Blatt 06 Lösungsskizzen - Fakultät für Mathematik

Lösungsskizzen zum Übungsblatt 06
Hilfestellung zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik
im Wintersemester 2015/2016
Fakultät für Mathematik
Universität Bielefeld
Veröffentlicht am 14. Dezember 2015 von:
Mirko Getzin
E-Mail: [email protected]
Homepage: https://www.math.uni-bielefeld.de/~mgetzin/
Tutor zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik im Wintersemester 2015/2016.
Keine Gewähr auf vollständige Richtigkeit und Präzision aller (mathematischen) Aussagen. Das
Dokument hat lediglich den Anspruch, eine Hilfestellung beim Verständnis der Vorlesungsinhalte darzustellen und Lösungsideen für die Aufgaben möglichst vollständig (bis auf Ausnahmen)
zu skizzieren.
Eine Veröffentlichung oder Vervielfältigung ist nur nach Rücksprache mit dem Urheber dieses
Dokuments erlaubt. Angehängt befindet sich das Aufgabenblatt, sowie der pdf-Ausdruck von
verwendeten Tabellenblättern. Die Tabellenblätter sind im ods-Format auf der unten angegebenen Homepage zu finden.
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Lösungsskizzen
Auf den folgenden Seiten befinden sich meine handschriftlichen Lösungsskizzen zum Übungsblatt.
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Universität Bielefeld
G. Elsner
Wintersemester 2015/16
Übungen zur Vorlesung
Anwendungen der Mathematik
Blatt 6
Aufgabe 20 (4 Punkte)
Gegeben sei die Menge Ω = {1, 2, 3, 4}. Betrachten Sie die folgenden Teilmengen:
A := {1, 2, 3};
B := {2, 4}.
Bestimmen Sie die kleinste σ-Algebra A über Ω, die die beiden Teilmengen A und B enthält.
Aufgabe 21 (4 Punkte)
Ein fairer Spielwürfel und ein Würfel in Form eines Tetraeders (beschriftet mit den Ziffern 0,
1, 2 und 3) werden gleichzeitig geworfen. Die Augenzahlen der beiden Würfel werden addiert.
(a) Geben Sie eine geeignete formale Beschreibung des Zufallsexperiments an.
(b) Geben Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum für die Beschreibung dieses Zufallsexperiments an und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:
A
B
C
D
E
:=
:=
:=
:=
:=
{Die
{Die
{Die
{Die
{Die
Augensumme
Augensumme
Augensumme
Augensumme
Augensumme
ist
ist
ist
ist
ist
gerade}
kleiner als 7}
kleiner als 7 oder gerade}
größer als 6 und ungerade}
kleiner als 7 oder größer als 9}
Aufgabe 22 (4 Punkte)
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Beweisen Sie die folgende Behauptung:
P ist endlich subadditiv, d.h. für beliebige Ereignisse A1 , ..., An ∈ A gilt die Ungleichung
P (A1 ∪ ... ∪ An ) ≤ P (A1 ) + ... + P (An )
Hinweis: Zerlegen Sie die Ereignisse A1 , A2 , ... in paarweise disjunkte, indem Sie die Folge
B1 := A1 , B2 := A2 \ A1 , B3 := A3 \ A2 , ... betrachten!
Aufgabe 23 (5 Punkte)
Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ).
Beweisen Sie die sogenannte Einschluss-Ausschluss-Formel für drei Ereignisse A, B und C:
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)
Hinweis: Betrachten Sie das Ereignis D := B ∪C und verwenden Sie mehrfach die in der Vorlesung bewiesene Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von der Vereinigung zweier
Ereignisse!
Abgabe: Freitag, 04.12.15, 10.30 Uhr, im Postfach Ihrer Tutorin/Ihres Tutors
Bitte beachten Sie:
Blatt 5 erhalten Sie in der Woche vom 23.11.2015 als Präsenzübungsblatt.
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