Lösung 5. Übung - Institut für Mathematik

Universität Würzburg
Mathematisches Institut
Prof. Dr. Jörn Steuding
Florian Stefan
5
Ausgabe: 19. Mai 2009
Abgabe: 26. Mai 2009
Übung zur Algebraischen Zahlentheorie
Aufgabe 5.1 (10 Punkte). Die natürlichen Zahlen n und m seien teilerfremd.
Sei ζn bzw. ζm eine primitive n-te bzw. m-te Einheitswurzel.
a) Zeigen Sie: Q(ζn , ζm ) = Q(ζnm ) und Z[ζn , ζm ] = Z[ζnm ].
b) Zeigen Sie: Q(ζn ) ∩ Q(ζm ) = Q.
c) Zeigen Sie: OQ(ζn ) = Z[ζn ].
Hinweis: Sie dürfen folgende Aussage ohne Beweis verwenden: Seien K|Q und K 0 |Q
”
endliche Galoiserweiterungen mit teilerfremden Diskriminanten, so dass K ∩ K 0 = Q. Sei
{ωi } bzw. {ωj0 } eine Ganzheitsbasis von K bzw. K 0 . Dann ist {ωi ωj0 } eine Ganzheitsbasis
von KK 0 .“
Lösung. a) Offenbar ist die multiplikative Ordnung von ζn ζm ein Teiler von
nm. Sei nun (ζn ζm )t = 1. Dann gilt ζntm = (ζn ζm )tm = 1, so dass n ein
Teiler von tm und damit ein Teiler von t ist. Ebenso ist m ein Teiler von t,
so dass nm ein Teiler von t ist. Dies zeigt, dass ζn ζm eine primitive nm-te
Einheitswurzel ist.
b) Sei K = Q(ζn ) ∩ Q(ζm ). Teilaufgabe a) und ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m) liefern
[Q(ζn , ζm ) : Q(ζm )] = ϕ(n). Daher gilt ϕ(n) ≥ [Q(ζn ) : K] ≥ ϕ(n), so dass
wir [K : Q] = 1 erhalten.
c) Wir beweisen die Aussage durch vollständige Induktion über die Anzahl
der verschiedenen Primteiler. Dazu schreiben wir n = ab mit einer Primzahlpotenz a und einer zu a teilerfremden Zahl b.
Nach Induktionsannahme ist OB = Z[ζb ] der Ring der ganzen Zahlen
des Zahlkörpers B = Q(ζb ). Außerdem ist OA = Z[ζa ] der Ring der ganzen
Zahlen des Zahlkörpers A = Q(ζa ).
Sei dA die Diskriminante von A und dB die Diskriminante von B. Dann
ist da ein Teiler von aϕ(a) und db ein Teiler von bϕ(b) . Insbesondere sind da
und db teilerfremd. Aus A ∩ B = Q folgt OAB = Z[ζa , ζb ]. Schließlich gilt
AB = Q(ζn ) und Z[ζa , ζb ] = Z[ζn ].
Aufgabe 5.2 (6 Punkte). Sei p ∈ Z eine Primzahl. Ein multiplikativer
×
Charakter des Körpers Fp = Z/pZ ist ein Homomorphismus F×
p → C . Der
×
×
×
triviale Charakter bildet alle α ∈ F×
p auf 1 ∈ C ab. Sei χ : Fp → C ein
nichttrivialer Charakter
und ζ ∈ C eine primitive p-te Einheitswurzel. Dann
P
heißt ga (χ) = p−1
χ(k
+
pZ)ζ ka eine Gauß-Summe von a ∈ Z.
k=1
P
a) Zeigen Sie: Es gilt Ppa=1 |ga (χ)|2 = (p − 1)|g1 (χ)|2 .
b) Zeigen Sie: Es gilt pa=1 |ga (χ)|2 = (p − 1)p.
Hinweis zu a): Zeigen Sie χ(a + pZ)ga (χ) = g1 (χ) für a = 1, . . . , p − 1.
Lösung. a) Für a = 1, . . . , p − 1 gilt
χ(a + pZ)ga (χ) =
p−1
X
χ(ka + pZ)ζ ka
k=1
p−1
=
X
χ(k + pZ)ζ k
k=1
= g1 (χ)
und χ(a + pZ)gp (χ) = gp (χ). Da χ(a + pZ) ∈ C× eine Einheitswurzel ist,
folgt einerseits |g1 (χ)|2 = |ga (χ)|2 . Da es 1 ≤ a < p mit χ(a + pZ) 6= 1 gibt,
folgt andererseits
= 0. Insgesamt erhält man die Behauptung.
Pp gp (χ)
ab
b) Es gilt a=1 ζ = 0 für alle ganzen Zahlen b, die nicht durch p teilbar
sind. Dies liefert
p
X
ga (χ)ga (χ) =
a=1
p p−1
X
X
χ(k + pZ)χ(l + pZ)ζ (k−l)a
a=1 k,l=1
=
=
p−1
X
p
X
k,l=1
a=1
p−1
X
!
ζ
(k−l)a
χ(k + pZ)χ(l + pZ)
p|χ(k + pZ)|2
k=1
= p(p − 1).
Aufgabe 5.3 (8 Punkte). Sei D ∈ Z − {0, 1} eine quadratfreie ganze Zahl
und
√ sei p ∈ Z eine ungerade Primzahl, die D nicht teilt. Sei (p) das von p in
Z[ D] erzeugte Hauptideal. Sei (·/p) das Legendre-Symbol.
a) Zeigen Sie: (p) ist genau dann√ein Primideal, wenn (D/p) = −1.
b) Ist (2311) ein Primideal in Z[ 1965]?
Lösung. a) Sei zunächst (D/p) = 1, so dass es eine
√ ganze Zahl
√ x ∈ Z
2
mit x ≡ D (mod p) gibt.√Dies zeigt einerseits (x + D)(x − D) ∈ (p).
Andererseits gilt aber x ± D 6∈ (p), so dass (p) kein Primideal
√ ist.
Nun sei (p) kein Primideal,√so dass es Zahlen √
α, β ∈ Z[ D] − (p) mit
αβ ∈ (p) gibt. Sei α = a1 + a2 D und β = b1 + b2 D mit ai , bi ∈ Z. Dann
ist p ein Teiler von a1 b1 + a2 b2 D und a1 b2 + a2 b1 . Daher ist p weder ein Teiler
von a2 noch von b2 . Aber p ist ein Teiler von a2 (b21 − b22 D), so dass p ein
Teiler von b21 − b22 D ist. Insbesondere ist p kein Teiler von b1 und es folgt
(D/p) = (D/p)(b2 /p)2 = (Db22 /p) = (b21 /p) = (b1 /p)2 = 1.
b) Da die quadratfreie Zahl 1965 = 3 · 5 · 131 nicht durch die Primzahl
p = 2311 teilbar ist, müssen wir nur das Legendre-Symbol (1965/2311) bestimmen:
(1965/2311) =
=
=
=
=
=
=
(3/2311)(5/2311)(131/2311)
(2311/3)(2311/5)(2311/131)
(1/3)(1/5)(84/131)
(4/131)(3/131)(7/131)
(131/3)(131/7)
(2/3)(5/7)
1.