lineare Gleichungen

FORMELSAMMLUNG 1
Minusregeln:
Minus * Minus = Plus
Minus * Plus = Minus
Minus und Minus = viel Minus
Minus und Plus = Differenz + Vorzeichen des Stärkeren
Bruchregeln:
Bruch * Bruch =
Bruch : Bruch =
Bruch  Bruch :
Zähler1 * Zähler2
Nenner1 * Nenner2
Bruch * Kehrwert
(Doppelbruch: Außen * Außen durch Innen * Innen)
schnelle Regel (wenn Nenner teilerfremd sind):
Zähler1 mal Nenner2  Zähler2 * Nenner1
Nenner1 * Nenner2
Potenzregeln:
a) a n  a k  a nk
b)
an
 a nk
k
a
c) (an)k = an·k
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die
Exponenten addiert (und als Exponent zur Basis a anschreibt)
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die
Exponenten subtrahiert (und als Exponent zur Basis a anschreibt)
Potenzen werden potenziert, indem die Exponenten multipliziert
werden (...)
 
2
2
Vorsicht: a 3  a 3   a 9 und a 3
d) (a·b)n = an·bn
2
 a 32  a 6
Vorsicht: (a + b)2 = a² + 2ab + b²
n
an
a
e)    n
b
b
Binomische Formeln:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a + b)·(a – b) = a² – b²
lineare Gleichungen: Sortieren: x nach links und Zahlen rechts (gleich zu gleich...)
quadratische Gleichungen
Kleine Lösungsformel
dividieren durch Koeffizient von
x²!
x² + px + q = 0
2
x1, 2  
p
 p
   q
2
2
Große Lösungsformel:
Sätze von Vietà:
ax² + bx + c = 0
x1 + x2 = –p
x1 · x2 = q
x1, 2 
 b  b  4ac
2a
2
(x – x1)·(x – x2) = x² + px + q
Gleichungen höheren Grades:
 Lösung durch Probieren suchen (Teiler des konstanten Gliedes)
 Polynomdivision durch (x-Lösung) oder Hornerschema liefern Polynom kleineren
Grades...
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FORMELSAMMLUNG 2
Funktionen: Nullstelle: y = 0 setzen und Gleichung lösen
Fixwert: y = x setzen und Gleichung lösen
Umkehrfunktion: x und y tauschen und umrechnen nach y
Lineare Funktion: y = kx + d
x...unabhängige Variable (Zeit, Menge)
y...abhängige Variable (Kosten, Wegstrecke)
k...Steigung, Kosten...pro Einheit
d...senkrechter Abstand vom Ursprung, Fixkosten...
k>0 steigend k<0 fallend
d=0 direkt proportional d  0 nicht direkt proportional
k
y 2  y1
x 2  x1
d = y1 – k·x1
Vektorrechnung:
1) Spitze minus Schaft – Regel: AB  B  A
2) PVP – Regel: A  AB  B
6
 3
   2 *  
 2
1
a
| v | = |   | = a²  b²
b
3) parallele (verlängerte) Vektoren: v  k * w
4) Länge eines Vektors = Vektorbetrag:
5) rechtwinkeliges Kippen:
l
r
5
  1
 1 
a   
a   
a   
1
5
  5
6) Winkel zwischen Vektoren (nur für M3):
 p r 
Skalares Produkt von Vektoren: a  b        p  r  q  s
 q  s
Wenn das skalare Produkt von Vektoren Null ist, stehen die Vektoren aufeinander
rechtwinkelig !
Winkel  zwischen a und c :
7) Mittelpunkt von A und B: MAB =
ac
cos  =
A B
2
ac
(= A +
L
8) Höhen:
hAB : X = C + t · AB
9) Streckensymmetralen:
sAB: X = MAB + t · AB
Trigonometrie:
Gegenkathete
SIN() =
Hypotenuse
COS() =
AB
)
2
hBC: X = A + s · BC
L
Ankathete
Hypotenuse
sBC: X = MBC + s · BC
TAN() =
sin²() + cos²() = 1 sin(180–) = sin()
cos(360–) = cos()
cos() = sin(90-)
sin 2 = 2 sin  cos 
SINUSSATZ:
a
b
c


= 2R COSINUSSATZ:
sin  sin  sin 
FLÄCHE eines Dreiecks: A=
a  b  sin 
2
L
L
Gegenkathete
sin( )
=
cos( )
Ankathete
tan(180 + ) = tan()
cos 2 = cos²  – sin² 
c² = a² + b² – 2ab·cos 
a² = b² + c² – 2bc·cos 
b² = a² + c² – 2ac·cos 
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FORMELSAMMLUNG 3
Folgen und Reihen (M2/M3)
arithmetische Folgen
rekursive Darstellung:
an+1 = an + d
d = Differenz = an+1 – an
geometrische Folgen
bn+1 = bn · q
an = a1 + (n–1)·d
bn = b1 · q n–1
bn 1
bn
q = Quotient =
explizite Darstellung:
monotone Folgen: wachsend, wenn gilt: an+1 > an
untere Schranke, wenn gilt: U  an
Summenformel:
a  an
n
sn = 1
2
qn 1
sn = b1 ·
q 1
1
s  b1 
1 q
fallend, wenn gilt: an+1 < an
obere Schranke, wenn gilt: O≥ an
3n 4
4

3
3n  4
n 3
lim
 lim n n  lim
n  5n  1
n  5n
1 n 
1 5

5
n n
n
Greznwert = limes:
Differenzengleichung: xn+1 = a · xn + b
hat die explizite Lösung: xn  x0  a n  b 
an 1
a 1
Differenzialrechnung:
Differenzialquotient: lim
x  0
f ( x  x )  f ( x )
 f ' ( x)
x
= Steigung (Anstieg) der Kurve ( = k)
Ableitungsregeln:
f(x)
f’(x)
k*xn
k*n*xn–1
sin x
cos x
cos x
–sin x
ex ln x
ex 1/x
Summenregel: f(x) = 5x² + 4x + 3  f ’(x) = 5·2·x + 4
Produktregel: (f·g)’ = f ’·g + f·g’
|
f 
f ' g  f g'
Quotientenregel:   
g²
g
Kettenregel: f(z)’= f ’( z ) · z’
z.B.: [(x²–x)5] ’ = 5·(x²–x)4· (2x–1)
Kurvendiskussion:
Funktion y = f(x) für Punkte
1.Ableitung y’=f ’(x) für Steigungen
2.Ableitung y’’=f’’(x) für Krümmungen
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nullstellen: y = 0 setzen  xN ......N(xN|0)
Extremstellen: y’= 0 setzen
 xE.........yE = f(xE)........E(xE | yE)
........y’’E = f’’(xE) TIEFPUNKT wenn y’’E > 0 (Schüssel)
HOCHPUNKT wenn y’’E < 0 (verkehrte Schüssel)
Wendepunkte: y’’ = 0 setzen  xw.........yw = f(xw) ..................W(xw | yw)
Wendetangente:
...........k = y’w = f ’(xw)
...........d = yw – k·xw
tw y = k·x +d
Symmetrie bezüglich der y-Achse..........wenn die Funktion gerade ist (nur gerade Potenzen)
Symmetrie bezüglich des Ursprungs.......wenn die Funktion ungerade ist (nur ungerade Potenzen)
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FORMELSAMMLUNG 4
Umgekehrte Kurvendiskussion:
Ansatz einer Funktion dritten Grades: f(x) = a·x³ + b·x² + c·x +d .......
Nullstellen, Punkte, Sonderpunkte mit (x|y)  in f(x) = y einsetzen
Extremstellen mit gegebenem x  in f ’(x) = 0 einsetzen
Wendepunkte mit gegebenem x  in f ’’(x) = 0 einsetzen
Steigungen k an der Stelle x  in f ’(x) = k einsetzen
„berühren“ – heißt: „gleiche Steigung wie“
„symmetrisch“ – nur gerade Potenzen von x sind nötig
Extremwertaufgaben:
Hauptbedingung: Funktion, die maximiert oder minimiert werden soll (wird nach Einsetzung der
Nebenbedingung differenziert und Null gesetzt)
Nebenbedingung: Beziehung zwischen den Variablen der Hauptbedingung, wird zur Elimination
einer Variablen verwendet (bei Kreis: Pythagoras, bei Ähnlichkeit: Proportion, ...)
Kosten- Gewinnfunktion
Die quadratische Kostenfunktion heiße K(x) = x² + 20x + 200
K ( x)
200
dann ist die Kosten-pro-Stück-Funktion K ( x) 
= x + 20 +
x
x
200
Die Ableitung dieser Funktion ist: K ' ( x)  1 
x²
200
 xopt
x²
Die langfristige Preisuntergrenze (LPU) = Minimum der Stückkosten: K ( xopt )  LPU
Die Gewinnfunktion ergibt sich aus dem Marktpreis p(x) und den Kosten K(x):
G(x) = p(x) · x – K(x)
Das Maximum des Gewinns erhält man durch Ableiten und Nullsetzen der Gewinnfunktion:
G’(x) =0
Die Gewinngrenzen (BEP und obere GG) erhält man durch Nullsetzen der Gewinnfunktion:
G(x) = 0
Das Betriebsoptimum erhält man aus dem Nullsetzen dieser Funktion: 0  1 
Statistik (M1,M3)
Urdaten xi kann man in Strichlisten (||| =3) und in einem Stengel-Blatt-Diagramm (5, | 3 4 7)
ordnen
Histogramm (Staffelbild) ergibt sich aus der Tabelle der xi und ni – Werte der geordneten
Urdaten, wobei xi die Daten und ni die absoluten Häufigkeiten sind.
Nach einer Klasseneinteilung gibt es Klassen (0-10, 10-20,...) und deren Klassenmitten xi (5, 15,
...) sowie die Anzahl der Daten je Klasse ni
Werte für Ordinal- und metrische Skalen:
Minimum: kleinster Wert der Daten
Maximum: größter Wert der Daten
Spannweite: Maximum-Minimum
Median (Zentralwert) : Wert in der Mitte der Liste (bzw. Mittelwert der beiden Werte in der
Mitte)
1.Quartil: Nach Teilung der Liste in 2 Teile (ohne Median, wenn real existent) – Wert in der
Mitte der linken Liste
3. Quartil: Nach Teilung der Liste in 2 Teile (ohne Median, wenn real existent) – Wert in der
Mitte der rechten Liste
BOX-PLOT: Grafische Darstellung von
Minimum–1.Quartil–Median–3.Quartil–Maximum
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FORMELSAMMLUNG 5
Werte für metrische Skalen:
1
x
Mittelwert (arithmetisches Mittel): x   ( x1 ²  x2 ²  x3 ²  ...  xn ²)  i
n
n




2
2
2
1
 xi  x oder
Standardabweichung:
 ²   x1  x  x2  x  ...  xn  x 
n
n
2
2
1
 xi  X 2 (Mittelwert der Quadrate minus Quadrat des Mittelwerts)
 ²   x1 ²  x2 ²  ...  xn ²  X 
n
n
 


2
Standardabweichung    ²
REGRESSIONS (Ausgleichs-, Trend) –Gerade:
̅=
Mittelwert von x: 𝒙
Varianz von X
∑ 𝒙𝒊
=
𝒏
𝑺𝒖𝒎𝒎𝒆 𝒙−𝑾𝒆𝒓𝒕𝒆
Mittelwert von y:
𝑨𝒏𝒛𝒂𝒉𝒍
V(x) =
∑(𝑥𝑖 −𝑥̅ )²
Varianz von Y
𝑛
KOVARIANZ CoV =
Steigung der Regressionsgeraden:
k
𝑦̅ =
∑ 𝒚𝒊
𝒏
=
V(y) =
𝑺𝒖𝒎𝒎𝒆 𝒚−𝑾𝒆𝒓𝒕𝒆
𝑨𝒏𝒛𝒂𝒉𝒍
∑(𝒚𝒊 −𝒚
̅)²
𝒏
∑(𝑥𝑖 −𝒙
̅)∙(𝑦𝑖 −𝑦̅)
𝑛
Abstand der Regressionsgeraden auf der yAchse:
d  ykx
Ko var ianz
Varianz von x
==> Trendgerade: y = k·x + d
Bestimmtheitsmaß/GÜTE:
= R² (in Prozent angeben!)
𝑲𝒐𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛
Korrelation: R =
√𝑽(𝒙)∗𝑽(𝒚)
[0,5; 1] positiv: je mehr desto mehr
[-0,5; 0,5] wenig Erklärung
[-1; -0,5] negativ: je mehr desto weniger
SUMME
div.durch Anzahl
= Mittelwert
über 50% ist genügend!
1.Daten xi 2.Daten yi (xi-xq)² (yi-yq)² (xi-xq).(yi-yq)
1
2
1
9
3
2
6
0
1
0
3
7
1
4
2
6
15
2
14
5
2
5
0,6667 4,6667 1,666667
xq
yq
Varianz Varianz Kovarianz
von x von y
Steigung k = Kovarianz / Varianz von x
y-Distanz d = yq - k * xq
2,5
0
Korrelation R = Kovarianz / Wurzel(Varianz von x * Varianz von y)
Güte (Bestimmtheitsmaß) = R²
==> in Prozent
0,9449
0,8929
89%
8
6
4
y = 2,5x
R² = 0,8929
2
0
0
1
2
3
4
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FORMELSAMMLUNG 6
Integralrechnung:
f(x) = k
F(x) = k·x + C
f(x) = x n (n  1)
x n 1
n 1
f(x) = 1  x 1
x
F(x) = ln |x| + C
f(x) = sin x
F(x) = – cos x + C
f(x) = cos x
F(x) = sin x + C
f(x) = ex
F(x) = ex
Konstante mal Regel k·f(x)dx = k·f(x) dx
Summenregel(f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx
b
Fläche unter der Funktion f(x) zwischen a und b:
 f ( x)  dx
a
Fläche zwischen zwei Funktionen f(x) und g(x) zwischen den Schnittpunkten x=a und x=b:
b
  f ( x)  g ( x)  dx
a
Volumen: V     f ( x) 2  dx
Finanzmathematik:
Kn = K0 · (1+p/100)n = K0 · qn
Kapitalverzinsungsformel
Kn ... Endwert des Kapitals nach n Jahren
K0 ... Anfangswert des Kapitals
p ... Zinssatz
q ... Zinsfaktor
qn 1
E = R·q· q  1
RENTENREIHENFORMELN
E ... Endwert der vorschüssigen Rentenreihe
R ... Rente (regelmäßige Zahlung)
.
R qn 1
B = qn  q 1
B ... Barwert der nachschüssigen Rentenreihe
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FORMELSAMMLUNG 7
Exponentielles Wachstum:
N(t) = N0·at
N(t) ... Anzahl nach der Zeit t
N0 ... Anfangswert
a ... Wachstumsfaktor
Logarithmengesetze:
log (at) = t· log(a)
log(a·b) = log(a) · log(b)
log(a / b) = log(a) – log(b)
Wahrscheinlichkeit:
W ( A) 
Anzahl von A günstig

Anzahl von  möglich
W ( A  B)  W ( A)  W ( B)  W ( A  B)
(Additionssatz)
PFADREGEL: Längs eines Pfades von der „Wurzel“ des „Baums“ zu den „Blättern“ (die hier unten statt
oben sind) muss man die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren!
BLATTREGEL:
Die Wahrscheinlichkeiten der Blätter werden addiert!
KOMBINATORIK
Die Anzahl der Platzvertauschungen (Permutationen) ist bei n Personen und n Plätzen:
n·(n–1)·(n–2)·(n–3)·...·2·1 = n ! (n-Faktorielle oder n-Fakultät)
P(n,n)=
Die Anzahl der Platzvertauschungen (Variationen) ist bei n Personen und k Plätzen:
P(n,k)=
n!
n·(n–1)·(n–2)·(n–3)·...·(n–k+1) =
(n  k )!
Die Anzahl der Teams (Kombinationen) mit k Personen, die man aus n Personen bilden kann, sind:
K(n,k) =
n
n!
P(n, k )
  

 ist auch: Vertauschung n Buchstaben mit k „A“s und n−k „B“s
k!
 k  (n  k )!k!
Die Anzahl der Anordnungen von n Ziffern auf k Stellen (Permutationen mit Wiederholung), wobei die
k
Ziffern beliebig wiederholt werden können, ist PW(n,k) = n
Die Binomialverteilung:
Die Wahrscheinlichkeit für k „Köpfe“ bei einem Münzwurf mit n Münzen und der
Wahrscheinlichkeit (klein) p für „Kopf“ bei einem einzelnen Münzwurf ist:
n
P( X  k )     p k  (1  p) n k Der Erwartungswert dieser Verteilung ist  = n·p.
k 
Die Standardabweichung ist  =
n  p  (1  p )
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FORMELSAMMLUNG 8
Die Normalverteilung lässt sich ungefähr ( auf 1% genau) folgendermaßen zeichnen:
(Wahrscheinlichkeiten sind als Flächen sichtbar)
–2
–

+
+2
Beispiel:
Die Länge von Nägeln sei normalverteilt mit  = 20 mm und  = 1 mm.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, Nägeln mit weniger als 22 mm zu bekommen ?
P ( X  22)  P( X    2 )  2%  14%  34%  34%  14%  100%  2%  98%
Allgemein mit Tabelle:
𝒙−

P(Länge < x) = Φ(

P(Länge > x) = 1 − Φ(

P(a < Länge < b) = Φ(

P(μ−ε < Länge < μ+ε) = P(   z < Länge <   z ) = D(z)

) = Φ(z)
𝑥−

𝑏−

)
𝑎−
) − Φ(

)
(Doppelintervall um μ)
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FORMELSAMMLUNG 9
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FORMELSAMMLUNG 10
Komplexe Zahlen:
i 2 = -1
n
r = a ²  b²
a = r·cos()
n
tan() = b/a (wenn a<0 dann: +180° !)
b = r·sin()
n
𝑖𝜑 n
(r"; ) = (r ; n·) = (𝑟 ∙ 𝑒 )
  k  360 

(r;  )   n r ;
 mit k = 0,1,...,n
n


Integrationsregeln:
Substitution :  f ( z ( x)) dx   f ( z )
Zum Beispiel :
dz
z'
 x  x²  5 dx   x  z 
partielle Integration:
3
dz
dz
z3/ 2 2
  z    z 1 / 2 dz 
  ( x²  5) 2
2x
2
3/ 2 3
 f  g '  f  g   f ' g
für f günstig: x−Potenzen, ln x
Partialbruchzerlegung:
1. wenn Zählergrad > Nennergrad ==> Polynomdivision
2. Nullstellen des Nenners suchen und Nenner damit zerlegen
3. unbestimmter Ansatz des Restbruchs, analog zu:
2x  5
A
B
Beispiel:


x²  4 ( x  2) ( x  2)
4. mit Nenner multiplizieren und die Nullstellen einsetzen  liefert A und B
5. Integration der Partialbrüche (werden meist Logarithmen!)
Differenzialgleichung
𝑑𝑦
y‘= x∙y  Trennen der Variablen: 𝑑𝑥 = x∙y 
𝑑𝑦
𝑦
= x∙dx  integrieren: ∫
𝑥2
𝑑𝑦
𝑦
= ∫ 𝑥 ∙ 𝑑𝑥
𝑥2
 ln|y| = x²/2 + C  entlogarithmieren: y = 𝑒 2 +𝐶 = 𝑒 2 ∙ 𝑘
ev. Anfangsbedingung einsetzen und C bestimmen damit
Taylorreihe als Funktionsnäherung
x
x2
x3
x4
 d *  e *  ...
f(x)  a  b *  c *
1!
2!
3!
4!
die Koeffizienten sind: a = f(0), b = f ’(0), c = f ’’(0), d = f ’’’(0), usw.
a
Konvergenzradius: lim n  r
n  a
n 1
Beispiel: f(x) = ex  f(x)  1 
x x 2 x3 x 4
    ...
1! 2! 3! 4!
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