0 ) um dem Winkel −ϑi ergibt ein System (x̂, ẑ)
x̂ = x0 cos ϑi − z 0 sin ϑi
(7.7)
ẑ = y 0 sin ϑi + z 0 cos ϑi
(7.8)
2. Schritt:
Verschiebung um ∆x und ∆z wobei
∆x = ρ sin 2ϑi
(7.9)
∆z = f − ρ cos 2ϑi = ρ2 cos2 ϑi − ρcos2ϑi ,
(7.10)
133
7 Quasioptische Komponenten
z
z’
z
2"i
f
!
x’
"i
"i
x
#z
#x
x
Abbildung 7.2: Verwenden einer off-axis Parabel
und wobei von Gleichung (7.6) Gebrauch gemacht wurde. Zudem gilt
ρ cos2 ϑi − ρcos2ϑi = ρ sin2 ϑ
(7.11)
x = x̂ + ∆x
(7.12)
z = ẑ + ∆z
(7.13)
x = x0 cos ϑi − z 0 sin ϑi + ρ sin 2ϑi ,
(7.14)
y = y0
(7.15)
z = x0 sin ϑi + z 0 cos ϑi + ρ sin2 ϑi .
(7.16)
und somit wird
resp.
und3
Einsetzen obiger Formeln in die Parabelgleichung (7.4) und auflösen nach z 0 ergibt die
Offsetparabel im (x0 , z 0 )-System. Diese Rechnung ist sehr aufwendig und lässt sich mit
Maple lösen. Dies führt für z 0 auf zwei Lösungen mit ± vor dem Wurzelausdruck
1/2 !
2
0
0
02
x
sin
ϑ
x
sin
ϑ
y
sin
ϑ
2ρ
cos
ϑ
i
i
i
i
1+
± 1+
− 2
.
(7.17)
z0 =
2ρ
ρ
4ρ cos2 ϑi
sin2 ϑi
3
die Formel (5.61) für z in Goldsmith weist Fehler auf
134
7 Quasioptische Komponenten
Simulation mit Maple zeigt, dass nur die - Lösung sinnvoll ist4 . In den meisten Fällen
wird ϑi < π/2 sein und falls
x0 sin ϑi
1,
(7.18)
ρ
so lässt sich Gleichung (7.17) entwickeln und es gibt die folgenden Näherungen zu dieser
Gleichung:
y 02
x02 cos ϑi
x0 sin ϑi
0
z =
+
1−
(7.19)
4ρ cos ϑi
4ρ
2ρ
und
z0 =
y 02
x02 cos ϑi
+
.
4ρ cos ϑi
4ρ
(7.20)
Dass diese drei Gleichungen für z 0 wirklich näherungsweise Parabeln darstellen, lässt
sich am besten graphisch überprüfen5 . Figur 7.3 zeigt die drei Kurven, die mittels dieser
Gleichungen erhalten werden. Wird ρ grösser gewählt, so lassen sich die Kurven kaum
3
(4.17)
(4.19)
(4.20)
2.5
z´
2
1.5
1
0.5
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
x´
Abbildung 7.3: Darstellung eines off-axis Parabolspiegels gemäss den Formeln 7.17, 7.19
und 7.20. Es wurde ein Winkel ϑi = π/8 sowie eine Brennweite ρ = 10
angenommen.
mehr unterscheiden, wie in 7.4 zu sehen ist.
Zusammengefasst lässt sich sagen, dass ein off-axis Parabolspiegel wie ein normaler
Parabolspiegel beschrieben werden kann, vorausgesetzt x0 sin ϑi /ρ 1. Das bedeutet,
dass die Abmessungen des Spiegels nicht beliebig gross sein können bei gegebenem Offsetwinkel. Die zugehörige Brennweite ist zudem f = ρ, d.h. gleich der Distanz vom
4
5
entsprechend (5.62) in Goldsmith
Diese Gleichungen entsprechen den Formeln (5.62), (5.64) und (5.65) in Goldsmith
135
7 Quasioptische Komponenten
0.25
ϑ =π/8
i
ρ=100
0.2
z’
0.15
0.1
0.05
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
x’
Abbildung 7.4: Verschiedene off-axis Parabolspiegel
Brennpunkt zum Zentrum des Spiegels. Das heisst, dass in Berechnungen der Transformationseigenschaften eines off-axis Paraboloids nicht die ursprüngliche Brennweite
genommen werden kann! Ansonsten lassen sich nun bei gegebener Eingangstaille und
der aequivalenten Brennweite die entsprechende Ausgangstaille berechnen. Es sei noch
darauf hingewiesen, dass in der Anwendung eines Parabolspiegels für Gauss Strahlen
auch eine Ausgangstaille entsteht. Der Strahl wird zwar nach der Reflexion nahezu parallel verlaufen, aber nicht vollständig wie das in der geometrischen Optik der Fall sein
würde.
Es ist zu bemerken, dass die Nutzung eines off-axis Spiegels wegen Projektionseffekten
zu einer Fehlanpassung des eingehenden und des ausgehenden Strahles führt. Das hat
zur Folge, dass ein Teil der Leistung in höhere Moden gestreut wird. Wegen den unterschiedlichen Phasenschiebungen verschiedener Moden, wird dies zu einer Verzerrung
des ursprünglichen Signals führen. Ferner kann auch ein Signal in der Kreuzpolarisation auftreten. Wir werden auf diese Problematik noch einmal im nächsten Abschnitt zu
sprechen kommen.
7.1.2 Elliptische Spiegel
An Stelle eines off-axis Parabolspiegels ist es auch möglich ein Segment eines Rotationsellipsoids als Spiegel zu verwenden. Die grosse Hauptachse liege auf der z-Achse und
habe die Länge 2a, senkrecht dazu, auf der x-Achse liegend, sei die kleine Hauptachse
der Länge 2b. In kartesischen Koordinaten haben wir für die Ellipsengleichung
x2 + y 2 z 2
+ 2 = 1.
b2
a
136
(7.21)
7 Quasioptische Komponenten
Der Abstand der Brennpunkte zu einem Punkt auf dem Spiegel sei R1 resp. R2 6 , wobei
gilt
R1 + R2 = 2a
(7.22)
und
b=
p
R1 R2 cos ϑi .
(7.23)
Für die Exzentrizität gilt
e=
b2
1− 2
a
0.5
(7.24)
und der Abstand der Brennpunkte A0 ist
A0 = 2ea.
(7.25)
Ein Strahl, der vom Brennpunkt F1 ausgeht, wird so reflektiert, dass er durch den anderen Brennpunkt F2 geht und mit der Flächennormalen im Aufpunkt des Spiegels den
Winkel ϑi bildet. Unter Verwendung des Cosinussatzes kann die Exzentrizität auch geschrieben werden:
(R12 + R22 − 2R1 R2 cos 2θi )0.5
.
(7.26)
e=
R1 + R2
Mit ϑp bezeichnen wir noch den Aussenwinkel zwischen der z-Achse und dem Eingangsstrahl. Dieser lässt sich ausdrücken mit
2
R1 + A20 − R22
−1
ϑp = π − cos
(7.27)
2R1 A0
Analog zum off-axis Parabolspiegel wird auch hier ein lokales Koordinatensystem x0 , z 0
eingeführt, welches aus einer Rotation um den Winkel ϕ und einer Translation um ∆x
und ∆z aus dem alten System x, z hervorgeht (vgl. Figur 7.5). Wir verfahren nun analog
wie beim Parabolspiegel in zwei Schritten:
1. Schritt: Rotation um ψ
x̂ = x0 cos ψ − z 0 sin ψ
ẑ = x0 sin ψ + z 0 cos ψ
(7.28)
(7.29)
2. Schritt: Translation
∆x = R1 · sin(180 − ϑρ ) = R1 sin ϑρ
A0
A0
∆z = R1 · cos(180 − ϑρ ) −
= −R1 cos ϑρ −
2
2
Damit erhalten wir für x und z:
x = x0 cos ψ − z 0 sin ψ + R1 sin ϑρ
y = y0
z = x0 sin ψ + z 0 cos ψ − R1 cos ϑρ −
6
(7.30)
(7.31)
(7.32)
(7.33)
A0
2
(7.34)
Achtung: Die Abstände R sind nicht etwa mit den Krümmungsradien der Gauss Strahlen zu verwechseln!
137
7 Quasioptische Komponenten
x
x’
x
!
z
z
z’
Abbildung 7.5: Elliptischer Spiegel
Setzen wir diese Ausdrücke nun in die Ellipsengleichung (7.21) ein, so lässt sich im
lokalen System schreiben:
02
y 02
x cos θi
0
+
(1 − cx0 ),
(7.35)
z =
4fe
4fe cos θi
wobei
R1 R2
R1 + R2
(7.36)
e2 sin2 ψ cos ψ
.
R1 sin θρ
(7.37)
fe =
und
c=
Hier ist nun fe die Brennweite des Ellipsoid-Segments, das als Reflektor verwendet wird,
ausgedrückt in den Abständen R1 und R2 zu den Brennpunkten. Die Asymmetrie des
Reflektors wird durch den Faktor cx0 beschrieben, der möglichst klein sein sollte. Das bedeutet aber, dass das Ellipsoid Segment nicht beliebig gross sein kann und nicht beliebige
Winkel Ψ in Frage kommen. Für Ψ = 0 würde zwar c = 0, aber das würde einem Spiegel
138
7 Quasioptische Komponenten
entsprechen, der auf der grossen Halbachse zentriert wäre und damit zu grosser Abschattung führen würde. Es gibt aber auch den Fall, wo der Spiegel um die kleine Halbachse
zentriert ist, so dass R1 = R2 = R. Damit wird fe = R/2, a = R und b = R cos ϑi . Diese
Anordnung hat auch zur Folge, dass c = 0 ist und damit auch minimale Verzerrungen
auftreten. Wie wir noch sehen werden, ist die optimale Variante so, dass die Abstände
der Brennpunkte zum Spiegel identisch sind mit den Krümmungsradien der Wellen, d.h.
Rin = R1 und Rout = R2 .
Wir wollen nun noch zwei praktische Beispiele diskutieren, die illustrieren, wie ein elliptischer Spiegel verwendet werden kann. Dabei verwenden wir Gleichungen aus Kapitel
6.
Gegeben seien die beiden Strahl-Taillen w0in und w0out . Damit ist die Vergrösserung M
bekannt und es ist N = 1 − M12 . Zusätzlich sei din gegeben. Dann gilt für die Brennweite
des Ellipsensegments
1/2 !
2
zcin
din
1± 1−N 1+ 2
.
(7.38)
fe =
N
din
Andererseits ist aber fe =
R1 R2
.
R1 +R2
Aber es gilt auch
din
dout
w0in
w0out
Abbildung 7.6: Verlauf eines Gauss Strahles in einem elliptischen Spiegel
R1 = R(din ) = din +
2
zcin
> din .
din
(7.39)
Damit und mit fe lässt sich nun R2 bestimmen und somit a. Zusätzlich braucht es nur
noch den Umlenkwinkel 2ϑi um b zu bestimmen, was natürlich nun die Ellipse definiert.
Figur (7.6) zeigt den optischen Verlauf eines Gauss Strahles bei Reflexion an einem off
139
7 Quasioptische Komponenten
axis Spiegel. Dabei ist zu beachten, dass die Strahl Taillen nicht mit den Brennpunkten überein stimmen, was man intuitiv annehmen würde. Ein weiteres Beispiel fordere
R1 = R2 = R. Ferner seien die beiden Strahl Taillen w0in und w0out gegeben und damit
die Vergrösserung M und N = 1 − M12 . Wegen der Forderung ist fe = R2 . Der totale
Umlenkwinkel sei 2ϑi . Es folgt dann
a=R
(7.40)
b = R cos ϑi .
(7.41)
und
Ferner sei din gegeben d.h.
R = din +
2
zcin
.
din
(7.42)
Jetzt ist es aber nicht mehr möglich R2 d.h. R so zu haben, dass der Krümmungsradius
von w0out ausgehend auch gleich R ist. Für dout gilt wie oben
din
2
dout = M
− 1 + 1 fe .
(7.43)
fe
Beispiele von off axis elliptischen Spiegeln sind in Figuren 7.7 und 7.8 gegeben. Ein
Abbildung 7.7: Off axis elliptischer Spiegel für 45° Reflexion
Beispiel eines off axis Parabolspiegels zeigt Figur 7.9. Solche Spiegel werden auf numerischen Drehbänken hergestellt. Falls die Anwendung es verlangt, kann zusätzlich eine
Gewichtsverminderung des Spiegels nötig sein, etwa bei schnell drehbaren Spiegeln, was
durch eine spezielle Bearbeitung der Rückseite erzielt werden kann.
140
7 Quasioptische Komponenten
Abbildung 7.8: Off axis elliptischer Spiegel für 90° Reflexion
Abbildung 7.9: Parabolspiegel
141
7 Quasioptische Komponenten
Verluste wegen der off axis Position
Off axis Spiegel weisen das Problem auf, dass sie einerseits zu Aberration führen und andererseits Anteile in der Kreuzpolarisation generieren. Das hat zur Folge, dass ein in der
Grundmode einfallender Gauss Strahl nach der Reflexion nicht mehr rein Gaussförmig
ist, was man auch als Verlust bezeichnen kann. Sowohl für den einfallenden wie für den
reflektierten Strahl ist z nicht konstant über die Spiegelfläche und damit auch nicht
R(z) und w(z). Es entsteht also eine Fehlanpassung zwischen Amplitude und Phase des
einfallenden und reflektierten Strahls. Anders ausgedrückt lässt sich auch sagen, dass es
sich dabei um einen Projektionseffekt handelt, der zu einer Fehlanpassung zwischen den
Feldern des einfallenden und des ausfallenden Strahles führt. Eine theoretische Analyse
des Problems wurde von Murphy7 formuliert. Das Problem eines off axis Spiegels lässt
sich in einer Graphik darstellen, wo der reflektierte Strahl als ein transmittierter Strahl
dargestellt wird, wie das Abbildung 7.10 zeigt.
Man sieht, dass der Strahlradius nur im Reflexionspunkt der optischen Achsen auf dem
Spiegel übereinstimmt, wo der Wert wm sei. Für den reflektierten Strahl gilt näherungsweise
(
"
0 3 0 0 2 #)
0
x
x
y
x
−
−
(7.44)
Eref l = CEideal 1 − U
wm
wm
wm
wm
wobei x0 und y 0 die Achsen quer zur Ausbreitungsrichtung sind. Mit C wird dafür
gesorgt, dass die Leistung richtig normiert wird. Für einen Spiegel der Brennweite
f = R1 R2 /(R1 + R2 ) und einen Reflexionswinkel ϑi bezeichnen wir einen Verzerrparameter U
wm tan θi
√
.
(7.45)
U=
2 2f
Betrachtet man (7.44) und vergleicht den Ausdruck mit Gauss Hermite Polynomen, so
sieht man, dass offensichtlich Beiträge von E30 mit linearen und kubischen Beiträgen in
x0 auftauchen sowie von E12 mit Beiträgen in x0 und x0 y 02 . Es gilt dann für das Feld des
realen reflektierten Strahles Er bezüglich des idealen reflektierten Feldes Eideal
i
U h√
0 0
0 0
Er = C 1 −
3ε30 (x , y ) + ε12 (x , y ) Eideal .
(7.46)
2
Dabei bezeichnen wir mit
εmn =
| Emn |
.
| E00 |
(7.47)
Für den Bruchteil des reflektierten Gauss Strahles, der noch in der Grundmode ist, gilt
dann
w2 tan2 θi
Kf = 1 − U 2 = 1 − m 2
(7.48)
8f
7
Murphy, J. and S.Withington, Perturbation analysis of Gaussian-beam-mode scattering at off-axis
ellipsoidal mirrors, Infrared Phys. and Tech., Vol.(37), p.205-219, 1996.
142
7 Quasioptische Komponenten
x
w0in
A
w0out
din
dout
!i
B
0
z=0
Abbildung 7.10: Reflektierter Strahl in Transmission dargestellt.
Diese Formel gilt übrigens auch für einen off axis Parabolspiegel, wobei dort dann
natürlich die entsprechende aequivalente Brennweite eingesetzt werden muss. Das bedeutet, dass bei einem relativ kleinen Reflexionswinkel und bei einem relativ grossen f /DVerhältnis der Kopplungskoeffizient gross wird. Die Forderung für ein Kf ≥ 0.99 zusammen mit der Bedingung, dass der Spiegel Durchmesser D ≈ 4wm ist, liefert f /D ≥ 1.0
für ϑi ≤ 45° und f /D ≥ 0.5 für ϑi ≤ 30°.
Zusätzlich zu den oben erwähnten Effekten wird ein Teil des Signals in der Kreuzpolarisation reflektiert. Eine ähnliche Rechnung ergibt für diesen Fall, dass der Anteil
des ursprünglichen Strahles, der in die Kreuzpolarisation geht, doppelt so gross ist, wie
derjenige in den höheren Moden, und dass der Kopplungsfaktor Kco in diesem Fall wird:
2
wm
tan2 θi
.
Kco = 1 − 2U = 1 −
4f 2
2
(7.49)
Es bleibt anzufügen, dass durch geschickte Wahl von off axis Spiegelpaaren es möglich
ist, die diskutierten Effekte zu minimieren, weil der eine Spiegel eine Verzerrung, die
durch den anderen produziert wird, aus kompensieren kann.
Ohmsche Verluste in Spiegeln
Die Verluste in Spiegeln infolge nicht unendlicher Leitfähigkeit sind zwar sehr gering,
können aber trotzdem eine Rolle spielen. Der Oberflächenwiderstand (Widerstand pro
Einheitsfläche) ist
Rs =
πνµ 1/2
0
σ
= (πνµρ)1/2 ,
143
(7.50)
7 Quasioptische Komponenten
wobei ν die Frequenz, σ die elektrische Leitfähigkeit und ρ = 1/σ ist. Die Eindringtiefe
oder ’skin depth’ ist
δ=
ρ
πνµ0
1/2
.
(7.51)
Diese Eindringtiefe ist sehr gering und in der Grösse von Bruchteilen von Mikrometern.
Für den Reflexionsfaktor für die Leistung gilt bei senkrechtem Einfall:
r2 = 1 − 4(πε0 νρ)0.5 .
(7.52)
Die Schlüsselgrösse ist selbstverständlich der Oberflächenwiderstand. Es zeigt sich allerdings, dass gemessene Werte etwa einen Faktor 2 grösser sind als theoretische Werte.
7.1.3 Linsen
Im submillmeter- und THz-Bereich werden vorwiegend dielektrische Linsen eingesetzt.
Vorausgesetzt, dass die verwendete Linse genügend weit von der Strahltaille zu liegen
kommt, können wir beim Entwurf von quasioptischen Linsen vorgehen wie in der geometrischen Optik. Wegen der doch relativ grossen Wellenlänge, gegenüber der herkömmlichen
Optik, ist es möglich, Linsenoberflächen direkt mit numerisch gesteuerten Fräsmaschinen
herzustellen. Wir werden weiter unten noch auf die verschiedenen Materialien zu sprechen kommen.
Das Grundprinzip der Bestimmung einer Linsenfläche beruht darauf, dass eine einfallende Welle, von einer Punktquelle ausgehend, in eine ebene Welle transformiert werden
soll, die dann allenfalls mittels einer zweiten Linsenfläche wieder zu einem Punkt fokussiert werden soll. Dabei bedient man sich des Prinzips von Fermat, das besagt, dass die
optische Weglänge8 entlang jedes Pfades gleich sein muss. In Abbildung 7.11 bedeutet
das, dass der optische Weg von F zu einem beliebigen Punkt P identisch sein muss zu
demjenigen entlang der Ausbreitungsachse, d.h.
F P = F Q + nQQ0 .
(7.53)
Wir bezeichnen die Strecke F Q als Brennweite f und erhalten in Polarkoordinaten für
den Radius der Linsenkontur
(n − 1)f
.
(7.54)
r=
n cos α − 1
Für ein Material mit n > 1 wird dadurch eine hyperbolische Oberfläche beschrieben. Für
die maschinelle Fertigung ist ein zylindrisches Koordinatensystem besser geeignet, wobei
die z-Achse der Symmetrieachse entspricht und wir mit ρ den Abstand von der Achse
bezeichnen. Der Ursprung des Koordinatensystems liege in der Scheitel der Kurve. Es
gilt dann:
ρ2 = 2f z(n − 1) + z 2 (n2 − 1).
(7.55)
8
Als optische Weglänge eines Pfades bezeichnet
man die Summe aus dem Produkt von Brechungsindex
P
n und individueller Weglänge l, d.h.
n i li
144
7 Quasioptische Komponenten
!
p
r
F
"
z
Q
f
Q´
Abbildung 7.11: Optische Weglängen bei einer einseitigen Linse mit Brechungsindex n
Als Näherung von Gleichung (7.55) wird oft eine sphärische Kontur gewählt, die sich
dann im gleichen Koordinatensystem ausdrücken lässt als
ρ2 = 2f z(n − 1) − z 2 .
(7.56)
Ein Beispiel einer plano-konvex Linse für eine Frequenz von 200 GHz aus Teflon zeigt
Abbildung 7.12.
Verluste in Linsen
Eine dielektrische Linse wird wegen des Linsenmaterials selbst gewisse Verluste aufweisen. Die Absorption in der Linse wird natürlich primär vom verwendeten Material
abhängen, aber dann auch von der Dicke der Linse, des Linsenprofils und der Beleuchtung der Linse. Relativ einfach lassen sich die Verluste im Zentrum der Linse abschätzen.
Es zeigt sich, dass die Dicke einer Linse mit Durchmesser D und Brennweite f gefertigt
aus einem Material mit Brechungsindex n gegeben ist durch:
tc ∼
=
D2
.
8f (n − 1)
(7.57)
Wir definieren den Verlust pro Weglänge mit α, so dass die Leistung am Ausgang Pout
zur Leistung am Eingang Pin geschrieben werden kann mit
Pout = Pin exp(−αt),
145
(7.58)
7 Quasioptische Komponenten
Abbildung 7.12: Beispiel einer Teflonlinse
wobei wir mit α den Absorptionskoeffizienten bezeichnen
α=
2πn tan δ
.
λ0
(7.59)
Dabei ist λ0 die Wellenlänge im Vakuum und mit tan δ bezeichnen wir denn sog. Verlustwinkel
ε00
(7.60)
tan δ = 0 .
ε
Dabei sind ε0 und ε00 Realteil und Imaginärteil der komplexen relativen Dielektrizitätskonstanten
ε = ε0 − jε00 .
(7.61)
Der Brechungsindex ist dann definiert als
√
ε,
(7.62)
was für Materialien mit geringen Verlusten zu
√
n = ε0
(7.63)
n=
führt. Mit Gleichung (7.57) und (7.59) erhalten wir
αtc =
πD2 n tan δ
πD2
=
L0 ,
4f λ0 (n − 1)
4f λ0
(7.64)
wobei L0 als relativer Verlustparameter bezeichnet wird und die Abhängigkeit vom Material beschreibt:
n
L0 =
tan δ.
(7.65)
n−1
146
7 Quasioptische Komponenten
Als Beispiel betrachten wir Rexolite bei 250 GHz, das einen Brechungsindex von 1.59
hat und einen Verlustwinkel von 2.2 · 10−3 aufweist. Somit erhalten wir L0 = 5.9 · 10−3 .
Für Quartz würden wir einen rund 20 mal kleineren Wert erhalten. Eine Teflon Linse der
Dicke 5cm weist bei 600 GHz einen Verlust von rund 15% auf. Eine entsprechende Rexolite Linse sogar 60%. Eine kleine Übersicht über die Werte einiger gängiger Materialien
ist in unten stehender Tabelle gegeben. Dabei ist zu beachten, dass der Verlustwinkel für
die meisten Materialien von der Frequenz abhängt. Die entsprechenden Werte zeigen,
dass im submillimeter Bereich die Verluste signifikant sein können und dass aus diesem
Grunde optische Systeme eher mit reflektiven Elementen aufgebaut werden, im Gegensatz zum herkömmlichen optischen Bereich, wo vor allem refraktive Elemente eingesetzt
werden.
Dielektrikum
n
tg δ Frequenz
[·10−4 ]
[GHz]
Acryl
Mylar
Polyethylen
Rexolite
Styropor
Teflon
TPX
1.61
1.75
1.52
1.59
1.03
1.43
1.46
81-135
360-680
3.6-4.4
15-40
0.53-0.81
2.5-17
5.6-13
60-300
120-1000
90-270
120-550
200-260
120-1110
300-1200
Vergütung von Linsen
Zusätzlich zu den Verlusten durch Absorption kommen bei Linsen noch Verluste durch
Reflexion am Übergang vom Medium Luft auf das dielektrische Medium der Linse und
umgekehrt. Der Unterschied im Brechungsindex n, resp. der Dielektrizitätskonstanten
ε führt zu Reflexionen am Interface und insgesamt zu Mehrfachreflexionen. Dabei ist
nicht nur störend, dass nicht die gesamte Leistung in Ausbreitungsrichtung propagiert
wird, sondern vor allem der Effekt, dass reflektierte Leistung in ungewünschte Richtungen geht. Dies ist speziell in hochempfindlichen Radiometern störend, wo der Effekt
als baseline effect bezeichnet wird und sich beispielsweise als überlagerte Stehwelle im
Nutzsignal bemerkbar macht. Diese Stehwellen können so stark sein, dass eine Messung
des gewünschten Signals unmöglich wird. Man wird also versuchen, solche Reflexionen
unbedingt zu verhindern. Wenn es nicht möglich ist eine reflektive Optik zu verwenden,
so müssen die dielektrischen Komponenten mit einer Reflexions-Verminderungsschicht
versehen werden. Dies ist aus der klassischen Optik bekannt, indem etwa Linsen mit
λ/4-Schichten beschichtet werden.
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