Klausur - Mathematik, Uni

Dr. Reimund Albers
Wintersemester 2014/15
Mathematisches Denken (und Lehren) 1
Klausur
Modulabschlussklausur großes Fach:
oder Teilprüfung kleines Fach:
Diese Klausur ist ein Wiederholungsversuch
Name:_________________________________ Mat.Nr.:__________________
Aufgabe
1
2
3
4
5
maximal
8
7
10
10
10
erreicht
Zugelassene Hilfsmittel:
4 Seiten (einseitige Blätter) eigene Aufzeichnungen, Taschenrechner
Bitte weisen Sie sich durch einen Lichtbildausweis aus.
Summe
Grundsätzliches: Eine Klausur ist eine Gelegenheit, dem Prüfer zu zeigen, was Sie alles wissen. Es ist also in Ihrem Interesse, dass Ihre Ausführungen lesbar, verständlich und logisch nachvollziehbar sind. Für Studierende des Lehramts ist eine Klausur immer auch eine Prüfung für die Fähigkeit, mathematische Dinge klar und verständlich darzustellen. 1. Logik Wir betrachten die sprachlich inhaltliche Aussage S=„Wenn eine Zahl n durch 12 teilbar ist, dann ist sie (auch) durch 4 und nicht durch 9 teilbar.“. Hier werden die elementaren Aussagen verwendet: A = „Eine Zahl n ist durch 12 teilbar“ B = „Eine Zahl n ist durch 4 teilbar“ C = „Eine Zahl n ist durch 9 teilbar“ a. Welche formale Struktur hat die Aussage S? i. A ⇒ nicht (B und C) ii. A ⇒ (B und nicht C) iii. A ⇒ (nicht B und nicht C) iv. nicht A ⇒ (B und C) (es reicht allein die Antwortnummer, ohne Begründung) b. Bilden Sie sowohl zur formalen Struktur (also mit A, B, und C) als auch der sprachlich inhaltlichen Aussage (die Aussage S ganz oben) die Kontraposition. c. Ist die sprachlich inhaltliche Aussage S wahr oder falsch für i. n = 24 ii. n = 72 iii. n = 20 ? d. Ist die in b. zur sprachlich inhaltlichen Aussage gebildete Kontraposition wahr oder falsch für i. n = 24 ii. n = 72 iii. n = 20 ? 2. Vollständige Induktion n
(
) (
)(
)
Wir betrachten die Summenformel ∑ 3k k +1 = n n +1 n + 2 . !k=1
a. Zeigen Sie zunächst die Gültigkeit der Formel für !n = 5 . b. Beweisen Sie die Gültigkeit der Formel für alle !n ∈! mit vollständiger Induktion. (Hinweis: a. ist nicht der Induktionsanfang) 3. Stellenwertsystem a. Lösen Sie folgende Subtraktionsaufgabe im 16-­‐er System 12B3E3716 - 5208BE16
Wandeln Sie dann beide Zahlen vom 16er-­‐ in das 10er-­‐System um, rechnen dort (noch einmal) die Subtraktionsaufgabe und wandeln dann das Ergebnis aus dem 10er-­‐System in das 16er-­‐System um. (ACHTUNG: Beim letzten Schritt die Umwandlungsrichtung beachten.) b. Stellen Sie eine Teilbarkeitsregel für die Zahl 6 (im Dezimalsystem) mit der gewichteten Quersumme auf. Stellen Sie mit Hilfe dieser Regel fest, welchen Rest die Zahl 112754 beim Teilen durch 6 lässt. c. Untersuchen Sie die folgenden Teilbarkeitsregeln im 8er-­‐System auf ihre Wahrheit und begründen Sie Ihre Entscheidung: -­‐ Im 8er-­‐System ist eine Zahl durch 38 teilbar, wenn die Zahl der letzten zwei Stellen durch 38 teilbar ist. -­‐ Im 8er-­‐System ist eine Zahl durch 78 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 78 teilbar ist. 4. Vielecke, Platonische Körper a. Auf der Einladung zu einer Weihnachtsvorlesung war das nebenstehende Bild zu sehen. Es soll untersucht werden, ob es sich dabei um einen archimedischen Körper handelt. Gehen Sie dazu davon aus, dass alle Vielecke in der Abbildung regelmäßig sind. i. Welche Vielecke stoßen hier in einem Knoten jeweils zu-­‐
sammen? (1 Punkt) ii. Untersuchen Sie, ob es einen solchen archimedischen Körper geben kann. Geben Sie eine begründete Antwort. (2Punkte) b. In Bremer Küchen findet man häufig Parkettierungen (Kachelungen) aus Quadraten und Achtecken wie in der nebenstehenden Abbildung. i. Warum handelt es sich hier nicht um ein archimedisches Parkett? (Augenmaß) (1 Punkt) ii. Bestimmen Sie die auf der Abbildung vollständig sichtbaren Ecken, Flächen und Kanten. (Nur teilweise sichtbare Kanten und Flächen sollen nicht gezählt werden.) Überprüfen Sie, ob für solche „Parkett-­‐Ausschnitte“ genannte Figuren auch der eulersche Satz gilt? (2 Punkte) c. Auf dem beigefügten Arbeitsblatt finden Sie einen Ausschnitt aus einem archimedischen Parkett aus regelmäßigen Achtecken und Quadraten. Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Achtecks, wenn der Flächeninhalt eines Quadrates 25 cm2 beträgt. (4 Punkte) Auf der Rückseite ist noch eine Aufgabe
5. Goldener Schnitt und Pascalsches Dreieck Satz 1: Addiert man zwei (schräg) unterein-­‐
ander stehende Zahlen der Spalte k = 2 im Pascal -­‐ Dreieck, so erhält man stets eine Quadratzahl. a. Schreiben Sie zu Satz 1 mithilfe der Pascal -­‐ Koordinaten ein Beispiel auf. b. Schreiben Sie Satz 1 allgemein mithilfe der Pascal-­‐Koordinaten (Zeilenvariable n, Spaltenvariable k = 2) auf. (Orientieren Sie sich an Satz 2) Satz 2: Im Pascal – Dreieck gilt ⎛ n + 2⎞ ⎛ n⎞
2
⎜⎝ 3 ⎟⎠ − ⎜⎝ 3⎟⎠ = n ,!n ∈!,!n ≥ 3 !
c. Schreiben Sie zu Satz 2 ein Beispiel auf und formulieren Sie Satz 2 sprachlich. (Orientieren Sie sich an Satz 1) ⎛ n⎞
d. Beweisen Sie Satz 2, indem Sie die explizite Form für ⎜ ⎟ benutzen. !⎝ k ⎠
n n −1 n − 2
n!
=
Hinweis: . 3!
3! n − 3 !
!
(
)
(
)(
)
Arbeitsblatt zur Aufgabe 4 Name: ______________________________ c. Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Achtecks, wenn der Flächeninhalt eines Quadrates 25 cm2 beträgt. (4 Punkte)