5 Grundwissen der 5. Klasse

Gymnasium bei St. Anna, Augsburg
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Grundwissen 5. Klasse
Satz:
5
Grundwissen der 5. Klasse
5.1
Natürliche Zahlen und ganze Zahlen
1. Bei einer Alleereihe (Zahlenmenge mit gleichen Abständen!) ist die
Anzahl der Bäume (Zahlen) immer um eins größer als die Anzahl der
Zwischenräume.
2. Die Anzahl der Zwischenräume erhält man durch Differenzbildung
und Teilung durch den Abstand.
Beispiele:
Definition: 1. Alle natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, ... fasst man zur Zahlenmenge
N der natürlichen Zahlen zusammen, also N = {1, 2, 3, 4, ... }
Def.:
2. Soll die Zahl 0 zur Menge der natürlichen Zahlen dazugehören, so
schreibt man N0 = {0, 1, 2, 3, 4, ... }
3. Die Menge der negativen und positiven “glatten” Zahlen
einschließlich der Zahl 0 heißt Menge der ganzen Zahlen Z.
Z = { ..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... }
Der Abstand zweier benachbarter ganzer Zahlen auf dem Zahlenstrahl
heißt Einheit.
a) Gib das 80. Element der Zahlenfolge 121, 133, 145, 157, ... an.
Lösung:
Es gibt 79 Zwischenräume der Größe 12, also ist das
80. Element:
121 + 79⋅12 = 121 + 948 = 1069
b) Alleebäume stehen jeweils im Abstand von 5 m. Der erste Baum wurde 100 m
von einer Abzweigung gepflanzt, der letzte 1200 m von dieser Abzweigung.
Lösung: Gesucht ist die Anzahl der Elemente von {100, 105, 110, ... , 1200}
Anzahl der Abstände: (1200 – 100) : 5 = 1100 : 5 = 220
Anzahl der Bäume ist also 221.
Zahlenstrahl mit der Einheit 1 cm:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Das Zählprinzip
Situationen, in denen man mehrere Dinge auswählen und miteinander
kombinieren muss, kann man in einem Baumdiagramm darstellen.
Beispiele:
a) Wähle je eine Figur aus zwei Quadraten, drei Dreiecken und zwei Kreisen.
Beispiel: Zahlenstrahl mit der Einheit 2 cm
1
–3
–2
–1
0
1
2⋅3⋅2=12
Möglichkeiten
2
2
2
1
2
1
3
3
2
Die Quadratzahlen bis 25 sind:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,
121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
b) Wie viele verschiedene Wörter kann man aus den Buchstaben des Wortes
HANS bilden?
4 Möglichkeiten, um H zu platzieren, 3 Mögl. für A ....:4⋅3⋅2⋅1=4!=24
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5.2
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Rechnen mit ganzen Zahlen
5.2.1 Terme
Def.:
Sinnvolle Rechenausdrücke heißen Terme.
in Zeichen
a+b
a–b
a⋅b
a:b
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
Termname
Summe
Differenz
Produkt
Quotient
a
1. Summand
Minuend
1. Faktor
Dividend
b
2. Summand
Subtrahend
2. Faktor
Divisor
5.2.2 Potenzen
1. Die Potenz an ist die abkürzende Schreibweise für ein Produkt mit n
gleichen Faktoren a:
an = a⋅a⋅a⋅ ... ⋅a (n Faktoren).
1
a =a
2. Die Potenz an besitzt die Basis a und die Hochzahl (= Exponent) n.
Def.:
1
2
3
4
3. Die Potenzen a , a , a , a , ... werden Stufenzahlen des Zahlensystems
a > 1 genannt.
Beispiele:
a)
2 = 2⋅2⋅2⋅2⋅2 = 32
b)
c)
5 = 5⋅5 = 25
Zweierpotenzen: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 = 28, 512, 1024 = 210
2
5.2.3 Die Vorrangregeln beim Rechnen
Hauptregel:
vor
vor
vor
Beispiele:
a) Gliederung des Terms (2⋅12 – 18 : 3) ⋅ 6 – 5
Der Term ist eine Differenz mit dem Subtrahenden 5. Der Minuend ist ein
Produkt mit dem 2. Faktor 6; der 1. Faktor ist eine Differenz, wobei der
Minuend das Produkt aus 2 und 12 ist und der Subtrahend ein Quotient mit
dem Dividenden 18 und dem Divisor 3 ist. Die Vereinfachung des Term ergibt
103.
b)
(2⋅ 43 – 2⋅ 3) ⋅ 6 – 5 = (2⋅ 64 – 6) ⋅ 6 – 5 = (128 – 6) ⋅ 6 – 5 = 122⋅ 6 – 5
Achtung: Die Rechnung lässt sich nicht abkürzen!
= 732 – 5 = 727.
c)
5 – 4 ⋅ 32 : 2 ⋅ 5 : 6 = 5 – 4 ⋅ 9 : 2 ⋅ 5 : 6 = 5 – 36 : 2 ⋅ 5 : 6 = 5 – 18 ⋅ 5 : 6 =
= 5 – 90 : 6 = 5 – 15 = –10
5.2.4 K-, A-, D – Gesetz
Def.:
1. Kommutativgesetz (K – Gesetz / Vertauschungsgesetz):
der Addition
Innerste Klammer
Potenz
Punkt
Strich
Sind nur Punktrechnungen oder nur Strichrechnungen
vorhanden, wird streng von links nach rechts gerechnet.
für alle a, b ∈ Z
a+b=b+a
der Multiplikation:
a⋅b=b⋅a
für alle a, b ∈ Z
2. Assoziativgesetz (A – Gesetz / Klammergesetz)
der Addition
a + (b + c) = (a + b) + c für alle a, b, c ∈ Z
der Multiplikation:
5
Regel:
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a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c
für alle a, b, c ∈ Z
3. Distributivgesetz (D – Gesetz):
a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c für alle a, b, c ∈ Z
Merke: Das Distributivgesetz ist das einzige Gesetz, das die Addition mit der
Multiplikation verbindet. Es hilft häufig beim Kopfrechnen:
z.B. 28⋅ 7 = (20 + 8) ⋅ 7 = 20 ⋅ 7 + 8 ⋅ 7 = 140 + 56 = 196
5.2.5 Rundungsregel der Mathematik
Regel: Bei den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4 wird abgerundet, bei 5, 6, 7, 8, 9 aufgerundet.
Beispiele Runde auf ganze Tausender: 257.502
Runde auf ganze Hunderter:
85.649
Runde auf zwei gültige Ziffern: 89.412
Runde auf drei gültige Ziffern:
7.165
≈
≈
≈
≈
258.000
85.600
89.000
7.170
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Grundwissen 5. Klasse
5.2.6 Addition und Subtraktion ganzer Zahlen
5.2.8 Stellenwertsystem
Subtrahiert man eine größere positive Zahl von einer kleineren, so ist das Ergebnis
negativ:
z.B.: 70 – 93 = -(93-70) = -23
Eine Zahl und ihre Gegenzahl sind auf der Zahlengeraden gleich weit vom
Nullpunkt entfernt.
Def.:
1. Die Potenzen s1, s2, s3, s4, ... werden Stufenzahlen des Zahlensystems s
genannt. s ∈ N muss größer 1 sein.
2. Die Zehnerpotenzen sind die Stufenzahlen des Zehnersystems (=
Dezimalsystems), die Zweierpotenzen die Stufenzahlen des
Zweiersystems (= Dualsystems).
z.B : -7 ist die Gegenzahl von 7; 19 ist die Gegenzahl von -19
Eine negative Zahl addiert man, indem man ihre Gegenzahl subtrahiert.
Satz:
In einem Stellenwertsystem gibt
die Stelle, an der die Ziffer steht, an, um welche Stufenzahl es
sich handelt;
die Ziffer an, um welches Vielfache der Stufenzahl sich die Zahl
additiv zusammensetzt.
Eine negative Zahl subtrahiert man, indem man ihre Gegenzahl addiert.
Beispiele:
30 + (-80) = 30 – 80 = -50
30-(-80) = 30+80 = 110
5.2.7 Multiplikation und Division ganzer Zahlen
„Minus mal/geteilt durch Minus ist Plus“
„Minus mal/geteilt durch Plus ist Minus“
„Plus mal/geteilt durch Minus ist Minus“
In einem Stellenwertsystem mit der Basis s gibt es genau s Ziffern,
nämlich 0, 1, 2, ... , s–1.
Zur Kennzeichnung einer Zahl a im Zahlensystem s wird die Schreibweise as
verwendet. Nur im Zehnersystem entfällt der Index s = 10. Für Zahlensysteme mit
s > 10 werden die Ziffernsymbole 0,1,2,...,8,9,A,B,C,... verwendet.
Beispiele:
Dezimalsystem (Zehnersystem): Die Basis ist 10, 10 Ziffern 0, 1, 2, 3, ... , 8, 9
Stufenzahlen: 1, 10, 100, 1000, 10000, ...
Dualsystem (Zweiersystem):
Beispiele:
Die Basis ist 2, nur die 2 Ziffern 0, 1
Stufenzahlen: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...
(-3)⋅12 = -36
a)
2034 = 2⋅1000 + 0⋅100 + 3⋅10 + 4⋅1
-12⋅(-2) = 24
b)
1010112 = 1⋅25 + 0⋅24 +1⋅23 + 0⋅22 + 1⋅21 + 1⋅1 = 25 + 23 + 2 + 1 =
32 + 8 + 3 = 43
d)
3910 = 1⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 1001112
2⋅(-5) = -10
Potenzen mit negativer Basis:
(-1)2 =1; (-2)3= -8; (-3)4=81; (-1)999= -1
Bei geradem Exponent erhält man ein positives Ergebnis, bei ungeradem
Exponent ein negatives.
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Es gilt:
5.3
Größen
5.3.1 Längen
Beachte:
Längen, Entfernungen, Abstände werden in Meter gemessen. 1 Meter ist die
Längeneinheit. Sie entspricht ungefähr dem 40-millionsten Teil des Erdumfangs.
Gebräuchlich sind Mikrometer (µm), Millimeter (mm), Zentimeter (cm),
Dezimeter (dm), Meter (m) und Kilometer (km).
Bedeutungen: Dezi = Zehntel, Zenti = Hundertstel, Milli = Tausendstel, Mikro =
Millionstel und Kilo = Tausend.
Es gilt: 1 m
und
= 10 dm = 100 cm = 1 000 mm = 1 000 000 µm
1 dm = 10 cm =
100 mm = 100 000 µm
10 mm = 10 000 µm
1 cm =
1 km = 1 000 m
Beispiele:
a)
b)
1d
6 m 64 cm + 8 m 79 cm = 14 m 143 cm = 15 m 43 cm
8 m 3 mm – 2 dm 4 cm = 8003 mm – 240 mm = 7763 mm = 7 m 763 mm
5.3.3 Zeit
Zeiten misst man in Sekunden (s), Minuten (min), Stunden (h), Tagen (d),
Jahr (a) (vom Lateinischen hora, dies, annus)
Zeitpunkt, z.B. 14.05 Uhr
Zeitspanne, z.B. 45 min
Flächen werden in Quadratmeter, Quadratdezimeter, usw. gemessen.
Die Umrechnungszahl ist 100, d.h. das 100-fache einer Flächeneinheit ergibt
jeweils die nächst größere Flächeneinheit:
Es gilt:
Es gilt: 1 t
= 1000 kg
1 kg = 1000 g
1 g = 1000 mg
Verwendet werden noch folgende Einheiten:
573kg 742g + 703kg 554g = 1276kg 1296g = 1277kg 296g = 1t 277kg 296g
2t – 412kg 12g = 1t 999kg 1000g – 412kg 12g = 1t 587kg 988g
86.400 s
3.600 s
60 s
5.3.4 Flächen
Die Masse (Materiemenge) wird in Milligramm, Gramm, Kilogramm, und Tonnen
gemessen.
50 kg (Zentner)
500 g (Pfund)
1440 min =
60 min =
1 min =
Beispiele:
a) Zwischen 7.25 Uhr und 12.05 Uhr liegen 4h 40min.
b) 2h 47min 9s + 1h 21min 59s = 3h 68min 68s = 3h 69 min 8s = 4h 9min 8s
c) 5⋅ (21 min 17 s) = 105min 85s = 106min 25s = 1h 46min 25s
d) 4h 22min 7s – 1h 32min 9s = 3h 82min 7s – 1h 32min 9s = 2h 50min – 2s =
= 2h 49 min 58s
5.3.2 Masse
1 ztr =
1 Pfd =
Beispiele:
= 24 h =
1h=
1 km²
1 ha
1a
1 m²
1 dm²
1 cm²
=
=
=
=
=
100 ha
100 a (Hektar)
=
100 m² (Ar)
100 dm²
100 cm²
100 mm²
Fläche des Quadrats:
Fläche des Rechtecks:
Fläche eines Dreiecks:
AQ = a⋅a = a2, wobei a die Seitenlänge ist.
AR = l ⋅ b, wobei l die Länge und b die Breite ist.
ist die halbe Fläche eines geeigneten Rechtecks.
Beispiele:
a)
b)
c)
d)
20787cm2 = 207dm2 87cm2 = 2m2 7dm2 87cm2
2km2 20ha 5m2 = 2⋅1003m2 + 20⋅1002m2 + 5m2 =
= 2 000 000m2 + 200 000m2 + 5m2 = 2 200 005m2
Umfang U eines Rechtecks mit l = 48m und b = 25m
U = 2 ⋅ (l + b) = 2⋅ (48m + 25 m) = 2⋅73m = 146m
Oberfläche eines Quaders mit den Maßen, l = 5 dm, b = 4 dm und h = 3 dm
Lösung: AQ = 2⋅ (l ⋅ b + b ⋅ h + h ⋅ l) = 2⋅ (5⋅ 4 + 4⋅3 + 3⋅5) dm2 =
= 2⋅ 47 dm2= 94 dm2
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5.3.6 Rechnen mit Größen
Addition und Subtraktion
Man kann nur Größen mit derselben Einheit addieren und subtrahieren.
Dabei werden die Maßzahlen addiert bzw. subtrahiert, die Einheit bleibt
gleich.
Multiplikation
Multiplikation von Größen macht (in der 5. Klasse) nur bei der Flächenund Volumenmessung einen Sinn, z.B. 1m ⋅ 1m ⋅ 1m = 1m3
Achtung: 3 ⋅ 1m = 3m, aber 3m ⋅ 1m = 3m2
Division von Größen
Teilen:
Messen:
5.4
Größe : Zahl = Größe
Größe : Größe = Zahl
2. Ein Wasserbecken wird mit 520 hl Wasser gefüllt. Dazu stehen zwei Hähne zur
Verfügung. Hahn 1 liefert 20 l pro Minute, Hahn 2 nur einen Viertelliter pro
Sekunde. Von 8.00 Uhr bis 20.00 Uhr sind beide Hähne voll geöffnet. Ab 20:00
wird Hahn 1 halb abgedreht, so dass nur noch 10 l pro min fließen, während
Hahn 2 weiterhin voll läuft. Um wieviel Uhr ist das Becken gefüllt?
Lösung: Pro Minute bis 20:00: Hahn 2 füllt in 1 min: 60l :4 = 15l
Beide Hähne füllen also 20l + 15l = 35l
(Addition)
Was passiert bis 20:00? In 12h fließen also
12⋅60⋅35l = 720 ⋅ 35l = 25.200l. = 252 hl
Pro Minute ab 20:00: Beide Hähne füllen nun mit 10l + 15l = 25l
(Addition)
Zeitbedarf ab 20:00 in min: (520hl – 252hl) : 25hl = 26800l : 25l =
1072[min]. 1072min = 17h 52min.
(Division!)
Das Wasserbecken ist am nächsten Tag um 13.52 Uhr gefüllt.
5.4.2 Problemlösungen vom Typ “Subtraktion und Division”
Textaufgaben
5.4.1 Problemlösungen vom Typ “Addition und Division”
Begegnungsaufgaben (Bahn, Auto, Radfahrer, Fußgänger, Sportler) und
Aufgaben, bei denen Mengen zusammenkommen (fließen, schütten, vermengen),
gehören zum Typ “Addition und Division”.
Fragen: Was passiert, bis “alle” aktiv sind?
Was passiert in einer Zeiteinheit?
Welcher Zeitbedarf ist nötig?
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(Subtraktion!)
(Division!)
1. Ein Zug A fährt um 10:20 von Stuttgart mit der Geschwindigkeit von 2.400 m
pro Minute ins 177km entfernte Augsburg. Ein Zug B fährt um 10:45 mit 25 m
pro Sekunde von Augsburg in Richtung Stuttgart. Wann und wo begegnen sich
beide Züge?
Lösung: Was passiert, bis beide Züge fahren? Von 10:20 bis 10:45 vergehen
25 min, in denen Zug A 25⋅ 2.400 m = 60.000m = 60km zurücklegt.
Verbleibende Strecke: 177 km – 60 km = 117 km
Pro Minute kommen sich die Züge um
2.400m + 25m ⋅ 60 = 2.400m + 1.500m = 3.900m näher
(Addition!)
Zeitbedarf ab 10:45 in min: 117.000m : 3.900m = 30 [min] (Division!)
Die Züge begegnen sich um 11.15 Uhr.
Begegnungsort: Zug A nach 30 min: 30⋅1.500 m = 45km von Augsburg
Überholaufgaben (Bahn, Auto, Radfahrer, Fußgänger, Sportler) und Aufgaben,
bei denen Mengen auch weggenommen werden, gehören zum Typ “Subtraktion
und Division”.
Lösungsfragen wie 5.4.1:
Was passiert, bis “alle” aktiv sind?
Was passiert in einer Zeiteinheit? (Subtraktion!)
Welcher Zeitbedarf ist nötig?
(Division!)
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5.5
Seite 6
Grundwissen 5. Klasse
Teilbarkeit und Primzahlen
5.5.1 Teilbarkeitsregeln
Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist (also auf 0, 2, 4, 6, 8 endet).
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet.
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
5.5.2 Primzahlen, Primfaktorenzerlegung
Def.: Eine Zahl p > 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, heißt Primzahl.
Alle Primzahlen bis 100 lauten: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Def.:
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die beiden letzten Ziffern eine Zahl
bilden, die durch 4 teilbar ist.
Regeln: 1. Die Zerlegung ist immer eindeutig.
2. Für die Primfaktorenzerlegung zerlegt man die Zahl in mehrere
möglichst große Faktoren, die dann weiter zerlegt werden. Es ist
ungünstig, zunächst durch möglichst kleine Primzahlen zu teilen, wie
das Beispiel 1 000 000 eindrucksvoll zeigt (siehe Beispiel a).
Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die drei letzten Ziffern eine Zahl bilden,
die durch 8 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre Springsummendifferenz durch 11
teilbar ist.
3. Bei der Prüfung einer Zahl auf Primzahleigenschaft teilt man die
Zahl nacheinander durch die obigen Primzahlen 2, 3, 5, 7, ... , bis
entweder die Division aufgeht
oder das Quadrat des Primzahldivisors die zu prüfende Zahl
übersteigt.
Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die beiden letzten Ziffern 00, 25, 50 oder
75 sind.
Eine Zahl ist durch eine Stufenzahl teilbar, wenn sie mit mindestens so vielen
Nullen endet, wie die Stufenzahl Nullen hat.
Beispiele:
a)
b)
c)
d)
3 teilt nicht 791, da Quersumme QS(791) = 7 + 9 + 1 = 17 ∉ V3
9 teilt 1287, da QS(1287) = 1 + 2 + 8 + 7 = 18 ∈ V9
11 teilt 623491, da (6 + 3 + 9) – (2 + 4 + 1) = 18 – 7 = 11 ∈ V11
11 teilt nicht 12345, da (1 + 3 + 5) – (2 + 4) = 9 – 6 = 3 ∉ V11
Die Primfaktorenzerlegung einer Zahl ist die Produktdarstellung einer
Zahl mit lauter Primzahlen.
Beispiele:
a)
b)
c)
d)
Ungünstig wäre 1000000 = 2⋅500000 = 2⋅2⋅250000 = 2⋅2⋅2⋅125000 =
= 2⋅2⋅2⋅2⋅62500 = 25⋅31250 = 26⋅15625 = 26⋅5⋅3125 = ...
viel besser ist 1000000 = 10 6 = (2⋅5)6 = 26⋅56
600 = 6⋅10⋅10 = 2⋅3⋅2⋅5⋅2⋅5 = 23⋅3⋅52
1780 = 10⋅178 = 2⋅5⋅2⋅ 89 = 22⋅5⋅ 89, da 89 eine Primzahl ist.
269 ist nicht teilbar durch 2, 3, 5, 7, 11, 13, weiterhin gilt 172 = 289 > 269,
also ist 269 eine Primzahl.
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5.6
Seite 7
Grundwissen 5. Klasse
Quadrat:
Alle 4 Seiten sind gleich lang
Geometrische Grundbegriffe
4 rechte Winkel
5.6.1 Punkte, Strecken, Halbgeraden
und Geraden
4 Symmetrieachsen
Punkte werden mit großen, Geraden häufig mit
kleinen deutschen Buchstaben bezeichnet.
Raute:
Alle 4 Seiten sind gleich lang
Ein Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen
zwei Punkten in einer Ebene.
[AB] = Strecke AB einschließlich A und B
]AB] = Strecke AB ohne A, aber mit B
2 Symmetrieachsen
]AB[
= Strecke AB ohne A und ohne B
Kreis:
AB
= Länge der Strecke AB
k(M; r) = Kreis um Mittelpunkt M mit Radius r und
Durchmesser d = 2r
[AB
= Halbgerade von einschließlich A über B
hinaus
AB[
= Halbgerade von B, aber ohne B selbst,
AB
über A hinaus
= Gerade durch A und B (kein Anfang,
= Gerade g(A,B), kurz Gerade g
5.6.2 Ebene Figuren
r
5.6.3 Gitternetz
(Koordinatensystem)
kein Ende, keine Länge)
Dreieck ABC = ∆ ABC
2
A
Jeder Punkt P(a | b) eines Gitternetzes wird
1
mit zwei Zahlen (Koordinaten) beschrieben:
0
Die erste Zahl a ist der Rechtswert (Abszisse),
-1
die 2. Zahl b der Hochwert (Ordinate).
Beispiele:
Ursprung = O(0 | 0), A(3 | 1), B(–2 | –1)
C
M
O
B
-2
-1
0
1
2
3
5.6.4 Punktmengen
Rechteck:
A
Je 2 gegenüberliegende Seiten sind gleich lang
4 rechte Winkel
2 Symmetrieachsen
B
Strecken, Halbgeraden, Geraden, Kreise, ... bestehen aus einer Menge von
unendlich vielen Punkten. Man sagt z.B.: Eine Gerade ist eine Punktmenge.
Beispiele:
Es gilt: A ∈ g und
C∉g
[AB] ⊂ g
C ∉ [AB]
A ∈ [AB]
B∈g
4
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5.6.5 Winkel
Def.:
Der Winkel ASB entsteht, wenn die Halbgerade [SA durch eine
Linksdrehung in die Halbgerade [SB übergeführt wird.
5.6.6 Räumliche Figuren
Würfel:
Quader :
Prisma (3-seitig):
Pyramide:
B
A
S
Die Größe eines Winkels misst man mit einer Kreisskala, wie sie z.B. auf dem
Geodreieck zu finden ist. Eine volle Drehung entspricht 360°, eine halbe Drehung
180° (gestreckter Winkel) und eine Vierteldrehung 90° (rechter Winkel).
Kegel:
Zylinder:
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Anhang: Mengen, Elemente und Anzahlen von Elementen
Def.:
1. Eine Menge ist eine Zusammenfassung verschiedener “Dinge”
(Objekte). Jedes Objekt darf nur einmal vorkommen, die Reihenfolge
spielt in einer Menge keine Rolle.
Beispiele:
2. Die Objekte einer Menge nennt man Elemente.
a) Die Elemente einer Menge werden mit Komma von einander getrennt. Die
Menge { 1, {1}, {1, 2} } besitzt also drei Elemente, nämlich das Element 1, die
Menge mit dem Element 1 und die Menge mit den zwei Elementen 1 und 2.
3.
b) 50 ∈ V2
∈
∉
⊂
⊆
⊄
Zeichenerklärungen:
heißt
“ist Element von”
(rechts muss jeweils
heißt
“ist nicht Element von”
eine Menge stehen!)
heißt
“ist echte Teilmenge von” (links und rechts müssen
heißt
“ist Teilmenge von”
jeweils Mengen stehen!)
heißt
“ist nicht Teilmenge von”
4. Die Restmenge A \ B ist diejenige Menge, die alle Elemente von A
enthält, die nicht in B liegen.
5. Die Schnittmenge der Mengen A und B ist die Menge aller Elemente,
die in beiden Mengen gleichzeitig vorhanden sind.
Man schreibt: A ∩ B und spricht “A geschnitten mit B”.
6. Die Vereinigungsmenge der Mengen A und B ist die Menge aller ihrer
Elemente.
Man schreibt: A ∪ B und spricht “A vereinigt mit B”.
7. Eine Menge ohne Elemente heißt “leere Menge”.
Man schreibt ∅ oder { }.
8. Die Menge der Vielfachen der natürlichen Zahl n werden mit Vn
abgekürzt, also V3 = {0, 3, 6, 9, 12, ... }.
100 ∉ { 1, 3, 5, 7, ... }
{ } ∉ V4
c) {1} ∈ { 1, {1}, {1, 2} }, weil {1} tatsächlich auch als Element in der Menge
vorkommt.
d) { 1 } ⊂ { 1, {1}, {1, 2} }, weil 1 auch als Element in der Menge auftritt und
folglich zu einer Menge zusammengefasst werden kann.
e) {2, 4} ⊂ V2
{ } ⊂ V4
N ⊆ {1, 2, 3, ...}
{10} ⊂ V5
f) {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5, 6} = {3}
V3 ∩ V5 = V15
{2, 5, 8, 11, ...} ∩ {1, 3, 5, ..., 151} = {5, 11, 17, ..., 149}
{1, 2, 3, 4, 9} ∪ {3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9}
N \ V2 = {1, 3, 5, 7, ... }