Vorlesung Ang. Mathematik für BWL 2.Woche: Funktionen I

Vorlesung Ang. Mathematik für BWL
2.Woche: Funktionen I
Der Funktionsbegriff ist seit ca. 350 Jahren (Leibniz, Newton) einer der
bedeutendsten mathematischen Begriffe. Bis vor wenigen Jahrzehnten hat man
in der Mathematik und in den Anwendungswissenschaften eine Funktion in
erster Linie als Beziehungen zwischen (einer oder mehreren) unabhängigen
Variablen und einer davon abhängigen Variablen gesehen (Variablenkonzept).
Erst mit der mengentheoretischen Fundierung der Mathematik im 20. Jh.
definierte man Funktionen (Abbildungen) als spezielle Art von Zuordnungen
zwischen Mengen (Zuordnungskonzept).
2.1
Definition v. Funktion als Zuordnung zw. Mengen:
Gegeben seien:
S Definitionsmenge (Urbildmenge) A,
S Wertemenge (Bildmenge) B, (es kann A=B sein)
S Zuordnungsvorschrift f, die jedem x0A genau ein f(x)0B
zuordnet.
Eine derartige Zuordnungsvorschrift nennt man Funktion (oder
Abbildung) von A nach B.
Bei Funktionen kommt es also darauf an, dass
(i)
jedem Element von A ein Element von B zugeordnet wird
(ii)
jedem Element nur ein einziges Element von B zugeordnet wird.
Beachte:
C statt x, f, A, B können auch andere Bezeichnungen stehen.
C Bedingung (i) kann durch geeignete Reduktion der Menge A immer erreicht
werden: man eliminiert aus A alle Elemente, denen kein Element aus B
zugeordnet wird.
C Bedingung (ii) kann oft durch Reduktion von B erreicht werden.
z.B.: f(x) = x ist eine Funktion im oben definierten Sinn, wenn A= ú0+ und B
= ú0+. Würde man A=ú und B=ú0+ wählen, dann würde nicht jedem Element aus
A ein Element aus B zugeordnet: f wäre dann keine Funktion.
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2.4
Darstellungsformen von Funktionen
2.4.1 systemische und symbolische Darstellung:
x 6 f(x), y = f(x); K = K(m); E = E(m,p)
2.4.2 Darstellung in Wertetabelle
2.4.3 Funktionsgleichung bzw. Termdarstellung:
f(x) = 2x+14: Funktionen als Rechenvorschriften
2.4.4 Graphische Darstellung durch Funktionsgraphen:
Funktionen als “Kurven”
Die Darstellungsformen 1 und 2 sind sehr allgemein, 3 und 4
hauptsächlich für reelle Funktionen relevant.
Verschiedene Darstellungsformen erlauben verschiedene
Operationen:
symbolische Darstellung:
- Hintereinanderausführen von Funktionen (Einsetzen)
- Invertieren von Funktionen
Tabelle:
- Ablesen von bestimmten Funktionswerten
- Änderungsverhalten, Maxima, Minima (reellwertige Fu)
Funktionsgleichung, Termdarstellung:
- Berechnen von Funktionswerten,
- Addieren von Funktionen,
- Ableitungsfunktion
- Ermitteln von Funktionsgraphen
- Umformen von Funktionen (ev. auch Invertieren)
Funktionsgraph:
- Ablesen spezieller Werte
- Änderungsverhalten von Funktionen
- Vergleich von Funktionen
- graph. Invertieren (falls möglich)
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2.5
Spezielle Typen von reellen Funktionen
2.5.1 Betragsfunktion
f(x) = |x|: f(x) = x für x>0, und f(x) = -x für x<0
2.5.2 konstante Funktionen:
f(x) = c (c beliebige Konstante 0
2.5.3 Treppenfunktionen: stückweise konstante Funktionen.
Messungen aller Art führen oft zu Treppenfunktionen. Treppenfunktionen
mit “feiner” Treppung (Länge jeder Treppenstufe und Abstand der Stufen
relativ klein) werden oft durch “glatte” (=differenzierbare,
termdarstellbare) Funktionen approximiert.
2.5.4 lineare Funktionen
f(x) = k·x + d mit k, d 0 , k…0
Spezialfall: homogen lineare Funkt: f(x) = k·x k…0, k 0
2.5.5 Potenzfunktionen
f(x) = xn; n ganzzahlig (auch n<0!)
2.5.6 allgemeine Potenzfunktion
für a = 1/n: Wurzelfunktion
f(x) = xa; a 0
2.5.7 Polynomfunktionen
f(x) = a·x+b (a,b0 ú , a…0) (Pol. ersten Grades, lineare Fu)
f(x) = a·x2+b·x+c (a,b,c0 , a…0) (2. Gr., quadrat. Pol)
f(x) = a·x3+b·x2+c·x+d (a,b,c,d 0 , a…0) (Polynome 3. Gr.,)
2.5.8 gebrochen rationale Funktionen
f(x) = p1(x)/p2(x) mit p1, p2 Polynome
2.5.9 Exponentialfunktionen
f(x) = c·ax = c·ex·ln(a) mit a>0; c…0; e = 2,71828...
ax · ay = ax+y
2.5.10 Logarithmusfunktionen
f(x) = alog(x) mit a > 0; speziell ln(x) =elog(x)
ln(x): “natürlicher Logarithmus”
alog(x) = ln(x)/ln(a);
alog(1) = 0 alog(a) = 1;
x
log(x)
= x ax und alog sind invers.
alog(a ) = x; a
alog(x·y) =alog(x) +alog(y)
s
alog(r ) = s · alog(r)
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2.7
Rechnen mit Funktionen
Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division
von reellen Funktionen erfolgen elementweise:
f1 + f2 (x) = f1(x) + f2(x)
f1 S f2 (x) = f1(x) S f2(x)
f1 · f2 (x) = f1(x) · f2(x)
f1 / f2 (x) = f1(x) / f2(x) (für f2 … 0)
Voraussetzung: f1, f2 reelle Funktionen, die für dieselben xWerte definiert sind.
z.B. f1(x) = 2x; f2(x) = x2; f1+f2(x) = 2x + x2
Addition und Subtraktion von Funktionen ist auch graphisch möglich!
z.B. bei der Wilson’schen Formel (opt. Bestellmenge):
Wilson'sche Formel
8
7
6
Kosten
5
Fixko/Stk
Lagerko/Stk
4
GesKo/Stk
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12 Menge x
Gesamtkosten/Stk = Fixkosten/Stk + Lagerkosten/Stk
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Vorlesung Angew. Mathematik für BWL
3. Woche: Funktionen II
3.1 Funktionen in d. WiWi (Auswahl)
Funktionstyp
unabh. Variable(n)
abh. Variable
Einsatzmenge
von Prod.Fakt.
Produktionsmenge
bzw. Ertrag
Produktionsmenge
Gesamtkosten
Absatzmenge
Preis pro Stück
Preis pro Stück
absetzbare Menge
Erlösfunktionen
Produktionsmenge
Gesamterlös
Gewinnfunktion
Produktionsmenge
Gewinn
Konsumfunktion
Volkseinkommen
Konsumausgaben
Produktionsfunktion
(Ertragsfunktion)
Kostenfunktionen
Preis-Absatzfunktion
Nachfragefunktion
3.1.1 Produktionsfunktionen (Ertragsfunktionen)
unabh. Var: Einsatzmenge(n) von Produktionsfaktor(en)
abhängige Var.: Produktionsmenge bzw. Ertrag
m = f(r1, r2, r3, ... rn) bzw. E = f(r1, r2, r3, ... rn)
Sonderfall: nur eine unabh. Variable
m = f(r) bzw. E = f(r) (durch ceteris-paribus-Bedingung erreichbar)
3.1.2 Preis-Absatzfunktion p = p(m)
unabh. Var.: Nachgefragte Menge eines Monopolgutes
abh. Var.: Preis des Gutes
- beschreibt Absatz eines Monopolgutes aus der Sicht des
Anbieters: Monopolist bestimmt Menge m: am Markt ist ein
davon abhängiger Preis p(m) erzielbar
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3.1.3 Nachfragefunktion m = m(p)
unabh. Var.: Preis eines Monopolisten
abh. Var: am Markt nachgefragte Menge
- beschreibt Absatz eines Monopolgutes aus der Sicht der
Käufer: Am Markt ist ein Monopolgut zu einem bestimmten
Preis p verfügbar. In Abhängigkeit davon wird die Menge
m(p) nachgefragt.
- ist zur Preis-Absatzfunktion invers
3.1.4 Erlösfunktionen
- Erlös = abgesetzte Menge × Preis pro ME; E = m · p
- Wenn Preis-Absatzfunktion p = p(m) gegeben ist, dann ist
E(m) = m · p(m) mit
unabhängige Variable: abgesetzte Menge m
abhängige Variable: Gesamterlös (=Umsatz) E
3.1.5 Gewinnfunktion
- Gewinn = Gesamterlös – Gesamtkosten; G = E – K
- Wenn E und K jeweils als Funktionen der Menge m
gegeben sind, dann ist die Gewinnfunktion
G(m) = E(m) – K(m) mit
unabhängige Variable: Menge m
abhängige Variable: Gewinn G(m)
z.B. sei
K(m) = m3–10m2+40m+50 und Nachfragefunktion p(m) =
–12m + 110 Dann ist
E(m) = m · p(m) = –12m2 + 110m und damit
G(m) = –m3 – 2m2 + 70m – 50
3.1.6 Konsumfunktionen
unabhängige Variable: Volkseinkommen Q
abhängige Variable: Konsumausgaben C = C(Q)
oft lineares Modell: C(Q) = a + c·Q
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a: autonomer Konsum
c: marginale Konsumquote:
- 0 < c <1; c liegt etwa bei 0,8
... 0,95
- c gibt an, wieviel von jedem
Schilling Volkseinkommen
für Konsumzwecke
ausgegeben wird.
3.2 Kostenfunktionen K = K(m)
unabh. Var: Produktionsmenge m.
abh. Var.: Gesamtkosten K(m)
3.2.1 Grundlegende Begriffe aus der Kostentheorie:
In der Kostentheorie wird um die Gesamtkostenfunktion ein ganzes System
von miteinander zusammenhängenden Begriffen aufgebaut. Hier zeigt sich die
Leistungsfähigkeit des Funktionsbegriffes im wirtschaftstheoretischen
Kontext.
Fixkosten Kf: Kostenanteil, der
von der Produktionsmenge m
nicht abhängt, also auch bei
Menge m = 0 anfällt.
variable Kosten Kv: Kostenanteil, der von der Menge
abhängt, i.a. eine wachsende
Funktion der Menge.
Gesamtkosten K: Fixkosten + variable Kosten; K = Kf + Kv
Grenzkosten K’: (in etwa) der Kostenzuwachs, den die letzte
(oder nächste) produzierte Einheit verursacht.
Stückkosten k: Gesamtkosten/Menge; k = K/m;
variable Stückkosten kv: kv = Kv/m
fixe Kosten je Stück kf: kf = Kf/m. Beachte: die fixen Kosten je Stück
sind nicht fix, sondern hängen von m ab!
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Oft interessiert man sich bei der Untersuchung von Funktionen
für folgende Frage: wie ändert sich f(x), wenn sich x ändert?
Wir nehmen dazu an, dass uns die Änderung von f(x)
interessiert, wenn sich x von x0 auf x1 (es sei x0 < x1) ändert.
Man kann dann das Änderungsverhalten der Funktionswerte
auf verschiedene Weise messen. Wir setzen einfachheitshalber
y0 := f(x0); y1 := f(x1) und definieren vier verschiedene
Änderungsmaße:
absolute Differenz: Änd1 := y1-y0;
Differenzenquotient: Änd2 := (y1-y0)/(x1-x0) = Änd1/(x1-x0)
prozentuelle Änder.: Änd3 := (y1-y0)/y0 = y1/y0 - 1 = Änd1/y0
Elastizität(skoeff).: Änd4 := (y1-y0)/y0 / (x1-x0)/x0 =
= (y1-y0)@x0 / y0@(x1-x0) = Änd2 @ x0/y0
Aufgabe: Berechnen Sie Änd1 bis Änd4 für die Funkt. f1(x) = 2x+5; f2(x)=2x;
f3(x)=ln(x) für x0=3 und x1=5 bzw. für x0=2 und x1=3. Was fällt auf?
Beachte:
C Alle vier Maßzahlen Änd1 bis Änd4 haben eine bestimmte Sachbedeutung
und sind in geeigneten Konstellationen sinnvoll interpretierbar. Es gibt also
mehr als ein sinnvolles Maß für die Änderung von Funktionswerten.
C Änd1 ist ein wenig praktikables Maß, weil es den x-Abstand nicht
berücksichtigt. Ein großer Wert für Änd1 muss noch nicht heißen, dass sich
die Funktion rasch ändert; es kann einfach sein, dass x0 und x1 sehr weit
auseinanderliegen. Änd2 ist demgegenüber ein standardisiertes
(normiertes) Maß, das auch Vergleiche von Änderungsraten für
verschieden weit auseinanderliegende x-Werte ermöglicht. In ähnlicher
Weise ist Änd4 gegenüber Änd3 ein standardisiertes Änderungsmaß für
prozentuelle Änderungen.
C Bei Funktionen in tabellarischer Darstellung oder in Termdarstellung kann
man die zur Berechnung der Änderungsmaße erforderlichen Zahlen xi bzw.
yi direkt ablesen oder berechnen. Bei Funktionsgraphen kann man
qualitativ direkt sehen, ob die Funktion wächst oder fällt.
C Das Änderungsmaß Änd1 kann im Funktionsgraphen als
“Höhendifferenz”, Änd2 als Steigung der Verbindungsstrecke der Punkte
(x0;y0) und (x1;y1) interpretiert werden. Auch für die Elastizität (Änd4) gibt
es eine graphische Interpretation (siehe Abschnitt 5.3)
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3.4
Momentane Änderungsrate - Differentialquotient
Zur Berechnung der Änderungsmaße Änd1 bis Änd4 benötigt
man stets zwei Wertepaare (x0;y0) und (x1;y1). Damit beziehen
sich die Änderungen auch stets auf eine Intervall (x0;x1). Für
bestimmte (“glatte”) Typen von Funktionen ist es nun möglich,
auch Änderungsmaße zu konstruieren, die nicht für Intervalle,
sondern für jeden einzelnen x-Wert definiert sind. Die
Grundidee besteht dabei darin, x1 immer näher an x0 zu rücken
und dabei zu sehen, was mit dem Änderungsmaß passiert. Für
Änd1 ist dieser Versuch wenig erfolgreich, weil immer das
Ergebnis lim Änd1'0 herauskommen würde..
x16x0
Wir würden als “momentane” Änderung stets 0 erhalten - ein
wenig aussagekräftiges Ergebnis!
Berechnet man hingegen lim Änd2 , so ergibt sich in
x16x0
vielen Fällen eine sinnvoll interpretierbare momentane
Änderungsrate oder Differentialquotient oder erste
Ableitung von f in x0. Symbolisch bezeichnet man diese Zahl
mit f`’(x0). Dieser momentanen Änderungsrate entspricht
geometrisch die Steigung der Tangente1 an den Funktionsgraphen im Punkt (x0;y0). Die moderne Analysis kennt genaue Kriterien,
wann eine Funktion f an einer bestimmten Stelle x0 überhaupt differenzierbar
ist (d.h. ein f’(x0) existiert). Wir wollen der Einfachheit halber davon ausgehen,
dass die von uns betrachteten Funktionen in der Wirtschaftstheorie dann, wenn
wir Ableitungen betrachten, auch tatsächlich differenzierbar sind.
1
Verschiedene deutschsprachige BWL-Autoren (z.B. WÖHE 1984, S. 480) meinen im Zusammenhang
mit der Steigung der Tangente, dass diese Steigung einer Geraden gleich dem Tangens ihres
Neigungswinkels ist. Dies ist jedoch nur dann richtig, wenn eine Einheit auf der Abszisse dieselbe
absolute Länge hat wie eine Einheit auf der Ordinate. Für ungleich skalierte Achsen ist diese Aussage
falsch und bei fehlenden Skalierungen sinnlos. Beispiel: Der Tangens des Neigungswinkels einer 45°
Gerade ist 1. Wenn jedoch die x-Achse in 1-cm-Abständen mit 10; 20; 30;... und die y-Achse in 1-cmAbständen mit 100; 200; 300; ... skaliert ist, dann hat eine Gerade mit 45° Neigung nicht Steigung 1,
sondern Steigung 10.
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Typische Funktionen in der Ökonomie
(siehe dazu auch Hauke/Opitz, Kapitel 2.1 + 2.2)
Lineare Preis-Absatz-Funktion :
p ( x) = a − bx
x = Absatz, Produktionsmenge, p = Preis je Mengeneinheit
Lineare Absatz-Preis-Funktion (Umkehrfunktion der Preis-Absatz-Funktion):
x( p) =
a 1
− p
b b
x = Absatz, Produktionsmenge, p = Preis je Mengeneinheit
Umsatzfunktion/Erlösfunktion
U ( x ) = x ⋅ p ( x)
U ( p) = p ⋅ x( p)
Lineare Kostenfunktion
K ( x ) = K fix + k v ⋅ x
Kfix = Fixkosten, k v = variable (Stück-)Kosten
Stückkosten
K ( x)
k (x ) =
x
Gewinnfunktion
G( x) = U ( x ) − K ( x) = D( x) − K fix ( x)
D(x) = Deckungsbeitrag
Stückgewinn
g ( x) = p ( x) − k ( x)
Produktionsfunktion
x = x (v )
v = Rohstoff-/Materialeinsatz
mit der Umkehrfunktion v = v (x ) , die den Materialverbrauch angibt
Übung: Bearbeiten Sie die Aufgaben 1 und 2.
2. Differentialrechnung bei einer Funktion mit einer
Veränderlichen
dy
(gibt Anstieg einer Tangente im Punkt x an)
dx
Synonyme: Ableitungsfunktion / Grenzfunktion / Marginalfunktion
Ableitung einer Funktion y ′ = f ' ( x) =
5
Übersicht über wichtige spezielle Ableitungsregeln
Funktion
1.Ableitung
f (x ) = c ⇒ f ' (x ) = 0
f (x ) = x n ⇒
( f ( x)) n
ln f ( x )
⇒
⇒
Funktion
f (x ) = e x
f ' ( x ) = n ⋅ x n−1
f ( x ) = ln x
n ⋅ ( f ( x)) n−1 ⋅ f ' ( x)
f (x ) = e g ( x)
f ′( x)
f ( x)
f (x ) = g (x )
1.Ableitung
⇒ f ' ( x) = e x
1
⇒ f ' (x ) =
x
⇒ f ' ( x) = g ' ( x ) ⋅ e g ( x )
f ' (x ) =
h( x )
Allgemeine Ableitungsregeln
(1) Faktorregel:
Ableitung von c ·f(x)
(2) Summenregel:
Ableitung von f(x)±g(x)
(3) Produktregel:
Ableitung von f(x) ·g(x)
(4) Kettenregel:
Ableitung von f(g(x))
f ( x)
(5) Quotientenregel: Ableitung von
g (x )
Übung: a) Bearbeiten Sie die Aufgaben 3 und 4.
b) Bestimme die 1. Ableitung von
y=
ist
ist
ist
ist
c) Bestimme die höheren Ableitungen von
c ·f´(x)
f´(x) ±g´(x)
g(x) · f´(x) +f(x) ·g´(x)
f´(g(x)) ·g´(x)
g ( x ) ⋅ f ′( x ) − f ( x ) ⋅ g ′( x)
g ²(x)
ist
(
x2 2x4 − 7x
(3x
⇒
2
− 2x
)
)
3

g ' (x ) 
f ( x ) ⋅  h ' ( x ) ⋅ ln g ( x ) + h( x ) ⋅

g ( x ) 

g>0
5
.
y = 2x 4 + 5x3 + 3x2 + 7 .
Ökonomische Interpretation der 1. Ableitung
Sie beschreibt näherungsweise die Funktionswertveränderung bei Änderung der unabhängigen
Variablen x um 1 Einheit.
z.B. K´(x) = Grenzkostenfunktion; sie gibt ungefähr die zusätzlichen Kosten an, die bei der Erhöhung
der Produktion um eine Einheit anfallen.
Übung: a) Bestimme und zeichne Durchschnitts- und Grenzkostenfunktion von K(x) = 5 +2 x +0,5x2.
b) Interpretiere Grenzsteuersatz und Durchschnittssteuersatz, Grenzumsatz, marginale Konsumquote.
Analyse von Funktionen mit Hilfe der Ableitung
• Monotonie
f´(x) ≥ 0 (f´(x) > 0) ∀x∈[a,b] ∈Df ⇒ f(x) ist (streng) monoton wachsend
f´(x) ≤ 0 (f´(x) < 0) ∀x∈[a,b] ∈Df ⇒ f(x) ist (streng) monoton fallend
Krümmung (Konkavität oder Konvexität)
f´´(x) ≥ 0 ∀x∈[a,b] ∈Df ⇒ f(x) auf [a,b] konvex (nach oben geöffnet)
ökonomisch: progressiv wachsend, degressiv fallend
f´´(x) ≤ 0 ∀x∈[a,b] ∈Df ⇒ f(x) auf [a,b] konkav (nach unten geöffnet)
6
3.6
Ableitung von Funktionen in der Wi-Theorie
3.6.1 Grenzkosten bei Kostenfunktionen
Gegeben seien eine Kostenfunktion: m ÷ K(m), ein m0 und
zugeordnete Kosten K0=K(m0). Frage: wie ändert sich K, wenn
m um 1 EH von m0 auf m1 = m0+1 erhöht wird? (Kostenzuwachs der nächsten/letzten Einheit). Diesen Kostenzuwachs
pro ME nennt man in der Wirtschaftstheorie Grenzkosten oder
marginale Kosten (engl. marginal cost). Die so definierten
Grenzkosten entsprechen (bei ausreichend kleinen ME) in
etwa der mathem. Ableitung der Kostenfunktion K’. Nur bei
linearen Kostenfunktionen sind die so definierten Grenzkosten exakt gleich der
mathematischen Ableitung K’.
Beispiel: Sei K(m) = 0,00001m3-0,003m2+0,4m +20 und damit
K(79) = 37,81; K(80) = 37,92; K(81) = 38,03
Grenzkosten (m=80) = K(81)-K(80) = 0,11 oder
K(80)-K(79) = 37,92 - 37,81 = 0,11
mathem. Ableitungsfunktion: K’(m) = 0,00003m2-0,006m+0,4
K’(80) = 0,11. Wir sehen also an diesem Beispiel:
Grenzkosten . K’ (=Differentialquot. dK/dm)
3.6.2 Grenzertrg bei Ertragsfunktionen:
Genauso wird für eine Ertragsfunktion r ÷ E(r) der
Grenzertrag definiert: Der Grenzertrag ist jener Ertragszuwachs, wenn r um eine Einheit erhöht wird (Ertragszuwachs
der letzten/nächsten eingesetzten Einheit von r). Mathematisch
ist der Grenzertrag wiederum (näherungsweise) die erste
Ableitung der Ertragsfunktion.
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3.6.3 Einkommensteuerfunktion S: E ÷ S(E)
E: Bruttoeinkommen p.a.; S(E): ESt bei Bruttoeinkommen E
Aufgabe: Zeichnen Sie die Funktion E ÷ S(E) für die österreichische
Einkommensteuer (EStG 1988, § 33, Abs. 1: Die Einkommensteuer beträgt von
dem Einkommen jährlich für die ersten 50.000 S ..10%; für die weiteren
100.000S .. 22%; für die weiteren 150.000S ..32%; für die weiteren 400.000S ..
42%; für alle weiteren Beträge .. 50%.).
Grenzssteuersatz S’:
wieviel erhöht sich der
Steuerbetrag, wenn
man brutto um ÖS 1,mehr verdient?
Spitzensteuersatz:
Grenzsteuersatz der
höchsten Steuerstufe,
1997 in Österreich bei
50%.
Steuerprogression:
Grenzssteuersätze
werden für höhere
Einkommensklassen
immer höher.
Durchschnittssteuersatz s: = S(E)/E
Der Durchschnittssteuersatz s ist bei progressivem Steuersystem stets s # S’.
Dies sieht man aus der letzten Graphik: Die Steigung der
Strecke OA entspricht dem Durchschnittssteuersatz, die
Steigung der Tangente in A dem Grenzsteuersatz für
Einkommen E0.
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3.7.3 Ein praktischer Ausweg:
C Funktionen in der Wi-Theorie brauchen nicht mit infinitesimaler mathematischer Schärfe betrachtet werden.
C Für wirtschaftstheoretische Modelle reicht es, wenn man
unter den Grenzkosten (Grenzertrag, Grenzerlös...) den
Zuwachs bei der Kosten (Erträge, Erlöse) meint, wenn die
unabh. Variable um eine Einheit erhöht wird; bzw. der
Differenzenquotient Kostenänderung/Mengenänderung) bei
ausreichend kleiner Mengenänderung.
C Anders gesagt:
Grenzkosten = ∆Kosten/∆Menge
(∆:Änderung)
bei ausreichend kleiner Mengenänderung ∆Menge.
C Noch anders gesagt: wenn man bei Differentialquotienten in
WiWi-Texten den Nenner = 1 setzt, dann ist der ganze
Jammer mit einem Schlag behoben.
Z.B. bei Wöhe (1984): Bei dE/dr nehme man dr = 1 (d.h.
Änderung des eingesetzten Faktors um 1) an, und “rettet”
damit die (sonst falsche) Gleichungskette
dE/dr · dr = dE = E’
C Zusammenfassung:
Don’t worry, be happy!
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4.2 Kurvendiskussion von Funktionstermen:
1)
2)
Funktionsterm ableiten (ev. auch 2. Ableitung)
Wertetabelle anlegen:
x
f(x)
f’(x)
f ”(x)
Anmerk.
-2
-1
0
1
3)
Max. Definitionsmenge bestimmen d.h.: Polstellen
4)
5)
f(x) = 0 liefert Nullstellen
fN(x) = 0 liefert (mögliche) Extrema
fO > 0: Minimum; fO < 0: Maximum
6)
7)
8)
(dort, wo f nicht def. = Nullstellen des Nenners) ausschließen
Oder man eruiert Art des Extremums durch Nachbarwerte aus
Tabelle bzw. Graphen.
fO = 0 liefert (mögliche) Wendepunkte.
Verhalten von f für x64 bzw. x6-4 (Grenzwerte)
Funktionen der Art P1/P2 mit Grad P1 $ Grad P2
(P1, P2 Polynome) konvergieren für x64 bzw. x6-4
gegen eine einfachere Funktion, z.B.
f(x) = (x2+2)/2x konvergiert für x6±4 gegen 0,5x;
weil (x2+2)/2x = 0,5x + 1/x und damit
x 2%2
1
' lim 0,5x% ' 0,5x
lim
x
x64 2x
x64
Zeichnen des Funktions-Graphen aus den obigen
Informationen 2) - 7)
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4.3 Nichtlineare Optimierung in den WiWi
Prinzip: Man beschreibt einen Sachverhalt durch eine
Funktion und sucht dann das Extremum dieser Funktion.
Beispiel: gegeben sei die Gewinnfunktion
g(x) = -0,002x3 +9,621x2+57,78x - 8153800. Bei welcher
Menge x ist der Gewinn maximal?
Lösung:
a) Ermittle gN(x) = -0,006x2+19242x+57,78
b) Setze gN(x) = 0. Dies liefert x1 = –3 und x2 = 3210.
c) Ob g(x2) ein Maximum ist, kann man mit Hilfe der zweiten
Ableitung oder auch durch benachbarte Werte (man berechne
g(3200), g(3210) und g(3220)) herausbekommen.
ODER:
Man tabelliere x und g(x) mit Excel (mit variablen Tabellenanfang und
Schrittweite) und suche in der Tabelle den Maximalwert von g(x) (ev.
mehrmals den Tabellenanfang und die Schrittweite verändern!)
4.4 Losgrößenformel (Wilson’sche Formel):
Gegeben:
m: (gleichmäßige) Nachfrage pro ZE (Stk/ZE)
k0: fixe Kosten je Produktionslos (GE)
k1: (variable) Kosten je Stück (GE/Stk)
h: Lagerkosten pro Stück und ZE (GE/Stk.ZE)
Gesucht:
x: Losgröße (Produktionsmenge) mit minimalen
Gesamtkosten (=Prod.Kost + Lagerkosten) je Stück
Annahme:
Es werden x Stück in einem Produktionslos produziert, die gleichzeitig
ins Lager kommen. Nach x/m ZE ist das Lager aufgebraucht und das
nächste Los mit x Stück kommt ins Lager.
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Z.B.:
m = 1000 Stk/Tag
ko: 6000 ÖS/Los
h = 3 ÖS/Stk.Tag
k1: 0,25 ÖS/Stk
Sei: x = 4000 Stk
D.h. alle x/m = 4 Tage kommen 4000 Stk ins Lager.
Mittl. Lagerdauer/Stk d(x) =: 0,5 · x/m (=2 Tage im Bsp)
Lagerkosten/Los L(x) = d(x)·h·x = (hx2)/2m (24.000 ÖS)
Gesamtkosten/Los f(x) = k0+k1x+L(x)
(31.000 ÖS)
Stückkosten g(x) = f(x)/x = k0/x + k1+(hx)/(2m)
Bei uns: g(x) = 6000/x + 0,25 + 3x/2000
bzw. g(x) = Fixkosten/Stk + var.K/Stk + LagerK/Stk
Minimale Stückkosten erfordert gN(x) = 0
2
gN(x) = -ko/x + h/2m = 0 liefert xopt =
2mk0
h
4.4.1 Losgrößenformel bei Wöhe (1984, S 416ff)
Wöhe verwendet einen etwas anderen Ansatz, der zum
selben Ergebnis führt:
Gegeben:
M: Verkauf (=Nachfrage pro Jahr) ( ~m)
Kf: Fixkosten je Los (~k0)
Kl: Lagerkosten pro Stk u. Jahr (~h)
Gesucht:
m:
optimale Losgröße (~x)
Wöhe ermittelt die gesamten fixen Kosten KF und die gesamten
Lagerkosten KL pro Jahr und minimiert deren Summe K = KF+KL
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Anwendung des logistischen Wachstums:
4.9 Produktlebenszyklusmodelle
4.9.1 Fünf Phasen im Produktlebenszyklus:
1) Einführung: wenig Umsatz, viel Werbeaufwand,
kein Gewinn
2) Wachstum: große abs. Zuwächse, Break-Even
3) Reife: Umsatz erreicht Maximum, hohe Gewinne
4) Sättigung: Markt gesättigt: Umsätze stagnieren
5) Degeneration: Produkt läuft aus, verschwindet vom
Markt.
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