Korrespondenzzirkel MATHEMATIK 2005/2006 SERIE 5 5.1 5.2 5.3

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Korrespondenzzirkel
MATHEMATIK
SERIE 5
2005/2006
Termin: 20.03.2006
Rücksendung an:
Thomas Krakow, Max-Planck-Str. 4 Haus B, Postfach 4.02.03.3, 18059 Rostock
5.1
Der Verfasser eines Lehrbuches bemerkte beim Durchlesen desselben, dass sich in dem
Satz:
Auf dem linken Schenkel eines Winkels von 60◦ trage man 9cm ab, auf dem
rechten Schenkel . . . cm, man berechne den Abstand der so erhaltenen Punkte!
ein Druckfehler eingeschlichen hatte. Der Setzer hatte die im Manuskript angegebene Zentimeterzahl um 1 vergrößert. Natürlich hatte der Setzer nicht daran gedacht, auch die am
Ende des Buches stehende Lösung abzuändern. Dessen ungeachtet führte der Druckfehler
nicht auf ein falsches Ergebnis.
Welche Zahl war ursprünglich gemeint und welche hat der Setzer in die Aufgabe eingesetzt?
5.2
Gegeben sei eine Pyramide, deren Grundfläche ein Rechteck mit dem Flächeninhalt Q ist.
Zwei der Seitenflächen stehen senkrecht auf der Grundfläche; die zwei restlichen schließen
mit der Grundfläche Winkel der Größe α bzw. β ein.
Man ermittle das Volumen der Pyramide in Abhängigkeit von Q, α und β.
5.3
Man ermittle alle diejenigen Paare (x, y) positiver ganzer Zahlen x, y, welche die Gleichung
10x3 − (2y + 5)x2 + (y − 4)x + 76 = 0
erfüllen.
5.4
Beweisen Sie, dass das Produkt von vier unmittelbar aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen nicht das Quadrat einer positiven ganzen Zahl sein kann!
5.5
Sei n eine ungerade natürliche Zahl größer als 1 und seien d1 , . . . , dn ganze Zahlen. Für
jede Permutation (Anordnung) a = (a1 , . . . , an ) der Zahlen 1, 2, . . . , n sei
s(a) =
n
X
di ai .
i=1
Beweise, dass es zwei verschiedene Permutationen b und c gibt, so dass s(b) − s(c) durch
n! teilbar ist!
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