Blatt 3

12.05.2013 - - - Tutor: Martin Friesen - - - Thema: komplexe Zahlen
Funktionentheorie Sommersemester 2013, Prof. Dr. Yuri Kondratiev
Übungen Blatt 3 Lösungen
1. Betrachte die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen für die elementaren Funktionen
(a) f (z) = z n , n ∈ N
(b) f (z) = ez
(c) f (z) = sin z
(d) f (z) = tan z
Beweis.
Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen sind für eine Funktion f (x + iy) = u(x, y) +
iv(x, y) gegeben durch
ux = vy , uy = −vx .
Dieses ist äuqivalent zu der Darstellung
fx + ify = 0.
Für die Funktion f (z) = z n rechnen wir die zweite Bedingung nach. Es gilt
fx + ify = nz n−1 + i2 z n−1 = 0
und somit ist f (z) = z n auf ganz C komplex differenzierbar. Die Exponentialfunktion erfüllt die
Identität
f (x + iy) = ex+iy = ex (cos(y) + i sin(y))
und somit u(x, y) = ex cos(y) sowie v(x, y) = ex sin(y). Es gilt folglich ux = ex cos(y) = vy sowie
uy = −ex sin(y) = −vx . Der komplexe Sinus erfüllt
sin(z) =
eiz − e−iz
2i
und erfüllt somit
sin(x + iy)
e−y+ix − ey−ix
e−y (cos(x) + i sin(x)) − ey (cos(x) − i sin(x))
=
2i
2i
ey + e−y
e−y − ey
= sin(x)
− i cos(x)
2
2
= sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y).
=
Mit u(x, y) = sin(x) cosh(y) sowie v(x, y) = cos(x) sinh(y) ergibt sich
ux = cos(x) cosh(y) = vy , uy = sin(x) sinh(y) = −vx .
Analog zeigt man mit der Darstellung des komplexen Kosinus
tan(z) =
sin(z)
sin(2x)
sinh(2y)
=
+i
cos(z)
cos(2x) + cosh(2y)
cos(2x) + cosh(2y)
und rechnen mit der Quotientenregel die notwendigen Differentialgleichungen nach.
2. Untersuche auf Differenzierbarkeit und komplexe Differenzierbarkeit
(a) f (z) = zz
Beweis.
Es gilt f (z) = x2 + y 2 und somit ist f total differenzierbar. Die Cauchy-Riemannschen
Differentialgleichungen liefern ux = 2x, uy = 2y sowie vx = vy = 0. Damit ist f nur im Punkt
z = 0 komplex Differenzierbar.
(b) f (z) = <(z).
Beweis.
Es gilt f (x + iy) = x und mit u(x, y) = x sowie v(x, y) = 0 ergibt sich ux = 1 und vy = 0.
Damit ist f in keinem Punkt komplex Differenzierbar.
1
(c) In 0 < |z| < 1, f (z) = exp(− |z|
).
Beweis.
Es gilt f (x+iy) = exp − √
1
x2 +y 2
= u(x, y) und v(x, y) = 0. Damit ist f total differenzierbar
und für die komplexe Differenzierbarkeit muss ux = uy = 0 gelten. Wegen
!
!
1
1
2
2 − 23
2
2 − 32
, uy (x, y) = y(x + y ) exp − p
ux (x, y) = x(x + y ) exp − p
x2 + y 2
x2 + y 2
ist dieses für kein z mit 0 < |z| < 1 erfüllt.
3. Die Funktion f sei auf ganz C holomorph und reellwertig. Zeige, dass f konstant ist.
Beweis.
Es gilt f = u + iv mit v = 0, da f reellwertig ist. Aus der Holomorphie von f folgt ux = vy = 0
sowie uy = −vx = 0 und damit ist u konstant. Zusammen mit v = 0 ist somit auch f konstant.
4. Es seien f = g + ih holomorph und zweimal differenzierbar. Zeige, dass g und h reell harmonische
2
Funktionen sind, d.h. ∆g = ∆h = 0. Dabei ist: ∆ = ∂∂2 x .
Beweis.
Wegen der Holomorphie gilt gx = hy sowie gy = −hx . Aus dem Satz von Schwarz ergibt sich
∆g
=
=
∂2g
∂
∂
∂2g
+
=
gx +
gy
∂x∂x ∂y∂y
∂x
∂y
∂
∂
hy −
hx = hyx − hxy = 0
∂x
∂y
sowie
∂2h
∂2h
∂
∂
+
=
hx +
hy
∂x∂x ∂y∂y
∂x
∂y
∂
∂
= − gy gx = −gyx + gxy = 0.
∂x ∂y
∆h =