Schräge Parallelprojektion

Parallelprojektion
1
Parallelprojektion
Erzeugung des Schattenbildes
Erst die Projektion auf eine Bildebene macht eine räumliche axonometrische Anordnung mit drei
senkrecht aufeinander stehenden Achsen, mit denen die Koordinaten eines Objekts festgelegt
werden, bildhaft sichtbar. Die Darstellungen technischer Anordnungen gewinnen an
Anschaulichkeit, wenn man anstatt der senkrechten die schräge Parallelprojektion oder sogar die
Zentralprojektion anwendet. Die schräge Parallelperspektive oder auch Kavalierperspektive ist
mathematisch etwas einfacher zu handhaben als die Zentralperspektive. Der räumliche Eindruck
leidet darunter aber nur unwesentlich. Bei der Kavalierperspektive wird in der Bildebene ein
Schattenbild des abzubildenden Objekts erzeugt. Das parallele Projektionslicht fällt in der
Seitenansicht unter einem Winkel von
a = 45°
gegenüber der Bildachse auf das abzubildende Objekt und erzeugt in der schattenauffangenden
Bildebene das perspektivische Bild des Objekts. Die beim Objekt senkrecht zur Bildachse und
Bildebene nach hinten fliehenden Linien werden verkürzt dargestellt, wobei der Verkürzungsfaktor
q =1 2
beträgt. In der Draufsicht ergibt sich dadurch ein Winkel des Projektionslichtes gegenüber der
Bildachse von
b = arctan(1 q cos a ) = 70,5288°
In der schematischen Darstellung der schrägen Parallelprojektion sind wegen einer kompakteren
Wiedergabe der geometrischen Zusammenhänge folgende Daten gewählt.
a = 30°
q = 1 1,5
b = 60°
Seitenansicht
z
Schattenbild
a
h
qa
x
a
Bildachse
a
Lichtrichtung
in der
Draufsicht
Lichtrichtung in
der Seitenansicht
b
x
Daten der Darstellung
a = 30 0
q = 1/1,5
0
b = 60
a Kantenlänge des
Würfels
y
Draufsicht
x
Schräge Parallelprojektion
Umwandlung räumlicher Koordinaten in Bildkoordinaten
Ein Punkt P ( x, y , z ) im räumlichen ( x, y , z ) -Koordinatensystem soll in den Bildpunkt P ( x, h) im
zweidimensionalen ( x, h) -Koordinatensystem umgerechnet werden. Dabei wird vorausgesetzt,
dass die h -Achse des Bildsystems mit der z-Achse des räumlichen Systems und die x -Achse des
Bildsystems mit der x-Achse des räumlichen Systems zusammenfällt. Für die Umrechnungen der
Raumkoordinaten in die Bildkoordinaten gelten folgende Gleichungen.
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Parallelprojektion
2
x = x + yq cos a
h = z + yq sin a
Bildpunkt (x,h)
z ,h
h
y
z
qy
yq sin a
a
x ,x
x
yq cos a
x
Umwandlung von räumlichen Koordinaten in Bildkoordinaten
Koordinatentransformation
Das ursprüngliche ( xI ,hI ) -Koordinatensystem soll im Koordinatenursprung um den Winkel j
gedreht werden, damit das ( x, h) -Koordinatensystem entsteht. Die Umrechnung eines Punktes
P ( xI , hI ) im ( xI , hI ) -Koordinatensystem in den Punkt P ( x, h) im gedrehten Koordinatensystem kann
durch folgende Gleichungen vorgenommen werden.
xI = x cos j + h sin j
hI = − x sin j + h cos j
h
os
xc
j
in j
hs
h
t
)
unk ( x,h
p
d
l
B i ) =P
( ,h
j
P x
os
hc
h
x
h
j
s in
x
j
x
x
x
Koordinatentransformation
Transformierte Ellipsengleichung
In der räumlichen Darstellung einer Kugel in Kavalierperspektive spielt die Ellipse eine besondere
Rolle. Die mathematische Gleichung einer Ellipse mit a als großer und b als kleiner Halbachse
lautet im ( xI , hI ) -Koordinatensystem
xI2 hI2
+
=1 .
a2 b2
Die explizite Form der Ellipsengleichung hat folgendes Aussehen.
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Parallelprojektion
xI = ±a 1 −
3
hI2
b2
x I2
a2
Im ( x, h) -Koordinatensystem lautet die Ellipsengleichung bei Berücksichtigung der
Transformationsformeln
( x cos j + h sin j )2 ( h cos j − x sin j )2
+
=1
a2
b2
Im Vergleich mit der allgemeinen Ellipsengleichung
x2 A − 2xhB + h2C − 1 = 0
können die Koeffizienten A, B und C mit Hilfe des Neigungswinkels j und der Halbachsen a und
b durch Ausmultiplizieren der Transformationsformel berechnet werden.
cos2 j sin2 j
A=
+
a2
b2
1
 1
B = sin j cos j  2 − 2 
a 
b
2
2
cos j sin j
C=
+
b2
a2
Sind die Koeffizienten A, B und C gegeben, lassen sich die Halbachsen a und b sowie deren
Neigungswinkel j durch Auflösen der drei Gleichungen nach a, b und j mit Hilfe folgender
Gleichungen unter der Bedingung
A≠C
berechnen.
hI = ±b 1 −
A −C
tan ja,b =
±
2B
1 − tan2 ja,b
a2 =
A − C tan2 ja,b
b =
(A − C)
2
4B
1 − tan2 ja,b
2
C − A tan2 ja,b
+1
ja − jb = 90°
Bedingung: a ≥ b
Bedingung: b ≤ a
Bei Verwendung des Neigungswinkels jb gegenüber dem Neigungswinkel ja kehren sich die
Bezeichnung der Halbachsen a und b um. Jedenfalls sollte der Neigungswinkel j aus den
Winkeln ja und jb so gewählt werden, dass a die größere und b die kleinere Halbachse ist, wie
es die Definition verlangt. Der so gewonnene Winkel ist dann der Neigungswinkel j .Die explizite
Form der Ellipsenfunktion lautet, je nachdem ob nach der Variablen x oder h aufgelöst wird
x=h
 B2 C  1
B
± h2  2 −  +
A
A A
A
 B2 A  1
B
± x2  2 −  +
C
C C
C
Die Scheitelwerte der Ellipse haben folgende Koordinaten.
xS1 = a cos j
hS1 = a sin j
h=x
xS2 = −a cos j
hS2 = −a sin j
xS3 = b cos j
hS3 = −b sin j
xS4 = −b cos j
hS4 = b sin j
Mit der Exzentrizität e = a2 − b2 ergeben sich die Brennpunkte der Ellipse.
xB1 = e cos j
hB1 = e sin j
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Parallelprojektion
xB2 = −e cos j
4
hB2 = −e sin j
h
PS1
PS3
a
j
x
b
PS4
PS2
Transformierte Ellipse
Kontur einer Kugel
Der Umriss einer Kugel mit dem Radius r ist in Kavalierperspektive infolge der geometrischen
Gegebenheiten eine Ellipse mit der kleinen Halbachse
b=r
und dem halben Brennpunktsabstand
e =r 2,
gemäß dem Verkürzungsfaktor q = 1 2 , mit dem alle nach hinten fliehenden Linien belegt sind. Die
Beziehung
e2 = a2 − b2
liefert die große Halbachse
5
a=
r.
2
Die große Halbachse a der Umrissellipse ist gegenüber der Bildkoordinatenachse x um einen
Winkel von
j = a = 45°
gedreht. Mit den Größen a, b und j ergeben sich für die allgemeine Gleichung der Ellipse
x2 A − 2xhB + h2C − 1 = 0
die Koeffizienten A, B und C nach den Gleichungen
cos2 j sin2 j
A=
+
a2
b2
1
 1
B = sin j cos j  2 − 2 
a 
b
2
2
cos j sin j
C=
+
.
b2
a2
Sie haben bei der Umrissellipse folgende Werte.
9 2
A =C =
r
10
1 2
B=
r .
10
Damit ergeben sich folgende explizite Ellipsenfunktionen.
1
x = h ± 90r 2 − 80h2
9
1
h = x ± 90r 2 − 80x2
9
Die Brennpunkte liegen bei
2
2
r,
r,
x B1= e cos j =
h B1= e sin j =
4
4
(
(
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)
)
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Parallelprojektion
5
2
2
r,
r.
x B2 = −e cos j = −
4
4
Die Scheitel der Ellipse liegen bei
10
10
r,
r,
x S1= a cos j =
h S1= a sin j =
4
4
8
8
r,
r,
x S2 = b cos j =
h S2 = −b sin j = −
4
4
10
10
r,
r,
x S3 = −a cos j = −
h S3 = −a sin j = −
4
4
8
8
r,
r.
x S4 = −b cos j = −
h S4 = b sin j =
4
4
Die Extrema der Umrissellipse lassen sich durch Differenzieren der Funktion h = f ( x ) und x = f ( h)
und anschließendes Nullsetzen der Differentialquotienten d h d x = 0 und d x d h = 0 berechnen.
x B2 = −e cos j = −
Kontur
z ,h
PS3K
PS1K
PS3
a
b
j
PB2K
PS1
K
jÄ
e
PS2
y
PB1K
PS4Ä
x ,x
Aequator
PS2K
PS4K
Umrissellipse einer Kugel
Berechnung des Umrisses einer Kugel
Folgende Daten sind gegeben:
Radius der Kugel r = 30 mm
Gesucht sind die Daten der Ellipse.
Rechnungsgang
1. Große Halbachse
5
a=
r
r = 33,5 mm
2
2. Kleine Halbachse
b=r
r = 30 mm
3. Neigungswinkel der großen Halbachse
j=a
j = 45°
Eine Nachrechnung der Halbachsen a und b und des Neigungswinkels j mit Hilfe der
Koeffizienten A, B und C, wie das im Kapitel Transformierte Ellipsengleichung gezeigt wurde, ist
hier nicht möglich. Bei der Umrissellipse der Kugel sind die Koeffizienten A und C gleich :A = C .
Und in dieser Situation liefert die Rechnung keine sinnvollen Werte.
Meridian
Die Begriffe Äquator und Meridian sind aus der Astronomie bekannt. Der Äquator liegt in der (x, y)Ebene des räumlichen Koordinatensystems. Die Spur (Schnittgerade) der Meridianebene liegt in
der (x, y)-Ebene des Systems und bildet mit der x-Achse den Azimut oder Lagewinkel c . Die
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Parallelprojektion
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Gleichung der Meridianellipse soll in der perspektivischen Darstellung für einen beliebigen
Lagewinkel c bestimmt werden. Der Meridiankreis mit dem Halbmesser r lässt sich im räumlichen
(x, y, z)-Koordinatensystem mit dem Parameter d , einem variablen Winkel in der Meridianebene,
durch folgende Parametergleichungen beschreiben.
x = r cos c cos d
y = r cos c sin d
z = r sin d
Mit den Gleichungen für die Bildkoordinaten
x = x + yq cos a
h = z + yq sin a
ergeben sich folgende Gleichungen für die Meridianellipse
x = r cos d(cos c + q cos a sin c)
h = r (sin d + cos d q sin a sin c)
Um eine explizite Gleichung für die Beschreibung der Meridianellipse zu erhalten, muss der
Parameter d eliminiert werden. Unter Beachtung von
sin d = 1 − cos2 d
x
r (cos c +q cos a sin c)
ergibt sich, wenn man sin d und cos d in die Funktion h = f (d) einfügt
cos d =
h=x
q sin a sin c
x2
± r2 −
.
cos c + q cos a sin c
(cos c + q cos a sin c)2
Mit den Koeffizienten D und E
q sin a sin c
D=
,
cos c + q cos a sin c
1
E=
cos c + q cos a sin c
ergibt sich die Ellipsenfunktion
D2 + E 2 2hxD h2
−
+ 2 −1= 0
x2
r2
r2
r
sowie die beiden expliziten Gleichungen
1
x= 2
hD ± r 2 D2 + E 2 − h2E 2 ,
2
D +E
(
(
)
)
h = xD ± r 2 − x2E 2 .
Die Koeffizienten A, B und C haben gemäß der Gleichung
x2 A − 2xhB + h2C − 1 = 0
folgende Größe
E 2 + D2
A=
r2
D
B= 2
r
1
C= 2
r
Die Neigungswinkel ja und jb der Ellipsenachsen sowie die Halbachsen a und b können mit Hilfe
der entsprechenden Gleichungen im Kapitel Transformierte Ellipsengleichung errechnet
werden. Die Scheitelpunkte PS1 bis PS4 können mit Hilfe der folgenden Gleichungen berechnet
werden.
xS1,3 = ±a cos ja
hS1,3 = ±a sin ja
xS2,4 = ± b cos jb
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hS2,4 = ± b sin jb
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Parallelprojektion
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Berechnung der Meridianellipse einer Kugel
Folgende Daten sind gegeben.
Radius der Kugel r = 30 mm
Lagewinkel der Meridianebene oder Azimut c = 1 rd
Gesucht sind die Daten der Ellipse
Rechnungsgang
q sin a sin c
cos c + q cos a sin c
1
E=
cos c + q cos a sin c
D = 0,355
D=
Koeffizient D
2. Koeffizient E
E = 1,194
E 2 + D2
r2
D
B= 2
r
1
C= 2
r
A = 1,723 ⋅ 10−3 mm-2
A=
3. Koeffizient A
4. Koeffizient B
5. Koeffizient C
tan ja =
6. Neigungswinkel der Hauptachse
B = 3,946 ⋅ 10−4 mm-2
C = 1,111⋅ 10−3 mm-2
C−A
(C − A)2
±
+1
2B
4B
C−A
(C − A)2
±
+1
2B
4B
1 − tan2 ja
a2 =
A − C tan2 ja
tan jb =
7. Neigungswinkel der Nebenachse
8. Große Halbachse
b2 =
9. Kleine Halbachse
1 − tan2 jb
C − A tan2 jb
z ,h
jb = −26,103°
a = 33,009 mm
b = 22,843 mm
PS1
Kontur
Meridian
PS3
ja = 63,897°
jM
y
c
x,x
Aequator
PS4
PS2
Meridian c = 1 rd
Meridian c = 0
Die Meridianellipse soll für einen Azimut oder Lagewinkel c = 0 berechnet werden. Der Meridian
liegt als Kreis in der (x, z)-Ebene des räumlichen (x, y, z)- Koordinatensystems. Er lässt sich durch
folgende Gleichung beschreiben.
x 2 + z2 = r 2
y =0
Aus diesem Kreis entsteht durch die Projektion in der Bildebene eine Ellipse. Die Gleichung dieser
Ellipse erhält man mit Hilfe der Bildkoordinaten
x = x + yq cos a
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Parallelprojektion
8
h = z + yq sin a
die sich hier wegen y = 0 etwas vereinfachen. Sie lauten
x=x
h=z.
Das führt unmittelbar zu der folgenden Gleichung
x2 +h2 = r 2
Der Meridian mit dem Azimut c = 0 liegt in der (x, z)-Ebene des räumlichen Koordinatensystems.
Sein Bild in der Bildebene ist ein Kreis.
z ,h
Kontur
Meridian
y
x ,x
Aequator
r
Meridian c = 0
Meridian c = p 2
In diesem Fall soll die Meridianellipse für einen Azimut oder Lagewinkel c = 90° berechnet
werden. Der Meridian liegt in der (y, z)-Ebene des räumlichen (x, y, z)- Koordinatensystems. Er ist
ein Kreis und lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben.
y 2 + z2 = r 2
x =0
Aus diesem Kreis entsteht durch die Projektion in der Bildebene eine Ellipse. Die Gleichung dieser
Ellipse erhält man mit Hilfe der Bildkoordinaten
x = x + yq cos a
h = z + yq sin a ,
die sich hier wegen x = 0 etwas vereinfachen. Sie lauten
x = yq cos a
h = z + yq sin a .
Wenn man beachtet, dass q = 1 2 und j = 45° ist. lassen sich daraus die räumlichen Koordinaten
y und z eliminieren.
4
y=
x
2
z = h−x,
Für die allgemeine Ellipsenfunktion
x2 A − 2xhB + h2C − 1 = 0
erhält man dann folgende Koeffizienten.
9
1
A= 2
B =C = 2
r
r
Das führt dann zu der Ellipsenfunktion
1
1
1
x2 2 − 2xh 2 + h2 2 − 1 = 0
r
r
r
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Parallelprojektion
9
und mit Hilfe der quadratischen Ergänzung zu den expliziten Gleichungen
1
x = h ± 9r 2 − 8h2 ,
9
(
)
h = x ± r 2 − 8 x2 .
Die Neigungswinkel ja und jb der Ellipsenachsen sowie die Halbachsen a und b können mit Hilfe
der entsprechenden Gleichungen im Kapitel Transformierte Ellipsengleichung errechnet
werden.
z, h
PS3
Kontur
y
Meridian
PS2
PS1
x ,x
Aequator
r
PS4
Meridian c = p 2
Äquator
Der Äquator liegt in der (x, y)-Ebene des räumlichen Koordinatensystems. Seine Gleichung lautet
x2 + y 2 = r 2
z=0
Die Bildkoordinaten errechnen sich mit folgenden Gleichungen.
x = x + yq cos a
h = z + yq sin a
die sich hier wegen x = 0 etwas vereinfachen. Sie lauten
x = x + yq cos a
h = yq cos a
Wenn man beachtet, dass q = 1 2 und j = 45° ist. lassen sich daraus die räumlichen Koordinaten
y und z eliminieren.
4
y=
h
2
x =x−h
Für die Ellipsenfunktion
x2 A − 2xhB + h2C − 1 = 0
erhält man dann folgende Koeffizienten
1
9
A=B= 2
C= 2 .
r
r
Das führt dann zu der Ellipsenfunktion
1
1
9
x2 2 − 2xh 2 + h2 − 1 = 0
r
r
r
und mit Hilfe der quadratischen Ergänzung zu den expliziten Gleichungen
x = h ± r 2 − 8h2 ,
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Parallelprojektion
(
10
)
1
x ± 9r 2 − 8 x 2 .
9
Die Neigungswinkel ja und jb der Ellipsenachsen sowie die Halbachsen a und b können mit Hilfe
der entsprechenden Gleichungen im Kapitel Transformierte Ellipsengleichung errechnet
werden.
h=
Sphärische Sammellinse
Die Sphärische Sammellinse entsteht durch die Durchdringung zweier Kugeln. In der
perspektivischen Darstellung wird die Vorderseite der Linse, in die das Licht eintritt, durch den
entsprechenden Teil der Umrissellipse der rückwärtigen Kugel gebildet und die Rückseite der
Linse durch den entsprechenden Teil der Umrissellipse der vorderen Kugel. Der
Mittelpunktsabstand dM der beiden Kugeln errechnet sich aus den beiden Radien der Kugeln r1 und
r2 und der Linsendicke dL.
dM = r1 + r2 − dL
Der Radius der Linse beträgt
2
 d 2 + r 2 + r22 
rL = r −  M 1

2dM


Die dargestellte Sammellinse weist folgende Daten auf.
Radien der sphärischen Linsenflächen
Abstand der Kugelmittelpunkte der sphärischen Flächen
Radius der Linse
Dicke der Linse
2
1
z ,h
Kugel 1 r
L
r1 = 0,03 m r2 = 0,03 m
dM = 0,04 m
rL = 0,02236 m
dL = 0,02 m
Linse
r2
y
x,x
Kugel 2
r1
dL
d1
dM
Sphärische Sammellinse
Sphärische Zerstreuungslinse
Auch die sphärische Zerstreuungslinse wird durch die Lage zweier Kugeln bestimmt. Der Abstand
dM der Mittelpunkte beider Kugeln beträgt
dM = r1 + r2 + dL .
Die Randdicke der Linse beträgt
dR = dM − r12 − rL2 − r22 − rL2 .
Die dargestellte Zerstreuungslinse weist folgende Daten auf.
r1 = 0,03 m r2 = 0,03 m
Radien der sphärischen Linsenflächen
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Parallelprojektion
Abstand der Kugelmittelpunkte der sphärischen Flächen
Radius der Linse
Linsendicke
Randdicke der Linse
11
dM = 0,065 m
rL = 0,022 m
dL = 0,005 m
dR = 0,02420 m
z ,h
dR
Kugel 1
y
r2
rL
x, x
Kugel 2
r1
dL
d1
d2
dM
Sphärische Zerstreuungslinse
Kreis im Raum
Radius des Kreises
r = 20 mm
Mittelpunkt des Kreises
xM = 30 mm
Neigungswinkel der Normalen der Kreisebene
y = 80 Grad
Rechnungsgang
1.
Mittelpunkt des Kreises
G
G
G
G
rM = x 0 xM + y 0 y M + z 0 zM
2.
Normaleneinheitsvektor der Kreisebene
G0 G0
G0
G0
n = x sin y cos c + y sin y sin c + z cos y
3.
Achsen des (h, v, n)- Hilfssystems
G 0 zG 0 × nG 0
h = G0 G0
z ×n
4.
5.
yM = 30 mm
c = 65 Grad
zM = 30 mm
Die h-Achse ist parallel zur (x, y)-Ebene.
G0 G0 G0
v = n ×h
Zählvariable l
l = 0, 1, 2 . . .lmax
lmax = 36
Winkelvariable d ( l )
d ( l ) = l d0
d0 =
2p
lmax
Die Winkelvariable d ( l ) ist von der Zählvariablen l abhängig.
6.
Kreisgleichung in der (h, v)-Ebene
h ( l ) = r sin ( d ( l ) )
v ( l ) = r cos ( d ( l ) )
7.
Vektorielle Kreisgleichung in der (h, v)-Ebene
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Parallelprojektion
12
G0
G0
G
s ( l ) = h r sin ( d ( l ) ) + v r cos ( d ( l ) )
8.
Vektorielle Kreisgleichung
G
G
G
r ( l ) = rM + s ( l )
9.
Darstellung des Kreises in Parallelprojektion
G
G
x ( l ) =  r ( l )  +  r ( l )  q cos a
x
y
G
G
h ( l ) =  r ( l )  +  r ( l )  q sin a
z
y
v
z ,h
l=9
n
h
l =0
l = 18
zM
y
l = 27
yM
xM
x ,x
Kreis im Raum
Die Auswertung der Formeln kann mit dem Rechenprogramm MathCad erfolgen und die
Darstellung via Texteditor MS WordPad im Zeichenprogramm DigCad.
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