a0 + a1x + a2x2 + ::: + anxn = an(x x1)(x x2) eiei

WS 2007/08, Lineare Algebra (IFB1A/B, IFS1)
1. (a) Imaginäre Einheit i: i2
Lösungen zum Hausaufgabenblatt 8
= 1.
(b) Menge der komplexen Zahlen: C = fa + ib j a; b 2 Rg.
(c) Fundamentalsatz der Algebra: In C zerfällt jedes Polynom in Linearfaktoren:
a0 + a1 x + a2 x2 + : : : + an xn = an (x x1 )(x x2 ) (x xn ) (falls an 6= 0).
a + ib und (a + ib) 1 ): (a + ib) = a ib (das
Konjugiert-Komplexe zu a + ib).
(e) Exponentialform (Euler): ei = cos + i sin .
p
(f) Jedes z = a + ib hat die Form z = rei mit r = a2 + b2 ; cos = ar ; sin = rb .
(d) Konjugation (Notationen
2.
Vergleicht man den Realteil bzw. Imaginärteil von
ei(+ ) = cos( + ) + i sin( + )
mit dem Realteil bzw. Imaginärteil von
ei ei = (cos + i sin )(cos + i sin )
= (cos cos sin sin ) + i(cos sin + sin cos );
so kann man unmittelbar die Additionstheoreme
cos( + ) = cos cos sin sin sin( + ) = cos sin + sin cos ablesen.
Für den Spezialfall
= ergeben sich die Formeln
cos 2 = cos2 sin2 sin 2 = 2 cos sin :
3. (a)
1
(2 i)2 = (22
ich nde die
( 1)2 ) + i(2 ( 1) + ( 1) 2) = 3 4i.
: -Notation schöner und praktischer: vergleiche z1 + z2 mit (z1 + z2 ) .
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(b)
(c)
Lösungen zum Hausaufgabenblatt 8
(1 3i)(5+3i) = (1 3i)[(1+3i)+4] = (1 3i)(1 3i) +(1 3i) 4 = 14 12i.
(3
p
p
2i)2 (3 + 2i) = (3
|
p
2i) (3
|
p
{z
=12 +32 =10
p
}
p
2i)(3 + 2i) = 33 11 2i.
{z
}
p
=32 + 22 =11
i 6
(i 6)(2 5i)
7 + 32i
7 32
=
=
=
+ i.
2 + 5i (2 + 5i)(2 5i)
29
29 29
3 + 7i 5 8i (3 + 7i)(2 3i) + (5 8i)(2 + 3i) (27 + 5i) + (34
(e)
+
=
=
2 + 3i 2 3 i
(2 + 3i)(2 3i)
13
61 4
+ i.
13 13
4. (a) z1 = 1 + 2i; z2 = 5 7i.
(d)
i)
=
z1 + z2 = 6 5i:
z1 z2 = 19 + 3i:
z1 = 1 2i:
z2 = 5 + 7i:
1 1 2
=
i:
z1 5 5
1
5
7
= + i:
z2 p
74 74
jz1j = 5:
p
jz2j = 74:
(b) Gleich wie (4a); hier ist was schiefgegangen; also nichts zu tun.
(c) z1 = 3i2 + 5i7 ; z2 = 4i4 2i () z1 = 3 5i; z2 = 4 2i).
z1 + z2 = 1 7i:
z1 z2 = 22 14i:
z1 = 3 + 5i:
z2 = 4 + 2i:
1
3
5
=
+ i:
z1
34 34
1 1 1
= + i:
z2 p
5 10
jz1j = 34:
p
jz2j = 2 5:
2
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(d) z1
=
Lösungen zum Hausaufgabenblatt 8
3 + 7i
5 8i
27 5
34
; z2 =
() z1 =
+ i; z2 =
2 + 3i
2 3i
13 13
13
61 4
z1 + z2 = + i:
13 13
71 11
z1 z2 = + i:
13 13
27 5
z1 =
i:
13 13
34 1
z2 = + i:
13 13
1 27 5
=
i:
z1 58 58
1 34 1
= + i:
z2 s
89 89
jz1j = 58
13
s
jz2j = 89
13
1
i).
13
5. Man kann, wie so oft, die Aufgabe auf verschiedene Weise anpacken. Eine Möglichkeit
besteht darin, eine Nullstelle zu raten. Z.B. sehe ich die Nullstelle 1. Ich spalte den
Faktor (x + 1) vom Ploynom x3 x2 + 8x + 10 ab (Polynomdivision):
(x3
x2 + 8x + 10) = (x + 1)(x2
2x + 10):
Nun suche ich die Nullstellen des Polynoms x2 2x + 10. Ein im Reellen üblicher
Nullstellenansatz für den Faktor x2 2x + 10 wäre
p
x1;2 = 1 p
9;
aber
9 ist nicht erklärt (negative Diskriminante). Im Fall einer negativen Diskriminante lautet die Lösung im Komplexen korrekt
x1;2 = 1 i
q
j
9j = 1 3i:
Allgemein: Im Fall einer negativen Diskriminante D lautet die Regel: anstelle von
p
p
D schreibe i jDj.
= 3 4i.
(b) z2 = 21 i.
9
7
(c) z3 = 10
10 i.
(d) z4 = 1 2i.
6. (a) z1
3
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Lösungen zum Hausaufgabenblatt 8
4
2
9
7ä
€€€€€€€€ - €€€€€€€€€
10
10
1-2ä
0
21 - ä
-2
3-4ä
-4
0
5
10
15
20
25
Abbildung 1: Zu Aufgabe 6: Lage der Zahlen z1 ; z2 ; z3 ; z4 in der komplexen Ebene
7. Allgemein gilt: Es gibt genau n n-te Wurzeln zu einer komplexen Zahl rei , nämlich
r1=n ei=n ; r1=n ei(=n+2=n) ; : : : ; r1=n ei(=n+2(n
im Fall
n = 2 also
1)=n) ;
r1=2 ei=2 ; r1=2 ei(=2+) :
Die Exponentialform bietet sich also zum Wurzelziehen an:
p
p
p
z 2 = 1 i = 2ei(7=4) . Lösung: z 2 f 4 2ei(7=8) ; 4 2ei(15=8) g.
p
p
p
(b) z 2 = 1 + i = 2ei(=4) . Lösung: z 2 f 4 2ei(=8) ; 4 2ei(9=8) g.
p
p
(c) z 2 = 5+12i = 13ei mit = arctan 5=12. Lösung: z 2 f 13ei(=2) ; 13ei(=2+) g.
p
p
p
(d) z 2 = 1
3i = 2ei(5=3) . Lösung: z 2 f 2ei(5=6) ; 2ei(11=6) g.
(a)
8.
Pythagoras:
jz 2
schreibe
z j2 + jz 3
z 2 j = jz 3
z 2 )(z 3
z 2 ) = (z 3
z j2 ;
(1)
zz für jz j2 :
(z 2
klammere
z )(z 2
z ) + (z 3
z )(z 3
z ) ;
(2)
zz aus:
zz (z
1)(z
1) + (zz )2 (z
1)(z
1) = (zz )(z 2
1)(z 2
1) ;
(3)
4
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kürze
Lösungen zum Hausaufgabenblatt 8
zz :
(z
klammere
(z
1) + (zz )(z
1)(z
1)(z
1) = (z 2
1)(z
1)(z 2
1) ;
(4)
1) aus und kürze:
1 + zz = (z + 1)(z + 1)
= zz + z + z + 1
subtrahiere
(5)
(6)
zz und 1:
0 = z + z = 2<z:
(7)
<z steht für den Realteil von z .
(8)
z 6= 0 und z 6= 1 sind alle Umformungen äquivalent.
Lösungsmenge sind die rein imaginären Zahlen z = ib 6= 0.
Für
9.
zz + (2
i)z + (2 + i)z = 2;
(9)
zz + (2 + i) z + (2 + i)z = 2;
(10)
ist dasselbe wie
quadratisch ergänzt:
zz + (2 + i) z + (2 + i)z + (2 + i)(2 + i) = 2 + (2 + i)(2 + i) ;
|
{z
=5
}
(11)
zusammengefasst:
(z + (2 + i))(z + (2 + i)) = 3;
(12)
in Betragsform geschrieben:
jz
( 2 i)j2 = 3:
Es handelt sich um einen Kreis mit Radius
p
(13)
3 um den Punkt zM = 2 i.
5