Formelsammlung Theorie klassischer Teilchen und Felder 2

Formelsammlung
Theorie klassischer Teilchen und Felder 2
<[email protected]>
Stand: 12.02.2007 - Version: 0.9.3
Erhältlich unter http://privat.macrolab.de
Diese Formelsammlung basiert auf der Vorlesung
“Theorie klassischer Teilchen und Felder 2” von Prof.
Dr. Jochen Wambach an der Technischen Universität
Darmstadt im Wintersemester 2006/07.
2.5
Wirkungs- und Winkelvariable . . . . .
8
2.5.1
Poisson-Klammern . . . . . . . .
8
2.5.2
Integrale der Bewegung . . . . .
8
2.5.3 Periodizität . . . . . . . . . . . .
Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen
Download zur Verfügung. Das Urheberrecht und son2.5.4 Wirkungs- und Winkelvariable .
stige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser,
der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständig3 Elektrodynamik
keit der Inhalte übernehmen kann.
8
3.1
3.1.1
Inhaltsverzeichnis
1 Schwingungen
Elektrodynamik der Dielektrika . . . . .
9
9
9
Klassifikation von verschiedenen
Polarisationsformen . . . . . . .
10
2
3.1.2
Plattenkondensator . . . . . . . .
10
1.1
Harmonische Oszillator . . . . . . . . . .
2
3.1.3
Randwertprobleme . . . . . . . .
10
1.2
gedämpfter harmonischer Oszillator . . .
2
3.1.4
Elektrostatische Energie . . . . .
11
1.3
Erzwungene Schwingung . . . . . . . . .
2
Magnetostatik in Materie . . . . . . . .
11
1.4
Anharmonische Schwingungen . . . . . .
2
3.2.1
Makroskopische Feldgrößen . . .
11
3.2.2
Einteilung der magn. Stoffe . . .
12
1.4.1
1.5
nichtlinear + äußere Periodische
Kraft + Reibung . . . . . . . . .
3
3.3
Feldverhalten an Grenzflächen . . . . . .
12
Schwingende Systeme . . . . . . . . . .
3
3.4
Randwertprobleme . . . . . . . . . . . .
12
1.5.1
4
3.5
Vollständige Maxwell Gleichungen . . .
12
3.6
Energie & Impulssatz in der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Elektromagnetische Wellen . . . . . . .
14
lineare periodische Kette . . . . .
2 Hamilton Jakobi Theorie
2.1
4
Erzeugende Funktionen . . . . . . . . .
5
2.1.1
Austauschtransformation . . . .
5
2.1.2
Identische Transformation . . . .
5
2.1.3
Punkttransformation . . . . . . .
5
2.1.4
Transformation auf ebene Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . .
5
Harmonische Oszillator . . . . .
6
Hamilton Jakobi-Theorie . . . . . . . . .
6
2.2.1
Allgemein . . . . . . . . . . . . .
6
2.3
Hamiltonische Prinzipialfunktion . . . .
6
2.4
Hamiltonische charakteristische Funktion
7
2.4.1
Lösungsverfahren . . . . . . . . .
7
2.4.2
Seperation der Variablen . . . . .
7
2.1.5
2.2
3.2
3.7
3.7.1
3.8
1
Allgemeine Lösung der Wellengleichung . . . . . . . . . . . . .
16
3.7.2
Energietransport in Wellen . . .
16
3.7.3
Wellenausbreitung in elektrischen Leitern . . . . . . . . . . .
17
Reflexion und Brechung elektromagnetischer Wellen am Isolator . . . . . . . . .
17
3.8.1
Feldverhalten an Grenzflächen .
17
3.8.2
Brechungs- und Reflexionsgesetz
18
3.8.3
Intensität bei Reflexion und Brechung . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.8.4
Fresnel’sche Formeln . . . . . . .
18
3.8.5
Senkrechter Fall . . . . . . . . .
18
2
1
3.9
3.8.6
Energietransport . . . . . . . . .
19
3.8.7
Totalreflexion . . . . . . . . . . .
19
Erzeugung elektromagnetischer Wellen .
19
3.9.1
Inhomogene Wellengleichung . .
19
3.9.2
Zeitlich oszillierende Quellen . .
19
3.10 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
schwache Dämpfung ω02 > γ 2
x (t) = Ce−γt cos (ωt + ϕ)
→ tan ϕ = − ẋ(0)+γx(0)
p ωx(0)
C = x (0) 1 + tan2 ϕ
Kriechfall ω02 < γ 2
21
x (t)
= e−γt
+
Schwingungen
1.1
SCHWINGUNGEN
√
“√
”
γ 2 −ω02 t
x(0)cosh
ẋ(0)+γx(0)
γ 2 −ω2
0
”
“√
sinh γ 2 −ω02 t
Aperiodischer Grenzfall ω02 = γ 2
Harmonische Oszillator
x (t) = e−γt (x (0) + (ẋ (0) + γx (0)) t)
Ruhelage q0
→ Klingt am schnellsten ab von allen 3 Fällen
Kraft F = −k (q − q0 )
Ruhelage q0
Koordinaten x = q − q0
DGL mẍ + kx = 0
1.3
Erzwungene Schwingung
Kraft F = −kx − β ẋ + F0 cos (Ωt)
DGL mẍ + β ẋ + kx = F0 cos (Ωt)
• Ellipsengleichung im Phasenraum
2
2
2 2
m E = ẋ + ω0 x = const
Bewegungsgleichung
x (t) = Aeiω0 t + Be−iωo t
DGL z̈ + 2γ ż + ω02 z 2 = f0 eiΩt
• z (t) = x (t) + iy (t)
• Bewegungsgleichung Lösen mit z (t) = CeiΩt
f0
→ C = − Ω2 −2iγΩ−ω
2
= C cos (ω0 t + ϕ)
= a cos (ω0 t) + b sin (ω0 t)
0
Bewegungsgleichung
• a, b bzw. A, B bzw. C, ϕ aus Anfangsbedingungen
1.2
gedämpfter harmonischer Oszillator
f0
x (t) = q
cos (Ωt + δ)
2
(Ω2 − ω02 ) + 4γ 2 Ω2
• für γ 2 ≪ Ω2
Kraft F = −kx − β ẋ
x (t) =
DGL mẍ + β ẋ + kx = 0
• Bahn im Phasenraum ist eine schrumpfende elliptische Sprirale d m 2
k 2
= −β ẋ2
dt 2 ẋ + 2 x
DGL ẍ + 2γ ẋ + ω02 x2 = 0
β
• γ = 2m
k
ω02 = m
Bewegungsgleichung Lösen mit x (t) = Ceλt Ansatz
p
• λ1/2 = −γ ± γ 2 − ω02
p
• ω = ω02 − γ 2
f0
q
cos (Ωt + δ)
2
2ω0 (Ω − ω0 ) + γ 2
→ tan δ =
γ
Ω−ω0
→ γ → 0 ⇒ |C| → ∞ Resonanzkathastrophe
1.4
Anharmonische Schwingungen
Potential V (x) = V (x0 ) +
2
1 d2 V (x − x0 ) + . . .
2 dx2 x0
dV dx x0
(x − x0 ) +
• o.B.d.A.: V (x0 ) = 0, x0 = 0
1
1
• V (x) = 21 mω02 x2 + mαx3 + mβx4 + . . .
3!
4!
|
{z
}
anharmonisch
• α, β konstanten
3
1.5 Schwingende Systeme
Allgemein ẍ + ω02 x = −αx2 − βx3
labiles Gleichgewicht lokales Maximum von V
neutrales Gleichgeqicht V ist lokal konstant
• exakt Lösbar, keine Lösungen in geschlossener
Auslengung qi = qi0 + ξi
Form (i.A.)
• periodische Lösungen mit ω = ω0 + ω1 + ω2 + . . .
• ξi kleine Auslenkung aus dem Gleichgewicht
• cos (ωt) = cos ((ω0 + ω1 ) t) ≁ cos (ω0 t) für t sehr Potential Tailor Entwickeln
s
X
groß
∂V ξi
V (q) =
V (q0 ) +
| {z }
∂qi q=q0
i=1
• Näherungsweise Lösung:
| {z }
=0 BbdA
x (t) = x(0) (t) + x(1) (t) + x(2) (t) + . . .
=0
s
2
X
1
∂ V +
ξi ξj + . . .
2
∂q
(0)
i ∂qj q=q0
x (t) = A cos (ωt)
i,j=1
{z
}
|
kij
α A2
α A2
(1)
x (t) = −
+
cos (2ωt)
2 ω02
6 ω02
• V (q) = 12 ξ T kξ
3
2
A
β
α
1
−
cos (3ωt)
x(2) (t) =
• k ist symmetrisch
16 ω 3 3ω 2
2
0
1.4.1
0
nichtlinear + äußere Periodische Kraft
+ Reibung
DGL ẍ + 2γ ẋ + ω02 x = f0 cos (Ωt) − αx2 − βx3
• Ω ≁ ω0 : Kleine Amplitude ⇒ harmonisch
• Ω ≈ ω0 : Ω = ω0 + ε, ε ≪ 1, Amplitude |c|
2
2
f0
• |c| (Ω − ω) + γ 2 = 4ω
2
o
2
2
2
ε − k |c|
+ γ2 =
• |c|
f0
4ωo2
Hat im Allgemeinen 3 Lösungen
• Stabiles Gleichgewicht ⇒ k ist positiv definit (alle
Eigenwerte >0)
Lagrange Funktion
1 ˙T ˙
ξ M ξ − ξ T kξ
2
2
• Massentensor Mij = ∂ ∂q̇i ∂Tq̇j L=
q=q0
→ ist symmetrisch
→ alle Eigenwerte ≥ 0
DGL auch Säkulargleichung genannt
s X
= 0
Mij ξ¨j + kij ξj
∀i :
j=1
f0 klein ⇒ |c| klein
2
|c| =
f02
1
2
2
4ω0 ε + µ2
f0 größer Deformation in Richtung größere ε
(k > 0)
f0 > fk es gibt in einem Bereich eine Hysterese (3
Lösungen)
→ cmax =
→
1.5
fk2
=
f0
2ω0 γ
8ω02 γ 3
|k|
Schwingende Systeme
generalisierte Koordinate q = (q1 , . . . , qs )
Betrachtet nur Konservative Kräfte ⇒ es gibt ein Potential V (q)
Gleichgewichtspunkte q0 : q̇ (t) = 0, q (t) = q0
∂V =0
∂qi q=q0
stabiles Gleichgewicht lokales Minimum von V
M ξ¨ + kξ = 0
zu lösen falls det k − ω 2 M = 0
•
•
•
•
Polynom s-ten Gerades in ω 2
ωα2 Nullstellen des Polynoms (s Stück)
ωa2 ∈ R≥0 → ωa ∈ R
Eigenschwingungen ξ0α sind zu ωα2 passende
Lösungen
→ sind alle reell und linear unabhängig
T
Normierung (ξ0α ) M ξ0β = δαβ
• auch Verallgemeinerte Orthonormalität genannt
Lösung
ξ (t) =
s
X
α=1




ξ0α Aα eiωa t + Bα e−iωαt 
|
{z
}
ηα (t)
Normal Koordinaten ηα (t)
=
Aα eiωa t
−iωαt
Bα e
= Ãα cos (ωa t) + B̃α sin (ωa t)
+
Transformation der DGL hierdurch in folgende
entkoppelte Form
∀α : η̈α + ωα2 η = 0
4
2
1.5.1
HAMILTON JAKOBI THEORIE
Kontinuierlicher Grenzfall xl (t) = x (ξ, t) mit ξ =
al
lineare periodische Kette
Beseteht aus unendlich vielen Teilchen der Masse m
• N → ∞,
• Abstand jeweils a
a → 0,
L = N a = const
2
• (xl + xl+1 − 2xl ) → a2 ∂∂2 ξ x (ξ, t)
• Federkonstanten dazwischen k
• 1-dim Angeordnet
•
• Abstraktion für 1-dim Festkörper
∂2
∂ξ 2
−
1 ∂2
c2 ∂t2
x (ξ, t) = 0
Masse Mij = δij m
• Elastizitätsmodul F = η δL
L
Kopplung
• Rückstellkraft Fr = kδL

2
 −1


 0

k= .
 ..


 0
−1
−1
2
−1
..
.
0
0
−1
···
0
2
..
.
−1
..
.
..
..
.
···
0
−1
0
..
.




.


..
.
0 


..
. −1 
−1 2
..
.
0
Ansatz Jedes Atom vollführt harmonische Schwingung mit dem gleichen ω
xl = Al e
• η = ka

• Phasengeschwindigkeit c = ω0 a =
• Dichte ̺ =
2
m
a
q
a2 k
m
=
q
η
̺
Hamilton Jakobi Theorie
Kanonische Koordinaten q = (q1 , . . . , qs )
iωt
Wirkung S =
R t2
L (q, q̇, t) dt wird minimiert
t1
und Nachbaratome unterscheiden sich nur um konLagrange Funktion L = T − V = p · q̇ − H
stante Phase
xl = xl−1 eiχ
und Periodischen Randbedingungen
Al = Al+N eiN χ
• χ=
2π
N n
Kanonischer Impuls pk =
für i = 1, . . . , N
• ω0 =
DGL’s , die die Bewegungsgleichungen liefern, sind:
k
m
• n = 1, . . . , N
• ωN = 0 Translation “Nullmoden”
Wellenlänge λn = a N
n =
∂L
∂ q̇k
Phasenraum Γ = (q, p) 2s-dim
Lösung ωn = 2ω0 sin nπ
N
q
• negative Lagrange Transformierte der Hamilton
Funktion
L
n
=
ṗ
=
∂H
∂p
∂H
−
∂q
bzw.
Dispersionsrelation ω (q) = 2ω0 sin qa
2
• q Wellenzahl
• 1. Brioullin Zone von q ∈ 0,
Phasengeschwindigkeit c =
q̇
ω
q
2π
d ∂L
∂L
−
=0
dt ∂ q̇j
∂qj
Zyklische Koordinaten qk so, dass pk =
const
a
=
2ω
q
sin qa 2
• q klein ⇒ c ≈ ω0 a Schallgeschwindigkeit einer longitudinalen Kompressionswelle
Gruppengeschwindigkeit vg =
dω
dq
• L hängt nicht von qk ab
• H hängt nicht von qk ab
• q̇k =
∂H
∂pk
qk (t) =
R t2
t1
∂H
dt ∂p
k
∂L
∂ q̇k
=
5
2.1 Erzeugende Funktionen
2.1
Erzeugende Funktionen
→ F3 = F1 − pq
Ziel Suche alle zyklischen Koordinaten. Wechsle dazu die Koordinaten, so das mehr zyklische Variablen entstehen. Dieser wechsel soll forminvariant
geschehen.
3
→ qi = − ∂F
∂pi
∂F3
→ Pi = − ∂Q
i
• F4 = F4 (p, P, t)
Forminvariant heißt eine Transformation H (q, p) →
H (Q, P ) falls
q̇
ṗ
=
=
⇒
Q̇
=
Ṗ
=
4
→ qi = − ∂F
∂pi
∂H
∂p
∂H
−
∂q
→ Qi =
2.1.1
∂H
∂P
∂H
−
∂Q
s
X
j=1
pi q̇i − H =
s
X
j=1
pi Q̇i − H +
Austauschtransformation
• pi = −Qi
dF
dt
• Pi = qi
• (q, p) → (−p, q) = (Q, P )
• H =H
2.1.2
Identische Transformation
• F2 = qP bzw. F3 = −pQ
• kanonische Transformationen sind forminvariant
• Pi = pi
• F legt H vollständig fest
• Qi = qi
H =H+
∂F
∂t
• aus DGL für F lassen sich sich Transformationen
für (q, p) → (Q, P ) finden und umgekehrt
Typ der Transformation für F lässt sich eine der
folgenden Formen wählen
• Transformation durch Freistellung der Ableitungen
• Diese Fi sind untereinander durch Legendre Transformationen verknüpft!
• Dies sind die erzeugenden Funktionen
• F1 = F1 (q, Q, t)
→ pi =
→ Pi =
∂F1
∂qi
∂F1
− ∂Q
i
• F2 = F2 (q, P, t)
→ F2 = F1 + P Q
→ pi =
→ Qi =
∂F2
∂qi
∂F2
∂pi
• F3 = F3 (p, Q, t)
∂F4
∂pi
• F1 (q, Q, t) = −qQ bzw. F4 = −pP
kanonische Transformation Eine Transformation
(q, p) → (Q, P ) und H → H ist kanonisch falls
F (q bzw.p, Q bzw.P, t) (beliebig, diffbar) existiert
mit
L=
→ Doppelte Legendre Transformation
F4 = F1 + P Q − pq
• (q, p) → (q, p) = (Q, P )
• H =H
2.1.3
Punkttransformation
P
• F2 (q, P, t) = i gi (q1, , . . . , qs , t) Pi
g hängt nur von Punkt im Phasenraum ab
• Qi = gi (q1, , . . . , qs , t)
P ∂q
• Pi = j ∂qji Pj
• (q, p) → (Q, P )
• H = H + qP
• analog mit F3 = −
P
i gi
(Q1 , . . . , Qs , t) pi
2.1.4
Transformation auf ebene Polarkoordinaten
1
• H (q, p) = 2m
p2x + p2y + V (x, y)
• q = (x, y)
p = (px , py )
• Q = (r, ϕ)
P = (pr , pϕ )
• F3 = −r cos (ϕ) px − r sin (ϕ) py
6
2
• x = r cos (ϕ)
y = r sin (ϕ)
• ϕ = arctan
p
r = x2 +
y
x
y2
(c) Q̇i =
(e) durch auflösen q = (β, α, t) und q = (β, α, t)
bestimmen
(f) Wähle F = F2 (q, P, t)
2.1.5
(g) zu Lösen (F gesucht): Hamilton Jakobi Gleichung
∂F2
∂F2
∂F2
,...,
,t +
=0
H q1 , . . . , qs ,
∂q1
∂qs
∂t
cos (ϕ) pr − 1r sin (ϕ) pϕ
sin (ϕ) pr + r1 cos (ϕ) pϕ
• H (Q, P ) =
1
2m
p2r +
1 2
r 2 pϕ
+ V (r cos ϕ, r sin ϕ)
nichtlineare Partielle DGL in s + 1 Variablen
Harmonische Oszillator
2.3
• 1.dim
• Ziel: so transformieren das zyklische Variable entsteht
• H (q, p) =
k
ω02 = m
p2
2m
+ 12 mω02 q 2
• F1 = 12 mω0 q 2 cot Q
• p = mω0 q cot Q
P = 21 mω0 q 2 sin12 Q
q
2P
• q = mω
sin Q
√ 0
p = 2P mω0 cos Q
Hamiltonische Prinzipialfunktion
Definition die Hamiltonische Prinzipialfunktion S =
F2 ist die Lösung der Hamilton Jakobi Gleichung
∂S
∂S
∂S
H q1 , . . . , qs ,
,...,
,t +
=0 =H
∂q1
∂qs
∂t
• H = c ist aber auch ok
• nichtlineare Partielle DGL in s + 1 Variablen
• es gibt also s + 1 Integrationskonstanten
• Falls S Lösung, ist auch S + c Lösung ⇒ also nur
noch s “interessante” Integrationskonstanten
• H = ω0 P
S (q1 , . . . , qs , t|α1 , . . . , αs )
• P (t) = P0 = const
Q̇ = ω0 ⇒ Q (t) = ω0 t + Q0
q
2P0
• q (t) = mω
sin (ω0 t + Q0 )
√ 0
p (t) = 2P0 mω0 cos (ω0 t + Q0 )
2.2
Hamilton Jakobi-Theorie
2.2.1
= 0 ⇒ Qi = βi = const
∂H
(d) Ṗi = − ∂Q
= 0 ⇒ Pi = αi = const
i
• pr = cos (ϕ) px + sin (ϕ) py
pϕ = −r sin (ϕ) px + r cos (ϕ) py
• px =
py =
∂H
∂Pi
HAMILTON JAKOBI THEORIE
Allgemein
Suche F , so dass Problem einfach wird.
1. Wähle Transformation so, das in (Q, P ) Problem
bekannt ist H (Q, P ) z.B. harmonischer Oszillator
2. Wähle Transformation so, das alle Koordinaten
zyklisch und ∂H
∂t = 0
(a) Pi = αi = const für i = 1, . . . , s
(b) H (α1 , . . . , αs )
∂H
(c) Q̇i = ∂α
= ωi = const ⇒ Qi (t) = ωi t + βi
i
mit βi = const
3. Wähle Transformation so, das Qi = βi = const
UND Pi = αi = const für i = 1, . . . , s
(a) dies ist die allgemeinste Methode
(b) H = H +
∂F
∂t
=0
• Identifiziere jetzt Pi = αi
•
∂S
∂qi
= pi
Lösungsverfahren
1. Formuliere H (q, p, t) mit pi =
∂S
∂qi
• Aufstellen der HJD:
∂S
∂S
∂S
H q1 , . . . , qs ,
,...,
,t +
=0
∂q1
∂qs
∂t
2. Lösung
der
HJD,
woraus
S (q1 , . . . , qs , t|α1 , . . . , αs ) erhält
man
• Pi = αi
• evtl. über Separationsansatz
• S ′ = S + c ist ebenfalls eine Lösung. Dieses c
bei den Konstanten ignorieren!
3. Wir wissen S (q1 , . . . , qs , t|α1 , . . . , αs ) = S (q, t|α)
• Bestimmen von β über:
= βi = const
Qi = ∂S(q,t|α)
∂αi
• daraus wiederrum ist qi = qi (t|βα) bestimmbar
4. Bestimmung der pi :
7
2.4 Hamiltonische charakteristische Funktion
• Auflösen von
pi =
3. pi =
∂S (q, t|α)
= pi (q, t|α) = pi (t|βα)
∂qi
(0)
=
qi (t = t0 )
(0)
pi
=
pi (t = t0 )
• Problem gelöst!
Physikalische Bedeutung von S (q, P, t)
•
∂S
∂t
•
dS
dt
2.4
Hamiltonische
Funktion
2.4.1
(0)
5. qi
= −H
=L
R
• S = dtL + c
unbestimmtes Integral der Lagrange-Fkt. ⇒ formale Integrationsform, in der Praxis jedoch nicht
verwendbar! Dieses S wird hier minimiert ⇔
Grundlage der ganzen Hamilton-Theorie (da haben wir mal angfangen)
charakteristische
Lösungsverfahren
• falls
dH
∂H
=0⇒
=0
∂t
dt
gilt ⇒ H = E Konstante der Bewegung
• Herleitung über Separationsansatz:
∂S
∂S
+ ∂S
,
.
.
.
,
→ H q1 , . . . , qs , ∂q
∂q
∂t = 0
1
s
→ S (q, P, t) = W (q, P ) − E · t
→ W Harmonische charakteristische Funktion
→ E = αs+1 = const
→ dies nur zur Herleitung, folgende def. davon
abweichend!!
1. Auftellen
der HJD
∂W
= E (α)
H q1 , . . . , qs , ∂W
∂q1 , . . . , ∂qs
Lösen nach W (q, α)
• für zyklische Variablen wähle identische
Transformation und Seperationsansatz
W = W1 + qi αi
2. α = (α1 , . . . , αs ) mit pi = αi nach Lösung von
HJD W (q, α)
∂E
∂αi
• Wähle E (α) so, dass man freies Problem bekommt. Z.B. durch:
P p2i
P α2
(elimi(a) E (α) = i 2mi bzw. H = i 2m
nation aller Kräfte)
(b) E (α) = α1
∂E
∂E
∂α1 = ω1 = 1 ∂αi = ωi = 0 für i > 1
∂E
∂αi = ωi = δi1 → Q1 = t + β1 , andere
Koordinaten: Qi = βi
• Qi sind bestimmt:
(q,a)
Qi = ωi (α) · t + βi = ∂W∂α
i
• Auflösen nach:
qi = qi (α, β, t)
pi = pi (α, β, t)
• Freistellen nach: α = α t0 , q (0) , p(0)
β = β t0 , q (0) , p(0)
S
• (q, p) →
(Q, P ) = const entspricht Abbildung auf
einen Pkt. im Phasenraum
→ pi = pi (q, α)
4. E = E (α) ⇒ ωi =
5. Anfangsbedingungen:
qi
∂W
∂qi
(0)
= qi (t = t0 ), pi
= pi (t = t0 )
• Auflösen
nach: (0) (0)
α = α qi , pi
(0) (0)
β = β qi , pi
• Daraus dann:
qi (t)
pi (t)
• physikalische
Interpreation von W
P R
W = i dqi pi
S =W −H
• S =Wirkung wird minimiert ⇒ H = const ⇒ W
minimiert
2.4.2
Seperation der Variablen
∂Q
∂Q
• Falls q1 f q1 , ∂q
nicht von weiteren qi und ∂q
1
i
abhängt und
∂W
∂W
∂W
H q2 , . . . , qs ,
=E
,...,
, f q1 ,
∂q2
∂qs
∂q1
• q1 absorbiert
W (q, P ) = W (q2 , . . . , qs , P ) + W1 (q1 , P )
∂W
• H q2 , . . . , qs , ∂W
=E
,
.
.
.
,
,
H
1
∂q2
∂qs
1
= c1 = const
H1 = f q1 , ∂W
∂q1
• WennP
alle qi seperabel sind:
W = i Wi (qi , P )
i
Lösungen: Hi = f qi , dW
,
α
= αi
dq1
H = (H1 , . . . , Hs , α) = E
• H ist z.B. seperabel für
q1 nicht zyklisch
qi mit i > 1 zyklisch
P
→ W = W1 (q1 ) + i qi Pi
→ qi Pi ist die Identität auf für die i-ten Koordinaten
8
2
2.5
Wirkungs- und Winkelvariable
2.5.1
HAMILTON JAKOBI THEORIE
• d.h. wir können die Koordinatenindizies weglassen!
Poisson-Klammern
Zweck Konstanten der Bewegung und Bewegungsgleichungen kompakt darstellen (formaler Übergang
zur QM einfach)
Formale Eigenschaften der
(c, c1 , c2 sind Konstanten)
Antisymmetrie {f, g} = − {g, f }
Bi-Linearität {c1 f1 + c2 f2 , g} = c1 {f1 , g} +
c2 {f2 , g}
Observable ist f (q, p, t) mit (q, p) ∈ Γ (Phasenraumpunkt)
P ∂f ∂H
∂f ∂H
zeitliche Änderung df
+
=
−
i ∂qi ∂pi
dt
∂pi ∂qi
• rechts ebenfalls linear
Nullelement {c, f } = 0
Produktregel {f, g · h} = g {f, h} + {f, g} h
Jakobi-Identität {f, {g, h}} + {g, {h, f }} +
{h, {f, g}} = 0
∂f
∂t
Poisson-Klammern für f (q, p, t) und g (q, p, t)
X ∂f ∂g
∂f ∂g
{f, g}q,p =
−
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
i
• nach den angegebenen Indizes differenzieren
• {g, f }q,p = − {f, g}q,p
2.5.2
Integrale der Bewegung
Integral der Bewegung ist ein anderer Begriff für
Erhaltungsgrößen. Eine Größe die entlang der
Bahnkurve eines freien Teilchens erhalten ist.
Observable F (q, P, t) sei eine mech. Observable
• {f, f } = 0
•
Poissson-Klammern
∂f
df
= {f, H}q,p +
dt
∂t
• q̇i = {qi , H}q,p
ṗi = {p, H}q,p
∂F
∂t
∂F
∂t
•
dF
dt
= {F, H} +
•
dF
dt
= 0 ⇒F Konstante der Bewegung
•
∂F
∂t
=0⇒
∂F
∂t
= 0 ⇔ {H, F } =
= {H, F }
•
∂H
dH
=
dt
∂t
fundamentale Poisson-Klamern
Poissonscher Satz Die Poisson-Klammer zweier Integrale der Bewegung ist wieder ein Integral der
Beweung.
• {qi , qj }q,p = 0
• {pi , pj }q,p = 0
df
dg
d
=0∧
=0⇒
{f, g} = 0
dt
dt
dt
• {qi , pj }q,p = δij
• wenn diese Eigenschaften gelten sind die qi , pi ein 2.5.3 Periodizität
satz unabhängiger Variablen
periodisch q (t) , p (t)
Koordinatenunabhängigkeit falls (q, p) und (Q, P )
beide genügen der Hamiltonischen Bewegungsgleichung, (q, p) → (Q, P ) kanonisch
H (q, p) =
q =
p
=
H̃ (Q, P )
q (Q, P )
p (Q, P )
dann gilt
{Qi , Qk }q,p
{Pi , Pj }
{Qi , Pj }q,p
= 0
= 0
= δij
Weiter ist der Wert der poissonklammer unabhängig
von der Wahl der Koordinaten im Phasenraum.
{F, G}q,p = {F, G}Q,P
Libration falls
q (t + τ )
p (t + τ )
= q (t)
= p (t)
Rotation falls
q (t + τ )
p (t + τ )
= q (t)
= p (t) + q0
• starrer Rotor q = ϕ q0 = 2π
• Es können in physikalischen Systemen beide Arten
auftreten
System ein System in Γ (q, s) mit 2s Dimesionen ist
periodisch, falls Projektion auf jede Ebene(qi , pi )
periodisch ist. Die einzelnen Perioden seien τi .
Falls ∀i,j : ττji ∈ Q ⇒ geschlossene Bahn im 2sdim. Phasenraum, andernfalls bedingt periodisch.
9
2.5.4
• falls τi bekannt → ωi , Ji ⇒ qi (t) , qi (t)
Wirkungs- und Winkelvariable
• Frequenz des Gesamtsystems ist kleinste gemeinsame Vielfache von einzelnen Frequenzen
Ziel Periodenfrequenzen des Systems bestimmen
Vorgehen Zuerst normal Lösen über W danach E, W
mit Ji ausdrücken und Ableiten ⇒ Frequenzen
• Es soll gelten:
→
∂H
∂t
=
dH
dt
Entartung Bewegung im 2s-dim Γ periodisch, falls jede der s-Projektionen auf eine (qi , pi )-Ebene periodisch ist. Die Frequenz
=0
νi =
→ ⇒ W = W (q, P ) reicht zur Transformation
→ ⇒ P = (P1 , . . . , Ps ) = (α1 , . . . , αs ) = const
ist im Prinzip für alle i verschieden.
→ System vollständig seperabel
P
→ ⇒ W = i Wi (qi , α)
→ ⇒ Pi =
∂W
∂qi
=
dWi
dqi
Phasenbahn Γ ist abgeschlossen (einfach Periodisch) falls ννji rational ist für alle i, j
= pi (qi , α)
bedingt periodisch wird sie im anderen Fall genannt. ⇒ Phasenbahn nicht geschlossen
• (q, p) → (Q, P )
• Pi = αi
(
• Qi =
Frequenzverhältnis läss sich im abgeschlossenen Fall angeben
s
X
const
⇔ S (q, P, t)
zyklisch ⇔ W (q, P )
• l = 1, . . . , s − 1
(l)
• ni ∈ Z
• Pi = αi → kann auch Pi = Pi (α1 , . . . , αs ) sein!
H
→ Wirkungsvariable Ji = dqi pi
• o.B.d.A. (umsortieren der Unabhängigen
(l)
nach hinten) ni = 0 für i ∈ [m + 1, s]
(l)
• die Vektoren ni
unabhängig sein
→ seperables System
H
(qi ,α)
i
dqi dWidq
= Ji (α)
pi = dW
dqi ⇒ Ji =
i
→ Ji gibt zuwachs W an, wenn qi einen “Umlauf” macht
• vollständige Entartung falls m = s − 1
∗ αi = αi (J1 , . . . , Js )
∗ W = W (q1 , . . . , qs , J1 , . . . , Js )
∗ H = H = α1 (J) = H (J)
• Suche ein F2 so, daß H nur noch von s − m
Ji abhängt.
m X
s
s
X
X
(l)
F2 ω, J =
ni ω i J i +
ωl J l
Spezialfall qi zyklisch pi = const
l=1 i=1
• qi0 = 2π
• ωl
(P
s
• Ji = 2πpi falls qi zyklisch
∂W
∂Ji
→ Q̇i =
∂H
∂Pi
→ ω̇i =
∂
∂Ji H
• νi =
ˆ Frequenz
1
τi
∂F2
∂J l
νl
• νl =
3
3.1
∂H
∂J l
ω̇ l
für l = 1, . . . , m
für l = m + 1, . . . , s
s − m Stück
Elektrodynamik
Elektrodynamik der Dielektrika
~ (~r)
Ziel ρ (~r) ⇒ E
=
für l = 1, . . . , m
für l = m + 1, . . . , s
=
(l)
ν
=
0
n
j
j=1 j
νl
• (
Ps
→ ωi = νi (J) · t + βi
• Wie ändert sich ωj wenn sich qi um einen Umlauf
ändert H
∆i ωj = i dωj = δij
(l)
nj ω j
ωl
(J) = νi (J)
l=m+1
=
j=1
• P = J ⇔ Qi = ωi “Winkelvariablen”
→ ωi =
müssen zueinander linear
m-Fache Entartung haben wir, falls es nur m <
(l)
s − 1 solcher Zahlensätze ni gibt
→ Ji → Pi ⇒
∂W
∂Pi
(l)
• jeweils nicht alle ni = 0 für ein l
→ minimale
Rt
P R qoder kleinste Wirkung
A = i q12 dqi pi = S + t12 dtH
→ Qi =
(l)
νi ni = 0
i=1
→ im zyklischen Fall H = H (P )
• τi Periode von qi
∆i ωi = νi τi ⇒ νi (J) =
1
τi
=
10
3 ELEKTRODYNAMIK
Anforderungen an Materie
• Im Allgemeinen sind die äußeren Felder klein gegen die molekularen bzw. atomaren Felder.
1. Gesamtladung der Materie = 0
linear Response für nicht zu starke Felder
2. es fließt kein Strom
~
P~ = αE
~
3. anders als bei Metallen → E-Feld
6= 0 innerhalb
4. Materie ist “polarisierbar”
• α ist eine Matrix für anisotropes Dielektrikum
~ P~ (~r)
Polarisationsladungsdichte ̺p = −∇
• α ist ein Skalar für isotropes Dielektrikum
~
elektrische Suszeptibilität P~ = χ
~ ε0 E
• Gesamtladungsdichte ̺g = ̺ + ̺P
• P~ (~r) lokales Dipolmoment / Polarisation
H
• ∂V dF~ P~ (~r) = −QP = 0
~
~ + P~ = εε0 E
~ = ε0 E
• D
Dielektrizitätstensor ε = 1 + χE
Flächenladungsdichte σp = ~nP~
• isotrope Dielektrika gibt es auch
ε = 1 + χE
• ~n Normalenvektor auf dem Volumen
~ (~r)
Dielektrische Verschiebung D
~
P (~r)
=
~ (~r) +
ε0 E
Konvention im Folgenden Es wird soweit nicht anders angegeben von einem isotropen linearen Medium ausgeganden.
~ wird von den überschussladungen ̺ erzeugt und
• D
~ = 3.1.2 Plattenkondensator
ist damit unabhängig
vom Material, während E
1
~
~ über P~ vom Material abhängt.
ε0 D − P
Q
Kapazität C = U
~ ist nur Hilfsgröße, E
~ ist die eigentliche physika• D
Plattenkondensator C = ε0 εr Fd = εr C0
lische Größe
Kondensatoroberfläche F
Maxwell Gleichung der Elektrostatik mit DielektriQ
σ=
=D
kum
F
~D
~ (~r) = ̺ (~r)
∇
• D betrag der dielektrischen Verschiebung
~ ×E
~ (~r) = 0
∇
3.1.1
Klassifikation von verschiedenen Polarisationsformen
3.1.3
Randwertprobleme
• Maxwellgleichungen haben selbe Struktur ⇒ selbe
Lösungsansätze (Poisson-Gl.)
Deformationspolarisation es gibt keine elementa̺
ren Dipole im Material ohne äußeres Feld. Das Di∆ϕ = −
polmoment wird beim Anlegen des äußeren Feldes
εr ε0
durch Verschieben der im Atom oder Molekühl gebundenen Ladungen erzeugt (Deformation der La- Grenzschichten haben folgendes Stetigkeitsverhaldungsverteilung).
ten
Paraelektrika Es gibt molekulare Dipole (“Elemen~2 −D
~1
σ = ~n D
tardipole”) wie zB. Wasser. Diese richten sich
~2 − E
~1
~t × ~n E
durch das externe Feld bis zu einem gewissen Grad
= 0
aus. Die braunsche Molekularbewegung wirkt gegen die Orientierung. D.h. die Polarisierung ist
• σ Ladungsdichte auf der Grenzschicht
temperaturabhängig. Ohne Externes Feld ist die
Polarisation 0
• Stetigkeit in Komponenten
Ferroelektrika Stoffe mit molekularen Dipolen, die
sich unterhalb einer kritischen Temperatur Tc
(Curie-Temperatur) spontan, d.h. ohne äußeres
Feld ausrichten.
E1t
D1t
(1)
εr
= E2t
D2t
=
(2)
εr
11
3.2 Magnetostatik in Materie
• bei ungeladene Grenzschicht σ = 0 zusätzlich:
=
=
D1n
(1)
εr E1n
Maxwell-Gleichungen sind
~B
~
∇
~ ×B
~
∇
D2n
ε(2)
r E2n
= 0
= µ0~j
~ =∇
~ ×A
~
• Durch Einbringen von Spiegelladungen lassen sich Vektropotential B
Felddeformationen durch Grenzschichten berücksichtigen. Deren Ort ist gespiegel, allerdings ha• Umformulierung der homogenen Gleichung
ben sie einen zur Stetigkeitsbedingung passenden
~ (~r) = −µ0~j (~r)
Wert.
∆A
3.1.4
~ (~r) =
• Entwicklung A
Elektrostatische Energie
Punktladungen im Vakuum an
den
(~r1 , . . . , ~rN ) mit Ladungen (q1 , . . . , qN )
Wges =
N
X
i,j=1
i6=j
Energiedichte w =
• W =
R
V
ε0
2
d3~r w (~r)
i
2m
Wechselwirkungsanteil entspricht der Diskreten energieformel
Feldenergie im Dielektrikum
Z
1
~D
~
d3 r E
W =
2
3.2.1
Makroskopische Feldgrößen
Stromdichte ~jm = ~jf + ~jgeb + ~jmag
• ~jf Ströme freier Ladungen
• ~jgeb Ströme aufgrund Polarisation
• ~jmag stationäre magnetische Dipole
Magnetisierungsstromdichte ~jmag
(i)
~ max
• stationär ∇j
= 0 für alle Teilchen i
i
h
R
~ i × ~jmag (~r)
• m
~ i = 21 d3 r ~r − R
~
~
• Ansatz:
~ · f (~r))
( jmag (~r) = ∇ × (m
1 innerhalb V
f=
0 außerhalb
~ =
Magnetisierung M
Maxwell
P
~
H
~ ×H
~
∇
~B
~
∇
~D
~
• w = 21 E
Magnetostatik in Materie
Stromdichte ~j (~r) = ̺ (~r, t) · ~v (~r, t)
∂̺
∂t
~ ~j = 0
• in der Statik nur ∇
i
~ mag 6= 0
• 6= 0 mit äußerem Feld, B
Sebstenergiedichte diese ist divergent für homogen geladene Kugel mit R → 0. Problem
für Elektron. Gelöst in Qantenfeldtheorie
Kontinuitätsgleichung
2
~i Bahndrehimpulse
→ L
• = 0 ohne äußeres Feld
• Beim Überprüfen mit einer diskreten Verteilung
gibt es
3.2
→ m
~ magnetisches Dipolmoment
P
P
~ i × ~vi = q
~i
→ m
~ = 1q
R
L
qi qj
8πε0 |~ri − ~rj |
2
~
E + ...
→ kein Monopolterm
Orten
Kontinuierliche Ladungsverteilung ̺ (~r)
Z Z
̺ (~r) ̺ (~r′ )
1
d3 r d3 r′
W =
8πε0 V
|~r − ~r′ |
Z
1
d3 rϕ (~r) ̺ (~r)
=
2 V
Z
ε0
=
d3 r (∇ϕ (~r))2
2 V
Z
2
ε0
~
=
d3 r E
2 V
µ0 m×~
~ r
4π r 3
~ ~j = 0
+∇
i
mi f i
1 ~
~
B−M
µ0
= ~jF
=
=
0
~
~ = χm H
lineare isotrope Medien M
magnetische Suszeptibilität χm
relative Permiabilität µr = χm + 1
~
~ = µ0 (1 + χm ) H
~ = µ0 µr H
• B
12
3 ELEKTRODYNAMIK
3.2.2
• ~jF Flächenstromdichte. Wenn = 0 gilt weiter;
Einteilung der magn. Stoffe
Diamagnetismus χm = const < 0
H2t
B2t µ(1)
r
~ ↑↓ H
~
• Induktionseffekt M
• magnetische Dipole werden induziert
3.4
• temperaturunabhängig
• z.B.
Atome
~
Lges = 0
mit
abgeschlossenen
Schalen
Randwertprobleme
~
• i.A. Lösungen mit Hilfe des Vektorpotentials A
~′ = A
~ + ∇χ
~
Eichtransformation A
Paramagnetismus χm > 0, χm = χm (T )
• permanente magn. Dipole
• z.B.
Atome
mit nicht abgeschlossenen Schalen
~ ges 6= 0
L
• χ irgendein Skalarfeld
~′ = ∇
~ ×A
~′ = ∇
~ ×A
~=B
~
• B
~A
~=0
Coulomb-Eichung ∇
• Sättigungsmagnetismus: ... bis alle Dipole ausgerichtet sind
• hohe Temperaturen: χm (T ) =
c
T
“Curie-Gesetz”
Kollektiver Magnetismus χm = χm (T, H) kein li~
~ 6= χm H
nearer Zusammenhang M
• permanente magn. Dipole → richten sich spontan
aus für T < Tc
Ferromagnetismus χm sehr groß + Hyterese
→ Weiß’schen Bezirke die sich mit Steigendem
~ ausrichten
H
→ Remanenz + Koizitivfeldstärke
Ferrimagnetismus zwei ferromagnetische Untergitter A, B
→ A, B sind antiparallel aber unterschiedlich
groß
~ =M
~A + M
~ B 6= 0
→ M
Antiferromagnetismus ist Spezialfal des Fer~ A = −M
~B
rimagnetismus mit M
~ =M
~A + M
~B = 0
→ M
→ kritische Temperatur: Tc
Temperatur”
3.3
= H1t
= B1t µ(2)
r
=
~ = −µ0 µr~j
∆A
• jede Koordinate entspricht Poisson-Gleichung
~ ×H
~ =0
Spezialfall ~j = 0 ⇒ ∇
~ = −∇ϕ
~ m mit ϕm skalares magn. Potential
• H
• lineares isotropes Medium
~ m
~ = −µ0 µr ∇ϕ
B
~B
~ = 0 → Laplace-Gleichung
• zusammen mit ∇
∆ϕm = 0
~ (~r) 6= 0 in V
• mit M
= ̺m
~M
~ effektive magnetische Ladungsdichte
• ̺m = ∇
• für r > r′ (Radius von V =Ausdehnung der Magnetisierung)
TN “Neelϕm ≈
Feldverhalten an Grenzflächen
~ und H
~ gestellt.
• Es werden Randbedingungen an B
~M
~
= ∇
∆ϕm
→ m
~ tot =
R
~ tot~r
1 m
4π r3
~ (~r) magnetische Moment
d3 r M
→ Fernfeld = Dipolfeld
Stetigkeit an Grenzflächen mit unterschiedlichem
3.5 Vollständige Maxwell Gleichungen
(1) (2)
µr ,µr
Vollständige Maxwell Gleichungen
~2 − B
~1
= 0
~n B
~D
~ = ̺
∇
B
= B
1n
H1n µ(1)
r
2n
= H2m µ(2)
r
~2 − H
~1
~t × ~n H
= ~jF ~t
~ ×E
~ +D
~˙
∇
~B
~
∇
~ ×H
~
∇
= 0
= 0
~˙
= ~j + D
13
3.6 Energie & Impulssatz in der Elektrodynamik
• χ ist nicht Lorenzinvariant!
Kontinuitätsgleichung
∂̺ ~ ~
+ ∇j = 0
∂t
• Wahl von χ
a (~r, t) =
∆χ =
Felder in Medien empirische Näherung
~
D
~
B
=
=
~
εr ε0 E
~
µr µ0 H
~j
=
~
σE
χ
Lorentzeichung wähle χ so, das
~A
~ + 1 φ̇ = 0
∇
c2
Potentiale diese lösen die beiden homogenen Maxwellgleichungen automatisch
~
B
~
E
=
=
dadurch gilt direkt
~ ×A
~
∇
~ −A
~˙
−∇φ
Potential-DGL’s sind umgeformte
Maxwell Gleichungen
∂ ~ ~
∇A =
∂t
~−∇
~
~A
~ + 1 φ̇
A
∇
=
c2
∆φ +
−
̺0
ε0
φ′
1 ∂2
c2 ∂t2
= φ − χ̇
• χ′ = χ + c ist äquivalent
χ =
Coulomb-Eichung bzw. transversal Eichung: wähle
χ so, das
~A
~ =
∇
~A
~ + 1 φ̇
∇
c2
−a (~r, t)
~ und φ
• vollständige Entkopplung von A
• χ ist lorenztinvariant / in jedem Inertialsystem
gleich.
• χ ist nicht eindeutig bestimmt:
Λ (~r, t) = 0
χ′ = χ + Λ
3.6
Energie & Impulssatz in der Elektrodynamik
Energiesatz
Helmholzt Satz die Stromdichte ~j = ~jL + ~jT lässt
sich in einen longitudinalen und einen tranversalen
Anteil aufspalten
Z
~ r′~j (~r′ , t)
∇
~r
~jL = − 1 ∇
d3 r′
4π
|~r − ~r′ |
V
Z
~ r′ × ~j (~r′ , t)
∇
~r×
~jT = 1 ∇
d3 r′
4π
|~r − ~r′ |
V
0
dadurch gilt direkt
φ =
a (~r, t) =
~ + ∇χ
~
= A
• χ ist beliebieges skalares Feld
∆φ =
• Wahl von χ
−µ0~j
Eichfreiheit bietet die Möglichkeit die Potentiale
zu verändern, ohne das sich die Felder ändern
~ =B
~ ′ und E
~ =E
~′
(Eichtransformation): B
~′
A
~ = −µ0~j
A
̺
φ = −
ε0
inhomogene
D’Alembert-Operator ist definiert als
=∆−
=
~A
~
∇
−a (~r, t)
Z
a (~r′ , t)
1
d3 r′
4π
|~r − ~r′ |
̺0
−
ε0
Z
̺ (~r, t)
1
d3 r′
4πε0 V
|~r − ~r′ |
~ (~r, t) und B
~ (~r, t) und ein Teilchem
• Gegeben sei E
mit der Ladung q in diesen Feldern mit ~v bewegt
~ + ~v × B
~
• F~ = q E
dWmech
~v
= q E~
dt
~
Kraftdichte
h f (~r, t)
i
~ (~r, t) + ~v (~r, t) × B
~ (~r, t)
̺ (~r, t) E
• ~v ist das Geschwindigkeitsfeld mit dem ̺ strömt
~v = ~j E
~
• f~
dWV
dt
=mech
Z
~
d3 r ~j E
V
=
es bleibt nur noch zu lösen
~ = −µ0~jT
A
=
=elekt
Z
h
i
~˙ − E
~D
~˙ − ∇
~ E
~B
~ ×H
~
d3 r −H
V
Z ∂w ~ ~
+ ∇S
−
∂t
V
14
3 ELEKTRODYNAMIK
~ (~r, t) = E
~ (~r, t) × H
~ (~r, t)
Pointingvektor S
•
•
dWvStrahlung
dt
dWvF eld
dt
=
=
R
3.7
Elektromagnetische Wellen
homogenes Medium sei gegeben, und damit
R
∂V
~
df~S
~
B
~
D
d3 r ∂w
∂t
V
=
=
~
µr µ0 H
~
εr ε0 E
Annahme ̺ (~r, t) = ~j (~r, t) = 0
• Achtung, i.A. ist das zeitliche Mittel verlangt →
steht hier nicht direkt!
Wellengleichung folgen aus den mit den Annahmen
modifizierten Maxwellgleichungen
~
~ = ~0
Energiestromdichte S
E
~ = ~0
B
• in Richtung
~
S
Geschwindigkeit u =
|S~ |
1
√
εr ε0 µr µ0
Lichtgeschwindigkeit c =
Energiedichte w (~r, t) =
1
2
h
~B
~ +E
~D
~
H
i
Brechungsindex n =
• Achtung, i.A. ist das zeitliche Mittel verlangt →
steht hier nicht direkt!
√ 1
ε0 µ0
√ 1
εr µr
~
Lösungsweg Ψ (~r, t) sei eine der Komponenten von E
~
oder B
• Phase:
ϕ± = ~k~r ± ωt
o.B.d.A. ω > 0
• Pointingsches Theorem
• entspricht Energieerhaltung
V
c
n
• Lösungsansatz
Ψ (~r, t) = f− ~k~r − ωt + f+ ~k~r + ωt
F eld
R
=
• DGL
Ψ (~r, t) = 0
Koninuitätsgleichung Energie
∂w
~
~S
~ +
~j E
=0
+ |{z}
∇
|{z}
∂t
|{z} Strahlung mechanisch
Feldimpuls p~F eld =
√ c
εr µr
=
• DGL mit Ansatz f± :
∂2
∆Ψ (~r, t) = k 2 Ψ′′ ∂t
r, t) = ω 2 Ψ′′
2 Ψ (~
~ ×B
~
d3 rD
• Lösung mit beliebigen f± mit
ω = uk
• F~ = p~˙
• Physikalische Interpretation
Maxwellscher Spannungstensor T
“
~ |2 + 1
Tij =εr ε0 Ei Ej + µr1µ Bi Bj − 12 δij εr ε0 |E
µr µ
0
0
2
|B~ |
”
r|| =
• T~i = (Ti1 , Ti2 , Ti3 )
Fi
=
=
d mech
eld
p~V
+ p~F
V
i
Zdt
~ T~i
d3 r ∇
V
=
→ Betrachte Flächen mit gleichem f+ bzw f−
Wert ⇒ϕ = ϕ0 = const
→ diese wandern mit t senkrecht zu ~k
Z
df~T~i
ϕ0
ω
~r~k
=
∓ t
k
k
k
→ f− bewegt sich in ~k Richtung
f+ bewegt sich in −~k Richtung
Phasengeschwindigkeit
dr||
dt
=
ω
k
=u
Wellenvektor ~k
∂V
• Impulsfluss df~T~i durch die Oberfläche df~i
• F~ gesamte auf das System in V wirkende Kraft
• p~mech
ist der zusätzliche mechanische Impuls (hier
V
im meistens = 0)
• auch Ausbreitungsvektor genannt
Allgemeine Lösung ist eine Überlagerung (da Gleichungen linear) von
f− (~r, t) =
f+ (~r, t) =
~
Aei(k~r−ωt)
~
Bei(k~r+ωt)
15
3.7 Elektromagnetische Wellen
• bei festen t sind Ebenen konstanter Phase äquidistant
Wellenlänge λ =
• τ=
2π
ω
• ν=
1
τ
• u=
ω
k
zirkular δ = ± π2 und |E0x | = |Eoy | = E

cos ~k~r − ωt + ϕ

~ =E
E
 ∓ sin ~k~r − ωt + ϕ
0
2π
k




→ δ = + π2 ist rechtszirkular (gegen den Uhrzeigersinn)
=
2πν
k
= λν =
λ
τ
→ δ = − π2 ist linkszirkular (mit dem Uhrzeigersinn)
Felder ergeben sich entsprechend zu
~ (~r, t) = E
~ 0e
E
i(~
k~
r −ωt)
~ (~r, t) = B
~ 0e
B
Elliptisch δ = ± π2 und |E0x | =
6 |Eoy |

i(~
k~
r−ωt)
• f+ = 0 da nur Propabation in eine Richtung betrachtet wird.
• mit Überlagerungen von ω ∈ (−∞, ∞) wird f+
dadurch wieder aufgenommen (negative ω).
• Diese Wellen werden auch als ebene Wellen bezeichnet, da Ihre Wellenfronten parallele Ebnen
senkrecht zu ~k bilden.
~ 0 = ωB
~0
• ~k × E
~0 = 0
• ~k E
Ex
|E0x |
2
+
2
Ey
|E0y |



=1
Allgemein handelt es sich um eine Ellipse, die
in der x, y Ebene um einen gewissen Winkel
verkippt ist
−∞
~0 = 0
• ~k B
2
2
~ 1 ~ =
• B
0
u2 E0 • a (k) ist die Gewichtungsfunktion
~ 0, B
~ 0 , ~k bilden in dieser Reihenfolge ein Rechst• E
system
• um Phasenverschiebungen zu realisiernen:
~ 0, B
~ 0 ∈ C3
E
~ E
~ Felder sind Realteile dieser Fel• Physikalische B,
der!!
Polarisation O.b.d.A ~k = k~ez damit gilt:
~ (~r, t) =
B

Wellenpakete sind die allgemeinsten Lösungen, also
eine Überlagerungen von den vorherigen Lösungen
Z ∞
F± (z, t) =
dk a (k) f± (kz ± ωt)
~ 0 = − ω2 E
~0
• ~k × B
u
~ (~r, t) =
E
→
|E0x | cos ~k~r − ωt + ϕ

~ =
E
 ∓ |E0y | sin ~k~r − ωt + ϕ
0
~
(E0x~ex + E0y ~ey ) ei(k~r−ωt)
1
~
(−E0y ~ex + E0x~ey ) ei(k~r−ωt)
u
~ Feld, B
~ analog
• Betrachte nur E
• Durch Realteilbildung und umschreiben
Ex = |E0x | cos ~k~r − ωt + ϕ
Ey = |E0y | cos ~k~r − ωt + ϕ + δ
linear δ = n · π mit n ∈ Z
~ =E
~ 0 cos ~k~r − ωt + ϕ
E
• ist Physikalisch relevant, da Welle meist mit über
ein ganzes “Frequenzband” verteilt ist
• Es gilt meist εr = εr (ω)
dispersives Medium ω = uk ⇒ ω = ω (k)
Gruppengeschwindigkeit vg = dω dk k=k0
ist
Teil der Taylorentwicklung von ω (k)
dω ω (k) = ω0 + (k − k0 )
+ ...
dk k=k0
→ i.a. u 6= vg
Wellenpaket ist Näherungslösung mit Abbruch der
Entwicklung von ω (k) nach ersten Glied
H± (z, t) =
Ĥ± (z ± vg t) =
e(k0 z±ω0 t) Ĥ± (z ± vg t)
Z ∞
dq b (k0 + q) eiq(z±vg t)
−∞
• Ĥ± ist die Einhüllende des Wellenpaketes, das sich
mit vg vorwärts bewegt
Kugelwellen sind Lösungen in der Basis der Kugelkoordinaten
16
3 ELEKTRODYNAMIK
• lässt sich in den Kugelkoordinaten als Summe
schreiben
• Lösung
Ψ± = Ar± ei(kr±ωt)
• Integraldarstellung von Ψ (~r, t) = 0 mit Randbedingungen von oben
Abkürzung
• gleiche Wellenlänge wie ebene Wellen
D (~r, t) =
=
• Es gibt mit ± wieder ein und auslaufende Wellen
=
3.7.1
Allgemeine Lösung der Wellengleichung
Fourier-Transformation allgemein in einer Dimension
Z ∞
1
f˜ (k) = √
dx f (x) e−ikx
2π −∞
Z ∞
1
dk f˜ (k) e+ikx
f (x) = √
2π −∞
• In n Dimensionen muss diese Transformation für
jede Komponente des Vektors durchgeführt werden
R∞
1
ikx
• δ (x) = 2π
−∞ dke
dreidimensional für Wellen
Ψ (~r, t)
Ψ̃ ~k, ω
=
1
(2π)2
R
=
1
(2π)2
R
k~
r−ωt)
i(~
d k
R∞
dω Ψ̃(~
k,ω )e
d3 r
R∞
r−ωt)
dt Ψ(~
r ,t)e−i(k~
3
−∞
−∞
~
Gegeben sind
Ψ (~r) =
v0 (~r) =
=
3.7.2
R
−1
2(2π)3 ur
R∞
1
[δ (r + ut) − δ (r − ut)]
4πur
δ (r − ut)
t>0
1 
−δ (r + ut) t < 0
4πur 

0
t=0
Energietransport in Wellen
Rechenregeln zur Realteilmittelung von komplexen
Funktionen
• ~a (~r, t) = a0 (~r) e−iωt
• ~b (~r, t) = b0 (~r) e−iωt
• MittelungR
t+τ
A (t) = τ1 t A (t) dt
• ℜ (~a) · ℜ ~b = 12 ℜ ~a∗0 · ~b0 = 21 ℜ ~a0 · ~b∗0
~ B
~ folgende Gestalt haben
Annahmen sind, dass E,
~ (~r, t) =
E
Ansatz mit Fourier-Transformation
~ (~r, t) =
B
ω2
2
k − 2 Ψ̃ ~k, ω
u
|
{z
}
=0
~ 0 ei(~k~r−ωt)
E
~ ei(~k~r−ωt)
B
0
0
⇔
=
dk(eik(r+ut) −eik(r−ut) )
−
~ B
~
• bzw. entsprechend Vektor E,
=
−∞
• ℜ (~a) × ℜ ~b = 12 ℜ ~a∗0 × ~b0 = 12 ℜ ~a0 × ~b∗0
Ψ (~r, t = 0)
Ψ̇ (~r, t = 0)
Ψ (~r, t)
~
1 ik~
d3 k ku
e r (eikut −e−ikut )
i
− 2(2π)
3
0
Energiedichte
w (~r, t)

1 
4ℜ 

~∗ + E
~ 0B
~∗ 
~ 0D
H

| {z 0}
| {z 0}
magnetisch
elektrisch
liefert den Ansatz
~ (~r, t) = 1 ℜ E
~0 × H
~ 0∗
S
Pointingvektor
2
Ψ̃ ~k, ω = a+ ~k δ (ω + uk) + a− ~k δ (ω − uk)
Spezialfall mit εr , µr ∈ R
Z
i
1
~
v0 (~r)
d3 re−k~r Ψ0 (~r) ∓
a± ~k =
1
2
4π
ku
w
~ (~r, t) =
ε0 εr |E0 |
2
und damit durch Rücktransformation und einset1
2
=
|B0 |
zen das resultierende Feld
2µ
µ
0 r
Z
Z
1
k(~
r −~
r′ )
3
3 ′ i~
d r d re
Ψ(~
r ,t) =
r
2 (2π)3
2
~ 0 ~ek
~ (~r, t) = 1 εr ε0 E
S
i
2 µr µ0
· eikut Ψ0 (~r′ ) −
v0 (~r′ )
ku
~ (~r, t) ~ek
= uw
i
′
′
−ikut
v0 (~r )
Ψ0 (~r ) +
+e
ku
~
R 3 ′
• ~ek = kk
r−~
r ′ ,t)v0 (~
r ′ ))
=
d r (Ḋ(~
r−~
r ′ ,t)Ψ0 (~
r ′ )+D(~
=
17
3.8 Reflexion und Brechung elektromagnetischer Wellen am Isolator
3.7.3
Wellenausbreitung in elektrischen Leitern
Leiterstrom ist zu berücksichtigen (Ohmsches Gesetz)
~
~j = σ E
Satz ̺ (~r, t = 0) = 0 ⇒ ∀t : ̺ (~r, t) = 0
• Strecke, nach der die Amplitude auf
ist
Wellenzahl ~k ist komplex mit k = k0 + ik1
ω
cn
ω
cγ
Telegraphengleichung ist resultierende aus Maxwellgleichungen
~ (~r, t) = E
~ 0 e−k1 z ei(k0 z−ωt)
• E
2
∂ ~
1 ∂
E (~r, t) = 0
∆ − 2 2 − µ0 µr σ
Phasengeschwindigkeit up = kω0 =
u ∂t
∂t
1 ∂2
∂ ~
n
∆ − 2 2 − µ0 µr σ
B (~r, t) = 0
Wellenlänge λ = 2π
k0 = λ n < λ
u ∂t
∂t
=
komplexe Geschwindigkeit u
√ c
µr εr
√
1
µr εr µ0 ε0
=
=
tret
mit
• ϕ = arctan nγ ist die Phasenverschiebung zwi~ und E
~
schen B
Energiestromdichte (zeitgemittelt)
2
~k = ω ~ek
u
S (~r) =
=
Extinktionskoeffizient γ sorgt für
• einen kontinuierlichen Abfall der Amplitude im
Medium
√
εr µr = n + iγ
2
w (~r) =
3.8
• mit n, γ ∈ R
3.8.1
• Wie gehabt
√
n = εr µr ∈ R
2
• n =
γ2 =
σµr
ε0 ω
n2
2
n2
2
"
"
1+
r
−1 +
1+
r
1+
σ
ε0 εr ω
σ
ε0 εr ω
• Im Grenzwert σ → 0 gilt:
n=n
γ=0
Eindringtiefe δ =
c
γω
=
2
λ0
2πγ
#
2
|E0 |
ω
e−2γ c z
2µ0 µr u2p
Reflexion und Brechung elektromagnetischer Wellen am Isolator
Feldverhalten an Grenzflächen
Normalkomponenten ~n =Normeleneinheitsvektor
~2 −D
~1
= σF
~n D
~2 − B
~1
= 0
~n B
• n2 − γ 2 = n2
• 2γn =
ω
|E0 |
e−2γ c z ~eE~ 0 ×B~ 0
2µ0 µr up
up w (~r) ~eE~ 0 ×B~ 0
zeitgemittelte Energiedichte ist gegeben durch
~ und E
~
• Phasenverschiebung zwischen B
Brechungsindex
c
n
1
~
(n + iγ) ~ek × E
cq
1
~
n2 + γ 2 eiϕ ~ek × E
c
=
=
”
“
~
k~
r −ωt
~ 0 ei
E


 n


~ 0 e− γω
c z exp iω
z−t 
E
c


| {z }
<
~ und E
~
Phasenlage von B
Lösung der Telegraphengleichung

c
n
• λ Wellenlänge im Isolator
~
B
~ (~r, t) =
E
abgesunken
• λ0 Wellenlänge im Vakuum
• k0 =
k1 =
komplexe Dielektrizitätskonstante εr = εr + i εµ00ω
1
e
#
• σF ist die Flächenladungsdichte
Tangentialkomponenten
~2 − H
~1
= ~jF
~n × H
~2 − B
~1
= 0
~n × E
• ~jF ist die Flächenstromdichte
18
3 ELEKTRODYNAMIK
3.8.2
3.8.3
Brechungs- und Reflexionsgesetz
Intensität bei Reflexion und Brechung
~ 1 ⊥Einfallsebene polarisiert
Fall 1 E
Randbedingung sind
• E02 = E01 + E01r
02
• E
=
E01
• σF = 0
⊥
• ~jF = ~0
• es handelt sich um ebene Wellen
•
E01r
E01
2n1 cos ϑ1
n1 cos ϑ1 +
⊥
(1)
µr
(2)
µr
√
(1)
µr
(2)
µr
(1)
µr
n1 cos ϑ1 + (2)
µr
n1 cos ϑ1 −
=
n22 −n21 sin2 ϑ1
√
√
n22 −n21 sin2 ϑ1
n22 −n21 sin2 ϑ1
Einfallende Welle
~1
E
=
~1
B
=
~ 1 || Einfallsebene polarisiert
Fall 2 E
~ 01 ei(~k1 ~r−ω1 t)
E
1 ~
~1
k1 × E
ω1
1 ~1
~ek1 × E
u1
=
• E02 cos ϑ2 = (E01 − E01r ) cos ϑ1
2n1 n2 cos ϑ1
02
• E
= µ(1)
√
E01
||
• ϑ1 = ∡ ~k1 , ~n
•
Reflektiert wird
~ 1r
E
~1
B
• ~k1r
3.8.4
~ 01r ei(~k1r ~r−ω1r t)
= E
1 ~
~ 1r
=
k1r × E
ω1r
1 ~ 1r
~ek1r × E
=
u1r
•
•
•
•
~2
B
=
=
~ 02 ei(~k21 ~r−ω2 t)
E
1 ~
~2
k2 × E
ω2
1 ~2
~ek2 × E
u2
•
ω
c
q
n22 cos ϑ1 +n1
√
n22 −n21 sin2 ϑ1
n22 −n21 sin2 ϑ1
Fresnel’sche Formeln
E02
E01
E01r
E01
E02
E01
E01r
E01
⊥
||
2 sin ϑ2 cos ϑ1
sin(ϑ1 +ϑ2 )
=
⊥
=
=
||
=
sin(ϑ2 −ϑ1 )
sin(ϑ1 +ϑ2 )
2 sin ϑ2 cos ϑ1
sin(ϑ1 +ϑ2 ) cos(ϑ1 −ϑ2 )
tan(ϑ2 −ϑ1 )
tan(ϑ1 +ϑ2 )
E01r
E01
⊥
||
> 0 für ϑ1 + ϑ2 ≤ π ⇒ Phasensprung um
π für ϑ1 + ϑ2 >
π
2
3.8.5
Senkrechter Fall
(2) (2)
µr εr
• ϑ2 = ∡ ~k2 , ~n
Snellius’sches-Brechungsgesetz
n2
n1
||
√
• Brewster-Winkel
tan ϑB = nn21
Reflektierte Welle ist linear (⊥) polarisiert!!
• ~k2 liegt in ~k1 , ~n -Ebene
• k2 =
=
n22 cos ϑ1 −n1
• Keine Brechung bei π2
• EE01r
< 0 ⇒ Phasensprung um π
01
Transmittiert wird
=
(1)
µr
(2)
µr
(1)
µr
(2)
µr
was in guter Näherung für fast alle Materialien
erfüllt ist.
q
(1) (1)
µr εr
~2
E
n22 −n21 sin2 ϑ1
(2)
µ(1)
r = µr
• ϑ1r = ϑ1 = ∡ ~k1r , ~n
• k1r = k1 =
E01r
E01
n22 cos ϑ1 +n1
Bedingung ist
liegt in ~k1 , ~n -Ebene
ω
c
r
(2)
µr
sin ϑ1
sin ϑ2
=
k2
k1
=
• Einfallsebene nicht definiert
ϑ1 = ϑ2 = 0
E02
E02
1
=
= n12n
• E
E
+n2
01
01
⊥
•
E01r
E01
⊥
||
=−
E01r
E02
||
=
n1 −n2
n1 +n2
19
3.9 Erzeugung elektromagnetischer Wellen
3.8.6
Greensche Funktion ist die Lösung der Inhomogenen DGL
Energietransport
S~ ~n E 2
1r Reflexionskoeffizient R = ~ = E01r
01
S1 ~
n
S~ ~n 2 Transmissionskoeffizient T
=
S~1 ~n r
2
(2) (1)
εr µr cos ϑ2 E02 (1) (2) cos ϑ E
1
01
ε µ
r
=
r
• R+T =1
3.8.7
= −δ (~r − ~r′ ) δ (t − t′ )
R 3 ′R ′
r ′ ,t′ )
Ψ (~r, t) =
d r
dt G(~
r−~
r ′ ,t−t′ )σ(~
G(~
r−~
r ′ ,t−t′ )
• G (~r − ~r′ , t − t′ ) beschreibt Ausbreitung einer Störung in (~r′ , t′ ) zur Zeit t am Ort ~r.
• Kausalität fordert t > t′ . Dies führt zur retadierten Lösung:
0
Totalreflexion
1
r −~
r ′ ,t−t′ )= 4π
Gret
0 (~
Bedingung n1 > n2
Grenzwinkel sin ϑG =
•
•
E01r
E01
||
tan ϕ =
E01r
E01
=e
√
sin2 ϑ1 −sin2 ϑG
cos ϑ1
~2~n = 0
S
3.9
Erzeugung
Wellen
3.9.1
elektromagnetischer
Inhomogene Wellengleichung
Ziel ist für gegebene
̺ (~r, t)
~j (~r, t)
passende Potentiale
|~r−~r′ |
u
1
0
sin2 ϑ1 −sin2 ϑG
cos ϑ1
• im Medium
Dämpfung
r2 exponentielle
2
sin ϑ1
cos ϑ2 = i
−1
sin ϑG
|~r − ~r | C
C
C
C
u
{z
}A
• Theoretisch gibt es noch zusätzlich eine nichtkausale, die sogenannte avancierten Lösung:
1
Gavan
(~r−~r′ ,t−t′ )= 4π
0
• Phasenverschiebung - i.A. ϕ 6= Ψ
1
C
tret
mit der reterdierten Zeit tret = t −
= e−i2Ψ
⊥√
tan Ψ =
n2
n1
′
−
|
−i2ϕ
1
sin2 ϑG
B
B
B ′
1
δ Bt − t
r−~
r′ | B
|~
@
B
B
B ′
1
t
−
t
δ
B
r−~
r′ | B
|~
@
|
C
+
|~r − ~r′ | C
C
C
C
u
{z
}A
tavan
mit der anancierten Zeit tavan = t +
|~r−~r′ |
u
• Allgemeine Lösung ist Greensche Funktion plus
Lösung der homogenen DGL wie in 3.7.1 auf Seite 16 hergeleitet.
Z
1
̺ (~r′ , tret )
+ hom. Lsg
ϕ (~r, t) =
d3 r′
4πε0 εr
|~r − ~r′ |
Z
~j (~r′ , tret )
µ0 µr
~
+ hom. Lsg
A (~r, t) =
d3 r′
4π
|~r − ~r′ |
• Forminvariant zur E-statik und M-statik aber mit
tret !
• Lorentzeichung ist erfüllt!
3.9.2
Zeitlich oszillierende Quellen
φ (~r, t)
zu finden
Lorentzeichung formt
genen DGL um in
φ (~r, t)
~ (~r, t)
A
Einfachheitshalber können wir hier Dank der Linearität der Maxwellgleichungen anstatt
~ (~r, t)
A
Z
1
̺ (~r, t) = √
dω ̺ω (~r) e−iωt
2π
Z
uns die zu Lösenden inhomo~j (~r, t) = √1
dω ~jω (~r) e−iωt
2π
̺ (~r, t)
nur
= −
ε0 εr
̺ (~r, t) = ̺ω (~r) e−iωt
= −µr µ0~j (~r, t)
~j (~r, t) = ~jω (~r) e−iωt
Problemstellung ist also 4mal eine Gleichung der
Form
Ψ (~r, t) = σ (~r, t)
zu lösen, wobei σ hier als Quellfunktion bezeichnet
wird.
betrachten und hinterher wieder aufintegrieren.
Gegeben sei eine Stromverteilung der Form
′
~j (~r, tret ) = ~j (~r) e−iωt ei ωu |~r−~r |
20
3 ELEKTRODYNAMIK
~ (~r) hängt nur über k =
• A
ω
u
von ω ab
→ Elektrischer Quadrupolterm
~ (~r, t) oszilliert mit gleicher Frequenz wie Quelle
• A
• ~r außerhalb Quellenbereich (|r| ≫ d)
~ = i u2 e−iωt ∇ × ∇ × A
~ (~r)
E
ω
• Lösung i.A. nicht analytisch integrierbar
• d ist die Ausdehnung der Stromverteilung
kleine Quellen d ≪ r, λ
µ0 µr eikr
4π
r
d3 r ′~j (~
r ′ )+
R
ikr
µ0 µr 1
e
d3 r ′~j(~
r ,t)(~
er −~
r)
4π ( r −ik) r
R
Elektrische Dipolstrahlung ist der erste Term
Z
µ0 µr eikr
~
A1 (~r) =
d3 r′ ~j (~r′ )
4π r
µ0 µr eikr
= −iω
p
~
4π r
R
• p~ = d3 r̺ (~r, t) ist das Dipolmoment der Ladungsverteilung
• Die dazugehörigen Felder sind
~ 1 (~r)
B
~ 1 (~r)
E
ikr
=
µ0 µr
4π
=
eikr
1
4πε0 εr
r
uk2 e r
1
(1− ikr
)(~er ×~p)
[k2 (~er ×~p)×~er
+ r1 ( 1r −ik)(3~
er (~
er p
~)−~
p)]
Magnetische Dipolstrahlung ist
ikr
e
~ mD (~r) = ik µ0 µr 1 − 1
(~er × m)
~
A
2
4π
ikr
r
→ Magnetisches
Dipolmoment
R
m
~ = 21 d3 r′ ~r′ × ~j (~r′ )
→ Die dazugehörigen Felder sind
~ 2mD (~r) =
B
~
er
[k2 (~er ×m)×~
1 1
er (~
er m)−
~
m)
~ ]
+ r ( r −ik)(3~
~ 2mD (~r) =
E
− 4πε1
µ0 µr eikr
4π
r
1
~
(1− ikr
)(~er ×m)
→ durch Vergleich mit el. Dipolstrahlung gewonnen
→ Strahlungsleistung pro Raumwinkel
dPs(2)
2
1
k 4 m2
dΩ = 32πε0 εr u sin ϑ
=
µ0 µr
4π
ikr
−uk2 e r
ikr
1
(1− ikr
)e r
1
(1− ikr
)
~ er )+~
·(Q(~
er
R
)
~ (~er ) = Q~er
→ Q
Strahlungszone r ≫ d oder auch Fernzone genannt
Z
′
eikr µ0 µr
~
d3 r′ ~j (~r′ ) e−ik~er ~r
A (~r) ≈
r 4π
mit zusätzlich λ ≫ d gilt kr′ ≪ 1 und damit das
endgültige Fernfeld
Z
ikr
~ (~r) ≈ e µ0 µr
A
d3 r′ ~j (~r′ )
r 4π
• es handelt sich hierbei um eine Kugelwelle mit
Winkelabhängigen Koeffizienten
• Die zugehörigen Felder sind
~ 1 (~r) =
B
~ 1 (~r) =
E
• Energiedichte
w 1 (~r) =
µ0 µr 2 eikr
uk
(~er × p~)
4π
r
~ 1 × ~er
u B
1
32π 2 ε
k 4 p2
sin2 ϑ
2
0 εr r
~ 1 (~r) = ~er uw 1 (~r)
S
• abgestrahlte Leistung pro Raumwinkel
dPS
dΩ
=
~ 1 (~r) ~er
r2 S
=
u
k 4 p2 sin2 ϑ
32π 2 ε0 εr
• Gesamte Strahlungsleistung
PS =
u
k 4 p2
12πε0 εr
• Quadropol Felder
~ eQ (~r)
B
~ eQ (~r)
E
Elektrische Quadrupolstrahlung ist
−ωk
(
R 3 ′
R
1 P3
er )i
d r Qij (~
r′ )+ d3 r′ r′2 ̺(~
r′ )
i=1 (~
3
=
mit ϑ = ∡ (~er , p~)
~ 2 (~r) = A
~ mD (~r) + A
~ eQ (~r)
A
2
2
~ eQ (~r) =
A
2
=
→ Quadropoltensor
Q = Qij (~r) = ̺ (~r) 3ri rj − r2 δij
~ 2 : Mag. Dipolstrahlun + el. Qua• 2.te Term = A
dropolstrahlung
k2 eikr
r
0 εr u
Z
1
d3 r′ ~r′ (~er ~r′ ) ̺ (~r′ )
2
R
1 ~
r ′ ))
er )+~
er d3 r ′ r ′2 ̺(~
3 (Q(~
=
Ij (ϑ,ϕ)
~ bestimmt durch A
~ → ϕ nicht nötig!
• E
~ (~r) ≈
A
~
I(ϑ,ϕ)
µ0 µr 3 eikr ~
~er × Q
uk
24π
r
k3
eikr ~ × ~er
≈ −i
~er × W
24πε0 εr r
≈ −i
Nahzone mit k |~r − ~r′ | ≪ 1
~
I(ϑ,ϕ)
µ0 µr
4π
d3 r ′ r ′2 ̺(~
r ′ ))
~ (~r, t) = µ0 µr
A
4π
Z
d3 r′
~j (~r, t′ )
|~r − ~r′ |
was der Magnetostatik entspricht.
21
3.10 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik
Lorenz-Gamma-Faktor γ = √
• Die zugehörigen Felder sind
~ 1 (~r) =
B
~ 1 (~r) =
E
µ0 µr ik
u (~er × p~)
4π r2
1 3~er (~er p~) − p~
4πε0 εr
r3
• dominant Elektrischer Charakter
• Zeitabhängigkeit über Dipolmoment ~
p.
Kovariante
Formulierung
Elektrodynamik
der
Viererableitung ∂µ
1 ∂
∂
∂
∂
c ∂t , ∂x , ∂y , ∂z
=
• ̺0 ist die Ladungsdichte
Ortsvektor kovariant
• ~j = ~v ̺0
Norm von Kovarianten Vektoren aµ aµ ist erhalten bei
Lorentztransformation
Summenkonvention für 4-er Vektoren ist, das immer über ein Paar von von Indizes summiert
wird, wobei einer unten, und einer oben stehen
muss. Beide Vektoren müssen dazu multipliziert
geschrieben sein. Summiert wird von 0 bis 3.
der Indexverschiebungs
0
0
0
−1 0
0 

0 −1 0 
0
0 −1
• ∂ µ ∂µ = • Gilt nur in Lorentzeichung
Lorentzeichung ∂µ Aµ = 0
• Komponenten

• g µν xν = xµ
0
 1 Ex
c
=
 1 Ey
c
1
c Ez
− 1c Ex
0
Bz
−By

− 1c Ez
By 

−Bx 
0
imhomogene Maxwellgleichung ∂α F αβ = µ0 j β
0
0
1
0

0
0 

0 
1
Jakobi-Identität ∂ α F βγ + ∂ β F γα + ∂ γ F αβ = 0
µν̺σ
4-dim
 Epsilontensor ε

+1 gerade Permutation von (0, 1, 2, 3)
−1 ungerade Permutation von (0, 1, 2, 3)


0
zwei Indizes gleich
dxµ
dτ
Eigenzeit τ
Dualrer Feldstärketensor F
=
− 1c Ey
−Bz
0
Bx
~ 2 − 12 E
~2
• Fµν F µn = 2 B
c
ist eine Lorentzinvariante
Einheitsmatrix für 4-er Vektoren
µ
Minkowski-Kraft
K
~~
F
v
γ c , Fx , Fy , Fz
=
• µ0 Permiabilitätskonstante
• gµν xν = xµ
Vierergeschwindigkeit uµ =
1 ∂ ~
c ∂t , ∇
Wellengleichung (∂ µ ∂µ ) Aµ = µ0 j µ
F µν
=
• Antisymmetrisch
F µν = −F νµ
• gνµ = gµν
gµα g αν

1 0
 0 1

 0 0
0 0
=
Feldstärketensor F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ
• g µν = gµν
=
∂
∂xµ
Kontinuitätsgleichung ∂µ j µ = 0
xµ = (ct, x, y, z)
δµν
v
c
Stromdichte j µ = (c̺, jx , jy , jz ) = γ̺0 (c, ~v ) = ̺0 uµ
Inertialsysteme Bezugssysteme mit konstanter Relativgeschwindikeit
Metrischer Tensor bzw.
operator ist

1
 0
gµν = 
 0
0
mit β =
Lorentztransformation mit der Matrize (hier exemplarisch in z Richtung mit v bewegt)


γ
0 0 −βγ
 0
1 0
0 

Lαβ = 
 0
0 1
0 
−βγ 0 0
γ
~ entspricht einem elektrostatischem Dipolfeld!
• E
3.10
1
1−β 2
µ
m du
dτ
=
2
µ
m ddτx2
=
• F
µν
= −F
νµ
µν
= 12 εµν̺σ F̺σ
=
22
3 ELEKTRODYNAMIK
• Komponenten

F
µν
0
 Bx

=
By
Bz
−Bx
0
− 1c Ez
1
c Ey
−By
1
c Ez
0
− 1c Ex
homogene Maxwellgleichung ∂α F

−Bz
− 1c Ey 

1

c Ex
0
αβ
=0
Transformation der Felder erst für den Spezialfall
~v = v~ez
Ex′
Ey′
Ez′
Bx′
By′
Bz′
= γ (Ex − βcBy )
= γ (Ey + βcBx )
= Ez
β
= γ Bx + Ey
c
β
= γ By + Ex
c
= Bz
~B
~ =E
~ ′B
~ ′ ist Lorentzinvariante
• E
• allgemeiner Fall mit ~v in beliebiger Richtung
~′
E
~′
B
h
i
2
~ β~ E
~×B
~
~ +c β
~ − γ β
= γ E
γ+1
2
~×E
~B
~ − γ β~ β
~
~−1 β
= γ B
c
γ+1
Index
4-dim Epsilontensor, 21
Anharmonische Schwingungen, 2
Antiferromagnetismus, 12
Aperiodischer Grenzfall, 2
Austauschtransformation, 5
bedingt periodisch, 8, 9
Brechung, 17
Brechungsindex, 14, 17
Brewster-Winkel, 18
Coulomb-Eichung, 12, 13
Curie-Temperatur, 10
D’Alembert-Operator, 13
Deformationspolarisation, 10
Diamagnetismus, 12
Dielektrika, 9
Dielektrische Verschiebung, 10
Dielektrizitätskonstante, 17
Dielektrizitätstensor, 10
Dipolstrahlung, 20
dispersives Medium, 15
Dualrer Feldstärketensor, 21
ebene Wellen, 15
Eichfreiheit, 13
Eichtransformation, 12, 13
Eigenzeit, 21
Eindringtiefe, 17
Einheitsmatrix, 21
Elektrische Dipolstrahlung, 20
Elektrische Quadrupolstrahlung, 20
elektrische Suszeptibilität, 10
Elektrodynamik, 9
Elektromagnetische Wellen, 14
Elektrostatische Energie, 11
Elementardipole, 10
elliptische Polarisation, 15
Energiedichte, 11, 14, 16, 17
Energiesatz, 13
Energiestromdichte, 14, 17
Energietransport in Wellen, 16
Entartung, 9
Epsilontensor, 21
Erzeugende Funktionen, 5
erzeugenden Funktionen, 5
Erzwungene Schwingung, 2
Extinktionskoeffizient, 17
Feldenergie im Dielektrikum, 11
Felder in Medien, 13
Feldimpuls, 14
Feldstärketensor, 21
Fernzone, 20
Ferrimagnetismus, 12
Ferroelektrika, 10
Ferromagnetismus, 12
Flächenladungsdichte, 10
Forminvariant, 5
Fourier-Transformation, 16
Frequenz, 9
Fresnel’sche Formeln, 18
fundamentale Poisson-Klamern, 8
gedämpfter harmonischer Oszillator, 2
Geschwindigkeit, 14
Gleichgeqicht
neutrales, 3
Gleichgewicht
labiles, 3
stabiles, 3
Gleichgewichtspunkte, 3
Greensche Funktion, 19
Grenzflächen, 12
Grenzschichten, 10
Grenzwinkel, 19
Gruppengeschwindigkeit, 4, 15
Hamilton Jakobi Gleichung, 6
Hamilton Jakobi Theorie, 4
Hamilton Jakobi-Theorie, 6
Hamiltonische charakteristische Funktion, 7
Hamiltonische Prinzipialfunktion, 6
Harmonische charakteristische Funktion, 7
Harmonische Oszillator, 2, 6
Helmholzt Satz, 13
homogene Maxwellgleichung, 22
Identische Transformation, 5
imhomogene Maxwellgleichung, 21
Impulsfluss, 14
Inertialsysteme, 21
Integral der Bewegung, 8
Jakobi-Identität, 8, 21
Kanonische Koordinaten, 4
kanonische Transformation, 5
Kanonischer Impuls, 4
Kapazität, 10
Kette, 4
Kollektiver Magnetismus, 12
komplexe Dielektrizitätskonstante, 17
komplexe Geschwindigkeit, 17
Koninuitätsgleichung Energie, 14
Kontinuitätsgleichung, 11, 13, 21
Koordinaten, 4
Kovariante Elektrodynamik, 21
Kraftdichte, 13
Kriechfall, 2
Kugelwellen, 15
Lagrange Funktion, 4
Libration, 8
Lichtgeschwindigkeit, 14
lineare periodische Kette, 4
23
24
lineare Polarisation, 15
Lorentzeichung, 13, 21
Lorentztransformation, 21
Lorenz-Gamma-Faktor, 21
Magnetische Dipolstrahlung, 20
magnetische Suszeptibilität, 11
Magnetisierung, 11
Magnetisierungsstromdichte, 11
Magnetostatik, 11
Massentensor, 3
Maxwell Gleichungen, 12
Maxwellgleichung, 21, 22
Maxwellscher Spannungstensor, 14
Medien, 13
Metrischer Tensor, 21
Minkowski-Kraft, 21
Nahzone, 20
Normal Koordinaten, 3
Observable, 8
Ortsvektor, 21
Paraelektrika, 10
Paramagnetismus, 12
periodisch, 8
Periodizität, 8
Permiabilität, 11
Phasengeschwindigkeit, 14, 17
Phasenlage, 17
Phasenraum, 4
Plattenkondensator, 10
Pointingvektor, 14, 16
Poisson-Klammern, 8
Poissonscher Satz, 8
Polarisation, 15
Polarisationsladungsdichte, 10
Polarkoordinaten, 5
Potentiale, 13
Prinzipialfunktion, 6
Punkttransformation, 5
Quadropoltensor, 20
Quadrupolstrahlung, 20
Quellfunktion, 19
Reflexion, 17
Reflexionskoeffizient, 19
relative Permiabilität, 11
Rotation, 8
Ruhelage, 2
Säkulargleichung, 3
schwache Dämpfung, 2
Schwingende Systeme, 3
Schwingungen, 2
Sebstenergiedichte, 11
Seperation der Variablen, 7
Snellius’sches-Brechungsgesetz, 18
Spannungstensor, 14
Strahlungszone, 20
INDEX
Stromdichte, 11, 21
Summenkonvention, 21
Suszeptibilität
elektrische, 10
magnetische, 11
Telegraphengleichung, 17
Totalreflexion, 19
Transmissionskoeffizient, 19
Vektropotential, 11
Verallgemeinerte Orthonormalität, 3
Viererableitung, 21
Vierergeschwindigkeit, 21
Wechselwirkungsanteil, 11
Wellen, 14
Wellenausbreitung in elektrischen Leitern, 17
Wellengleichung, 14, 21
Wellenlänge, 15, 17
Wellenpakete, 15
Wellenvektor, 14
Wellenzahl, 17
Winkelvariable, 8
Wirkung, 4
Wirkungsvariable, 8
zirkulare Polarisation, 15
Zyklische Koordinaten, 4