Lösung - mathe

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Lösungen Crashkurs – 7. Jahrgangsstufe
I.
Symmetrie und Grundkonstruktionen
1.
2. Jede Raute hat die Eigenschaften: a, b, d, e, g.
3. Der gesuchte Treffpunkt befindet sich dort, wo die Mittelsenkrechte der Strecke
trifft.
4. Jedes Trapez hat die Eigenschaften: b, d, e, f.
5. Ohne Lösungsskizze.
a) Kontrolle durch Messen:
∗
b) Kontrolle durch Messen:
∗
c) Individuelle Lösungen.
6. a)
b)
(0|5)
(1,2|2,7)
= 159°
≈ 6,9
den Fluss
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c) Summieren zweier Dreiecksflächen mit gemeinsamer Grundseite
Alternativ die Grundseite
und die zugehörige Höhe abmessen.
Fläche im II.Quadranten: ∙ 5
∙ 1,7
und jeweiliger Höhe.
≈ 4,25
Gesamtfläche: 20
Bruchteil:
", #
$
=
%
&$
7. a) '(0|0), ((1|1), )(2|2)
b) *(+,,
) ≈ 4,2
c) '-./0 = '∆-./ + '∆-/0 =
∙6
'-.40 = 2 ∙ '-./ = 2 ∙ ∙ 6
II.
∙3
∙3
+
∙6
∙ 1,5
= 13,5
= 185
Winkelbetrachtungen
8. a) Wäre
der 90°-Winkel, dann gälte: 6 = 180° und damit
Winkelsumme im Dreieck wäre.
b) 1) 6 = 90°,
= 45°, 8 = 45°.
2) 8 = 90°, 6 = 60°,
+6 >
c) 8 ∗ = 180° − (
= 30°.
+ 6 < 90°. Denn dann gilt:
9. a) Es muss gelten:
b) Es gilt:
+ 6 = 270° > 180°, was die
∗
∗
+ 6 ∗ ⇒ 8 ∗ < 8
+ 6 ∗ ) = 180° − (2 + 26)
∗
+ 6 ∗ < 180°.
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10. Alle vier Winkel ergeben 360°. D.h. die Größe des einen Winkels beträgt 120°. Der
gegenüberliegende Winkel ist damit bei einem Parallelogramm ebenfalls 120° groß. Die
anderen beiden Winkel müssen dann jeweils 60° groß sein, was möglich ist.
11. a) Nebenwinkel
b) Scheitelwinkel
c) Wechselwinkel
12. 8= = 8 = 52° (Scheitelwinkel)
8 = 180° − 8 = 128° (Nebenwinkel)
> = 180° − ( + 8= ) = 60° (Winkelsumme im Dreieck)
6 = 8 = 52° (Stufenwinkel)
6= = 6 = 52° (Scheitelwinkel)
6" = 180° − (6 + 6 ) = 27° (gestreckter Winkel)
? = > = 60° (Stufenwinkel) oder ? = 180° − ( + 6= ) = 60° (Winkelsumme im Dreieck)
@ = 180° − ? = 120° (Nebenwinkel)
A = 180° − (@ + 6" ) = 33° (Winkelsumme im Dreieck)
B = 360° − (> + 8= + 6) = 147° (Winkelsumme im Viereck) oder Nebenwinkel zu A
C = 180° − (6 + 8= ) = 27° (Winkelsumme im Dreieck) oder Wechselwinkel zu 6"
D = 180° − C = 153° (Nebenwinkel)
III. Terme und Termumformungen
13. a)
b)
1
-1,75
-3
-3,5
0
0
−1
2
9
-0,5
6
10,25
-13
-42,5
14. E8,5F − G= H − 3 = FIJ + 5,5H − E4,5F − G2 = F + K HIJ =
= E8,5F −
= 8,5F −
=
=
H + 3 = FJ + 5,5H − E4,5F − 2 = F − K HJ =
H + 3 = F + 5,5H − 4,5F + 2 = F + K H =
= 3 = F + 2 = F + 5,5H + K H −
=
O
H = 6F + 5,5H − K H = LM + N P Q
=
15. a) G= F HI − (−2F)= ⋅ H = − 2 = F K H = − (−2FH)= = &
FKH=
%
%
+ 8F = H = − = F K H = + 8F = H = =
NN
= − ST ML QP + OLMP QP
b) (2U + 3V) + (2a − 3V) − (2a + 3V)(2a − 3b) =
= 4U2 + 12UV + 9V2 + 4U2 − 12UV + 9V2 − 4U2 + 9V2 = YZS + ST[S
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16. a) , = 4F ∙ 6F ∙ 1,5F = PLMP
b) ' = 2 ∙ (4F ∙ 6F + 1,5F ∙ 6F + 4F ∙ 1,5F) = 2 ∙ (24F + 9F + 6F ) = 2 ∙ 39F = T\MS
c) ,(2,5 ) = 36 ∙ (2,5 )= = NLS, N]P
'(2,5 ) = 78 ∙ (2,5 ) = Y\T, N]S
17. a) F + 17
Summe.
b) 3^ ∙ (^ + 1)
Produkt.
c) F ∙ H − (F + H)
Differenz.
d) (F + F ): 16
Quotient
OT
18. a) ,(F) = F ∙ # F ∙ # F + 1,1F ∙ # F ∙ # F = 2,1F ∙ # F ∙ # F = O SN MP
b)
a
"
= ` ∙ , = 19,3 bcd ∙ #
)= = 109,431e ≈ Ofgh
∙ (1,5
19. a) Die beiden weißen Dreiecke kann man zusammensetzen und erhält ein Viertel des Quadrats.
Also ist die grüne Fläche f, TNZS .
b) Es ist ein Quadrat mit Seitenlänge 1,5U, also ist es S, SNZS nachdem 1,5 = 2,25.
c) Die beiden grünen Dreiecke lassen sich zu einem Viertel des Quadrats zusammensetzen. Die
Fläche des Quadrats beträgt 0,5U , der gesuchte Term ein Viertel davon, also f, OSNZS .
20. a)
(F) =
=K
=%
b)
(H) = −
K
#
c)
= (i)
=0
21. a) 11F − 19
b) 30U − 64
c)
22. a) jUℎl
b) jUℎl
c) mUn ℎ
=
U
L
PL
− N < f < PT
d) 0
d) jUℎl
IV. Lösen von Gleichungen
23. a) Addition oder Subtraktion eines Terms oder einer Zahl auf beiden Seiten der Gleichung.
Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit einer Zahl ungleich Null oder Division
beider Seiten der Gleichung durch eine Zahl ungleich 0.
b) F = −1 #
oder z.B.
24. a) Gesuchte Zahl: F
F − 1 = −2 #
%
Gleichung: 18.5 − 3F = 4.5F + b) Alter der Mutter:
M=S
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Gleichung: 127 =
+
+(
− 3) + G
− 2I
] = YS
D.h. Alter der Mutter ist 42, des Vaters 45, des jüngeren Kindes 19, des älteren 21.
c) Rechtecksbreite: V
Gleichung: V ∙ 5V + 16 = (V + 2)(5V + 2)
[=O
D.h. die Breite beträgt 1cm, die Länge 5cm.
d) Eine Seite: U, die andere Seite: U + 8,2
Gleichung: 2U + 2 ∙ (U + 8,2) = 45,6
Z = T, Po], [ = ON, No]
25. Am Anfang: Anna hat 2F Chips, Bert hat F Chips.
Danach: Anna hat (2F − 11) Chips, Bert hat (F + 11) Chips.
Gleichung: 2F − 11 = F + 11 − 8
K
26. a) p = q−7 %r
c) p = s16t
b) p = q2 =r
#
d) p = s t
27. F = −
F = 14. Anfangs hatte Berti 11 Chips.
f) p = s0t
e) p = q−1 Kr
u
Setzt man F = 0 ein, ergibt sich: −6 = −60. Das ist falsch, weshalb F = 0 keine Lösung ist.
28. a) F + 0,5F + 31 = F + F + 25,5
v
M = OO
v
b) U = = + = + 39
Z = OOT
c) * + 14 = 39
29. F ∙ F ∙ 3F = 24
w=N
=
F=2
Der Quader ist also 6
' = 2 ∙ (6
∙2
+6
.
lang, 2
∙2
breit und 2
+2
∙2
hoch.
) = NLo]S
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V.
Daten, Diagramme und Prozentrechnung
30. a)
b)
Jahr
2010
2011
2012
2013
2014
Absoluter Zuwachs
10
5
5
10
-20
Relativer Zuwachs
14,3%
6,3%
5,9%
11,1%
-20,0%
20,0
10,0
0,0
2010
2011
2012
2013
2014
-10,0
-20,0
-30,0
31. Preis am Anfang: F€
Preis nach der Preissteigerung: 1,5F€
Preis nach der Preissenkung: 1,2F€
Senkung in %:
$,=y
,#y
=
=
#
= Sf%
32. a) Mittelwert: 51: 6 = 8,5 > 8, also muss die zweite Kasse besetzt werden.
b)
Woche
Abweichung
1
2
3
4
5
6
17,6%
-17,6%
52,3%
5,9%
-17,6%
-41,2%
33. Zinsertrag: 0,046 ∙ 20000€ ∙ 0,5 = 460€
34. a) Preis im Januar: 1,12 ∙ 35000€ = 39200€
Preis im August: 0,92 ∙ 39200€ = 36064€
b)
$K"
=#$$$
≈ 3%. Die Neuwagen waren im August ca. 3% teurer als im Dezember des Vorjahrs.
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VI. Kongruenz und Dreieckskonstruktionen
35. )′(−7|1)
36.
∆|(}
∆~}(
••••
(}
••••
= (}
••••
|(
••••
= }~
∢'(}
= ∢(})
Dreiecke sind kongruent wegen SWS-Satz
37. Kontrolle durch Messung:
38. a) jUℎl
≈ 55°.
b) jUℎl
c) jUℎl
d) mUn ℎ
39. a) Zeichne die Strecke () . Trage in C einen 70°-Winkel an. Trage am freien Schenkel 7cm
an und erhalte '. Verbinde die Punkte ' und (.
Fläche ' = ∙ 7
∙ 6,6
= 23,1
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b) Zeichne die Strecke U = () . Zeichne um ( und ) jeweils einen Kreis mit Radius 7
und erhalte den Schnittpunkt ). Verbinde die Punkte.
Fläche ' = ∙ 7
∙ 6,1
= 21,35
c) Zeichne die Strecke = '( . Zeichne einen Kreis um ( mit Radius U = 4,8
einen 36°-Winkel an. Der Schnitt des freien Schenkels mit dem Kreis ist ).
Fläche ' = ∙ 4,8
∙ 2,8
= 6,7
. Trage an c
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40. a) Das Dreieck ist nicht konstruierbar, da sich kein Schnittpunkt ergibt.
b) Das Dreieck ist zwar konstruierbar, jedoch nicht eindeutig, da der gegebene Winkel nicht
der größeren Seite gegenüberliegt.
41. Konstruierbar sind 360°, 180°, 90°, 60°, 0°.
90° mit Mittelsenkrechte auf Gerade, 60° mit Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks.
Daraus (nur jeweils Lösungsalternativen):
= 60° + 60° oder
a)
6 = 60° +
K$°
= 180° − 60° oder
= 90° +
K$°
oder 6 = 45° + 30° oder 6 = 90° − 15°
"
b) 330°: 60°-Winkel konstruieren und halbieren ergibt 30°. Damit hat man den 330°-Winkel.
22,5°: 90°-Winkel zweimal halbieren.
225°: 90°-Winkel konstruieren und halbieren und an einen gestreckten Winkel antragen.
42. Maßstab 1:25000, d.h.:
1,5•
2•
2,5•
= 150000
≡8
≡ 10
≡6
Zeichne (z.B.) die Strecke '( .
Zeichne einen Kreis um A mit Radius ')
Zeichne einen Kreis um B mit Radius ()
Der Schnittpunkt der beiden Kreise ist ).
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43. Skizze:
Wie in der Skizze rechts dargestellt gilt:
∢')
ƒ
= ∢'}( = ∢ )( = ∢}() =
ƒ
(Stufenwinkel)
(Wechselwinkel)
Im Dreieck BCD sind zwei Winkel gleich groß.
Dreieck BCD ist gleichschenklig.
44. Mit Winkelsumme im Dreieck gilt: 2 ∙ (8 + 12°) + 8 = 180°
8 = 52°, = 6 = 64°
45. '( ist Durchmesser eines Thaleskreises um „. Deshalb ((8|6) und )(7|7) Mit falschem
Umlaufsinn gäbe es auch noch )‘(7| − 1).
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46. (ohne Planfigur). Idee: Ich zeichne die Strecke () an die ich den 60°-Winkel antrage. Auf
dem freien Schenkel muss ' liegen. Nun muss ich noch den Umkreismittelpunkt finden, um mit
Hilfe des Umkreises dann ' genau zu bestimmen. Dazu konstruiere ich die Mittelsenkrechte zu
() und schneide sie mit einem Kreis um ' mit Radius 4,5 .
47. Der Flächeninhalt beträgt etwa 44,3
.
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48. (Jeweils ohne Planfigur)
a) Zeichne einen Winkel von 52° mit Scheitel ) und halbiere diesen.
Ziehe einen Kreis um ) mit Radius l = 6
Errichte in
und erhalte .
ein Lot auf die Winkelhalbierende.
Die beiden Schnittpunkte mit den Schenkeln von 8 sind ' und (.
b) Zeichne die Strecke () = 6,5
.
Trage in ( den Winkel 6 = 70° an.
Zeichne/Konstruiere eine Parallele zu () im Abstand 4,5
.
Der Schnittpunkt des freien Schenkels mit der Parallelen ist '.
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c) Zeichne die Strecke '( = 7,8
Trage in ' den Winkel
Da l =
b
.
= 25° an.
liegt der Umkreismittelpunkt „ auf .
Zeichne einen Kreis um „ mit Radius l = 3,9
.
Der Schnittpunkt des freien Schenkels mit der Kreislinie ist ).
49. (Jeweils ohne Planfigur.)
a) Da alle Seiten gleich lang sind muss das Viereck eine Raute sein. Da außerdem die
Diagonalen gleich lang sind ist es ein Quadrat.
Also beginnt man mit einer Diagonalen der Länge 6 , konstruiert die Mittelsenkrechte,
zieht einen Kreis um „ mit Radius 3
und hat alle vier Eckpunkte.
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b) Da jeweils zwei benachbarte Winkel gleich groß sind, handelt es sich um ein
gleichschenkliges bzw. achsensymmetrisches Trapez.
Also beginnt man mit der Seite U = 5,1
und trägt an beiden Endpunkten jeweils einen
Winkel von 70° an. Anschließend zieht man um ' und ( jeweils einen Kreis mit Radius
l = 4,1
und erhält ) und }.
c) Da U =
und
+ 6 = 180°, handelt es sich um ein Parallelogramm.
Also beginnt man mit der Seite U = 6
und trägt an den Endpunkten ' bzw. ( die Winkel
= 100° bzw. 6 = 80° an. Anschließend zieht man um ' und ( jeweils einen Kreis mit
Radius l = 3
und erhält ) und }.
50. a) mUn
ℎ
b) jUℎl
c) jUℎl
d) jUℎl
e) jUℎl