Merkhilfe M T Juli 2013

Merkhilfe Mathematik/Technik
Juli 2013
Die Merkhilfe stellt keine Formelsammlung im klassischen Sinn
dar. Bezeichnungen werden nicht erklärt und Voraussetzungen für
die Gültigkeit der Formeln in der Regel nicht dargestellt.
Schnittwinkel zweier Geraden
Parabelgleichung
Teil I: Stoffgebiete der Mittelstufe
Binomische Formeln
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
(a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b3
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(a − b)3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b3
(a + b) ⋅ (a − b) = a 2 − b 2
a 3 − b3 = (a – b) ⋅ (a 2 + ab + b 2 )
Potenzen und Wurzeln
1
a1 = a
an = a
a
ax ⋅ az = ax+z
ax
= ax − z
az
a ⋅
n
a =a
Geradengleichung
=
m
an
a ⋅ b = ab
(allgemeine Form)
y = a ⋅ (x – x s )² + ys
(Scheitelform)
y = a ⋅ (x – x1 ) ⋅ (x – x 2 )
(Linearfaktorform)
log b (a) = z ⇔ b z = a
a−x =
(a )
1
x
ax
a x ⋅ b x = ( ab )
a
b
=
x
a
b
y = m⋅x + t
(allgemeine Form)
y = m ⋅ (x − x 0 ) + y 0
(Punkt-Steigungsform)
( ) = log
( u ) − log b ( v )
log b ( a )
log c ( a ) =
log b ( c )
log b
u
v
b
C
Rechtwinkliges Dreieck
−b ± b 2 − 4ac
2a
n
m
y = ax² + bx + c
log b ( u z ) = z ⋅ log b ( u )
Lösungsformel für die quadratische Gleichung a x2 +b x + c = 0
a0 = 1
m1 – m 2
1 + m1 ⋅ m 2
log b ( u v ) = log b ( u ) + log b ( v )
 x für x ≥ 0
x =
 – x für x < 0
Absolutbetrag
x1/ 2 =
Logarithmen
tan ϕ =
z
= ax⋅ z
ax  a 
= 
bx  b 
Pythagoras:
a 2 + b2 = c2
Höhensatz:
h = pq
Kathetensatz:
a 2 = c p ; b2 = c q
a
sin α = ;
c
b
h
2
cos α =
b
;
c
tan α =
A
α
q
c
a
β
p
sin α
a
=
cos α
b
x
Allgemeines Dreieck
Sinussatz:
a : b : c = sin α : sin β : sin γ
Kosinussatz:
a 2 = b 2 + c 2 – 2bc ⋅ cos α
b 2 = a 2 + c 2 – 2ac ⋅ cos β
c 2 = a 2 + b 2 – 2ab ⋅ cos γ
1
B
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Sinus und Kosinus
Teil II: Analysis
(sin ϕ) + (cos ϕ) = 1
2
2
sin ( −ϕ ) = − sin ϕ
cos ( −ϕ ) = cos ϕ
sin ( 90° − ϕ ) = cos ϕ
cos ( 90° − ϕ ) = sin ϕ
sin 2ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ
cos 2ϕ = (cos ϕ) 2 – (sin ϕ) 2
( sin
ϕ 2 1
) = ⋅ (1 – cos ϕ)
2
2
ϕ
1
( cos ) 2 = ⋅ (1 + cos ϕ)
2
2
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin α + sin β = 2sin
α+β
α −β
cos
2
2
cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β
sin α − sin β = 2 cos
α+β
α −β
sin
2
2
2 sin α cos β = sin(α − β) + sin(α + β)
Flächengeometrie
Allgemeines Dreieck:
Gleichseitiges Dreieck: A =
Kreis: U = 2r π ; A = r 2 π
a2
a
3; h =
3
4
2
Trapez: A =
a+c
h
2
Raumgeometrie
V : Volumen
O : Oberfläche
Prisma: V = G h
Pyramide: V = G h
gerader Kreiszylinder:
V = r2π h ;
gerader Kreiskegel:
V = 13 r 2 π h ;
Kugel:
(jeweils r > 0)
x→0
Definition der Ableitung
f (x) − f (x 0 )
,
x − x0
falls der Grenzwert existiert und endlich ist.
df (x) dy
ds(t) •
f / (x) = y / =
=
;
= s(t)
dx
dx
dt
f / (x 0 ) = lim
Ableitung:
x → x0
U : Umfang
1
gh
2
M = 2r πh
lim ( x r ⋅ ln x ) = 0
Schreibweisen:
A : Flächeninhalt
A=
Grenzwerte
xr
lim x = 0
x→+ ∞ e
ln x
lim
= 0;
x→+ ∞ xr
M : Mantelfläche
G : Grundfläche
1
3
M = rπm
Ableitung der Grundfunktionen
1
r
(x r ) / = r ⋅ x r −1
( r ) / = – r +1
x
x
(sin x) / = cos x
(cos x) / = − sin x
(arcsin x) / =
1
1 − x²
(arccos x) / = −
(e x ) / = e x
1
1 − x²
(arctan x) / =
(ln x) / =
1
x
1
1 + x²
Ableitungsregeln
Summenregel:
f (x) = u (x) + v(x)
⇒ f / (x) = u / (x) + v / (x)
Faktorregel:
f (x) = c ⋅ u (x)
⇒ f / (x) = c ⋅ u / (x)
Produktregel:
f (x) = u (x) ⋅ v(x)
⇒ f / (x) = u / (x) ⋅ v(x) + u (x) ⋅ v / (x)
Quotientenregel:
f (x) =
Kettenregel:
f (x) = u ( v(x) )
u (x)
v(x)
⇒ f / (x) =
u / (x) ⋅ v(x) − u (x) ⋅ v / (x)
[v(x)]2
⇒ f / (x) = u / ( v(x) ) ⋅ v / (x)
V = 34 r 3 π ; O = 4r 2 π
2
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Newtonsche Iterationsformel
L`Hospitalsche Regeln
• Gilt z(a) = n(a) = 0 und existiert lim
x→ a
z / (x)
z (x)
z / (x)
, so gilt lim
= lim /
/
x → a n (x)
x → a n (x)
n (x)
• Gilt | z(x) |→ ∞ und | n(x) |→ ∞ für x → a und existiert lim
x→ a
z / (x)
,
n / (x)
/
so gilt lim
x→ a
z (x)
z (x)
= lim
n (x) x → a n / (x)
• Beide Regeln gelten in ähnlicher Weise auch für x → ∞ (anstelle von x → a )
zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen: x n +1 = x n −
f (x n )
f / (x n )
Symmetrie bezüglich des Koordinatensystems
f(−x) = f(x) für alle x ∈ Df
⇔
G f ist achsensymmetrisch zur y-Achse
(f heißt dann gerade Funktion)
f(−x) = −f(x) für alle x ∈ Df
⇔
G f ist punktsymmetrisch zum Ursprung
(f heißt dann ungerade Funktion)
Anwendungen der Differenzialrechnung
• Gleichung der Tangente im Punkt P ( x 0 | f (x 0 ) ) : y = f / (x 0 ) ⋅ (x – x 0 ) + f (x 0 )
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
• Monotoniekriterium:
1) Ist f eine in [a; b] stetige Funktion, so ist
x
f (x) < 0 im Intervall I ⇒ f fällt streng monoton in I.
• die Integralfunktion Fa : x a ∫ f (t) dt differenzierbar
/
f / (x) > 0 im Intervall I ⇒ f steigt streng monoton in I.
a
• und Fa ist eine Stammfunktion von f, d.h. Fa / (x) = f (x) .
• Art von Extremwerten (mithilfe der zweiten Ableitung):
f / (x 0 ) = 0 und f / / (x 0 ) > 0 ⇒ f hat an der Stelle x 0 ein relatives Minimum.
f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) < 0 ⇒ f hat an der Stelle x 0 ein relatives Maximum.
/
b
2) Ist F eine Stammfunktion von f, so gilt
//
• Graphenkrümmung:
= F(b) − F(a) = [ F(x) ] ab .
a
Partielle Integration
f (x) < 0 im Intervall I ⇒ G f ist in I rechtsgekrümmt.
//
f / / (x) > 0 im Intervall I ⇒ G f ist in I linksgekrümmt.
• Wendepunkt:
b
b
a
a
/
b
/
∫ u(x) ⋅ v (x) dx = [ u(x) ⋅ v(x)] a − ∫ v(x) ⋅ u (x) dx
Integration durch Substitution
Ist f (x 0 ) = 0 und wechselt f (x) an der Stelle x 0 das Vorzeichen,
//
∫ f (x) dx
//
so hat G f an der Stelle x 0 einen Wendepunkt.
b
∫ f (x) dx =
a
• Terrassenpunkt:
g-1 (b)
∫
-1
f (g(t)) ⋅ g / (t) dt mit x = g(t)
g (a)
Ist f / (x 0 ) = 0 und f / / (x 0 ) = 0 und wechselt f / / (x) an der Stelle x 0 das Vorzeichen, so hat G f an der Stelle x 0 einen Terrassenpunkt.
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Uneigentliche Integrale
∞
Teil III: Wahrscheinlichkeitsrechnung
b
∫ f (x) dx
:= lim ∫ f (x) dx
b →∞
a
Gesetze der Mengenalgebra:
a
A∩A =
Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die x-Achse
b
V= π ⋅
∫ ( f(x) )
2
Wichtige unbestimmte Integrale
x r +1
r
x
dx
=
+ C (r ≠ −1)
∫
r +1
∫ sin x dx = − cos x + C
x
x
+C
f ′(x)
∫ f (x) dx = ln f (x) + C
∫ f (ax + b) dx =
1
∫ (cos x)
2
1
a
dx = tan x + C
∫
∫
1
x ± a2
2
1
∫ x dx = ln | x | +C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ ln x dx = − x + x ln x + C
∫ f ′(x) ⋅ e
f (x )
1
∫ (sin x)
2
x 2
a2
x
a − x 2 + arcsin + C
2
2
a
2
x
a
a 2 + x 2 dx =
a 2 + x 2 + ln(x + a 2 + x 2 ) + C
2
2
Gesetze von De Morgan:
A∩B = A∪B ; A∪B = A∩B
Unvereinbarkeit:
A∩B =
Ereigniswahrscheinlichkeiten:
P({ }) = 0 ; P(Ω) = 1; P(A) = 1 – P(A)
Satz von Sylvester:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit:
PA ( B ) =
dx = ef ( x ) + C
dx = − cot x + C
1
1
x
∫ a 2 + x 2 dx = a arctan a + C
{}
P ( A ∩ B)
P (A)
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen: PA ( B ) = P(B)
oder auch: P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B )
Fakultät:
n! = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅1
Anzahl der Möglichkeiten, n unterscheidbare Elemente in
einer Reihe anzuordnen.
dx = ln x + x 2 ± a 2 + C
a 2 − x 2 dx =
A=A;
A \ B = A∩B
F(ax + b) + C , wobei F Stammfunktion von f ist.
1
1
a+x
∫ a 2 − x 2 dx = 2a ln a − x + C
1
x
∫ a 2 − x 2 dx = arcsin a + C
∫
{ };
A ∪ A = Ω;
dx
a
∫ e dx = e
A = Ω \ A;
Binomialkoeffizient:
(Kreisintegral)
n ⋅ ( n − 1) ⋅ ... ⋅ ( n − k + 1)
n
n!
=
 =
k!
 k  k! ⋅ ( n − k ) !
Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Menge mit n Elementen
Teilmengen mit k Elementen zu bilden.
Laplace-Experiment: Alle Elementarereignisse des zugehörigen Ergebnisraumes
sind gleich wahrscheinlich.
|A|
Es gilt dann: P ( A ) =
|Ω|
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Zufallsgrößen – Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung
Normalverteilung
Die Zufallsgröße X nehme die Werte x1 , x 2 , ... , x n
Dichtefunktion:
jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten p1 , p 2 , ..., p n an. Dann gilt:
f (x) =
n
• Erwartungswert: µ = E ( X ) = ∑ x i ⋅ pi = x1 ⋅ p1 + x 2 ⋅ p 2 + ... + x n ⋅ p n
1
σ 2π
i =1
Verteilungsfunktion:
n
• Varianz: Var ( X ) = ∑ ( x i − µ ) 2⋅ pi
F(x) =
⋅e
1  x −µ 
− 

2 σ 
x
1
σ 2π
⋅
∫e
2
1  t −µ 
− 
2  σ 
2
dt
−∞
i =1
= ( x1 − µ ) ⋅ p1 + ( x 2 − µ ) ⋅ p 2 + ... + ( x n − µ ) ⋅ p n
2
2
2
Verschiebungsregel: Var ( X ) = E ( X 2 ) − µ 2
Standardnormalverteilung
Dichtefunktion:
ϕ(u) =
1
Verteilungsfunktion:
Φ (u) =
1
• Standardabweichung: σ = Var ( X )
Binomialverteilung
Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der Treffer in einer Bernoullikette der
Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p.
Dann heißt die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung Binomialverteilung.
X heißt binomialverteilt, genauer B(n; p)-verteilt.
Es gilt:
Ist die Zufallsgröße X binomialverteilt nach B(n; p), so gilt:
n
n−k
P(X = k) = B ( n; p; k ) =   ⋅ p k ⋅ (1 − p )
für k = 0, 1, ..., n
k
(brauchbar für n ⋅ p ⋅ ( 1 − p ) > 9)
mit Erwartungswert E(X) = n ⋅ p und Varianz Var(X) = n ⋅ p ⋅ ( 1 − p )
Hypothesentest
Beim Testen der Nullhypothese H0 im Signifikanztest können zwei Fehler auftreten:
Fehler 1. Art:
Fehler 2. Art:
2π
2π
⋅e
1
− u2
2
u
⋅
∫e
1
− t2
2
dt
−∞
Φ (− u) = 1 − Φ (u)
Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung
B(n; p; k) ≈
1  k −µ 
⋅ ϕ
 mit µ = n ⋅ p und σ = n ⋅ p ⋅ (1 − p)
σ  σ 
1

 x −µ+ 2 
F(x) ≈ Φ 

σ




H0 wird abgelehnt, obwohl sie wahr ist.
H0 wird angenommen, obwohl sie falsch ist.
Als Signifikanzniveau α des Tests bezeichnet man die größtmögliche noch akzeptierte
Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art.
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Teil IV: Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Lineare Unabhängigkeit
Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor
ur r
r
Drei Vektoren a, b und c ∈ IR3 sind genau dann linear unabhängig,
r
r
r r
wenn die Gleichung λa +  b + ν c = 0 nur mit λ = μ = ν = 0 lösbar ist.
 a11

 a 21
a
 31
a12
a 22
a 32
a13   v1   a11 ⋅ v1 + a12 ⋅ v 2 + a13 ⋅ v 3 
   

a 23  ⋅  v 2  =  a 21 ⋅ v1 + a 22 ⋅ v 2 + a 23 ⋅ v3 
a 33   v 3   a 31 ⋅ v1 + a 32 ⋅ v 2 + a 33 ⋅ v 3 
Skalarprodukt im IR3
r r
r
r r r
Alternativ gilt: a, b und c linear unabhängig ⇔ a o b × c ≠ 0
( )
 a1   b1 
r r    
a o b =  a 2  o  b 2  = a1b1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
a  b 
 3  3
Eigenschaften und Anwendungen des Skalarprodukts
• Punkt-Richtungsform:
• Zwei-Punkte-Form:
Parameterformen
• Punkt-Richtungsform:
• Drei-Punkte-Form:
•
 a 2 b3 − a 3 b 2 
r r 

a × b =  a 3 b1 − a1b3 
a b −a b 
 1 2
2 1 
• Koordinatenform:
E : ax1 + bx 2 + cx 3 + d = 0
• Achsenabschnittsform:
E:
• Normalenform:
r
r r
r
a × b steht senkrecht auf a und b
r r
r r
| a × b | = | a | ⋅ | b | ⋅ sin ϕ mit 0o ≤ ϕ ≤ 180o
uuur uuur
• Flächeninhalt F des Dreiecks ABC: F = 12 | AB × AC |
• Volumen V der dreiseitigen Pyramide ABCD: V =
1
6
uuur uuur uuur
AB o AC × AD
(
r r
r
r
E : x = a + λ⋅u + µ⋅v
r r
r r
v r
E : x = a + λ ⋅ (b – a ) +  ⋅ (c – a)
Parameterfreie Formen
Eigenschaften und Anwendungen des Vektorproduktes
•
r r
r
g : x = a +λ⋅u
r r
v r
g : x = a + λ ⋅ (b – a )
Ebene im IR3
r r
r r
• zueinander senkrechte Vektoren: a ⊥ b ⇔ a o b = 0
r
r r
• Betrag eines Vektors:
|a | = aoa
r
r
a
• Einheitsvektor:
a0 = r
|a|
r r
aob
• Winkel zwischen zwei Vektoren: cos ϕ = r r mit 0o ≤ ϕ ≤ 180o
| a | ⋅| b |
Vektorprodukt im IR3
Gerade im IR2 und im IR3
x1 x 2 x 3
+
+
=1
s
t
u
Festlegung durch die Achsenschnittpunkte
S(s| 0| 0), T(0| t| 0) und U(0| 0| u)
r r r
E : n o (x – a) = 0
)
6