Vorlesung 4 - Physik (Uni Würzburg)

Einführung in die Physik I
Wärmelehre/Thermodynamik
Wintersemester 2007
Vladimir Dyakonov
#4 am 12.01.2007
Folien im PDF Format unter:
http://www.physik.uni-wuerzburg.de/EP6/teaching.html
Raum E143, Tel. 888-5875, eMail: [email protected]
10.5 Kinetische Theorie der Wärme
•
Grundlagen von Boltzmann, Clausius, Maxwell (19. Jhd.)
•
Alle Zustandsgrößen lassen sich als statistische Mittelwerte
mikroskopischer Zustände der einzelnen Teilchen (E, P)
zurückführen
•
Kin. Gastheorie: Makroskopisch beobachtbaren
thermodynamischen Eigenschaften eines Gases wird auf die
mikroskopische Bewegung der Gasatome und deren WW bei
Stößen zurückgeführt
•
Modell:
- Wärme ist Bewegungsenergie (Ekin, Erot, Evib), die in
den Teilchen steckt
- Temperatur ist proportional der mittleren Energie eines
Freiheitsgrades der Teilchen
- Die Temperatur kann auf mechanische Größen
zurückgeführt werden
- Newton’schen Gesetze der Mechanik sind anwendbar
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Der Gasdruck wird verursacht durch Stöße der einzelnen Gasmoleküle mit der Wand
10.5 Kinetische Theorie der Wärme
Gasdruck p:
Der Druck P eines Gases auf die Behälterwand wird durch (elastische)
Stöße der Gasteilchen ausgeübt.
2. Newtonsches Axiom
F=
dp d ( mv )
=
dt
dt
Kraft, die die Gasteilchen auf die Wand ausüben (und umgekehrt, 3.
Newtonsches Axiom), ist gleich der Impulsänderung, dividiert durch
die Zeitspanne dt
Wand
Für den Druck, definiert als Kraft pro Fläche, gilt:
P=
F 1 dp
=
A A dt
Impulsänderung:
Jedes Teilchen mit der Masse m und der
Geschwindigkeit vx überträgt beim Stoß auf die
Wand den Impuls dpx = 2 m vx
-mvx
mvx
2
Kinetische Gastheorie
Der Gasdruck wird verursacht durch Stöße der einzelnen Gasmoleküle mit der Wand
p = 1/ 3 ρ v 2
damit entsteht insgesamt ein Druck
v2
wobei
der Mittelwert der Quadrate aller vorkommenden
Geschwindigkeiten ist
Druck auf die Außenwände eines Gefäßes mit einem Gas der Temperatur T
Durch die Reflektion der Atome an Wänden wird Impuls auf die Wand
übertragen. Der Impulsübertrag pro Zeit erzeugt eine Kraft auf die Wand.
Auf die rechte Wand (Fläche A) treffen Atome mit vx > 0
In dem Volumen V befinden sich N Atome.
Die Anzahldichte ist dann
n=
N
V
In dem dem Intervall vx ... vx + dvx
x
befinden sich insgesamt
n f ( v x ) dv x V
Atome. Auf die rechte Wand treffen pro ∆t alle Atome
mit der Geschwindigkeit v x
n f (vx ) dvx Avx ∆t
aus dem Volumen
vx ∆t
3
Die Atome mit Geschwindigkeit vx erzeugen einen Impulsübertrag von
n f (vx ) dvx Avx ∆t ⋅ 2mvx
1442443
1
2
3
Anzahl
Impulsübertrag
Die Kraft auf die Fläche A ist Impulsübertrag pro ∆t
( bisher nur durch die Atome mit Geschwindigkeit vx )
dF = n f (vx ) dvx Avx 2mvx
Der Druck ist Kraft pro Fläche:
d p = 2m n vx2 f (vx ) dvx
Der Druck durch alle möglichen Geschwindigkeiten ist:
∞
p = 2m n ∫ vx2 f (vx ) dvx
0
1
44244
3
1
2
v x2
½ weil Integral bei 0 startet statt bei -∞
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Der Druck auf die rechte Fläche ist also
p = m n vx2
wird oft auch geschrieben als
1
p = m n v2
3
14
4
10.5 Kinetische Theorie der Wärme
Lösung der Gasdruckberechnung:
Gesamtdruck:
p = 1/3 N/V m v2
N = Zahl der Teilchen im Gasvolumen
V = Gasvolumen
n = N/V = Teilchenzahldichte
Grundgleichung der kinetischen Gastheorie:
p V = 2/3 N 1/2 m v2
Mittlere kinetische Energie der Teilchen:
Ekin = 1/2 m v2
Resultierender Gesamtdruck P:
p = 2/3 N/V Ekin
d.h. Druck ist proportional zur kinetischen Energie der Gasteilchen !!!
ACHTUNG: Zum Druck tragen nur die Translationsfreiheitsgrade bei !!!
10.5 Kinetische Theorie der Wärme
Vergleich mit Zustandsgleichung des idealen Gases:
pV=NkT
Zustandsgleichung
mit k = 1.38 10-23 J/K (Gaskonstante für ein Molekül)
p = 2/3 N/V Ekin
⇒ Ekin = 3/2 kT
⇒
⇒
Kin. Druck
Wichtiges Ergebnis !!!
Mittlere kinetische Energie ist proportional zur thermodynamischen Temperatur !!!
Für einatomige Gase ist die translatorische gleich der totalen kinetischen Energie
5
10.5 Einschub: Boltzmannfaktor
• Aus der barometrischen Höhenformel folgt für die Zahl n der
Teilchen in der Höhe h:
n(h) = no exp (-m g h/ kT)
•
m g h = Epot eines Teilchens der Masse m im Gravitationsfeld
n(h) = no exp (-Epot /kT)
Boltzmann-Faktor
kT : thermische/kinetische Energie
• Barometrische Höhenformel gibt die Teilchendichten in verschiedenen
Höhen an
• Wenn die Teilchen keine kinetische Energie hätten, würden sie alle
im Gravitationsfeld der Erde fallen. (keine Erdatmosphäre)
10.5 Einschub: Boltzmannfaktor
Frage: Was ist die wahrscheinlichste Verteilung von Teilchen auf
verschiedene Energien bei vorgegebener Temperatur?
Durch Quantisierung der Energie gibt es nur diskrete Energieniveaus.
Alle haben den gleichen Abstand ∆E (bei harmonischer Schwingung)
Anzahl der Moleküle mit dieser Energie
E
∆E
E3
E2
E1
n8
n7
n6
n5
n4
n3
n2
n1
n8
n7
n6 + 1
n5 − 1
n4
n3 − 1
n2 + 1
n1
Ein Molekül ändere die Energie von E3 nach E2
ein Anderes ändere die Energie von E5 nach E6.
Die Gesamtenergie ändert sich dabei nicht
Anzahl der Moleküle nach dem Wechsel
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10.5 Einschub: Boltzmannfaktor
Wahrscheinlichkeit für die konkrete Verteilung: n1, n2, n3, ... n8
Gesamtzahl der Moleküle sei: N = n1 + n2 + n3 + ... n8
Palt ∝
N!
n1! n2! n3! n4! n5! n6! n7! n8!
alle möglichen Permutationen
Permutationen in den einzelnen Niveaus
Nach dem Wechsel (der neuen Zustand) ist die Wahrscheinlichkeit
für die neue Verteilung
Pneu ∝
N!
n1! ( n2 + 1)! ( n3 − 1)! n4! ( n5 − 1)! ( n6 + 1)! n7! n8!
Ausgedrückt durch die alte Wahrscheinlichkeit ergibt sich:
Pneu = Palt
n3 n5
n n
≈ Palt 3 5
(n2 + 1) (n6 + 1)
n2 n6
10.5 Einschub: Boltzmannfaktor
Haben wir den wahrscheinlichsten Zustand gefunden, dann ändert
sich seine Wahrscheinlichkeit bei dieser Aktion nicht.
(im Maximum ist die Ableitung (Änderung) = 0
Pneu = Palt
⇒
n3 n5
=1
n2 n6
⇒
n3 n6
=
n2 n5
oder allgemein:
ni +1
= const
ni
diese Bedingung ist nur erfüllt, wenn die Anzahl der Moleküle mit
zunehmendem i sich exponentiell ändert:
ni ∝ eα i
denn
ni +1 eα (i +1)
= α i = eα = const
ni
e
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10.5 Einschub: Boltzmannfaktor
n( Ei ) ∝ e β Ei
Daraus folgt die Energieabhängigkeit
Aus der Definition der Temperatur
E = k BT
beachte hier
E = Ekin + E pot = 12 k BT + 12 k BT
leitet man her, dass die Anzahl der Moleküle mit Schwingungsenergie Ei
exponentiell von Energie und Temperatur abhängt wie:
→ Boltzmann-Verteilung
n( Ei ) ∝ e
−
E
E
Ei
k BT
n
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10.5 Einschub: Boltzmannfaktor
Allgemein gibt der Boltzmann-Faktor die Besetzungswahrscheinlichkeit
an mit der ein Teilchen mit einer Energie zwischen E und E+dE vorliegt:
dn ~ exp(-E/kT) dE
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10.5 Einschub: Boltzmannfaktor, Beispiel
T1 > T2
Energie
Energie
- 2 Zustände unterschiedlicher Energie E1 > E2 für N Teilchen
- Teilchen können sich nur in diesen beiden Zuständen aufhalten
E1, n1
T2
E2, n2
n
Verhältnis der Teilchenzahlen in beiden Zuständen (im therm. GG):
n1/n2 = exp (-∆E/kT)
•
•
•
mit ∆E = E1-E2 > 0
Ist kT >> ∆E ,dann ist n1 ≈ n2
Ist kT << ∆E ,dann ist n1 << n2
n1 >> n2 tritt im thermodynamischen Gleichgewicht nicht
auf !!! (STICHWORT: Laser)
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