Vorlesung Physik I Haussmann

Haussmann
PHYSIK
Seite 1
Experimentalphysik 1
Ein Vorlesungsskript zur Vorlesung
Experimentalphysik 1
im Modul Physik 1 der Fakultät II, Abteilung Maschinenbau
von
Prof. Dr. rer. nat. G. Haussmann
Copyright: G. Haussmann
Vervielfältigung sowie jede Verwendung und Verwertung
nur mit Genehmigung des Autors
09.04.2014
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Inhaltsverzeichnis
I Geradlinige Bewegung.................................................................................................................... 4
I.0 Einleitung .................................................................................................................................... 4
I.1 Geschwindigkeit...................................................................................................................... 6
I.1.1 Durchschnittgeschwindigkeit ........................................................................................... 7
I.1.2 Momentangeschwindigkeit.............................................................................................. 8
I.2 Gleichförmige Bewegung ........................................................................................................ 9
I.3 Ungleichförmige Bewegung .................................................................................................. 10
I.3.1 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung........................................................................... 10
I.3.2 Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung ....................................................................... 15
I.4 Richtung von Bewegungen.................................................................................................... 16
I.4.1 Ungestörte Überlagerung von Bewegungen................................................................... 17
I.4.1.1 Waagerechter Wurf ............................................................................................... 18
I.4.1.2 Senkrechter Wurf ................................................................................................... 21
I.4.1.3 Schräger Wurf ....................................................................................................... 22
II Kinematik der Drehbewegung...................................................................................................... 25
II.1 Radiusabhängige Größen der Kreisbewegung....................................................................... 25
II.2 Gleichförmige Kreisbewegung .............................................................................................. 27
II.3 Ungleichförmige Kreisbewegung .......................................................................................... 29
II.3.1 Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung .................................................................. 30
II.3.2 Kennzeichnung des Drehsinns .......................................................................... 32
III Dynamik der geradlinigen Bewegung .......................................................................................... 34
III.1 Erstes Newtonsches Axiom .................................................................................................. 34
III.2 Zweites Newtonsches Axiom................................................................................................ 34
III.3 Einheiten für Kraft und Masse.............................................................................................. 37
III.4 Kräfte als Vektoren .............................................................................................................. 38
III.5 Drittes Newtonsches Axiom (actio = reactio) ........................................................................ 41
III.5.1 Federkräfte und elastische Verformung ........................................................................ 42
III.5.2 Reibungskraft .............................................................................................................. 44
III.5.3 Trägheitskräfte ............................................................................................................. 48
IV Arbeit, Energie und Leistung ....................................................................................................... 52
IV.1 Arbeit ................................................................................................................................. 52
IV.1.1 Hubarbeit .................................................................................................................... 53
IV.1.1 Reibungsarbeit ............................................................................................................ 53
IV.1.3 Beschleunigungsarbeit ................................................................................................. 54
IV.1.4 Elastische Verformungsarbeit ....................................................................................... 54
IV.2 Energie ............................................................................................................................... 55
IV.2.1 Potentielle Energie ....................................................................................................... 55
IV.2.2 Kinetische Energie ....................................................................................................... 56
IV.2.3 Energiesatz der Mechanik ............................................................................................ 56
IV.3 Leistung (Energiefluss) ........................................................................................................ 58
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V Impuls
.................................................................................................................................... 61
V.1 Impuls und Impulserhaltung ................................................................................................. 61
V.2 Kraftstoß ............................................................................................................................. 63
V.3 Stoßgesetze ......................................................................................................................... 65
V.3.1 Gerader zentraler elastischer Stoß ................................................................................ 66
V.3.2 Gerader zentraler unelastischer Stoß ............................................................................ 68
V.3.2 Schräger zentraler elastischer Stoß ............................................................................... 70
VI Dynamik der Drehbewegungen .................................................................................................. 71
VI.1 Rotation des Massenpunkts, Zentripetal- und Zentrifugalkraft ............................................. 71
VI.2 Dynamik des starren Körpers ............................................................................................... 73
VI.3 Energie des rotierenden Körpers - Massenträgheitsmoment ............................................... 74
VI.3.1 Steinerscher Satz ......................................................................................................... 77
VI.3.2 Rollender Körper ......................................................................................................... 78
VI.4 Drehmoment ...................................................................................................................... 79
VI.4.1 Dynamische Grundgleichung der Drehbewegung ........................................................ 80
VI.4.2 Arbeit, Energie und Leistung bei Drehbewegungen ..................................................... 82
VI.5 Zusammenfassung der Formeln der Drehbewegung ............................................................ 84
VII Drehimpuls ............................................................................................................................... 85
VII.1 Drehimpuls eines Massenpunkts ....................................................................................... 85
VII.2 Drehimpuls des starren Körpers ........................................................................................ 86
VII.3 Drehimpuls eines Systems von Massenpunkten ................................................................. 87
VII.4 Beispiele zum Zusammenhang Drehmoment und Drehimpuls ........................................... 88
VII.5 Zusammenfassung der Formeln des Drehimpulses .............................................................. 94
VII.6 Corioliskraft ...................................................................................................................... 94
VIII Gravitation und Planetenbewegung ......................................................................................... 96
VIII.1 Begriff der schweren Masse .............................................................................................. 96
VIII.2 Das Gravitationsgesetz ...................................................................................................... 97
VIII.3 Arbeit und Energie im Schwerefeld ................................................................................... 98
VIII.4 Planetenbewegung und Keplersche Gesetze ................................................................... 100
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I Geradlinige Bewegung
I.0 Einleitung
Physikalische Größen:
Physikalische Phänomene werden qualitativ und quantitativ durch physikalische Größen
beschrieben. Zur kürzeren Bezeichnung physikalischer Größen existieren in der DIN 1304
genormte Formelzeichen, die immer nur aus einem Zeichen bestehen.
Beispiele: Weg s, Geschwindigkeit v, Kraft F, Druck p usw.
Soll eine bestimmte Bedeutung eines Formelzeichens gekennzeichnet werden, so kann eine Zahl
oder eine Buchstabe als Index angehängt werden
Beispiele: Anfangsgeschwindigkeit v0, Kraft in z-Richtung Fz , Umgebungsdruck pL usw.
Größengleichungen:
Physikalische Zusammenhänge verschiedener Größen werden durch Größengleichungen
beschrieben. Größengleichungen sind Gleichungen, in denen die Formelzeichen physikalische
Größen oder mathematische Zeichen bedeuten. Physikalische Größengleichungen können
algebraisch umgeformt werden und sind von der Wahl der Einheiten unabhängig.
Werte physikalischer Größen:
Jeder spezielle Wert einer physikalischen Größe kann als Produkt aus Zahlenwert und Einheit
dargestellt werden. Ändert sich die Einheit, dann ändert sich auch der Zahlenwert. Das Produkt
aus Zahlenwert und Einheit bleibt jedoch immer konstant, es ist invariant gegenüber einem
Wechsel der Einheit.
Beispiel: Geschwindigkeitsangaben in m/s bzw. km/h s.u.
Die Angabe von Werten physikalischer Größen ohne physikalische Einheiten sind sinnlos
Beispiel: Auto legt in 2 einen Weg von 180 zurück. Was bedeutet das?
Definition:
Der Spezielle Wert einer physikalischen Größe ist das Produkt aus Zahlenwert (Maßzahl) und
(Maß)Einheit.
Wert einer physikalische Größe = Zahlenwert * Einheit.
Einheiten:
Einheiten verkörpern genormte Werte bestimmter physikalischer Größen. Die Benutzung des SIEinheitensystems mit seinen 7 SI-Basiseinheiten und seinen Vorsätzen ist gesetzlich vorgeschrieben. Aus diesen Basiseinheiten können alle anderen notwendigen Einheiten abgleitet werden. Es
existieren Vorsätze zur Kennzeichnung des dezimalen Vielfachen bzw. der dezimalen Teile von
Einheiten.
Vorsätze zu Einheiten:
- M
= 106
- k
= 103
- h
= 102
- d
= 10-1
- c
= 10-2
- m
= 10-3
- 
= 10-6
- n
= 10-9
- p
= 10-12
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Mega
Kilo
Hekto
dezi
Zenti
Milli
Mikro
Nanno
Piko
Beispiel MV (Megavolt)
Beispiel km (Kilometer)
Beispiel hPa (Hektopascal)
Beispiel dl (Deziliter)
Beispiel cm (Centimeter)
Beispiel mg (Milligramm)
Beispiel m (Mikrometer)
Beispiel nF (Nannofarad)
Beispiel ps (Pikosekunde)
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Vorbemerkung zur Beschreibung von Bewegungen in der Kinematik:
Zur Beschreibung von Bewegungen im Rahmen der Kinematik benötigt man
- einen Bezugspunkt im Raum,
- die Möglichkeit, spezielle Werte der physikalischen Größe Wege (bzw. Längen) zu ermitteln
und
- die Möglichkeit, spezielle Werte der physikalischen Größe Zeit zu bestimmen.
Festlegung:
Die Beschreibung von Bewegungen bezieht sich auf die als ruhend angenommene Erdoberfläche,
obwohl die Erde eine komplizierte Bewegung im Raum ausführt.
Wegmessung (Längenmessung):
 Durchführung der Wegmessung durch Vergleich der zu messenden Strecke mit einer
Längeneinheit und Angabe des Verhältnisses zwischen Länge und Längeneinheit.
 Als Längeneinheit der Längenmessung dient die Einheit Meter:
1 Meter = 1 m
Aktuelle Definition des Meters (1983):
1 Meter ist die Länge der Strecke, die Licht in Vakuum in 1/299 792 458 s zurücklegt.
Historisch wurde der Meter über den „Ur-Meter“ in Paris (Pt-Ir-Stab von exakt 1 m Länge unter
festgelegter Temperatur) definiert.
Durch Vorsätze können aus der Basiseinheit Meter weitere Einheiten abgeleitet werden, z.B.
- 1 km = 103 m Kilometer
1 cm = 10-2 m
Zentimeter
-
1 m = 10-6 m
Mikrometer u.s.w.
Zeitmessung:
 Der Zeitbegriff ist wegen der Einsteinschen Relativitätstheorie kompliziert. Wir benutzen eine
aus Erfahrung gegebene physikalische Größe, da Probleme erst dann eintreten, wenn sich die
Geschwindigkeiten der Lichtgeschwindigkeit c nähern.
 Durchführung der Zeitmessung durch Abzählen von Perioden periodischer physikalischer
Vorgänge in der zu messenden Zeit.
 Als Zeiteinheit der Zeitmessung dient die Sekunde:
1 Sekunde = 1 s
Aktuelle Definition der Sekunde (1967):
1 Sekunde ist das 9 192 631 770-fache der Schwingungsdauer einer bestimmten elektromagnetischen Welle, die vom Cäsium-133-Atom abgestrahlt wird.
Historisch wurde die Sekunde über den „mittleren Sonnentag“ definiert. Schwankungen der
Kreisfrequenz der Erdumdrehung begrenzen jedoch die Genauigkeit dieser Definition.
Weitere Zeiteinheiten:
- 1 Jahr
=
- 1 Tag
=
- 1 Stunde =
- 1 Minute =
1a
1d
1h
1 min
Durch Vorsätze können aus der Basiseinheit Sekunde weitere Einheiten abgeleitet werden, z.B.
Millisekunde usw.
- 1 ms
= 10-3 s
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I.1 Geschwindigkeit
Geschwindigkeit ist eine Kombinationsgröße zur Beschreibung einer Bewegung.
Definition:
Unter der Geschwindigkeit versteht man den Quotienten aus zurückgelegtem Weg und
benötigter Zeit.
Geschwindigkeit 
zurückgelegter Weg
benötigte Zeit
Physikalische Gleichung mit Formelbuchstaben nach DIN 1304:
v 
s
t
(Gl. 1.1)
Beispiel: Ein Auto legt in t = 2 h einen Weg von s = 180 km zurück.
Es hat sich damit mit einer Geschwindigkeit von
v 
180 km
km
 90
bewegt
2h
h
Die Gleichung 1.1 stellt eine physikalische Größengleichung dar die jederzeit algebraisch
umgeformt werden kann.
Beispiel: Aus
v 
s
folgt
t
s  vt
 s  90
km
 2 h  180 km
h
Der spezielle Wert einer physikalischen Größe ist von der Wahl der Einheit unabhängig.
Beispiel:
Vergleich von Geschwindigkeiten eines Zugs mit einem 100 m-Läufer
- ICE fährt Strecke Hannover-Göttingen (s = 99 km) in 32 Minuten.
- 100 m-Läufer läuft 100 m in 9,9 s.
ICE:
Läufer:
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99 km
99  60 km
km

 185.63
32 min
32 h
h
3
99  10 m
m
.

 5156
32  60 s
s
v ICE 
vL

v ICE
185.63

 5105
.
vL
36.36
100 m
m
.
 101
9.9 s
s
3
100 10 km
100  3600 km
km


 36.36
1
9.9 1000 h
h
9.9  3600 h

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I.1.1 Durchschnittgeschwindigkeit
Vorbemerkung:
Bewegungen sind im allgemeinen Fall sehr komplexe Vorgänge. Zur Veranschaulichung des
Bewegungsverlaufs dienen Diagramme.
Weg-Zeit-Diagramm:
Im Weg-Zeit-Diagramm wird der zurückgelegte Weg als Funktion der Zeit t dargestellt.
Es ergibt sich bei positiver Geschwindigkeit
ein Wegzuwachs, bei Geschwindigkeit Null
stagniert dagegen die zurückgelegte
Wegstrecke.
Beispiel:
Weg-Zeit-Diagramm des Intercity GöttingenHannover (siehe Bild 1.1). Es ergibt sich
folgender Fahrtverlauf:
Haltestelle
An
Ab
Göttingen
Northeim
Kreiensen
Alfeld(Leine)
Hannover
10:59
11:11
11:23
11:55
10:49
11:00
11:12
11:24
s [km] t [min]
0
20
39
58
108
10/11
22/23
34/35
66
Bild 1.1: Weg-Zeit-Diagramm des Intercity
zwischen Göttingen und Hannover
Folgerung:
Der Weg nimmt nicht gleichmäßig mit der Zeit zu. An den Bahnhöfen hält der Zug einige Minuten,
daher erhält man dort keinen Wegzuwachs.
Definition:
Unter der Durchschnittsgeschwindigkeit versteht man den Quotienten aus dem gesamten
zurückgelegten Weg und der gesamten benötigter Zeit.
Durchschnittsgeschwindigkeit 
gesamter Weg
gesamte benötigte Zeit
Physikalische Gleichung mit Formelbuchstaben nach DIN 1304:
v 
sges
t ges
(Gl. 1.2)
Beispiel:
Der Intercity Göttingen – Hannover fährt eine Durchschnittsgeschwindigkeit von
v
108 km 108  60 km
km
 98.18

66 min
66 h
h
aber: Momentangeschwindigkeiten erreichen Werte bis vmax = 160 km/h
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I.1.2 Momentangeschwindigkeit
Es wird die Antwort auf die Frage gesucht:
Wie schnell ist der Zug zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt?
Veranschaulichung des Problems der Momentangeschwindigkeit an einem Ausschnitt des WegZeit-Diagramms in Bild 1.1
Gedankenexperiment:
t = 0, Stopuhr läuft los, s = 0

s = s1
t = t1
t = t 2 = t 1 + t 
s = s2 = s1 + s usw
vt 
s
t
ist die Durchschnittsgeschwindigkeit im Intervall
t = t2 – t1.
Das Intervall t wird immer kleiner gewählt
 s wird immer kleiner, und
 s/t nähert sich im Grenzübergang
dem Wert derTangentensteigung
Bild 1.2: Ausschnitt aus dem Weg-ZeitDiagramm in Bild 1.1 zwischen
Göttingen und Northeim (eigene Grafik)
Definition:
Als Momentangeschwindigkeit definiert man
den Grenzwert der Durchschnittsgeschwindigkeit
s/t im Zeitintervall t für den Grenzübergang
t  0.
v  lim
t  0
s
t
(Gl. 1.3)
Mathematik:
Die Momentangeschwindigkeit entspricht dem
Differentialquotienten der Funktion
s = f(t) bzw. der Tangentensteigung des Graphen
der Funktion s(t).
s
ds

 s
t  0 t
dt
v  lim
(Gl. 1.4)
Bild 1.3: Momentangeschwindigkeit als
Tangente des Graphen s = f(t)
(Diagramm aus [1])
Übungsaufgaben dazu:
- Dobrinski 1.1.1.2 Aufgabe 1
- Dobrinski 1.1.1.2 Aufgabe 2
VERSUCH „Luftkissenfahrbahn“:
Demonstration der Weg-Zeit-Diagramme und der Geschwindigkeits-Zeit-Diagramme am
Beispiel einer Bewegung mit sich ändernden Geschwindigkeiten.
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I.2 Gleichförmige Bewegung
Definition:
Eine Bewegung heißt gleichförmig, wenn die Momentangeschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt
konstant ist.
Folgerung:
Aus v = const folgt s  t. Der Proportionalitätsfaktor ist die Geschwindigkeit.
s  vt
bei v  const
(Gl. 1.5)
Folgerungen:
1. Eine solche Bewegung kann ausschließlich bei „fliegendem Start“ beobachtet werden. Die
Beschleunigungsphase wird dabei vernachlässigt.
2. Das Weg-Zeit-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung ist eine Gerade (siehe Bild 1.4).
3. Die Geschwindigkeit ist die Geradensteigung im s(t)-Diagramm.
4. Eine konstante Momentangeschwindigkeit bedeutet für die Durchschnittsgeschwindigkeit
v  v  const
(Gl. 1.6)
Das Geschwindigkeitsdiagramm v = f(t) beschreibt den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit über
einen Bewegungsvorgang.
Bild 1.4: Weg-Zeit-Kurve s = f(t) einer gleichförmigen Bewegung
(Diagramm aus [1])
Bild 1.5: Geschwindigkeits-Zeit-Kurve
v = f(t) einer gleichförmigen Bewegung
(Diagramm aus [1])
Folgerungen:
1. Das v-t-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung ist eine Gerade mit Steigung 0.
2. Wegen s = vt entspricht der nach der Zeit t1 zurückgelegte Weg s(t1) der Fläche unter dem
Graphen der Funktion v = f(t) bis zum Zeitpunkt t = t1.
Übungsaufgaben:
Dobrinski 1.1.2 Aufgabe 1,
- Dobrinski 1.1.2 Aufgabe 3
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Dobrinski 1.1.2 Aufgabe 2
Dobrinski 1.1.2 Aufgabe 4
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I.3 Ungleichförmige Bewegung
Definition:
Eine Bewegung heißt ungleichförmig, wenn sich der Betrag der Momentangeschwindigkeit
mit der Zeit ändert.
Beispiele:
- Beschleunigungs- und Bremsvorgänge
- Freier Fall
I.3.1 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Definition:
Eine Bewegung heißt gleichmäßig beschleunigt, wenn sich die Momentangeschwindigkeit
linear mit der Zeit ändert, d.h. es muss gelten v  t.
VERSUCH
„Luftkissenfahrbahn“:
Demonstration der gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit der schräg
gestellten Luftkissenbahn. Dabei Aufzeichnung
 Weg-Zeit-Diagramm
 Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm
 Beschleunigungs-Zeit-Diagramm
Definition:
Unter der Beschleunigung versteht man den Quotienten aus der Änderung der Momentangeschwindigkeit und der dafür benötigten Zeit.
Beschleunigung 
Änderung der Momentangeschwindigkeit
benötigte Zeit
Die Durchschnittsbeschleunigung im Zeitintervall t ist definiert als:
at 
v
t
(Gl. 1.7)
Definition:
Die Momentanbeschleunigung entspricht dem Differentialquotienten der Funktion v = f(t) bzw.
der Tangentensteigung des Graphen der Funktion v(t).
a  lim
t 0
dv
v

 v
dt
t
(Gl. 1.8)
Da die Geschwindigkeit v zugleich als Differentialquotient ds/dt definiert ist kann man schreiben:
a 
Einheit der Beschleunigung:
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dv
d 2s
 v 
 s
dt
dt 2
[a] = 1
(Gl. 1.9)
m
s2
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VERSUCH „Freier Fall“:
Messung der Fallzeit aus verschiedenen Höhen und Berechnung der Fallbeschleunigung nach
dem Modell der gleichmäßig beschleunigten Bewegung.
Zusammenfassung des Versuchs und der damit zusammenhängenden Überlegungen:
Der freie Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit konstanter Beschleunigung. Die
Geschwindigkeit v nimmt proportional zur Zeit t zu.
Definition:
Die Beschleunigung beim freien Fall ist eine in der Physik häufig benutzte Größe. Sie wird als
Fallbeschleunigung g bezeichnet
Der Zahlenwert der Fallbeschleunigung beträgt auf Meereshöhe g  9.81
m
.
s2
Bemerkungen:
1. Die Beschleunigung stellt die Steigung in einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm dar.
2. Bei gleichmäßig beschleunigten Bewegungen ist die Momentanbeschleunigung konstant, d.h.
es gilt a  a  const
Aus der Ruhe gleichmäßig beschleunigte Bewegung:
Es ergeben sich folgende Formeln:
a) Funktion v(t)
Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit
v = at mit a = const
(Gl. 1.10)
Die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall
[0, t1] beträgt
v 
v (t1 )
2
Bild 1.6: Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm der aus der
Ruhe gleichmäßig beschleunigten Bewegung
(Diagramm aus [1])
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Bild 1.7: Weg-Zeit-Diagramm der aus der Ruhe
gleichmäßig beschleunigten Bewegung
(Diagramm aus [1])
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b) Funktion s(t)
Abhängigkeit des Wegs von der Zeit
Mit s1  s(t 1 )  v  t 1 
v1
1
t 1 und v 1  a  t 1 folgt s1  a  t 12
2
2
(Gl. 1.11)
Es folgt:
s( t ) 
1
at2
2
mit a  const
Allgemeine gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Mit dem Anfangsweg s0 = s(t0) und der Anfangsgeschwindigkeit vo = v(t0) ergeben sich folgende
Formeln:
a) Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz, Funktion v(t)
v (t )  a  t  v 0
mit a  const
(Gl. 1.12)
dabei bedeutet a > 0 eine beschleunigte und a < 0 eine verzögerte Bewegung.
b) Weg-Zeit-Gesetz, Funktion s(t)
1
 a  t1

 v0  t1 folgt s1  a  t12  v0  t1
2
 2

Mit s1  
Allgemein gilt:
1
s (t )  a  t 2  v0  t  s0 mit a  const
2
(Gl. 1.13)
dabei bedeutet a > 0 eine beschleunigte und a < 0 eine verzögerte Bewegung.
Erläuterung der Zusammenhänge zwischen s(t), v(t) und a(t) mit der Differential- und
Integralrechnung:

Differentiation 

1 2
a  t  v0  t  s 0

2
ds
v(t )  s 
 a  t  v0
 Integration
dt
dv
d 2s
a(t )  v 
 s 
a
dt
dt 2
s (t ) 
Dieser Zusammenhang gilt nicht nur für gleichmäßig beschleunigte Bewegungen, sondern auch für
ungleichmäßig beschleunigte Bewegungen mit zeitabhängiger Beschleunigung.
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Bild 1.8: Gleichmäßig beschleunigten
Bewegung mit a>0
a) Beschleunigungs-Zeit-Diagramm
b) Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm
c) Weg-Zeit-Diagramm
Zusammenfassung:
Es ergeben sich für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung folgende Formeln:
a(t )  s  v  a  const
v(t )  a  t  v0  s
(Gl. 1.14)
s(t )  a  t  v0  t  s0
1
2
2
Bild 1.9: Gleichmäßig beschleunigten
Bewegung mit Anfangsbedingungen
a) a-t-Diagramm für Beschleunigung (a >
0) und Verzögerung (a < 0)
b) v-t-Diagramm für Beschleunigung (a >
0) und Verzögerung (a < 0)
c) s-t-Diagramm für Beschleunigung (a >
0) und Verzögerung (a < 0)
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Bei einer Unterscheidung in beschleunigte Bewegung (a > 0) und verzögerte Bewegung (a < 0)
erhält man folgende Beziehungen:



a (t )  a a  0 beschl. Bewegung
a (t )  a a  0 verz. Bewegung
(Gl. 1.15a)
v(t )  v0  a t a  0 beschl. Bewegung
v(t )  v0  a t a  0 verz. Bewegung
s (t )  s0  v0  t  12 a t 2 a  0 beschl . Bewegung
s (t )  s0  v0  t  12 a t 2 a  0 verz. Bewegung
(Gl. 1.15b)
(Gl. 1.15c)
Dabei bedeutet


a > 0 eine beschleunigte Bewegung (a = + |a|) und
a < 0 eine verzögerte Bewegung (a = - |a|).
v0 und s0 sind die Anfangsbedingungen und werden auch Integrationskonstanten genannt.
Beispiel:
Berechnung des Bremswegs sB für den Fall negativer Beschleunigung (verzögerte Bewegung
a < 0). Es sei tB die Bremszeit, das heißt, dass das Fahrzeug nach Ablauf der Zeit tB zum Stehen
kommt. Damit ergibt sich als Bedingung für tB: v(tB) = 0.
Für eine verzögerte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit v0 gilt:
sB  stB   v0  t B 
1 2
a  tB und
2
vtB   v0  a  tB  0 mit a  0
 Bremszeit
v0
0
a
 Bremsweg
tB  
sB  
vo2
v2
v2
 o   o 0
2a
2a
a
Damit erhält man für den Bremsweg
vo2
sB 
2a
(Gl. 1.16)
Es gilt sB > 0, da a < 0 !
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I.3.2 Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung
Definition:
Eine Bewegung heißt ungleichmäßig beschleunigt, wenn die Beschleunigung zeitlich nicht
konstant ist.
Folgerung:
Ungleichmäßig beschleunigte Bewegungen sind mathematisch nicht einfach zu behandeln. Der
Schlüssel zur Lösung solcher Bewegungsprobleme liegt in der Differential- bzw. Integralrechnung
. Die maßgeblichen Beziehungen sind:
v  s und
bzw.
v (t ) 
 a(t )dt
a  v  s
und
s(t ) 
 v(t )dt
Lösungsmöglichkeiten:
1. Rechnerische Lösung: Ausgehend von der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion kann der Weg-ZeitVerlauf durch algebraische oder numerische Integration berechnet werden. Den
Beschleunigungs-Zeit-Verlauf erhält man durch algebraische oder numerische Integration.
2. Grafische Lösung: Ausgehend von der Geschwindigkeits-Zeit-Kurve erhält man
a) den aktuell zurückgelegten Weg s aus der Fläche unter dem Graphen der v-t-Kurve und
b) die aktuelle Beschleunigung durch Ermittlung der Tangentensteigung der v-t-Kurve
Differentiation

Integration

Bild 1.10: Grafische Bestimmung der aktuellen Beschleunigung und des aktuell zurückgelegten Wegs aus
dem v-t-Diagramm:
Die Geschwindigkeit kann durch Ableitung der Funktion v(t) bzw. Berechnung der Tangentialsteigung bestimmt werden. Der Weg wird durch Integration (Berechnung der Fläche unter
dem v-t-Diagramm) bestimmt. (Diagramme aus [1])
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I.4 Richtung von Bewegungen
Bisher:
Jetzt:
Es wurden die Beträge der physikalischen Größen s, v und a betrachtet.
Zusätzlich kommen jetzt die Richtungen ins Spiel.
Die Wege von A nach B und von
A nach C sind gleich lang.
Aber: Die Richtungen
unterscheiden sich!
Definition:
Die physikalischen Größen Weg s, Geschwindigkeit v und Beschleunigung a sind Vektoren mit
Betrag und Richtung.
Definition:
Physikalische Größen ohne Richtung (z.B. Temperatur und Zeit) nennt man Skalare.
Schreibweise nach DIN 1303:
Vektoren schreibt man :
Beträge von Vektoren schreibt man:

v

v v
In der Mathematik wird die Vektorenrechnung in der Vorlesung Mathematik 1 behandelt.
Es genügt die Kenntnis der Vektoraddition und des Skalarprodukts:
Vektoraddition:
Skalarprodukt:
 

s  s1  s 2
 
s1 s2  s1 s2  cos( ) mit dem eingeschlossenen Winkel 
Damit erhält man:
  
s 2  (s1  s2 ) 2

  
 s12  2 s1  s2  s22
 
 s12  s22  2 s1 s2 cos( )
Dies ist exakt die Formel des Cosinus-Satzes (erweiterter Pythagoras für schiefwinklige Dreiecke),
wenn man die Definition des Winkels  als von den Vektoren eingeschlossenen Winkel
berücksichtigt.
Folgerung:
Für den Betrag der Vektorsumme erhält man

 
s  s12  s22  2 s1 s2 cos( )
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(Gl. 1.17)
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Darstellung von Vektoren in einem kartesischen Koordinatensystem
Wir benutzen zur Darstellung von Vektoren ein rechtshändiges kartesisches Koordinatensystem.
Die Einheitsvektoren zeigen in Richtung der Koordinatenachsen, die jeweils senkrecht aufeinander
stehen. Zeigt man mit der rechten Hand ein solches rechtshändiges kartesisches
Koordinatensystem, so zeigt

 die x-Achse in Richtung des Daumens (Einheitsvektor e x ),

 die y-Achse in Richtung des Zeigefingers (Einheitsvektor e y ) und

 die z-Achse in Richtung des Mittelfingers (Einheitsvektor ez ).
Jeder Vektor kann dann als Summe von Vektoren in
x-, y- und z-Richtung geschrieben werden.
 





s  s x  s y  s z  s x  ex  s y  e y  s z  ez
Ein solcher Vektor wird üblicherweise als Spaltenvektor
dargestellt:
 sx 



  
s  s x  ex  s y  e y  s z  ez   s y 
s 
 z
(Gl. 1.18)
Damit führt das Problem der Vektoraddition auf eine
Vektorgleichung, die einem algebraischen
Gleichungssystem mit 3 Gleichungen entspricht:
  
s  s1  s2
 s x   s x1   s x 2   s x1  s x 2 
      

 s y    s y1    s y 2    s y1  s y 2 
s  s  s  s s 
 z   z1   z 2   z 1 z 2 
s x  s x1  s x 2

s y  s y1  s y 2
(Gl. 1.19)
s z  s z1  s z 2
I.4.1 Ungestörte Überlagerung von Bewegungen
Prinzip der ungestörten Überlagerung von Bewegungen:
Komplexe Bewegungen eines Körpers können in Bewegungen zerlegt werden, die unabhängig
voneinander durchlaufen werden und die sich überlagern, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen.
Beispiel:
Schiff in strömendem Fluss (konstante Geschwindigkeiten)
(Rechenbeispiel siehe Dobrinski, Aufgaben zu Kapitel 1.1.4.1)
Die resultierende Geschwindigkeit des Schiffs ergibt sich durch

vektorielle Überlagerung der Strömungsgeschwindigkeit v Strömung

der Flussströmung und der Eigengeschwindigkeit v Schiff des
Schiffs.
Man erhält:
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


vRe s  vSchiff  vStrömung
Bild 1.11: Schiff in
Flussströmung
(konstante
Geschwindigkeiten)
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Merksatz:
Man kann Wege, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen mit Vektoren derselben
physikalischen Größe überlagern, d.h. vektoriell addieren. Es gilt
Überlagerung von Vektoren = vektorielle Addition
Wir benutzen zur Zerlegung komplexer Bewegungen das rechtshändige kartesische Koordinatensystem, die unabhängigen Bewegungen zeigen in Richtung dieses Koordinatensystems. Wir
behandeln die ungestörte Überlagerung von Bewegungen am Beispiel von Wurfbewegungen.
Und beschränken uns dabei auf 2 unabhängige Bewegungsrichtungen, die waagerechte
Bewegung in x-Richtung und die senkrechte Bewegung in z-Richtung.
VERSUCH „Waagerechter Wurf“:
Kugel 1: Durch die waagerechte Anfangsgeschwindigkeit v0x erhält sie eine konstante
waagerechte Geschwindigkeit v0x durch die nach unten gerichtete Fallbeschleunigung g erhält sie eine linear mit der Zeit zunehmende senkrechte
Geschwindigkeitskomponente vz.
Kugel 2: Unterliegt ausschließlich dem freien Fall und der Beschleunigung durch die
Fallbeschleunigung g.
Ergebnis des Versuchs:
Beide Kugeln treffen gleichzeitig auf dem Fußboden auf. Die waagerechte und
die senkrechte Bewegung beeinflussen sich gegenseitig nicht
Dieses Ergebnis ist unabhängig vom Betrag der Geschwindigkeit vw.
Folgerung aus dem Versuch:
Wurfbewegungen können als Überlagerung einer geradlinig gleichförmigen waagerechten
 
Bewegung in x-Richtung s x  v0 x  t und einer gleichmäßig beschleunigten senkrechten


Bewegung s z  v0 z  12 a z  t 2 in z-Richtung dargestellt werden. Es gelten die Vektorgleichungen
1 2


s (t )  v0  t 
a t
2



v (t )  v0  a  t
(Gl. 1.20)
I.4.1.1 Waagerechter Wurf
 x-Richtung: Da Reibungseinflüsse nicht betrachtet werden, bleibt die waagerechte Bewegung
erhalten. Es handelt sich um eine gleichförmige Bewegung.
 y-Richtung: kann vernachlässigt werden, da jede Wurfbewegung als 2-dimensionale Bewegung
darstellbar ist.
 z-Richtung: Es wirkt in z-Richtung die Fallbeschleunigung senkrecht nach unten. Es handelt sich
um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, d.h. die senkrechte Geschwindigkeit nimmt
linear mit der Zeit zu.
 Die Auftragung des vx-vy-Diagramms mit der Zeit t als Parameter ist in 2-dimensionaler
darstellung in Bild 1.12 dargestellt, das entsprechende sx-sy-Diagramm findet man in Bild 1.13.
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Die kinematischen Größen in vektorieller Darstellung
(waagerechter Weg sW in Bild 1.12 entspricht sx, senkrechter Weg sS nach unten entspricht sz):
 Beschleunigung:
ax  0
 ax   0 

  

a   a y    0   a y vernachlässigt
a   g 
az   g

 z 
 eschwindigkeit
v x  v0
 v x   v0 

  

v   v y    0   v y vernachlässigt
 v    gt 
v z   gt

 z 
Der Körper befindet sich während der Wurfbewegung auf der parabelförmigen Wurfbahn.
Die Geschwindigkeitsvektoren liegen in jedem
Punkt tangential zur Wurfbahn.
Folgerung:
Die Geschwindigkeit ändert sich beim waagerechten Wurf nach Betrag und Richtung.
 Beschleunigung:
Bild 1.12: v-t-Diagramm des waagerechten Wurfs
als Beispiel für die ungestörte Überlagerung von
Bewegungen (Grafik aus [1])
ax  0
 ax   0 
  


a   a y    0   a y vernachlässigt
a   g 
az   g
 z 

 Weg
s x  v0  t
 s x   v0  t 

  

s   s y    0   s y vernachlässigt
 s    1 gt 2 
 z  2
s z   12 gt 2

Der Körper befindet sich während der Wurfbe
wegung jeweils an der Spitze des Vektors s ( t ) .
Folgerung:

Der Ortsvektor s ( t ) des geworfenen Körpers
dreht sich mit fortschreitender Zeit immer mehr
in die senkrechte Richtung, der Betrag wächst
mit der Zeit.
Bild 1.13: Waagerechter Wurf in vektorieller Darstellung durch
Zerlegung in eine waagerechte und eine senkrechte
Bewegungskomponente (Grafik aus [1])
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Zusammenfassung der Formeln für den waagerechten Wurf:
Wegvektor in normaler Vektorschreibweise:



sx (t )  v0 x  t  v0 x  t  ex



sz (t )  12 g  t 2   12 g  t 2  ez





s (t )  sx (t )  sz (t )  v0 x  t  ex  12 g  t 2  ez
(Gl. 1.21a)
Wegvektor in Spaltenvektorschreibweise:
 v0 x  t 
 s (t ) 


s (t )   x    1
2 
 s z (t ) 
  2 g t 
(Gl. 1.21b)
Resultierender Geschwindigkeitsvektor in Spaltenschreibweise:
 v (t )   v 

v (t )   x    0 x 
 vz (t )    g  t 
(Gl. 1.22)
Beispiel: Waagerechter Wurf einer Kugel
Ausgangspunkt: Kugel (punktförmig) wird mit v0x = 3 m/s
horizontal weggeschleudert.
Gesucht sind:
a) Aufprallzeit tA der Kugel auf den Fußboden, der 1,25 m
tiefer liegt (szA = - h = -1,25 m)
b) Wurfweite w der Kugel
c) Betrag der Momentangeschwindigkeit beim Aufprall
d) Aufprallwinkel 
Lösung: s-t-Diagramm
a)
 v0 x  t 
 s (t ) 


s (t )   x    1
2 
 s z (t ) 
  2 g t 
 v (t )   v 

v (t )   x    0 x 
 vz (t )    g  t 

b)
c)
 v0 x  t A 

s (t A )   1
2 

  2 g  tA 
1
h   g t A2
2
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2h
g
v z (t A )   g  t A   4,91
v x (t A )  3
d)
 tA 
m
s
 w
 
  h
m
s 



vx
vz
v0 x  t A w
 12 g  t A   h
2
 t A  0,5 s
v
v
   arctan x
 vz
   arctan0,61  31,42
tan( ) 

4,9 2 32
w  v0 x  t A  1,5 m
m
m
 5,75
s
s



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I.4.1.2 Senkrechter Wurf
Es gilt




v0   a oder v0   a
. Die kinematischen Größen in vektorieller Darstellung:
1. Möglichkeit: “Senkrechter Wurf nach unten“




v0   a bzw. v0   g
Es gilt
 Beschleunigung:
 ax   0 

  

a   ay    0  
a   g 

 z 
ax  0
a y vernachlässigt
az   g
 Geschwindigkeit
vx  0
0

 vx  

  

0
v   vy   
  v y vernachlässigt
 v    v  gt 
v z   v0  gt

 z  0
 Weg
sx  0
0

0 

  

s  0 
0
 
2


s 
1
 z    v0t  2 gt 
s y vernachlässigt
s z   v0t  12 gt 2
Bild 1.14: senkrechter Wurf nach unten
(Grafik aus [1])
2. Möglichkeit: “Senkrechter Wurf nach oben“




Es gilt v0 a bzw. v0  g
 Beschleunigung:
 ax   0 
  


a   ay    0  
a   g 
 z 

ax  0
a y vernachlässigt
az   g
 Geschwindigkeit
vx  0
 vx   0 
  



v   vy    0 
v y vernachlässigt
 v   v  gt 
v z  v0  gt
 z  0

 Weg
0

0 

  

s  0 
0
 
2
 s   v t  1 gt 
 z  0 2

sx  0
s y vernachlässigt
s z  v0 t  12 gt 2
Bild 1.15: Senkrechter Wurf nach oben
(Grafik aus [1])
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Beispiel: Berechnung der maximalen Steighöhe beim senkrechten Wurf nach oben:
Es sei smax die maximale Steighöhe, tmax die Zeit, die der Körper bis zur maximalen Steighöhe
benötigt.

1. Bedingung: smax
2
v0  t max  21 g t max
v (t max ) 
v0  g t max 
v
 t max  0
g
2. Bedingung:
0
Damit erhält man für die maximale Steighöhe
(entspricht dem Bremsweg bei Bremsbeschleunigung g):
v02
v02

g
2g
smax 

smax 
v02
2g
(Gl. 1.23)
I.4.1.3 Schräger Wurf


v0 und g ist beliebig

Die Anfangsgeschwindigkeit v0 bleibt nach Betrag und Richtung erhalten. Die senkrechte
Der Winkel zwischen
Geschwindigkeitskomponente wächst proportional zur Zeit t an. Es gilt

 
v (t )  v 0  g  t

s (t ) 
1

v0  t  g  t 2
2
(Gl. 1.24)
Bild. 1.16: Darstellung der Flugbahn beim „schiefen Wurf“ mit den
Geschwindigkeitsvektoren zu unterschiedlichen Zeitpunkten (Grafik aus [1])
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Die Zerlegung des Vektors der Anfangsgeschwindigkeit liefert für die x- und die z-Komponente
folgende Beträge:
v0 x  v0  cos( )
(Gl. 1.25)
v0 z  v0  sin( )
Damit ergeben sich die kinematischen Größen in vektorieller Darstellung:
 ax   0 
  


a   ay    0  
a   g 
 z 

ax  0
a y vernachlässigt
az   g
 Geschwindigkeit
v x  v0  cos 
 v x   v0 x   v0  cos  
  
 


v  vy    0   
0
  v y vernachlässigt
 v   v  gt   v  sin    gt 
v z  v0  sin    gt
 z   0z
  0

 Weg
v0 x  t
v0  cos   t
 

 sx  
 

  

s   sy   
0
0

 
2
2
 s   v  t  1 gt   v  sin    t  1 gt 
 z   0z
2
2
  0

s x  v0  cos   t
s y vernachlässigt
s z  v0  sin    t 
1
2
gt 2
Beispiel: Berechnung der Wurfweite beim schrägen Wurf unter dem Winkel  gegen die
Horizontale:
Festlegung: Es sei tw die Wurfzeit, w die Wurfweite.
Bedingung: Der Körper hat in waagerechter Richtung dann seine Wurfweite erreicht, wenn er in
senkrechter Richtung auf seine Ausgangshöhe zurückgekehrt ist.
s y  v0 sin( )  t w  12 gtw2  0
 tw  0 oder t w 
2  v0 sin( )
g
(Gl. 1.26)
Damit erhält man für die Wurfweite
w  v0 cos( )  t w 
2v02 cos( )  sin( )
g
Mit der trigonometrischen Formel
w 
2 cos( )  sin( )  sin(2 )
ergibt sich
2v02 cos( )  sin( ) v02  sin(2 )

g
g
Die Wurfweite hat unter Vernachlässigung von Reibungsverlusten ihr Maximum bei einem Winkel
gegen die Waagerechte von  = /4 = 45.
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Berechnung der Bahnkurve z = f(x) des „waagerechten Wurfs“ :
x  v0 t  t 
 z  z0 
1
2
x
v0
g t 2  z0 
g 2
x
2 v02
(Gl. 1.27)
Folgerung:
Die Funktion z = f(x) weist die allgemeine Form einer quadratischen Funktion z = px2 + q auf. Der
Graph ist demnach eine Parabel. Dies gilt auch für den schiefen Wurf. Man spricht daher
allgemein von einer Wurfparabel.
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II Kinematik der Drehbewegung
II.1 Radiusabhängige Größen der Kreisbewegung
Ein Massenpunkt bewege sich auf einer Kreisbahn mit
dem Radius r.
Definition:
Der Betrag der Bahngeschwindigkeit ist das Verhältnis aus dem auf der Kreisbahn zurückgelegten Weg
s und der dafür benötigten Zeit.
Definition:
Der Momentanwert des Betrags der Bahngeschwindigkeit ist festgelegt als
v  lim
t  0
ds
s

 s
dt
t
Bild. 2.1: Kreisbewegung und Bahngeschwindigkeit (Grafik aus [1])
(Gl. 2.1)
dabei ist s der zurückgelegte Weg auf der Kreisbahn.
Definition:
Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist der Momentanwert des Betrags der Bahngeschwindigkeit konstant, d.h. es gilt
v  s  const
Bemerkung:
 Bei der geradlinig gleichförmigen
 Bewegung gilt:
 der Geschwindigkeitsvektor v ist nach Betrag und Richtung konstant
 Bei der gleichförmigen Kreisbewegung gilt:
 der Betrag des Geschwindigkeitsvektors v ist konstant, die Richtung ändert sich
jedoch ständig.
Folgerung:
Da sich die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ständig ändert, handelt es sich bei der
gleichförmigen Kreisbewegung trotz konstanten Betrags der Geschwindigkeit um eine
beschleunigte Bewegung!
Definition:
Die verallgemeinerte Definition der Beschleunigung als Vektor lautet:


dv
v


a  lim

 v
t  0 t
dt
(Gl. 2.2)
Da sich bei der gleichförmigen Kreisbewegung nur die Richtung, jedoch nicht der Betrag der
Geschwindigkeitsvektors ändert, ist ein Beschleunigungsvektor gesucht, der den Betrag der
Geschwindigkeit nicht ändert.
Definition:

Die Radialbeschleunigung a r ist definiert als:


dv
v


ar  lim

 v bei v  const
t  0 t
dt
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(Gl. 2.3)
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Folgerung:
Es sind jetzt Betrag und Richtung der Radialbeschleunigung zu bestimmen.
 Betrag
Für kleine Zeiten t gilt
s
r
v

 v 
v

sv
r

v
sv
s v


t
t r
t r
s v
s
v
v2
 lim

t  0  t r
r t 0  t
r
ar  lim
 Richtung
Eine solche Beschleunigung, die den Betrag der Geschwindigkeit nicht ändert, muss zu jedem
Zeitpunkt senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor stehen. Es gilt also immer:
 
ar  v


Da a r immer senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor v steht, ist a r immer radial auf den
Kreismittelpunkt gerichtet (daher Radialbeschleunigung).
Zusammenfassung:

Die Radialbeschleunigung a r der Kreisbewegung
 ist immer radial auf den Kreismittelpunkt gerichtet,
 

 steht immer senkrecht auf vr , d.h. es gilt immer a r  v und
 hat den Betrag
ar
v2

r
Es gilt also
a r  ar 
v2
r
(Gl. 2.4)
VERSUCH „Winkelrad“:
Demonstration der gleichförmigen Kreisbewegung am Winkelrad
Beispiel:
Eine Astronautenschleuder zum Training von Astronauten
besitzt einen Radius von r =5 m. Wie groß ist die
Bahngeschwindigkeit v, wenn eine Radialbeschleunigung
von 8g erzeugt werden soll?
v2
8g 
r

v 
8 g r  19.81
m
s
Problem:
Die Bahngeschwindigkeit ist eine radiusabhängige Größe,
d.h. verschiedene Punkte einer rotierenden Scheibe besitzen
unterschiedliche Bahngeschwindigkeiten
rA < rB  sA < sB  v A < vB
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Bild. 2.2: Kreisbewegung und
Winkelgeschwindigkeit
(Grafik aus [1])
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Abhilfe:
Es müssen radiusunabhängige Größen definiert werden, die unabhängig vom radialen Abstand
vom Mittelpunkt die Kreisbewegung beschreiben. Dies sind
- als radiusunabhängige Weggröße der überstrichene Winkel 
- als radiusunabhängige Geschwindigkeitsgröße die Winkelgeschwindigkeit  sowie
- als radiusunabhängige Beschleunigungsgröße die Winkelbeschleunigung .
II.2 Gleichförmige Kreisbewegung
Definition:
Die Drehzahl n ist definiert als Quotient aus der Zahl der Umdrehungen N und der dafür benötigten Zeit t :
n 
N
t
(Gl. 2.5)
Bemerkungen:
1. Da es sich um eine auf die Zeit bezogene physikalische Größe handelt, müsste die Drehzahl
eigentlich Drehfrequenz heißen.
2. Die Einheit der Drehzahl ist 1/s oder Hz.
3. Für gleichförmige Kreisbewegungen gilt n = const.
Für alle nachfolgenden Formeln ist eine gleichförmige Kreisbewegung unterstellt, d.h. es gilt die
Beziehung n = const.
Definition:
Die Umdrehungsperiode T ist diejenige Zeit, die für eine Umdrehung gebraucht wird.
Folgerungen:
1. Mit der Umdrehungsperiode T folgt für die Drehzahl n = const
n 
1
T
(Gl. 2.6)
2. Für den Zusammenhang zwischen Drehzahl n und Bahngeschwindigkeit v gilt, falls die
Drehzahl n = const
v 
2 r
 2  r n bei n  const
T
(Gl. 2.7)
Beispiel:
Eine LP dreht sich mit einer Drehzahl von n = 33 1/min. Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit v in
einem radialen Abstand von r = 10 cm vom Mittelpunkt?
v  2 r n  2 0.1 m 
m
33 1
 0.345
s
60 s
Vorbemerkung:
Als radiusunabhängige physikalische Weggröße dient derjenige Winkel, den der Strahl vom
Kreismittelpunkt zum Massenpunkt überstreicht. Dieser Strahl wird auch Fahrstrahl genannt.
09.04.2014
Skript Expphy 1 V9-14
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Seite 28
Definition:
Die Winkelgeschwindigkeit  ist definiert als das Verhältnis des überstrichenen Winkels  zur
benötigten Zeit t. Die momentane Winkelgeschwindigkeit ist:

d

 
t  0  t
dt
  lim
(Gl. 2.8)
Folgerungen:
1. Die physikalische Größe Winkelgeschwindigkeit ist unabhängig vom Radius der Kreisbahn.
2. Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist 1/s, wobei der Winkel im Bogenmaß eingesetzt
werden muss.
3. Für die gleichförmige Kreisbewegung gilt     const
4. Zusammenhang zwischen Drehzahl n und Winkelgeschwindigkeit , falls die Drehzahl
n = const :

2
 2 n bei n  const
T
(Gl. 2.9)
5. Zusammenhang zwischen Bahngeschwindigkeit v und Winkelgeschwindigkeit :
v
2 r
 r
T
(Gl. 2.10a)

v
r
(Gl. 2.10b)
6. Zusammenhang zwischen Radialbeschleunigung ar und Winkelgeschwindigkeit :
v2
 2r
r
(Gl. 2.11)
N 1 
v
 

t T 2 2 r
(Gl. 2.12a)

2
v
 2 n 
T
r
(Gl. 2.12b)
v
2 r
 2 rn    r
T
(Gl. 2.12c)
ar 
Zusammenfassung:
n
ar 
09.04.2014
v2
 2r
r
(Gl. 2.12d)
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II.3 Ungleichförmige Kreisbewegung
Beispiel:
Die Kurbelwelle eines Motors ändert ihre Drehzahl vom Stillstand bis zur Enddrehzahl.
Definition:
Bei einer ungleichförmigen Kreisbewegung ändern sich Bahngeschwindigkeit und
Winkelgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit.
Definition:
Die momentane Bahnbeschleunigung (Tangentialbeschleunigung) ist festgelegt als das
Verhältnis aus der Änderung der Bahngeschwindigkeit und der benötigten Zeit
v dv

 v
t0 t
dt
at  lim
(Gl. 2.13)

Die Richtung der Bahnbeschleunigung at ist tangential zur Kreisbahn und damit immer

senkrecht zu a r .
Definition:
Die momentane Winkelbeschleunigung ist festgelegt als das Verhältnis aus der Änderung der
Winkelgeschwindigkeit und der benötigten Zeit
 d

 
t0 t
dt
  lim
(Gl. 2.14)
Folgerungen:
   
v
1. Wegen   und r = const gilt :
r
v
r
(Gl. 2.15)
2. Einheit der Winkelbeschleunigung: 1/s2 (Winkel muss im Bogenmaß eingesetzt werden).
3. Für den Zusammenhang zwischen Winkelbeschleunigung  und Bahnbeschleunigung at gilt :
at 
dv d (r )
d

 r
 r
dt
dt
dt
(Gl. 2.16)
Zusammenfassung:
Die Bahnbeschleunigung (Tangentialbeschleunigung)

at der Kreisbewegung
 ist immer tangential zur Kreisbahn gerichtet,

 steht immer parallel zu v ,




d.h. es gilt immer at   v oder a t  v ,

 steht immer senkrecht auf ar ,
 
d.h. es gilt immer at  ar und
 hat den Betrag
09.04.2014
ar  r 

Bild 2.3: Zerlegung der Beschleunigung a

in die Tangentialbeschleunigung at und

die Radialbeschleunigung a t
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Zusammenhang zwischen den Bahngrößen und den Winkelgrößen:
Die Beziehung zwischen dem auf der Kreisbahn zurückgelegten Weg und dem überstrichenen
Winkel (im Bogenmaß) lautet:
s  r
(Gl. 2.17)
Die Beziehung zwischen der Bahngeschwindigkeit und der Winkelgeschwindigkeit lautet
(siehe Gl. 2.10):
v  r
(Gl. 2.18)
Die Beziehung zwischen der Tangentialbeschleunigung und der Winkelbeschleunigung lautet
(siehe Gl. 2.16):
at  r
(Gl. 2.19)
Damit ergibt sich insgesamt folgende Merkregel:
Bahngröße = Winkelgröße  Radius
Winkelgröße = Bahngröße / Radius
II.3.1 Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung
Definition:
Eine Kreisbewegung heißt gleichmäßig beschleunigt, wenn die Momentanwerte der Winkelund Bahnbeschleunigung konstant sind. Dann gilt
at  const und   cons
Folgerungen:
1. In Analogie zu den Gesetzen der geradlinigen gleichmäßig beschleunigten Bewegung gilt für
die Abhängigkeit der Bahn- und Winkelgeschwindigkeit von der Zeit v  t und   t.
v(t )  v0  at t
(t )  0   t
(Gl. 2.20a, 2.20b)
2. Aus Gleichung 2.18b folgt durch Division durch 2
(t ) 0 


t
2
2 2
n(t )  n0 

t
2
(Gl. 2.21)
(Gl. 2.22)
3. Befindet sich er Körper zur Zeit t = 0 in Ruhe, so gilt für die Anfangsbedingungen
(Integrationskonstanten) v0 = 0 = n0 = 0
09.04.2014
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Seite 31
3
4. In Analogie zu den Gessetzen der g
geradlinigen gleichmäßig
g beschleunnigten Bewe
egung gilt fü
ür
die Abhäng
gigkeit der auf der Kreis bahn zurück
kgelegten Weg
W s und ddem vom Radiusvektor
überstrichen
nen Winkel  :
s(t )  s0  v0  t  12 at t 2
(Gl. 2.23a)
(t )  0  0 t  12  t 2
(Gl. 2.23b)
5. Aus Gleichung 2.20b folgt
f
durch Division durrch 2:
N (t )  N0  n0 t 

(t) 0 00


t   t 2
2
2 2
4
 2
t
4
(Gl. 2.24)
Zusa
ammenfassung:
Geschwin
ndigkeits-Ze
eit-Gesetze
e
Weg
g-Zeit-Geseetze
v(t )  v0  at t
s(t )  s0  v0  t 
(t )  0   t

n((t )  n0 
t
2
(t )  0  0  t  12  t 2
 2
t
N (t )  N0  n0 t 
4
1
2
at  t 2
Beisp
piel:
Ein Motor bescchleunigt au
us dem Stillsstand herauss gleichförm
mig und maccht dabei inn
nerhalb eineer
0 s N = 250 Umdrehung
gen. Wie grroß ist die Drrehzahl nach
ch 10 s ?
Zeit von t = 10
ng: Wegen n0 = 0 gilt : N (t ) 
Lösun
4 N
 2
1
t    2  10
0 2
4
t
s
 n 

1
t  50
2
s
(t) - u
und (t)-Dia
agramme
Billd 2.4: (t)-D
Diagramm einer gleichmäß
ßig
beschleun
nigten Kreisbe
ewegung
(Diaagramm aus [1])
[
09.04.2014
Bild 2.5: (t)-Diagram
mm einer gle
eichmäßig
besschleunigten Kreisbewegu
ung
(Diagram
mm aus [1])
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II.3.2 Kennzeichnung des Drehsinns
Vorbemerkung:
Die Kennzeichnung des Drehsinns durch „links bzw. rechts herum“ oder „Uhrzeigersinn“ bzw.
„Gegenzeigersinn ist abhängig vom Standort des Beobachters und damit nicht eindeutig.
Abhilfe:
Die physikalischen Größen Winkelgeschwindigkeit  und Winkelbeschleunigung  bekommen
zusätzlich zum Betrag noch eine Richtung.
Definition:


Die Winkelgeschwindigkeit  und die Winkelbeschleunigung  sind Vektoren.

Winkelgeschwindigkeit  :

Betrag:  

d
dt
 Richtung:  steht senkrecht auf der Drehebene, die Richtung ist bestimmt durch die
Rechtsschraubenregel.

Winkelbeschleunigung  :
 Betrag:  

d
dt


 Richtung:  liegt immer parallel zu  , da es die Richtung von  nicht verändert.


 Liegt  parallel zu  , so handelt es sich um eine beschleunigte Bewegung,


 liegt  antiparallel zu  , so handelt es sich um eine verzögerte Bewegung
Bild 2.6:
Festlegung der Richtung des Drehsinns
und damit der Richtung des Vektors der
Winkelgeschwindigkeit (Grafik aus [1])
VERSUCH „Winkelrad“:
Demonstration der Richtung der Winkelgeschwindigkeit am Winkelrad
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Zusammenfassung der wichtigsten Formeln der Kinematik der Kreisbewegung:
Gleichförmige Kreisbewegung
at  0
Ungleichförmige Kreisbewegung
at  v
v  const
   


v2
ar 
ar  v
r
2 r
v
 2 rn
T
2

 2 n
T
v  r
v
r
at    r
s  r
Falls  = const (at = const)
(t )  0   t
 (t )  0  0 t  12  t 2
ar    r
2
Zusammenfassende Darstellung der wichtigsten Formeln der Kinematik
(Vergleich der geradlinigen mit der kreisförmigen Bewegung):
Geradlinige Bewegung
Kreisbewegung
Weggröße s
Weggröße Winkel 
Geschwindigkeitsgröße v 
Beschleunigung a 
ds
dt
dv
dt
Gleichförmige Bewegung
d
dt
Winkelbeschleunigung  
d
dt
Gleichförmige Kreisbewegung
v = const
 = const
s(t )  s0  v t
 (t )  0   t
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
09.04.2014
Geschwindigkeitsgröße  
Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung
a  const
  const
v(t )  v0  at t
(t )  0  t
s(t )  s0  v0 t  12 a t 2
 (t )  0  0 t  12  t 2
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III Dynamik der geradlinigen Bewegung
Bisher:
Kinematik = Beschreibung der Bewegung ohne Frage nach der Ursache
Jetzt:
Dynamik = Beschreibung der Ursachen von Bewegungen
Vorbemerkung:
Die Newton’schen Axiome besitzen grundlegende Bedeutung für alle Bereiche der Physik.
Definition:
Ein Axiom ist ein nicht beweisbarer grundlegender Lehrsatz.
III.1 Erstes Newtonsches Axiom
Erfahrung:
Jeder Körper, der sich bewegt, verändert seine Bewegung durch äußere Einflüsse wie z.B.
Reibung, Massenanziehung o.ä.. Das 1. Newtonsche Axiom formuliert den theoretischen und
idealisierten Fall, dass diese äußere Beeinflussung völlig fehlt.
1. Newtonsches Axiom:
Ein Körper verharrt ohne äußere Beeinflussung im Zustand der Ruhe oder der geradlinig
gleichförmigen Bewegung.
Bemerkung:
Das 1. Newtonsche Axiom ist nicht beweisbar, da ein Zustand der völlig fehlenden äußeren
Beeinflussung nicht herstellbar ist.
III.2 Zweites Newtonsches Axiom
Vorbemerkung:
Körper ändern ihren Bewegungszustand aufgrund äußerer Ursachen (Beschleunigung aus der
Ruhe, Änderung des Geschwindigkeitsvektors nach Betrag und Richtung).
Definition:
Die Ursachen für Änderungen des Bewegungszustands nennt man Kräfte (Symbol F).
Gesucht: Messverfahren für die Kraft F durch Kräftevergleich.
Definition:
Verursachen zwei Kräfte F1 und F2 an demselben Körper die Beschleunigungen a1 und a2, so soll
gelten:
F1 a1

F2 a2
bei m  const
(Gl. 3.1a)
Folgerung:
Bei einem unveränderten beschleunigten Körper gilt
aF
09.04.2014
(Gl. 3.1b)
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VERSUCH „Fahrbahn Teil 1“:
Konstante Kräfte werden durch Massenstücke und die Massenanziehung der Erde
erzeugt.
Konstante Kraft  konstante Beschleunigung
 gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Aus s0 = v0 = 0 folgt
s(t )  12 at 2  a 
2s
t2
Teil 1: Es bleiben konstant: Masse des Wagens
Es werden verändert: Antreibskraft und Weg
Kraft F1
Weg s
in m
Zeit t1
in s
Kraft F2
Beschl. a1
in m/s2
Weg s
in m
Zeit t2
in s
Beschl. a2
in m/s2
Ergebnis des Versuchs Teil1:
1.Die Beschleunigungen a1 und a2 sind je Teilversuch im Rahmen der Versuchsgenauigkeit konstant
2.Da die Beschleunigung a2 bei F2 doppelt so groß ist wie die Beschleunigung a1
bei Kraft F1, so gilt wegen F  a, dass die Kraft F2 doppelt so groß ist wie F1.
3. Aus a2 = 2 a1, folgt F2 = 2 F1
Erfahrung:
Es erfordert mehr Kraft, eine dicke „schwere“ Stahlkugel in Bewegung zu setzen als einen
„leichten“ Tennisball.
Definition:
Die Eigenschaft eines Körpers, sich Änderungen des Bewegungszustands zu widersetzen, nennt
man Beharrungsvermögen, Trägheit oder träge Masse (Symbol m).
Folgerung:
Eine dicke „schwere“ Stahlkugel besitzt eine größere träge Masse als ein „leichter“ Tennisball.
Gesucht: Messverfahren für die träge Masse m durch Massenvergleich.
Definition:
Verursacht eine Kraft F an zwei verschiedenen Körpern mit den Massen m1 und m2 die
Beschleunigungen a1 und a2, so soll gelten:
a1 m2

a2 m1
bei F  const
(Gl. 3.2a)
Folgerung:
a  1/m
09.04.2014
(Gl. 3.2b)
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VERSUCH „Fahrbahn Teil 2“:
Eine konstante Kraft wird durch Massenstücke und die Massenanziehung der Erde
erzeugt.
Konstante Kraft  konstante Beschleunigung
 gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Aus s0 = v0 = 0 folgt
s(t )  12 at 2  a 
2s
t2
Teil 2: Es bleiben konstant: Antriebskraft
Es werden verändert: Masse des Wagens und Weg
Masse m1
Weg s
[m]
Zeit t1
[s]
Beschl. a1
[m/s2]
Masse m 2
Weg s
[m]
Zeit t2
[s]
Beschl. a2
[m/s2]
Ergebnis des Versuchs Teil2:
4. Die Beschleunigungen a1 und a2 sind je Teilversuch im Rahmen der Versuchsgenauigkeit konstant
5. Da die Beschleunigung a2 bei m2 halb so groß ist wie die Beschleunigung a1 bei
Masse m1, so gilt wegen m  1/a, dass die Masse m2 doppelt so groß ist wie
die Masse m1.
6. Aus a2 = 0,5 a1, folgt m2 = 2 m1
Folgerungen:
1. Aus der Definition des Zusammenhangs zwischen träger Masse m und Beschleunigung a folgt
allgemein
m 
1
a
2. Beim Vergleich verschiedener träger Massen kommt es ausschließlich auf die erzielte
Beschleunigung an, und nicht auf das Volumen, das Material o.ä.
3. Statt „träger Masse“ benutzt man meist den Begriff Masse, wobei mit der physikalischen
Größe Masse außer der Trägheit noch weitere Phänomene verbunden sind (Massenanziehung, E=mc2)
Zusammenfassung:
Die vereinbarten Vergleichsverfahren für Kraft und Masse können zusammengefasst werden. Aus
a  F bei m = const und a  1/m bei F = const wird
2. Newtonsches Axiom:
Die Kraft ist proportional zum Produkt Masse  Beschleunigung
F  ma
09.04.2014
(Gl. 3.4)
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III.3 Einheiten für Kraft und Masse
Durch geeignete Wahl der Einheiten für Kraft und Masse kann man erreichen, dass der
Proportionalitätsfaktor den Wert 1 annimmt. Aus Gleichung 3.4 wird dann:
F = ma
(Gl. 3.5)
SI-Einheitensystem:
Im internationalen Einheitensystem sind Basiseinheiten für physikalische Größen festgelegt.
Falls die Einheiten für Weg, Zeit und Masse festgelegt sind, kann man die Einheit für die Kraft F
mit dem Proportionalitätsfaktor 1 ableiten.
Basisgröße
Einheit
Länge
Zeit
Masse
Meter
Sekunde
Kilogramm
Definition:
Ein Kilogramm ist die Masse des Normalkörpers in Paris und entspricht mit minimalem
Unterschied der Masse von 1 dm3 Wasser bei 4 C.
Abgeleitete Einheiten:
1t =
1g =
1 mg =
1 g =
103 kg
10-3 kg
10-6 kg
10-9 kg
Definition:
Die Kraft ist im SI-Einheitensystem eine abgeleitete physikalische Größe mit der Einheit
1 N = 1 Newton.
1N= 1
kg m
s2
(Gl. 3.6)
Folgerung:
1 Newton (1 N) ist diejenige Kraft, die einen Körper der Masse 1 kg die Beschleunigung
1 m/s2 erteilt.
Gewichtskraft und Masse:
1. Die Fallbeschleunigung g besitzt als Ursache eine Kraft. Diese Kraft nennt man
Gravitationskraft oder Gewichtskraft FG.
2. Die Erde übt aufgrund ihrer Masse eine Anziehungskraft auf jeden Körper aus. Für die
Gewichtskraft FG gilt:
Aus g =
FG
m
folgt FG  m
FG = mg
09.04.2014
(Gl. 3.7)
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VERSUCH „Fallrohr“:
Alle Körper erfahren am gleichen Ort die gleiche Fallbeschleunigung g = 9,81 m/s2
Abweichungen (Vergleich Feder/Stahlkugel) sind durch Reibung bedingt. Im
evakuierten Glaskolben unterscheident sich die Fallbeschleunigung einer Feder
nicht wesentlich von der einer Stahlkugel.
Beispiel: Vergleich von Massen mit der Balkenwaage
Falls beide Hebelarme gleich lang:
 FGm = FGk
 m = mk
Falls beide Hebelarme ungleich lang:
 MGm = MGk
 m/b = mk/a
Bild 3.1:
Vergleich von Massen mit einer
Balkenwaage (Grafik aus [7])
Warnung:
Die physikalischen Größen Masse m und Gewicht(skraft) FG dürfen nicht verwechselt werden. Die
Masse stellt ein unveränderliches Maß für die Stoffmenge eines Körpers dar und wird mit der
Einheit kg angegeben. Das Gewicht (die Gewichtskraft ) hängt vom Betrag der
Fallbeschleunigung g ab und wird mit der Einheit N angegeben.
Definition:
Die Dichte  ist eine für einen bestimmten Stoff charakteristische Konstante und ist festgelegt als
das Verhältnis aus Masse m und Volumen V.

m
V
(Gl. 3.8)
III.4 Kräfte als Vektoren

Da die Beschleunigung a eine vektorielle Größe, die Masse m dagegen eine skalare Größe darstellt,

sind Kräfte als das Produkt m  a von Masse und Beschleunigung vektorielle Größen.
Additionsaxiom:
Greifen mehrere Kräfte an einem Körper an demselben Punkt an, so erhält man die resultierende
Kraft durch Vektoraddition.
09.04.2014
Skript Expphy 1 V9-14
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Beispiele:
1. Drei Kräfte greifen an einem Körper an.
Bild 3.2:
Resultierende Kräfte durch
Vektoraddition
2. Kräftezerlegung in einem Kran.


Fres und FG müssen sich das
Gleichgewicht halten !




Fres  F1  F2   FG
Bild 3.3:
Die Summe der Kräfte in den
Kranstützen halten der Gewichtskraft
das Kräftegleichgewicht (eigene Grafik)
3. Ein Körper wird schräg nach oben gezogen
Bild 3.4:
Zerlegung einer schräg nach oben
gerichteten Zugkraft in eine
waagerechte und eine senkrechte
Komponente (eigene Grafik)



Fres ist die vektorielle Summe aus der Zugkraft FZ und der Gewichtskraft FG . Es gilt



Fres  FZ  FG
Für die waagerechte Komponente der resultierenden Kraft gilt
Fw = FZ cos ()
Für die senkrechte Komponente der resultierenden Kraft gilt
Fs = FZ sin () - mg
09.04.2014
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Seite 40
Zahlenmäßige Berechnung des Beispiels 3:
Es seien  = 30 , Fz = 20 N, FG = 30 N
Fw =FZ cos () = 20 N 0.866 =17.32 N, Fs = FZ sin() - FG = 20 N0.5 -30 N = -20 N
Der Betrag der resultierenden Kraft beträgt
Fres 
Fw2  Fs2 = 26.46 N
Das Modell des Massenmittelpunkts
Bisher:
Jetzt:
Körper wurden als Massenpunkte ohne räumliche Ausdehnung behandelt. Diese
Abstraktion ist in vielen Fällen nützlich und üblich.
Statt einer punktförmigen Masse wird jetzt ein räumlich ausgedehnter Körper
angenommen, dessen Masse man sich in einem Punkt vereinigt denken kann.
Definition:
Der Massenmittelpunkt oder Schwerpunkt ist derjenige Punkt, in dem man den Körper
unterstützen muss, um bezüglich der angreifenden Gewichtskräfte Momentengleichgewicht zu
erreichen. Bei symmetrischen Körpern liegt der Schwerpunkt auf der Symmetrieachse.
Sonderfall:
Bei einem symmetrischen Körper liegt der Schwerpunkt auf der Symmetrieachse.
Folgerung:
In den folgenden Kapiteln wird angenommen, dass Kräfte immer im Schwerpunkt angreifen, so
dass die räumliche Ausdehnung der Körper ohne Bedeutung für das physikalische Problem ist. Ist
dies nicht der Fall, so wird ein Drehmoment erzeugt und führt zur Rotation des Körpers. Zur
Berechnung des Massenmittelpunkts siehe Mathematik II.
Berechnung des Massenmittelpunkts:
 xi 
  
Es sei ein System von Massenelemente mi (i=1..n) mit den Ortsvektoren ri   yi  gegeben.
z 
 i

Dann kann der Ortsvektor rS des Schwerpunkts S mit folgender Vektorgleichung bestimmt
werden:
n

 xS   mi  ri
 xi 


 

1 n
i 1
(Gl. 3.8)
rS   y S   n
 n
mi   yi 


1
i
z 
z 
 mi  mi
 S
 i
i 1
09.04.2014
i 1
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Seite 41
III.5 Drittes Newtonsches Axiom (actio = reactio)
VERSUCH „actio = reactio“:
Zwei Personen stehen auf Wagen, und
ziehen sich wechselseitig heran.
Ergebnis des Versuchs:
Die Wagen treffen sich immer in der Mitte,
unabhängig davon, wer von beiden Personen zieht.
Dieses Ergebnis tritt ein, wenn eine der beiden
Personen zieht oder wenn beide ziehen.
Bild 3.5: actio = reactio
(Grafik aus [1])
Folgerung des Versuchs:
An beiden Körpern müssen gleich große, entgegen gesetzte Kräfte wirken. Man nennt sie Kraft
und Gegenkraft oder Kraft- und Reaktionskraft. Die Gegenkraft existiert nur solange, wie die
ursprüngliche Kraft wirkt.
3. Newtonsches Axiom:
Die von zwei Körpern aufeinander ausgeübten Kräfte sind immer gleich groß und einander
entgegengesetzt.
Beispiel:
Der Ursprung der Gewichtskraft FG, die auf einen Menschen wirkt, liegt auf der Erde. Also
muss auf die Erde eine zur Gewichtskraft entgegengesetzt gleichgroße Kraft –FG wirken. Das
aber die Masse der Erde sehr viel größer als die Masse eines Menschen ist, tritt diese Kraft
nicht in Erscheinung.
In den folgenden Kapiteln werden Beispiele für Kräfte und ihre Gegenkräfte dargestellt.
VERSUCH: Schraubenfeder und Massestücke
Eine Masse m wird an eine Feder gehängt. Durch Dehnung der Feder entsteht eine neue
Ruhelage der Masse. Dies bedeutet nach dem 1. Newtonschen Axiom Kräftefreiheit, die
an der Masse angreifenden Kräfte heben sich gegenseitig auf.
 Die Gewichtskraft FG, die auf die Feder wirkt, erzeugt in der Federkraft FF eine
Gegenkraft, die mit wachsender Gewichtskraft und Federdehnung zunimmt.
 Zur Erzeugung der Gegenkraft muss sich die Feder elastisch verformen
09.04.2014
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Seite 42
III.5.1 Federkräfte und elastische Verformung
Erweiterung des Kraftbegriffs:
Kräfte sind Ursachen für Beschleunigungen und für Verformungen.
VERSUCH „Federkennlinie“:
Es werden verschiedene Massestücke an die Feder
gehängt und die zugehörigen Längenänderungen
abgelesen,
Wenn s die Federdehnung und F die Gewichtskraft
der angehängten Massestücke, so erhält man
Fs
 Die grafische Aufzeichnung des Zusammenhangs zwischen F und s ergibt eine Gerade.
Bild 3.6: elastische Federkräfte
(Grafik aus [1])
Folgerungen aus dem Versuch „Federkennlinie“:
1. Die Feder erzeugt eine Gegenkraft (Reaktionskraft) zur jeweiligen Gewichtskraft der
angehängten Körper. Diese Federkraft ist proportional zur Längenänderung der Feder.
2. Federn sind brauchbare Messgeräte zur Kraftmessung.
Definitionen:
Der Proportionalitätsfaktor zwischen Federkraft und Federdehnung heißt Federkonstante D.
D
F
s
Die grafische Darstellung der Funktion F(s) heißt Federkennlinie.
Für D = F/s gilt:
D ist größer für eine „harte“ Feder
D ist kleiner für eine „weiche“ Feder.
Anwendung des 3. Newtonschen Axioms auf die elastische
Federdehnung:
Das Massestück an der Feder befindet sich in Ruhe;
 nach dem 1. Newtonschen Axiom ist das Massestück
kräftefrei !
 nach dem 3. Newtonschen Axiom wirkt auf das
Massestück eine Gegenkraft, die die Gewichtskraft
kompensiert.
Folgerung:

Die Federkraft FF ist eine Gegenkraft zur Gewichtskraft



FG , d.h. es gilt immer FF   FG .
09.04.2014
Bild 3.7: Lineare Federkraftlinie
F = Ds (Grafik aus [1])
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Haussmann
PHYSIK
Seite 43
Lineares Kraftgesetz (Hookesches Gesetz):
Die Längenänderung der Feder ist der wirkenden Kraft proportional. Unter Berücksichtigung der
Richtung gilt für Federn das lineare Kraftgesetz in vektorieller Form:


F   D s
(Gl. 3.9)
Die Kraft ist immer der Auslenkung entgegengesetzt.
Folgerungen:
1. Die Feder ist ein geeignetes Kraftmessgerät. Die Kraft wird indirekt durch Umwandlung in eine
Federdehnung gemessen. Die Empfindlichkeit k dieses Messgeräts ist umso kleiner, je härter
die Feder ist. Man erhält
1
D
Der Längenmaßstab des „Feder-Kraftmessers“ kann direkt in der Krafteinheit Newton
beschriftet werden
2. Misst man mit einer Feder Gewichtskräfte und damit indirekt Massen, so spricht man von
Federwaagen.
3. Die Gewichtskraft ist im Gegensatz zur Masse ortsabhängig. Messungen auf dem Mond
ergeben
k 


FGMond  16 FGErde
Beispiel: Parallelschaltung von Federn
Zwei Federn werden parallel geschaltet. Eine typische Anwendung dafür ist die Abfederung einer
Autokarosserie durch je eine Feder an jedem Rad.



Es gilt: F  F1  F2 und s  s1  s2
 Ds  D1 s1  D2 s2  D1 s  D2 s

D  D1  D2
(Gl. 3.10)
Bild 3.8a: Parallelschaltung zweier Federn (Grafik aus [1])
VERSUCH „Parallelschaltung von Federn“:
Es werden zwei gleiche Federn parallel aufgehängt und mit einem Massestück belastet.
Man erhält die doppelte Federkonstante
 Durch Parallelschaltung von Federn erhöht sich die Federkonstante
09.04.2014
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Seite 44
Beispiel: Serienschaltung von Federn
Zwei Federn werden in Serie geschaltet.
D
D 
F
F
F
1



F
F
1
1
s
s1  s2


D1 D2
D1 D2
D1 D2
1

D1  D2
D1  D2
D1 D2
D 

D1 D 2
D1  D 2
(Gl. 3.11)
Bild 3.8b: Serienschaltung zweier Federn (Grafik aus [1])
VERSUCH „Serienschaltung von Federn“:
Es werden zwei gleiche Federn hintereinander aufgehängt und mit einem Massestück
belastet. Man erhält die halbe Federkonstante
 Durch Serienschaltung von Federn vermindert sich die Federkonstante
III.5.2 Reibungskraft
Reibungskräfte sind technisch von großer Bedeutung. In vielen Fällen sind sie erwünscht bzw.
notwendig (Verbindungstechnik, Bremsen), in vielen anderen Fällen sind die eher unerwünscht
(Energieverlust bei Bewegungen.)
 Haftreibung = Reibung der Ruhe und
 Gleitreibung = Reibung der Bewegung
Man unterscheidet
a) Haftreibung

Obwohl ein ruhender Körper mit einer Zugkraft FZ
beaufschlagt wird, bewegt er sich nicht. Nach dem 1.
Newtonschen Axion muss er daher kräftefrei sein. Die

'
Zugkraft FZ und die Haftreibungskraft FR als Gegenkraft halten sich das Kräftegleichgewicht. Es gilt

'
 FZ  FR  0

'
Bild 3.9: Kräftegleichgewicht durch
Haftreibung (eigene Grafik)
 FZ   FR

'
Zugkraft FZ und Haftreibungskraft FR sind immer
'
exakt entgegengesetzt gleich groß, bis eine maximal mögliche Haftreibungskraft FR max erreicht ist.
Überschreitet die Zugkraft diesen Wert, so setzt sich der Körper in Bewegung.
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VERSUCH „Haftreibungskraft Teil 1“:
Ein quaderförmiger Köper mit zwei unterschiedlichen Größen der Auflagefläche und unterschiedlichen Oberflächenbeschaffenheiten wird mit einer Zugkraft beaufschlagt. Die in Ruhe
maximal möglichen Zugkräfte FZ und damit FRmax werden ermittelt.
Haftreibungskräfte in N
Oberfläche groß
Oberfläche klein
Oberfläche glatt


Oberfläche rauh


VERSUCH „Haftreibungskraft Teil 2“:
Der quaderförmiger Köper wird bei vergleichbarer Auflagefläche (Größe und Beschaffenheit)
zusätzlich it einer Masse belastet, die seiner Eigenmasse entspricht.
Haftreibungskräfte in N
Masse m = 0,5 kg
Oberfläche
klein und glatt
Oberfläche
groß und rauh
Masse m = 1,0 kg




Folgerung:
Die maximal mögliche Haftreibungskraft ist von der Masse bzw. der Gewichtskraft abhängig.
Steht die Auflagefläche jedoch in einem Winkel zur Waagerechten, so wirkt nicht die gesamte
Gewichtskraft auf die Auflagefläche, sondern nur die Komponente senkrecht dazu. Man nennt
diese Komponente die Normalkraft FN.
Zusammenfassung des Versuchs:
'
Die Haftreibungskraft FR

 ist die Gegenkraft zur oberflächenparallelen Komponente der Zugkraft FZ ,
 dieser immer entgegengerichtet und
 bis zu einem maximal möglichen Wert F’Rmax betragsmäßig gleich.
Es gilt:
1. F’Rmax ist unabhängig von der Größe der Auflagefläche.
2. F’Rmax ist abhängig von der Oberflächenbeschaffenheit der Auflagefläche.
3. F’Rmax ist proportional zur Normalkraft FN.
4. Der Proportionalitätsfaktor ist die Haftreibungszahl ’. ’ ist abhängig von der Oberflächenbeschaffenheit der Auflagefläche. Es gilt
F ' R max  'FN
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(Gl. 3.7)
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Zahlenbeispiele für ‘:
 Stahl auf Holz: ‘ = 0.5 bis 0.6
Seite 46
 Gummi auf Asphalt: ‘  0,9
b) Gleitreibung
Ein Körper wird mit konstanter Geschwindigkeit
gezogen, er bewegt sich also geradlinig gleichförmig.
Nach dem 1. Newtonschen Axion muss er daher

kräftefrei sein. Die Zugkraft FZ und die Gleitrei-

bungskraft FR als Gegenkraft halten sich das Kräftegleichgewicht. Es gilt



 FZ  FR  0

 FZ   FR
Bild 3.10: Kräftegleichgewicht durch
Gleitreibung (eigene Grafik)
Bemerkung:
Eine gleichförmige Bewegung ist nur bei genau einer Zugkraft möglich, bei der gilt FZ = FR.
VERSUCH „Gleitreibungskraft“:
Der quaderförmiger Köper wird auf einer rotierenden Scheibe mit Hilfe einer sich
automatisch einstellenden Zugkraft in eine gleichförmige (Relativ-)Bewegung versetzt. Es
werden variiert:
1. Auflagefläche,
2. Oberflächenbeschaffenheit,
3. Geschwindigkeit und
4. Gewichtskraft bzw. Normalkraft
Zusammenfassung des Versuchs:

Die Gleitreibungskraft FR

 ist die Gegenkraft zur oberflächenparallelen Komponente der Zugkraft FZ und
 dieser immer entgegengerichtet. Es gilt:
1.
2.
3.
4.
5.
FR ist unabhängig von der Größe der Auflagefläche.
FR ist unabhängig von der Geschwindigkeit.
FR ist abhängig von der Oberflächenbeschaffenheit der Auflagefläche.
FR ist proportional zur Normalkraft FN.
Der Proportionalitätsfaktor ist die Gleitreibungszahl .  ist abhängig von der Oberflächenbeschaffenheit der Auflagefläche. Es gilt
FR    FN
(Gl. 3.8)
Zahlenbeispiele für :
Stahl auf Holz:  von 0.2 bis 0.5,
Gummi auf Asphalt:  von 0.85 bis 0.9
09.04.2014
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Seite 47
c) Rollreibung
Ein Körper rollt mit konstanter Geschwindigkeit, er bewegt sich also geradlinig gleichförmig.

Nach dem 1. Newtonschen Axion muss er daher kräftefrei sein. Die Zugkraft FZ und die

Rollreibungskraft FRR als Gegenkraft halten sich das Kräftegleichgewicht.


Es gilt  FZ  FRR  0
Ursachen für Rollreibung:
 Deformation des Rads
 Deformation der Fahrbahn
 Adhäsionskräfte zwischen Rad und Fahrbahn
 Gleitreibung in den Rädern
1. Ansatz für die Rollreibung:
Die Rollreibung ist ebenso wie Haft- und Gleitreibung proportional zur Normalkraft. Die Proportionalitätskonstante heißt Rollreibungszahl R.
FRR  R  FN
(Gl. 3.8)
2. Ansatz für die Rollreibung:
Räder mit größerem Radius R werden weniger deformiert und weisen damit eine kleinere
Rollreibung auf. Mit der Rollreibungslänge l gilt :
FRR 
f
F
R N
(Gl. 3.9)
Zahlenbeispiele für ‘R:
Stahl auf Stahl (Eisenbahn) : R  0.003
Gummi auf Asphalt:  R  0.025
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Seite 48
III.5.3 Trägheitskräfte
VERSUCH „Trägheitskugel“:
Eine Kugel hängt an einem Faden. Unten an der Kugel ist an einem
zweiten Faden ein Griff befestigt.
 Langsames Ziehen: Faden reißt oben.
 Schnelles ruckartiges Ziehen: Faden reißt unten
Erklärung des Versuchs:
Bei langsamem „quasistatischem“ Ziehen muss der obere Faden zusätzlich die Gewichtskraft der
Kugel halten und reißt daher als erstes. Bei ruckartigem Ziehen reißt der untere Faden, weil auf
den Faden von beiden Seiten Kräfte wirken. Die Kraft auf der Seite der Kugel kann nur durch die
Trägheit der Kugel erklärt werden.
Es gibt zwei Deutungsmöglichkeiten:
a) Beschreibung des Experiments aus der Sicht des ruhenden Beobachters:
Die Kugel bleibt bei dem Experiment trotz der ruckartig einsetzenden Kraft in Ruhe und wird

nicht beschleunigt. Das bedeutet, dass zur beschleunigenden Kraft Fa als Reaktionskraft die

Trägheitskraft FTr existiert, die die Wirkung der beschleunigenden Kraft aufhebt. Für die
Trägheitskraft gilt:
1. Der Betrag FTr entspricht dem der beschleunigenden Kraft Fa.

2. Die Trägheitskraft ist der beschleunigenden Kraft Fa entgegengerichtet.

FTr   ma
(Gl. 3.11)
VERSUCH „Körper auf Holzbrett mit Kraftmesseinrichtung“:
Auf Grund der Gleitreibung benötigt man für eine gleichförmige Bewegung eine konstante
Zugkraft. Will man den Körper beschleunigen, so erhöht sich die notwendige Zugkraft wegen
der Trägheit des Körpers, bremst man ihn ab, so vermindert sich die nötige Zugkraft.
Die Argumentation über Kraft und Reaktionskraft, die sich gegenseitig aufheben, trifft jetzt
nicht mehr zu. Sie kann aber beibehalten werden, wenn man die Beschreibung der Bewegung
in das mitbewegte Bezugssystem verlegt, denn dort ist der Körper in Ruhe und alle
angreifenden Kräfte müssen sich aufheben.
b) Beschreibung des Experiments aus der Sicht des mit beschleunigten Beobachters:
Die Kugel ruht im mit beschleunigten Bezugssystem. Sie ist dort kräftefrei, d.h. alle an ihr
angreifenden Kräfte heben sich gegenseitig auf. Die Scheinkraft, die das Kräftegleichgewicht

liefert, ist die Trägheitskraft FTr . Sie ist zu jeder Phase eines Bewegungsvorgangs so groß,
dass sie im bewegten Bezugssystem die übrigen wirkenden Kräfte kompensiert.
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Folgerung:
Im bewegten Bezugssystem gilt:



Fa  FTr  0
(Gl. 3.12)
Bemerkung:
Von Trägheitskräften spricht man in der Physik meist nur im beschleunigten Bezugssystem.
Befindet sich ein Beobachter in einem bewegten Bezugssystem, so fühlt er nicht die
beschleunigende Kraft, sondern die Trägheitskraft.
Das D’Alembertsche Prinzip:
In einem mit dem Körper mit beschleunigten Bezugssystem befindet sich dieser in Ruhe. Die
vektorielle Summe aller am Körper angreifenden Kräfte (einschließlich der Trägheitskraft!)
verschwindet:

F
i


 FTr  0
(Gl. 3.13a)
i
Mit Gleichung 3.11 folgt:

F
i
 
 ma  0
(Gl. 3.13b)
i
Vorteil des d’Alembertschen Prinzips:
Das Problem der Beschreibung eines bewegten Körpers wird auf eine statische Kräftegleichgewichtsbedingung zurückgeführt.
Beispiel für das d’Alembertsche Prinzip:
Der Beifahrer in einem scharf abgebremsten Pkw befindet sich relativ zur Karosserie in Ruhe,
solange er durch die Sitzreibung oder einen Gurt auf dem Sitz festgehalten wird. Er spürt nicht
die ursprüngliche Bremskraft, sondern die Trägheitskraft, da der Körper versucht, den
ursprünglichen Bewegungszustand beizubehalten.
Bewegungen verlaufen im Allgemeinen immer unter dem Einfluss verschiedener Kräfte. Es besteht
die Notwendigkeit, die vorkommenden Kräfte in verschiedene Gruppen einzuteilen:

1. Kräfte, die die Änderung eines Bewegungszustands bewirken, nennt man Antriebskräfte FA i
(Beispiel Gravitations- oder Schwerkraft).
2. Kräfte, die die Änderung eines Bewegungszustands behindern, nennt man Widerstandskräfte

FW i (Beispiel Reibung).

3. Trägheitskräfte FTr i
Folgerung aus der Einteilung der Kräfte in Gruppen:
Nach dem d’Alembertschen Prinzip gilt

F
Ai
i
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


  FW j   FTr k  0
j
k
(Gl. 3.14a)
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Gleichung 3.14a stellt man am besten so um, dass auf einer Seite diejenigen Kräfte stehen, die die
Änderung des Bewegungszustands verursachen, auf der anderen Seite diejenigen Kräfte, die sie
behindern:
 

 
F


F

F

i Ai
 W j k Tr k 
 j

(Gl. 3.14b)
Vereinfachung für den eindimensionalen Sonderfall:
Kann man das Bewegungsproblem in einer Dimension beschreiben, so gilt für die Beträge der
Kräfte:
F
Ai
i

F
Wj
j
  FTr k
k
(Gl. 3.15)
Bemerkung:
Als Antriebskräfte werden alle Kräfte bezeichnet, die positive Beschleunigungsanteile erzeugen im
Sinne einer nach vorne gerichteten Änderung des Bewegungszustands. Widerstandskräfte und
Trägheitskräfte erzeugen negative Beschleunigungsanteile und vermindern den nach vorne
gerichteten Betrag der Geschwindigkeit.
Bei einem reinen Bremsvorgang ohne Antrieb existiert keine Antriebskräfte. Die Reibungskräfte in
der Funktion der Widerstandskräfte erzeugen eine negative, der Fahrtrichtung entgegen gesetzte
Beschleunigung.


FAi  v0

 


FW i  v0 und FTri  a
Beispiel:
Ein mit der Geschwindigkeit v0 rollender Wagen
wird beschleunigt. Die Antriebskraft zeigt ebenso
wie die Geschwindigkeit nach rechts. Die resultierende Beschleunigung zeigt in dieselbe Richtung,
die Reibungskraft dient als Widerstandskraft.
Der mit der Geschwindigkeit v0 antriebslos dahinrollende Wagen wird jetzt abgebremst. Es gibt keine
Antriebskraft, die Bewegungsänderung wird durch
die Reibungskraft erzeugt. Die resultierende
Beschleunigung zeigt entgegen der Geschwindigkeit
v0 jetzt nach links. Eine mögliche noch immer
vorhandene Zugkraft vermindert den Betrag der
negativen Bremsbeschleunigung.
Heben sich Antriebskräfte und Widerstandskräfte
gerade auf, so entsteht eine gleichförmige
Bewegung ohne Beschleunigung.
Bild 3.11: Kräfteansatz bei einem
Beschleunigungs- und einem
Bremsvorgang (eigene Grafik)
09.04.2014
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Beispiel 1: Körper rutscht auf schiefer Ebene
Es spielen folgende Kräfte eine Rolle
1. Antriebskraft: Hangabtriebskraft FA  m g sin( )
2. Widerstandskraft: Gleitreibungskraft FW   mg cos()
3. Trägheitskraft FTr  ma
Da alle Kräfte parallel zur schiefen Ebene wirken, kann
Gleichung 3.14 angewandt werden. Das d’Alembertsche
Prinzip liefert:
Bild 3.12: Kräfteansatz bei Körper auf
schiefer Ebene (eigene Grafik)
 mgsin( )   mgcos( )  ma
FA  FW  FTr
Nach der Beschleunigung a aufgelöst erhält man:
a  g sin( )   cos( ) 
(Gl. 3.16)
Beispiel 2: Atwoodsche Fallmaschine ohne träge Rolle
Es spielen folgende Kräfte eine Rolle
1. Antriebskraft: Gewichtskraft m1: FA  m1 g
2. Widerstandskraft: Gewichtskraft m2: FW  m2 g
3. Trägheitskräfte FTr 1  m1 a , FTr 2  m2 a
Da alle Kräfte durch Kräfteumlenkung in einer Richtung wirken,
kann Gleichung 3.14 angewandt werden. Das d’Alembertsche
Prinzip liefert:
FA  FW  FTr1  FTr 2
 m1 g  m2 g  m1 a  m2 a
Bild 3.13:
Attwoodsche Fallmaschine
(Beispiel 1, Grafik aus [1])
Nach der Beschleunigung a aufgelöst erhält man:
a
m1  m2
g
m1  m2
(Gl. 3.17)
Beispiel 3: Körper m1 wird unter einem Winkel  gegen
die Waagerechte auf einer horizontalen Ebene gezogen. Mit dem Körper fest verbunden ist ein zweiter
Körper m2.
Bild 3.14: Beispiel 2
Es spielen folgende Kräfte eine Rolle
1. Antriebskraft: Zugkraft FA  FZ cos( )


2. Widerstandskräfte: Reibungskräfte FW 1  1 m1 g  F sin( )
FW 1  2 m2 g
3. Trägheitskräfte FTr 1  m1 a , FTr 2  m2 a
Da alle Kräfte parallel zur waagerechten Ebene in einer Richtung wirken, kann Gleichung 3.14
angewandt werden. Das d’Alembertsche Prinzip liefert:
FA  FW 1  FW 2  FTr 1  FTr 2
 F cos( )  1 m1 g  F sin( )  2 m2 g  m1 a  m2 a
Nach der Beschleunigung a aufgelöst erhält man:
a 
09.04.2014
F cos( )  1 sin( )  g  1 m1  2 m2 
m1  m2
(Gl. 3.18)
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IV Arbeit, Energie und Leistung
Vorbemerkung:
Die Einführung der physikalischen Größen Arbeit, Energie und Leistung ist nicht zwingend
notwendig, jedoch zur Beschreibung und Lösung vieler Probleme zweckmäßig.
IV.1 Arbeit
Definition:




W. Arbeit ist das Skalarprodukt aus dem Vektor F der Kraft und dem Vektor des Weges s .
 
W  Fs
(Gl. 4.1)
Wird eine Körper mit der Kraft F eine Wegstrecke s bewegt, so verrichtet die Kraft die Arbeit
Folgerungen:
1. Arbeit ist ein Produkt des Betrags des Wegs und des Betrags der Kraftkomponente in
Richtung des Wegs oder
2. Arbeit ist ein Produkt des Betrags der Kraft und des Betrags der Wegkomponente in Richtung
der Kraft.


3. Schließen Kraft F und Weg s den Winkel  ein, so gilt
 
W  F  s  cos( F, s )  F  s  cos( )
(Gl. 4.2)
Beispiel: Ein Klotz wird mit einer Kraft F eine Wegstrecke s entlang gezogen. Die Kraft zeigt unter einem
Winkel  gegen die Horizontale schräg nach oben. Es
gilt für die geleistete Arbeit:
 
W  F  s  cos( F, s )  F  s  cos( )
Verallgemeinerung:
Falls die Richtung des Kraftvektors längs des Wegs
nicht konstant und oder der Winkel zwischen der

Bild 4.1: Definition des Begriffs Arbeit
(eigene Grafik)

Kraft F und dem Weg s längs des Wegs nicht

konstant ist, dann muss der Weg s in kurze lineare

Wegstücke  si zerlegt werden und es gilt


s    si
i
 
W   Fi  si 
i
Im Grenzübergang

 F  s
i
i
 cos( i )
 si  dsi  0 erhält man
 
W  lim  Fi   si 
si 0
i
i
 
F
 d s
Bild 4.2 : Arbeit längs eines beliebigen
Wegs (Grafik aus [1])
Weg
Allgemeine Formel für die Arbeit längs eines beliebigen Wegs als Wegintegral:
W


 F  ds
(Gl. 4.3)
Weg
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Einheit der Arbeit:
Die Einheit für Arbeit wird aus der Krafteinheit abgeleitet. Sie besitzt den Namen Joule
(Abkürzung J). Es gilt
1J 1N  m1
kgm2
s2
IV.1.1 Hubarbeit
Definition:


Hubarbeit WH ist Arbeit gegen die Schwerkraft FG  m  g
WH  m  g  h
(Gl. 4.4)
Beispiel:
Ein Klotz wird längs eines schrägen Wegs nach oben gezogen. Nach Gleichung 4.4 gilt
 
W  F  s  cos( F , s )  FG  s  cos( )
 m  g  s  cos( )  m  g  h
Folgerung:
Der Betrag der Hubarbeit hängt nur von der Hubhöhe h und der Gewichtskraft FG ab, ist jedoch
unabhängig vom Weg.
IV.1.2 Reibungsarbeit
Bild 4.3: Hubarbeit (eigene Grafik)
Bei gleichförmiger Bewegung (a = 0  F = 0)
stehen Zugkraft und Gleitreibungskraft im
Kräftegleichgewicht:





FZ  FR  0  FZ   FR .




Aus FR  s folgt FZ  s
Bild 4.4: Reibungsarbeit (eigene Grafik)
Definition:
Reibungsarbeit WR ist Arbeit gegen die Reibungskraft
WR  FR  s    FN  s
(Gl. 4.5)
Beispiel:
Ein Klotz mit konstanter Geschwindigkeit gleichförmig über eine Rampe (Winkel ) nach oben
gezogen. Dann gilt für die Reibungsarbeit längs dieses Wegs
WR  FR  s    FN  s    mg cos( )  s
Dazu kommt noch die Hubarbeit, da zusätzlich zur Überwindung der Gleitreibung auch Arbeit
gegen die Gewichtskraft verrichtet werden muss.
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IV.1.3 Beschleunigungsarbeit
Die Formel für die Beschleunigungsarbeit wird hier nur für den Fall der gleichmäßig beschleunigten
Bewegung abgeleitet. Eine allgemeine Ableitung ist mit der Integralrechnung möglich.
Definition:
Beschleunigungsarbeit WB ist Arbeit der Antriebskraft (Zugkraft) gegen die Trägheitskraft.
Folgerung:
Bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung gilt :




F  ma und F   s .
Daher kann man das Problem eindimensional beschreiben.
Für gleichmäßig beschleunigte Bewegungen folgt mit WB  ma s und a 
WB  21 mv 2
v2
2s
(Gl. 4.6)
Beispiel:
Ein Klotz wird längs eines waagerechten Wegs weggezogen und dabei von der Geschwindigkeit
0 auf die Endgeschwindigkeit vE beschleunigt. Die notwendige Beschleunigungsarbeit beträgt
WB  21 mv E2 . Dazu kommt noch die längs des Wegs aufgebrachte Reibungsarbeit.
IV.1.4 Elastische Verformungsarbeit
Aus dem linearen Kraftgesetz folgt für die


Federkraft F   Ds . Damit ist die Kraft
zur elastischen Verformung eines
Federkörpers in Richtung der Federverformung gerichtet und längs des Wegs
nicht konstant. Sie nimmt vielmehr mit
zunehmendem Weg linear zu. Das Problem kann entweder grafisch mit der
Federkennlinie oder rechnerisch durch
Lösen des Wegintegrals Gleichung 4.3
gelöst werden.
Bild 4.5: Elastische Verformungsarbeit (Grafik aus [1])
Da die Kraft, die die Feder verformt, immer parallel zum Weg gerichtet ist, kann man das
Wegintegral durch ein gewöhnliches Integral ersetzen.
Definition:
Elastische Verformungsarbeit WE ist Arbeit gegen die Federkraft einer elastisch verformten
Feder.
Folgerung:
s
s
  s
W    F  d s   F  d s   D  s'd s  D s'd s'  21 Ds' 2
Weg
0
0
s
0
 21 Ds 2
0
Damit erhält man als Formel für die elastische Verformungsarbeit
WE  21 Ds2
09.04.2014
(Gl. 4.7)
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IV.2 Energie
VERSUCH: „Drehmomentenrad“ mit zwei Massestücken:
Körper 1 (m1) befindet sich in der Höhe h über dem Tisch als Anfangsniveau.
Körper 1 ist mit Körper 2 (m2) über eine reibungsfreie Rolle verbunden.
Körper 1 kann an Körper 2 Hubarbeit verrichten
Folgerung aus dem Experiment:
Körper 1 enthält einen Vorrat an Arbeit, den er an Körper 2 abgeben kann. Der Vorrat an Arbeit
entspricht der aufgebrachten Hubarbeit.
Definition:
Gespeicherte Arbeit nennt man Energie.
Bemerkungen:
1. Der Energiebegriff ist in der Physik weiter gefasst als hier dargestellt.
2. Die Energieübertragung von einem Körper auf den anderen ist möglich durch
 Verrichten von Arbeit und  Wärmeaustausch.
IV.2.1 Potentielle Energie
a) Lageenergie
Prinzip:
Ein Körper besitzt Energie auf Grund seiner Lage über einem Bezugsniveau, auf das er unter
Abgabe von Arbeit sinken kann. Sonstige Eigenschaften des Körpers bleiben unverändert.
Die Formel der Lageenergie entspricht der Hubarbeit:
WL  m  g  h
(Gl. 4.8)
Bemerkungen:
1. Für die Höhe h ist die Angabe eines Bezugsniveaus unbedingt notwendig.
2. Lageenergie kann in andere Energieformen umgewandelt werden:
- mit Umlenkrollen in Hubarbeit
- mit dem freien Fall in Beschleunigungsarbeit
- mit der Gewichtskraft an einer Feder in elastische Verformungsarbeit und
- durch Reibung in Wärmeenergie.
b) Spannungsenergie
Prinzip:
Die Energie einer gespannten Feder kann in Hubarbeit und/oder Beschleunigungsarbeit
umgewandelt werden.
Die Formel der Spannungsenergie entspricht der elastischen Verformungsarbeit:
WS  21 Ds 2
(Gl. 4.9)
Bemerkung:
Für die Angabe des Federwegs s ist die Angabe eines Bezugsorts (spannungslose oder
vorgespannte Feder) notwendig.
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Definition:
Lageenergie WL und Spannungsenergie WS fasst man unter dem Begriff der potentiellen
Energie zusammen.
Wpot  WL  WS
(Gl. 4.10)
Folgerungen:
1. Potentielle Energie kann in einem ruhenden Körper stecken.
2. Die Lage eines Bezugsniveaus ist bei potentieller Energie immer notwendig.
IV.2.2 Kinetische Energie
Prinzip:
In einem in Bewegung befindlichen Körper steckt Energie, die in die verschiedenen Formen der
Arbeit umgewandelt werden kann.
Die Formel der kinetischen Energie entspricht der Beschleunigungsarbeit:
Wkin  21 mv 2
(Gl. 4.11)
Beispiel:
Ein Körper mit senkrecht nach oben gerichteter Geschwindigkeit kann aufgrund seiner
kinetischen Energie Hubarbeit an sich selbst verrichten.
IV.2.3 Energiesatz der Mechanik
Definition:
Von einem abgeschlossenen System spricht man, wenn dem System von außen weder Energie
zugeführt noch Energie entzogen wird.
Beispiel: Senkrechter Wurf
Ein Körper wird senkrecht nach oben geworfen. Am höchsten Punkt (Höhe hmax) hat er die
Lageenergie WL = mghmax . Nach Abschnitt 1.4.1 gilt für die maximale Wurfhöhe beim
senkrechten Wurf:
 hmax 
v02
2g
Der Ausdruck für hmax in die Formel für die Lageenergie eingesetzt ergibt:
WL  m g hmax
v02
v02
 mg
 m

2g
2
1
2
mv02  Wkin 0
Die Lageenergie im höchsten Punkt entspricht exakt der kinetischen Energie, die der Körper am
Anfang des senkrechten Wurfs mitbekommen hat.
Ergebnis des Gedankenexperiments:
Die anfänglich vorhandene Bewegungsenergie wird vollständig in Lageenergie umgewandelt und
umgekehrt. Allgemein gilt, dass zu jedem Zeitpunkt des senkrechten Wurfs die Summe aus
kinetischer Energie Wkin und potentieller Lageenergie WL konstant ist. Es gilt:
Wkin  WL  const  Wkin 0
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(Gl. 4.11)
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Allgemeiner Fall:
Eine Masse m hängt an einer nicht gespannten Feder. Wird die Masse losgelassen, so bewegt sie
sich unter dem Einfluss der Gewichtskraft nach unten. Die Kräftebilanz lautet:
Summe der Antriebskräfte = Summe der Trägheitskräfte + Summe der Widerstandskräfte.
mg  ma  Ds
Bewegt sich der Körper den differentiellen Weg ds nach unten, so verliert er Lageenergie und
gewinnt kinetische Energie und Spannungsenergie.
mgds  mads  Dsds
Die gesamte Energiebilanz erhält man durch Integration:
s
s
s
0
0
s
s
0
s
0
s
dv
ds'  D s'd s'
dt
0
0
 mgds'   mads'   Ds'd s'  mg  ds'  m
s
ds'
dv  12 Ds 2  m vdv  12 Ds 2  12 mv(s) 2  12 Ds 2
dt
0
0
mg s  m
 mg s  12 mv(s) 2  12 Ds 2
Energiesatz der Mechanik
In einem abgeschlossenen mechanischen System bleibt die Summe aus potentieller und
kinetischer Energie zeitlich konstant.
Wpot  Wkin  WL  WS  Wkin  const
(Gl. 4.11a)
Für den Zusammenhang Arbeit und Energie gilt:
 Hubarbeit WH erzeugt Lageenergie WL
 Verformungsarbeit WE erzeugt Spannungsenergie WS
 Beschleunigungsarbeit WB erzeugt kinetische Energie Wkin
 Reibungsarbeit WR erzeugt Wärmeenergie
Es gibt noch weitere Energieformen:




Wärmeenergie
Elektrische Energie, magnetische Energie
Atomare Bindungsenergie  „Atomenergie“
Masse ist gleichbedeutend Energie (Einstein E = mc2)
Folgerung:
Es gilt für alle Energieformen ein Energieerhaltungssatz
Bemerkungen:
1. Der Energiesatz der Mechanik ist auf alle mechanischen Vorgänge anwendbar.
2. Die Formulierung eines Problems kann völlig gleichwertig durch den Kräfteansatz nach
d’Alambert oder mit dem Energieansatz geschehen. Durch Integration längs des Wegs kann
er Kräfteansatz in den Energiesatz umgeformt werden.
3. Interessieren bei einem mechanischen Vorgang nur Anfangs- und Endzustand des Systems, so
kann die Aufgabe mit dem Energieansatz wesentlich schneller und einfacher gelöst werden
als mit dem Kräfteansatz.
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IV.3 Leistung (Energiefluss)
Definition:
Leistung ist das Verhältnis von Arbeit und Zeit.
Leistung 
Arbeit
Zeit
Mittlere Leistung ist das Verhältnis von gesamter geleisteter Arbeit und gesamter benötigter Zeit:
P
Wges
(Gl. 4.12)
t ges
Nm
kg m2
J
1 3
Einheit der Leistung: 1 W  1  1
s
s
s
Beispiel:
Beim Bremsvorgang wird Reibungsarbeit WR = FBsB
verrichtet. Teilt man die gesamte Reibungsarbeit durch
die gesamte benötigte Zeit, so erhält man die mittlere
Bremsleistung. Die momentane Bremsleistung ist über
den Bremsvorgang allerdings zeitlich nicht konstant.
Das s-t-Diagramm für den Bremsvorgang ist links
abgebildet:
Zeitintervalle  t sind konstant.
 Zugehörige Wegintervalle  s werden im Verlauf
des Bremsvorgangs immer kleiner.
 Dadurch nehmen die im Zeitintervall  t
verrichteten Reibungsarbeitsteile W = FR s
immer mehr ab.
 Die mittlere Bremsleistung im Zeitintervall  t
W / t nimmt laufend ab. Die momentane
Bremsleistung erhält man durch Grenzübergang für
 t  0.
Bild 4.6: s-t-Diagramm eines Bremsvorgangs (Grafik aus [1])
Definition:
Die Leistung (Momentanleistung) ist definiert als
dW
W

 W
t  0 t
dt
P  lim
(Gl. 4.13)
Folgerungen:
1. Da die Arbeit das Produkt aus Kraft mal Weg ist, folgt mit Gleichung 4.13:
P  W  ( F  s)  F  s  F  s  F  s  F  v
2.
Ist die Kraft F längs des Wegs konstant, so ist die Leistung das Produkt aus Kraft und
Geschwindigkeit. Das bedeutet, dass trotz konstanter Kraft die Leistung proportional zur
Geschwindigkeit ansteigt, da das zu einem Wegintervall s gehörende Zeitintervall t immer
kleiner wird.
P  F  v falls F längs desWegs  const
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(Gl. 4.14)
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Hinweis:
Aus Gleichung 4.13 folgt W 
geleistete Arbeit dar.
 Pdt . Daher stellt die Fläche unter dem P-t-Diagramm die
Beispiel: Leistungs-Zeit-Diagramm eines Bewegungsvorgangs
Ein Körper mit der Masse m=5 kg wird aus der Ruhe innerhalb einer Zeit von 1,5 s auf eine
Geschwindigkeit von v=3 m/s beschleunigt, behält diese Geschwindigkeit 5 s lang bei und wird
dann durch eine konstante Reibungskraft von FR = 2 N abgebremst.
Bild 4.7:
v-t-Diagramm ,
F-t-Diagramm und P-tDiagramm
eines Bewegungsvorgangs
(Grafik aus [1])
Es sind aufzustellen: Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm v(t), Zugkraft-Zeit-Digramm Fz(t) und
Leistungs-Zeit-Diagramm P(t)
1. Beschleunigungsphase:
Beschleunigung a = v/t = 2 m/s2.
Zugkraft: Fz = ma + FR = 5 kg  2 m/s2 + 2 N = 12 N
Leistung: P = Fz v = 12 N  v
Pmin = 0
Pmax = 36 W
2. Phase der gleichförmigen Bewegung:
Beschleunigung a = 0
Zugkraft: Fz= FR= 2 N
Leistung: P = Fz v = 2 N3 m/s = 6 W
3. Bremsphase:
Beschleunigung aB = FR/m = 2 N / 5 kg = 0,4 m/s2
 Bremszeit tB = v/aB = 7,5 s.
 Zugkraft: Fz = 0 N
Leistung: P = 0 W
Folgerungen aus dem Beispiel:
1. Ein Motor muss nicht nur Dauerleistung, sondern kurzfristig in Beschleunigungsphasen auch
Spitzenleistung abgeben können.
2. Aus
dW
P  W 
folgt dW  Pdt Die Fläche unter dem P-t-Diagramm entspricht
dt
also der geleisteten Arbeit.
3. Die gesamte durch die Zugkraft geleistete Arbeit beträgt demnach
 W = 36 W  1,5 s / 2 + 6 W  5 s = 27 Ws + 30 Ws = 57 J
4. Die Durchschnittsleistung über den gesamten Bewegungsvorgang beträgt
 Wges / tges = 57 J / 6,5 s = 8,77 W
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Definition:
Der Wirkungsgrad W ist definiert als das Verhältnis von Nutzarbeit zu Gesamtarbeit
W 
Wnutz
Wgesamt
(Gl. 4.15)
Erläuterung am Beispiel des Bewegungsvorgangs:

In der Beschleunigungsphase wurde als Nutzarbeit eine Beschleunigungsarbeit
von WB = Wkin = m v 2/ 2 = 5 kg  9 m 2/s 2 / 2 = 22,5 J erzeugt.

In der gleichen Phase wurde als Verlustarbeit eine Reibungsarbeit
von WR = FRs = FR a t2 / 2 = 2 N  2 m /s 2 2,25 s2 / 2 = 4,5 J geleistet.

Die geleistete Gesamtarbeit ist WB + WR = 27 J

Der Wirkunsgrad W beträgt demnach
W = 22,5 J / 27 J = 0,83  83 %
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V Impuls
Vorbemerkung:
Ebenso wie die Einführung der physikalischen Größe Energie ist auch die Einführung der
physikalischen Größe Impuls ist nicht zwingend notwendig, jedoch zur Beschreibung und Lösung
vieler Probleme zweckmäßig. Insbesondere stellt der Impulserhaltungssatz eine besonders
einfache Formulierung des 3. Newtonschen Axioms dar.
V.1 Impuls und Impulserhaltung
VERSUCH „Stoßkugeln“:
1. Versuch: 2 gleiche Kugeln:
Kugel 1 wird beschleunigt, Kugel 2 ruht,
anschließend Stoß
2. Versuch: 5 gleiche Kugeln
wechselnde Zahl von Kugeln wird beschleunigt, die
restlichen Kugel bleiben in Ruhe , anschließend Stoß
3. Versuch: Wie 1. Versuch mit Kugeln verschiedener Masse
Zwei Kugeln stoßen zusammen, indem Kugel 1 (m1) auf die ruhende Kugel 2 (m2) stößt.

Kugel 1 übt dabei auf die Kugel 2 die Kraft F1 aus. Nach dem 3. Newtonschen Axion
(actio=reactio) übt jedoch auch umgekehrt Kugel 2 auf Kugel 1 die entgegengesetzt gleiche Kraft


F2   F1 aus. Es gilt daher:


F1

 F2


m1 a 1   m2 a 2


dv1
dv 2
m1
  m2
dt
dt
Multipliziert man beide Seiten mit dem differentiellen Zeitintervall dt (Wirkungsdauer der Kräfte), so
erhält man:


m1 dv1   m2 dv 2
m1 

dv 2  
dv1
m2
(Gl. 5.1)
Das Ergebnis von Gleichung 5.1 ist unabhängig von den Kräften und der Wirkungsdauer der
Kräfte. Das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit scheint bei physikalischen Stoßvorgängen eine
besondere Rolle zu spielen.
Definition:
Der Impuls ist definiert als das Produkt von Masse und Geschwindigkeit.

p  m v
(Gl. 5.2)
Bemerkung:


Der Impuls p ist ein Vektor. Er hat die Richtung der Geschwindigkeit v .
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Folgerung:

Mit der Beziehung dp  m  dv (falls m konstant) und der Gleichung 5.1 folgt:




m1 dv1   m2 dv 2  dp1   dp2



 dp1  dp2  0
Die vektorielle Summe der Impulsänderungen verschwindet. Damit folgt, dass die
vektorielle Summe der Impulse konstant bleibt.
Satz von der Erhaltung des Impulses
In einem abgeschlossenen mechanischen System bleibt die vektorielle Summe der
Einzelimpulse = Gesamtimpuls konstant. Die vektorielle Summe der Impulsänderungen
verschwindet.

pges 
N

p
i
i 1

d pges 
 const


d pi  0
N
(Gl. 5.3)
i 1
Der Impulserhaltungssatz ist eine direkte Folge des 3. Newtonschen Axioms. Seine Bedeutung ist
mit der des Energiesatzes vergleichbar.
Beispiele:
 Sprung aus einem Boot ans Ufer: Wenn man Pech hat, fällt man ins Wasser!
 Sprung auf einen fahrenden Wagen
Spezielle Anwendung des Impulserhaltungssatzes: die Raketengleichung
Aus dem Impulssatz folgt: Impuls der Treibgase = - Impulsänderung der Rakete
 Treibgas: Ein Volumenelement dmTr des ausgestoßenen Treibgases erhält den Impuls


dpTr  dmTr  vTr
 Rakete:
Der Impuls der Rakete erfährt dadurch eine Änderung durch Änderung seiner
Geschwindigkeit:



d p Ra  mRa  d v Ra  dm Ra v Ra
 Mit dm Ra  0 (Raketenmasse näherungsweise konstant) liefert der Impulssatz


d p Ra   d pTr


mRa  d v Ra   dmTr  vTr
 Da die Rakete die Masse des ausgestoßenen Treibstoffs als Raketenmasse verliert, gilt
d m Ra   d mTr

dm Ra 
dmTr 
d v Ra  
 vTr 
 vTr
m Ra 
m Ra 
 Damit ergibt sich für die differentielle Zunahme der Raketengeschwindigkeit:

dmRa 
d vRa 
 vTr
mRa 
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(Gl. 5.4)
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Durch Integration erhält man aus Gleichung 5.4
m  


vRa  vTr  ln Ra   v0
 m0  
(Gl. 5.5a)
oder durch Invertieren des Masseverhältnisses
 m  


vRa   vTr  ln 0   v0
 mRa  
(Gl. 5.5b)
Gleichung 5.5b ist die Raketengleichung mit den Parametern Startmasse der Rakete m0 und
Anfangsgeschwindigkeit v0.
Bild 5.1: Grafische Darstellung der Raketengleichung (Grafik aus [1])
VERSUCH „Raketenwagen“:
1. Versuch: Demonstration eines Raketenantriebs durch Treibstoff in Form von
Kugeln, die durch die Schwerkraft angetrieben nach hinten ausgestoßen
werden.
2. Versuch: Messung der Rückstoßkraft der „Rakete“
Berechnung der Rückstoßkraft:


mRa  d vRa   dmTr  vTr folgt
Aus


m Ra vRa   m Tr  vTr
Damit erhält man für die Rückstoßkraft



FRa  m Ra a R   m Tr  vTr


FRa   m Tr  vTr

FRa

vTr  
m Tr
(Gl. 5.6)
V.2 Kraftstoß



Aus F  m a  m v
und


p  mv folgt:
Verallgemeinerung des 2. Newtonschen Axioms


dp

F 
 p
dt
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(Gl. 5.7)
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Bemerkungen:
 Kraft = Impulsänderung / Zeit
 Gleichung 5.7 gilt auch, wenn die Masse nicht konstant ist.
Beispiel: Rakete
Aus dem verallgemeinerten 2. Newtonschen Axiom folgt:





FRa  p Ra  (mRa vRa )  m Ra vRa  mRa vRa
Die Änderung des Impulses des Treibstoffs beträgt, weil die Geschwindigkeit des Treibstoffs als
konstant angenommen werden kann.



p Tr   (mTr vTr )   m Tr vTr
Der Impulserhaltungssatz liefert:


p Ra   p Tr

 m Ra v Ra  mRa vRa  m Tr vTr
Man erhält auf diese Weise eine etwas exaktere Formel für die Raketengleichung, die auch die
(relativ kleine) Änderung der Raketenmasse berücksichtigt.
Folgerung aus der allgemeinen Formulierung des 2. Newtonschen Axioms:

Falls sich m und v mit der Zeit ändern, so folgt aus Gleichung 5.7:
 





  mv  mv
  ma
F  p  (mv )  mv



  ma
F  mv
(Gl. 5.8)
Erweiterung:
Aus

 dp
F
dt
folgt
 
d p  F d t
Eine Impulsänderung ist demnach das Produkt aus Kraft und Wirkungsdauer.
Als Summe der differentiellen Impulsänderungen erhält man durch Integration:

p2
t 




 p  p2  p1   d p   F (t ' )  d t '

p1
0
Definition:
Als Kraftstoß bezeichnet man die Differenz zwischen Endimpuls und Anfangsimpuls:
t 

 p   F (t ' ) dt'
(Gl. 5.9)
0
Vereinfachung:
Für den Fall, dass die Kraft für die Dauer t der
Krafteinwirkung konstant ist, kann man Gleichung
5.8 vereinfachen:


 p  F t
(Gl. 5.10)
Bild 5.2: F-t-Diagramm eines Kraftstoßes
Gleichung 5.10 kann benutzt werden, um Probleme mit zeitlich veränderlichem Kraftverlauf zu
lösen. Das Integral auf der rechten Seite von Gleichung 5.10 entspricht der Fläche unter dem F-tDiagramm und ist gleich der Impulsänderung. Aus p kann bei konstanter Masse die Änderung
v der Geschwindigkeit berechnet werden.
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Beispiel:
Kugeln prallen gegen eine Wand als Modell für den Gasdruck durch Molekülbewegungen und
Stoßvorgänge:
Jede der Kugel, die gegen die Wand prallt, hat die Masse m.

Die Geschwindigkeit vor dem Stoß sei v1 .

Die Geschwindigkeit nach dem Stoß sei v2   v1
Die Impulsänderung pro Kugel k sei



 pk  mv2  mv1
Betragsmäßig kann man schreiben
 pk  mv2  mv1
da


v1   v2
Die Kraft auf die Wand bei N Kugeln (k = 1 .. N)
Bild 5.3: Stoß einer Kugel
gegen eine Wand
(eigene Grafik)

p
F  N k
t
Zusammenhang zwischen kinetischer Energie und Impuls:


1
2
Für die kinetische Energie gilt Wkin  2 mv und für den Impuls p  m v
Die Definitionsgleichung für den Impuls nach v aufgelöst und in die Forml für die kinetische
Energie eingesetzt ergibt :

p2
Wkin 
2m
(Gl. 5.11)
V.3 Stoßgesetze
In Abschnitt V.1 konnte in Gleichung 5.1 das Verhältnis der Geschwindigkeitsänderungen bestimmt
werden, nicht jedoch die tatsächlichen Werte.


Es sei gegeben: die Geschwindigkeiten v1 und v2 vor dem Stoß


Es sind gesucht: die Geschwindigkeiten u1 und u2 nach dem Stoß
Es handelt sich um ein Problem mit zwei Unbekannten. Zur Lösung sind zwei Gleichungen
notwendig:
Der Impulserhaltungssatz liefert die 1. Gleichung
Der Energieerhaltungssatz liefert die 2. Gleichung
Man unterscheidet folgende Arten des Stoßes:
 Elastischer Stoß: Es geht beim Stoß keine Energie verloren, d.h. die elastische
Verformungsarbeit wird vollständig zurückgewonnen.
 Unelastischer Stoß: Es geht beim Stoß Energie verloren, d.h. die elastische
Verformungsarbeit wird nicht vollständig zurückgewonnen.
 Vollständig unelastischer Stoß: Es geht beim Stoß Energie verloren, beide Stoßpartner
setzen die Bewegung nach dem Stoß mit gemeinsamer Geschwindigkeit fort.
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V.3.1 Gerader zentraler elastischer Stoß
Definition:
Ein Stoß heißt gerade zentral, wenn sich die Schwerpunkte der Kugeln auf einer gemeinsamen
Geraden bewegen. Das bedeutet, dass die Stöße immer in Richtung der Geschwindigkeitsvektoren erfolgen und beim Stoß keine Rotation erzeugt wird.
Definition:
Ein Stoß heißt elastisch, wenn die kinetische Energie nach dem Stoß genauso groß ist wie
vorher. Das bedeutet, dass die kinetische Energie zunächst in Spannungsenergie umgeformt und
diese anschließend wieder vollständig in kinetische Energie rückgewandelt wird.
Ableitung der Stoßgesetze:
Der Impulssatz liefert für den Stoß zweier Kugel (Masse m1 und m2, Geschwindigkeiten vor dem




Stoß v1 und v2 , Geschwindigkeiten nach dem Stoß u1 und u2 )




m1  v1  m2  v 2  m1  u1  m2  u2
Der Energiesatz liefert :
1
2

m1  v12 
1
2

m2  v 22 
1
2

m1  u12 
1
2
(Gl. 5.12)

m2  u22
(Gl. 5.13)
Gleichung 5.12 (Impulssatz) umgeformt ergibt:




m1  ( v 1  u1 )  m2  ( u2  v 2 )
Gleichung 5.13 (Energiesatz) umgeformt ergibt:

 

m1  ( v12  u12 )  m2  ( u22  v 22 )






m1  ( v1  u1 )  ( v1  u1 )  m2  ( u2  v 2 )  ( u2  v 2 )
Impulssatz (umgeformt) und Energiesatz (umgeformt) liefern:


v 1  u1



v 2  u2


Diese Formel kann man entweder nach u1 oder u2
umformen:

u1



 v 2  v 1  u2
(Gl. 5.14)

u2



 v1  v2  u1
(Gl. 5.15)

Im Impulssatz (Gleichung 5.12) ersetzt man u2 durch Gleichung 5.15 und erhält






m1  v1  m2  v 2  m1  u1  m2  ( v1  v 2  u1 )



u1  ( m1  m2 )  v1  ( m1  m2 )  2 m2 v 2
Damit erhält man
das Stoßgesetz für die Geschwindigkeit der 1. Kugel nach dem Stoß
m  m2 
2 m2


u1  1
v1  
v2
m1  m2
m1  m2
09.04.2014
(Gl. 5.16)
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
Im Impulssatz (Gleichung 5.12) ersetzt man u1 durch Gleichung 5.14 und erhält






m1  v 1  m2  v 2  m1  ( v 21  v 1  u2 )  m2 u2



u2  ( m1  m2 )  2 m1 v1  (m2  m1 ) v 2
Damit erhält man das Stoßgesetz für die Geschwindigkeit der 2. Kugel nach dem Stoß

u2 
2 m1
m  m1 

v1   2
v
m1  m2
m1  m2 2
(Gl. 5.17)
Erläuterung der elastischen Stoßgesetze an einigen Beispielen:
1. Zwei Kugeln mit gleicher Masse stoßen zusammen (m1 = m2 = m)
Die Brüche in den Gleichungen 5.16 und 5.17 ergeben sich zu
m1 + m2 = 2m, 2m1 = 2m, 2m2 = 2m, m1 - m2 = 0
Damit erhält man für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß:
 
u1  v2


u 2  v1
Die Kugeln tauschen ihre Geschwindigkeitsvektoren.
2. Zwei Kugeln mit unterschiedlicher Masse stoßen zusammen (m1 = m2/2 = m)
Die Brüche in den Gleichungen 5.16 und 5.17 ergeben sich zu
m1 + m2 = 3m/2, 2m1 = 2m, 2m2 = m, m1 - m2 = m/2
Damit erhält man für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß:

u1 

u2 

v1 
4 
3 v1 
1
3

v2
1 
3 v2
4
3

Sei speziell v2 = 0, so behält Kugel 1 die Geschwindigkeit u1

Geschwindigkeit u2

4
3


v1
1
3

v1 , Kugel 2 erhält die
3. Eine Kugeln stößt gegen eine Wand(m1 = m, m2 >> m1)
Die Brüche in den Gleichungen 5.16 und 5.17 ergeben sich zu
v2 = 0, m1 + m2  m2, , m1 - m2  -m2
Damit erhält man für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß:


u1   v 1

u2  0
Die Kugel wird reflektiert, die Wand bleibt in Ruhe.
Die Wand erfährt den Kraftstoß
  



p  p n  p v  m1 u1 m1 v1   2m1 v1


Die Wand hat den Kraftstoß p   2 m1 v1 erfahren, d.h. sie hat nicht nur den
ursprünglichen Impuls der Kugel vernichtet, sondern auch den neuen Impuls erzeugt.
Außerdem hat die Wand die Energie der Kugel beim Stoß aufgenommen und vollständig auf
die Kugel zurückübertragen.
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V.3.2 Gerader zentraler unelastischer Stoß
Definition:
Ein Stoß heißt unelastisch, wenn die Bewegungsenergie vor dem Stoß nicht vollständig erhalten
bleibt, sondern ein Teil als plastische Deformationsarbeit oder Reibungsarbeit verloren geht.
Es gelten folgende Sätze:
Impulssatz (siehe Gleichung 5.12)




m1 v1  m2 v2  m1 u1  m2 u2
Energiesatz (siehe Gleichung 5.13 mit Energieverlust)
1
2

m1 v 12 
1
2

m2 v 22 
1
2

m1 u12 
1
2

m2 u 22  Wkin
(Gl. 5.18)
Der unelastische Stoß ist ein Problem mit 3 Unbekannten, das mit 2 Gleichungen nicht gelöst


werden kann. Nur wenn Wkin bekannt ist, so können die beiden Geschwindigkeiten u1 und u 2
bestimmt werden.
Spezialfall: Vollständig unelastischer Stoß
Definition:
Ein Stoß heißt vollständig unelastisch, wenn sich die beiden Stoßpartner sich nach dem Stoß

gemeinsam mit gemeinsamer Geschwindigkeit u weiterbewegen.
Versuch: „Fahrbahn“ und „Luftkissenfahrbahn“:
Zwei Wagen/Luftkissenfahrzeuge stoßen zusammen und werden mit einer Klettkupplung
verbunden. Sie bewegen sich anschließend mit gemeinsamer Geschwindigkeit weiter.
Man kann den Energieverlust beim Ankopplungsvorgang beobachten.
Dieser Spezialfall ist ein brauchbares Modell für folgende physikalische Situationen:
 Zwei Wagen mit automatischer Kupplung stoßen zusammen.
 Eine Person springt auf ein rollendes Fahrzeug und hält sich fest.
 Ladung wird von senkrecht oder schräg oben in ein rollendes Fahrzeug geschüttet.
Es gilt zwangsweise



u1  u 2  u
Der Impulssatz (siehe Gleichung 5.12) hat unverändert Gültigkeit



m1 v 1  m2 v 2  ( m1  m2 ) u

Damit kann die gemeinsame Geschwindigkeit u nach dem Stoß bestimmt werden

u
m1 
m2 
 v1 
 v2
m1 m2
m1 m2
(Gl. 5.19)
Für den Energiesatz (siehe Gleichung 5.18) gilt in diesem Fall


m2 v 22  21 (m1  m2 ) u 2  Wkin

Mit der Geschwindigkeit u nach Gleichung 5.19 kann dann die Energiebilanz vor und nach dem
1
2

m1 v 12 
1
2
Stoß aufgestellt und der Energieverlust Wkin berechnet werden.
09.04.2014
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Erläuterung dieses Spezialfalls des unelastischen Stoßes an einigen Beispielen:
1.
Zwei Kugeln mit gleicher Masse stoßen zusammen (m1 = m2 = m)
Die Brüche in der Gleichungen 5.19 ergeben sich zu ½.
Damit erhält man für die Geschwindigkeit nach dem Stoß:

u 
1
2

v1 
1
2

v2
u enstspricht dem Mittelwert aus den
Geschwindigkeiten vor dem Stoß.
2. Zwei Kugeln mit gleicher Masse stoßen zusammen (m1 = m2 = m), Kugel 2 ruht vor dem Stoß.

Dies bedeutet v 2  0 . Damit erhält man für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß:

u 
1
2

v1

m v12

Kinetische Energie nach dem Stoß: Wkin1  21 2 mu 2


Energieverlust durch den Stoß:
W  21 mv12  mu 2 


W  41 mv12  21 Wkin1
Kinetische Energie vor dem Stoß:
Wkin1

1
2
1
2


mv12  41 mv12
 Die Hälfte der ursprünglichen Energie geht beim Stoß verloren!
3. Ballistisches Pendel:
Ein Geschoß (Masse m1 = 0.53 g ) dringt in ein Pendel ein
(Masse m2 = 90 g, Länge der masselos angenommenen
Stange l = 0,55 m).
Die Geschwindigkeit des Geschosses vor dem
Zusammenprall läßt sich aus Impulssatz beim
Stoß und Energiesatz nach dem Stoß bestimmen.
Beim Stoß gilt der Impulssatz:


( m1  m2 ) u  m1 v 1
Bild 5.4: Ballistisches Pendel
(Grafik aus [1])
m1

v1
( m1  m2 )

 u 
Beim Stoß gilt der Energiesatz:
1
2

m1 v12 
1
2

( m1  m2 ) u 2  Wkin
Nach dem Stoß gilt ebenfalls der Energiesatz:
1
2

(m1  m2 ) u 2  ( m1  m2 ) g h  ( m1  m2 ) g l (1  cos( ))
Durch geeignete Umformung erhält man

u  2 gl (1  cos( ))
und durch Einsetzen des Impulssatzes für die Geschwindigkeit des Geschosses vor dem Stoß:
 m m
v1  1 2
m1
2 gl (1  cos( ))
Versuch: „Ballistisches Pendel“:
Der Versuch wird mit einer Luftpistole durchgeführt.
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V.3.2 Schräger zentraler elastischer Stoß
Prinzip:
Beim Stoß wirken elastische Wechselwirkungskräfte nur in Richtung der Stoßgeraden, die auf den
Berührungsflächen senkrecht steht. Demnach werden auch nur diejenigen Geschwindigkeits-
komponenten von dem Stoß beeinflusst, die in Richtung der Stoßgeraden liegen.
Folgerungen:
1. Senkrecht zur Stoßgeraden können keine Impulse ausgetauscht werden. Das bedeutet: Senkrechte Geschwindigkeitskomponenten ändern sich beim Stoß nicht.

u1S 

u2 S 

v1 S

v2 S
2. Parallel zur Stoßgeraden gelten die Stoßgesetze.
Der Impulssatz liefert




m1  v1 P  m2  v 2 P  m1  u1 P  m2  u2 P
Der Energiesatz liefert :
1
2

m1  v12P 
1
2

m2  v 22P 
1
2

m1  u12P 
1
2

m2  u22P
Mit denselben Umformungen wie in Abschnitt V.3.1 erhält
man die Stoßgesetze für die beiden Kugeln:
2 m2
m  m2 


u1 P  1
v1 P  
v2 P
m1  m2
m1  m2

u2 P 
2 m1
m  m1 

v1 P   2
v
m1  m2
m1  m2 2 P
Bild 5.5: Darstellung des
schrägen Stoßes zweier
Kugeln mit Zerlegung der
Geschwindigkeiten in
Komponenten parallel und
senkrecht zur Stoßgeraden
(Grafik aus [1])
Erläuterung des schrägen elastischen Stoßes an einem Beispiel:
1. Eine Kugel prallt schräg und elastisch auf eine Wand. Senkrecht
zur Stoßgeraden bleibt die Geschwindigkeit erhalten (Gleichung
5.20). Damit erhält man für die senkrechte Geschwindigkeitskomponente nach dem Stoß:


uS  v S
Parallel zur Stoßgeraden gelten die Stoßgesetze. Für den Stoß
einer Kugel gegen eine Wand mit unendlicher Masse ergab sich
in Abschnitt V.3.1:

uP

  vP
Für den Ausfallswinkel ’ liest man ab:
uS
vS
sin( ' ) 
 
 sin( )
uP
vP
Bild 5.6: Schräge
zentraler Stoß eines
Körpers gegen eine
Wand
(Grafik aus [1])
Als Ergebnis erhält man das übliche Reflexionsgesetz :
Einfallswinkel = Ausfallswinkel
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VI Dynamik der Drehbewegungen
VI.1 Rotation des Massenpunkts, Zentripetal- und Zentrifugalkraft
Auf einen Massenpunkt auf einer Kreisbahn wirken folgende Beschleunigungen:

1. Radialbeschleunigung (Normalbeschleunigung) a r :
Die Radialbeschleunigung verändert die Richtung, jedoch nicht den Betrag der Geschwindigkeit.


Richtung a r  v

Betrag a t 

v2
r
2. Tangentialbeschleunigung at :
Die Tangentialbeschleunigung verändert den Betrag, jedoch nicht die Richtung der
Geschwindigkeit.

Richtung a t

v

Betrag at  r  
Massenpunkt auf einer Kreisbahn
Ein Massenpunkt befindet sich mit konstanter
Bahngeschwindigkeit auf einer Kreisbahn
 gleichförmige Kreisbewegung.
Nach dem 1. Newtonschen Axiom muss auf
den Massenpunkt eine Kraft wirken, da er bei
Kräftefreiheit ruhen oder sich geradlinig
gleichförmig bewegen würde. Diese Kraft ist

die Ursache der Radialbeschleunigung a r .
Bild 6.1: Massenpunkt mit konstanter Bahngeschwindigkeit auf Kreisbahn (eigene Grafik)
Definition



Die Ursache für die Radialbeschleunigung a r nennt man Zentripetalkraft FZP  mar .
Die Zentripetalkraft hat den Betrag
FZP  mar 
mv 2
 mr 2
r
(Gl. 6.1)
und greift an dem Körper an, der auf eine Kreisbahn gezwungen wird.
Bemerkung:
Entfällt die Zentripetalkraft (Seil reißt, Reibungskraft bricht zusammen o.ä.), so verlässt der Körper
die Kreisbahn und fliegt in tangentialer Richtung weg.
Aus der Sicht des mitbewegten Beobachters:
Im mitbewegten Bezugssystem ist der Körper auf der Kreisbahn in Ruhe und damit kräftefrei. Es
muss daher eine Trägheitskraft geben, die der Zentripetalkraft das Kräftegleichgewicht hält.
Definition

Die Trägheitskraft, die der Zentripetalkraft FZP im mitbewegten Bezugssystem das

Kräftegleichgewicht hält, nennt man Zentrifugalkraft FZF . Die Zentrifugalkraft hat
immer den gleichen Betrag wie die Zentripetalkraft und ist dieser entgegengesetzt
gerichtet. Es gilt immer


FZF   FZP
(Gl. 6.2)
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Folgerungen:
1. Entfällt die Zentripetalkraft (Seil reißt, Reibungskraft bricht zusammen o.ä.), so verschwindet
gleichzeitig auch die Zentrifugalkraft.
2. Die Zentrifugalkraft kann als Trägheitskraft nichts bewirken. Es ist daher unmöglich, dass die
Zentrifugalkraft einen Körper aus der Bahn „trägt“.
3. Verlässt ein Körper seine Kreisbahn, so liegt das nicht daran, dass die Zentrifugalkraft die
Zentripetalkraft übersteigt. Vielmehr kann durch physikalische Effekte die nach Gleichung 6.1
notwendige Zentripetalkraft nicht mehr erzeugt werden.
Beispiele:
1. Auto in einer Kurve:
Die notwendige Zentripetalkraft für eine
Kurvenfahrt wird durch die Reibung
zwischen eingeschlagenen Vorderrädern
und der Straße erzeugt. Ist die Fahrbahn
glatt, so kann die bei gegebener
Geschwindigkeit und Kurvenradius
notwendige Zentripetalkraft nicht mehr
erzeugt werden und das Auto verlässt die
vorgegebene Fahrbahn. Dieses Verhalten
wird nicht durch die Zentrifugalkraft
erzeugt.
Bild 6.2: Automobil auf Kurvenfahrt: Reibungskraft
liefert die notwendige Zentripetalkraft
(eigene Grafik)
2. Fliehkraftregler:
Ein Fliehkraftregler besteht aus zwei rotierenden
Kugeln, die jeweils an Pendelarmen der Länge l befestigt sind. Die Zentripetalkraft FZp entsteht durch
Zerlegung der Gewichtskraft FG. Es gilt

FZp  FG  tan( ) und

FZp  m   2  r  m   2  l sin( )
Durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen kann
der Winkel  in Abhängigkeit von der Winkelgeschwindigkeit  bzw. der Drehzahl n = /2
bestimmt werden.
Überschreitet der Winkel  einen bestimmten Grenzwert, so wird der Antrieb abgeschaltet und
damit die Drehzahl begrenzt.
3. Zweiradfahrer in der Kurve:
Um die für die Kurvenfahrt notwendige Zentripetalkraft zu erhalten
muss sich ein Zweiradfahrer in die Kurve legen. Es gelten die für den
Fliehkraftregler abgeleiteten Beziehungen. Die Gewichtskraft wird in
eine Zentripetalkraft und in eine Kraft zerlegt, die Richtung der
Symmetrieebene des Fahrrads im Neigungswinkel gegen die
Senkrechte nach unten wirkt.
Mit dem Neigungswinkel  des Rades gegen die Senkrechte gilt


m  v2
FZp  FG  tan( ) und FZp 
r
Der Neigungswinkel  des Rades ist abhängig vom Schwerpunktradius r und der gefahrener Geschwindigkeit.
09.04.2014
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4. Überhöhte Fahrbahn:
Reichen die erzielbaren Reibungskräfte für die gewünschte Kurvengeschwindigkeit z.B. auf
Fahrversuchsbahnen nicht mehr aus, so können die Zentripetalkräfte durch Überhöhung der
Fahrbahn gesteigertt werden. Wird die Fahrbahn gegen die Waagerechte um den Winkel 
geneigt, so lässt sich die durch Überhöhung zusätzlich erzielbare Zentripetalkraft FZp’
berechnen aus
.
F ' Zp  FG  tan( )
Zur Verminderung der Radführungskräfte bei Kurvenfahrten von Schienenfahrzeugen werden
die Schienen in Kurven ebenfalls überhöht. Die Grenze der Überhöhung liegt dort, wo bei
Güterzügen, die in Kurven zum stehen kommen, die Ladung zu verrutschen droht.
5. Wäscheschleuder:
Die Haltekräfte (Adhäsionskräfte) zwischen Wassertröpfchen und Wäsche sorgen dafür, dass
sich die Wassertröpfchen auf einer Kreisbahn bewegen. Wir die Drehzahl und damit die
Bahngeschwindigkeit v bei vorgegebenem Radius r zu hoch, so reichen die Adhäsionskräfte
nicht mehr aus. Die Wassertröpfchen verlassen die Kreisbahn in tangentialer Richtung  die
Wäsche wird trockener.
Versuche: „Zentripetalbeschleunigung“
Demonstration der Zentripetalkraft an verschiedenen rotierenden Systemen:
- Fliehkraftbegrenzer
- Kugeln in kreisförmiger Rinne
- rotierende Flüssigkeit in zylinderförmigem Glas
Erläuterung der Kurventechnik eines Zweiradfahrers durch „In die Kurve legen“.
VI.2 Dynamik des starren Körpers
Problem:
Der Massenpunkt auf einer Kreisbahn ist kein ausreichendes mathematisches und physikalisches
Modell für ein rotierendes Rad oder eine rotierende Welle. Es ist daher der Übergang vom
Massenpunkt auf den starren Körper notwendig.
Definition
Der starre Körper ist das physikalische Modell eines ausgedehnten rotierenden Körpers, den
man sich aus vielen einzelnen Massenpunkten vorstellt, die untereinander starr verbunden sind.
Die Massenpunkte behalten daher ihre relative Lage zueinander unabhängig von äußeren
Einflüssen.
Folgerung:
Die Verformung von Reifen bei der Rotation, die z.B.
von Autoreifen bekannt ist, bleibt unberücksichtigt.
Schematische Darstellung eines starren Körpers
In der nebenstehenden Darstellung des starren
Körpers sind einzelne Massenelemente mi und ihr
jeweiliger radialer Abstand zur Drehachse ri eingezeichnet.
09.04.2014
Bild 6.3: Schematische Darstellung eines
starren Körpers mit einzelnen
Massenelementen (Grafik aus [1])
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VI.3 Energie des rotierenden Körpers - Massenträgheitsmoment
Der einzelne Massenpunkt hat auf seiner Kreisbahn um die Drehachse die kinetische Energie
 Wi 
1
2

 m1  vi2 
1
2
 m1  ri 2  2
Damit summiert sich die Gesamtenergie aus den einzelnen Energien
Wkin 
 W

i
1 2

2
Wkin 

1
2
 m1  ri 2  2 
1
2
  m  r 
2
2
1
2
i
(Gl. 6.3)
i
1
  m  r 
Definition
Ein starrer Körper mit N Massenelementen mi mit den Abständen ri von der Drehachse hat in
Bezug auf die Drehachse das Massenträgheitsmoment J. Für einen solchen Körper berechnet
man J aus
J 
m
1
 ri 2
(Gl. 6.4)
Das Massenträgheitsmoment eines starren Körpers mit kontinuierlicher Massenverteilung erhält
man durch die Grenzübergänge N  , mi  dm und   
J 
N
lim   m
N  i  1
mi  o
1
mges
 ri
 r

2
2
dm
0
(Gl. 6.5)
Das Massenträgheitsmoment eines homogenen starren Körpers mit der Dichte  beträgt
V ges
J 
r
V ges
2
dV  
0
 r
2
dV
0
(Gl. 6.6)
Folgerungen:
1. Das Massenträgheitsmoment hängt ab von
 der Gesamtmasse des Körpers,
 der Form des starren Körpers,
 der Massenverteilung bezüglich der Drehachse und
 der Lage der Drehachse im Körper
2. Aus Gleichung 7.3 ergibt sich für die Bewegungsenergie des rotierenden Körpers:
Wrot 
Zum Vergleich:
09.04.2014
Wkin 
1
J2
2
(Gl. 6.7)
1
m v2
2
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Ein Körper hat je nach Lage der Drehachse ganz verschiedene Massenträgheitsmomente J.
Beispiel:
Vergleich eines Volkegels mit 2 verschiedenen Achsen:
a) die Drehachse entspricht der Symmetrieachse
b) die Drehachse geht durch die Spitze des Kegels senkrecht zur Symmetrieachse
Bild 6.4: Abhängigkeit des Massenträgheitsmoments von der Lage der Drehachse:
Im Fall b) sind die Massenelemente im Mittel sehr viel weiter von der
Drehachse entfernt als im Fall a)  Jb > Ja (Grafik aus [1])
Merksatz
Zur Angabe eines Massenträgheitsmoments zu einem Körper gehört immer auch die Angabe der
Lage der dazugehörigen Drehachse. Häufig gehen die Drehachsen durch den Schwerpunkt des
Körpers. Man spricht in diesem Fall von Schwerpunktachsen.
Beispiel: Berechnung des Massenträgheitsmoments eines Vollzylinders
Vges
r
J  
h R 2
Vges
2
dV  
0
r
2
R
2
0
0
0
0 0 0
   dz  r r dr  d   h 2
J 

2
R
dz dr rd      r dz dr rd    dz  r rdr  d
0
h
h
2
2
0
0
0
1 4
1
1
R  V R  m R2
4
2
2
1
m R2
2
Beispiele für Massenträgheitsmomente verschiedener Körper bezüglich bestimmter
Schwerpunktsachsen (Grafiken aus [1]):
a) Hohlylinder Wanddicke D << Radius R
Rotation um die Symmetrieachse
J  m R2
(Gl. 6.8a)
b) Vollzylinder Radius R
Rotation um die Symmetrieachse
J 
09.04.2014
1
m R2
2
(Gl. 6.8b)
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c) Kugel Radius R
Rotation um irgendeine Schwerpunktachse
J 
2
m R2
5
(Gl. 6.8c)
d) Stab Dicke D << Länge L
Rotation um die Symmetrieachse
J
1
m L2 (Gl. 6.8d)
12
Folgerung aus der Definitionsgleichung von J:
Massenträgheitsmomente Jges zusammengesetzter Körper können aus den Massenträgheitsmomenten Ji der Teilkörper durch Addition bzw. Subtraktion ermittelt werden. Einzige Bedingung
ist, dass sich alle beteiligten Massenträgheitsmomente auf eine gemeinsame Drehachse beziehen
(siehe dazu auch Abschnitt VI.3.1).
Beispiel: Berechnung des Massenträgheitsmoments eines Hohlzylinders mit endlicher Wandstärke
J kann berechnet werden durch Subtraktion von Ji eines gedachten Vollzylinders, der das durch
die Bohrung fehlende Material beschreibt (Radius Ri), von dem gedachten Vollzylinder ohne
Bohrung (Radius Ra).
J a  12 ma  Ra2
J i  12 mi  Ri2
 J ges  J a  J i
Die Masse m des Hohlzylinders entspricht weder ma noch mi!
ma  Ra2 l


mi  Ri2 l


 m  ma  mi   Ra2  Ri2 l
J ges  J a  J i  12 ma Ra2  12 mi Ri2  12 Ra2 lRa2  12 Ri2 lRi2
 12 lRa4  12 lRi4  12 l Ra4  Ri4   12 l Ra2  Ri2 Ra2  Ri2 




J ges  12 l Ra2  Ri2 Ra2  Ri2  12 m Ra2  Ri2

Merksatz
In einem rotierenden Körper steckt auch dann Energie, wenn keine Translationsbewegung
vorliegt.
VERSUCH „Rollender Zylinder auf schiefer Ebene“:
Die Geschwindigkeit des Körpers am Ende der schiefen Ebene läßt sich nach dem
Energiesatz berechnen:
J 2
1 2
1
mv  J  2  m g h  mv 2 
v  2mg h
R2
2
2
2mg h
2 gh
 v2 
 v2 
J
J
m 
1 
2
R
m R2
Fazit des Versuchs: Die Geschwindigkeit am Ende der schiefen Ebene ist kleiner als die,
die man unter Vernachlässigung der Rotation berechnet hätte.
09.04.2014
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Definition
Jeder Körper besitzt bezüglich seines Schwerpunkts ein größtes und ein kleinstes Massenträgheitsmoment. Man nennt die senkrecht aufeinander stehenden Schwerpunktsachsen mit dem
maximalen und dem minimalen Massenträgheitsmoment die Hauptträgheitsachsen des
Körpers. Die zugehörigen Trägheitsmomente nennt man Hauptträgheitsmomente.
Merksatz
Die Rotation eines starren Körpers um eine beliebige Schwerpunktachse kann in Rotationen um
die Hauptträgheitsachsen zerlegt werden. Die Zerlegung in andere senkrecht aufeinander
stehende Achsen ist nicht möglich. Man erhält für einen beliebigen Vektor der Winkelgeschwindigkeit die folgende Zerlegung:




   x   y  z
(Gl. 6.9)
VI.3.1 Steinerscher Satz
Problem:
Wie kann das Massenträgheitsmoment J eines Körpers bezüglich einer beliebigen Drehachse aus
dem Trägheitsmoment JS einer parallelen Schwerpunktsachse berechnet werden ?
Die Lösung kann mathematisch durch Rechnung abgeleitet werden. Wir bevorzugen eine
anschauliche Ableitung:
1.Ansatz:
Die Rotation des Körpers soll so erfolgen, dass die
Winkellage des Körpers bei der Rotation konstant
bleibt. Das bedeutet, dass in S ein Lager vorhanden
ist und der Punkt A immer oben bleibt.
 Man erhält die Rotationsenergie
W 
1 2
1
mv  m 2 s 2
2
2
2. Erweiterung: Der Körper dreht sich bei der Rotation um
die Achse D zusätzlich noch um seinen eigenen
Schwerpunkt. Das bedeutet, dass in S kein mehr
Lager vorhanden ist und der Punkt A seine
Winkellage ändert.
Bild 6.6: Zur Ableitung des Steinerschen
Satzes (Grafik aus [1])
 Man erhält jetzt die Rotationsenergie
W 
1
1
m 2 s2  J S  2
2
2
 W 
1
(m s 2  J S )  2
2
Steinerscher Satz
Rotiert ein Körper um eine beliebige Achse, die parallel zu einer Schwerpunktachse im Abstand s
liegt, so gilt für das Massenträgheitsmoment bezüglich dieser Drehachse:
J  JS  ms2
(Gl. 6.10)
Beispiel:
Ein Zylinder (Radius R, Masse M) rotiert um eine Achse auf der Mantelfläche:
J 
09.04.2014
1
3
m R2  m R2  m R2
2
2
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VI.3.2 Rollender Körper
Problem:
Die Rollbewegung eines Körpers stellt eine Überlagerung einer Rotationsbewegung und einer
Translationsbewegung dar. In beiden Bewegungsformen steckt Energie. Das Problem der
Beschreibung einer Rollbewegung steckt in der korrekten Festlegung der Drehachse.
Es gibt grundsätzlich zwei Möglichkeiten für die Festlegung einer Drehachse:
1.Möglichkeit: Der Körper rotiert bei der Rollbewegung um
seinen momentanen Auflagepunkt D auf der
Unterlage. Die Drehachse bewegt sich dabei mit
der Bewegung des Körpers mit, es gibt daher
immer nur eine momentane Drehachse.
 Mit dem Steinerschen Satz erhält man für die Energie
des rollenden Körpers
1
J 2 
2
1
 J S 2 
2
W 


1
J S  mR 2  2
2
1
1
1
mR 2 2  J S  2  mv 2
2
2
2
Bild 6.7: Rollendes Rad
(eigene Grafik)
2.Möglichkeit: Man zerlegt die Rollbewegung des Körpers in eine Translation des Schwerpunkts
und in eine überlagerte Rotationsbewegung um seine Schwerpunktachse.
 Man erhält unter dieser Annahme für die Energie des rollenden Körpers
W 
1
1
J S  2  mv 2
2
2
Fazit: Wie das identische Ergebnis für die Rollenergie zeigt, sind beide Beschreibungen der
Rollbewegung gleichwertig. Während Möglichkeit 1 in vielen Fällen die einzige korrekte
Möglichkeit darstellt, physikalische Phänomene zu erklären, hat die Möglichkeit 2 den
Vorteil größerer Anschaulichkeit und Einfachheit.
09.04.2014
Skript Expphy 1 V9-14
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PHYSIK
Seite 79
VI.4 Drehmoment
Ausgangspunkt:
An einem Körper mit fest gelagerter Achse in D
greift am Punkt A ein Kraftvektor F an.
1. Eine Kraft mit einer Wirkungslinie durch die
Drehachse bleibt ohne Wirkung.
2. Bezeichnet man als Drehebene eine Ebene
senkrecht zur Drehachse, so bleibt eine Kraft
senkrecht zur Drehebene in Achsrichtung ohne
Wirkung.
Definition
Bild 6.8: Definition des Drehmoments
(eigene Grafik)

Das Drehmoment M kennzeichnet ein Paar von in


der Drehebene liegenden Kräften F und  F , die an einen starren Körper im Abstand des


Radiusvektors r angreifen. M ist ein Vektor, der senkrecht auf der Drehebene steht und dessen

Richtung durch die Rechtsschraubenregel festgelegt wird, wenn man r auf dem kürzesten Weg

auf F dreht. Die vektorielle Definition des Drehmomentvektors lautet:
  
M  r xF
(Gl. 6.11)

Der Betrag des Drehmoments wird gebildet als Produkt aus dem Betrag r des Radiusvektors r
und dem Betrag der wirksamen Kraftkomponente

 
M r  F  sin( )r  F  sin(r , FE )
(Gl. 6.12)
VERSUCH „Garnrolle“ (eigene Grafik):
Eine Garnrolle kann an einem Faden in
unterschiedliche Richtungen gezogen werden. Dabei
ist immer der
Auflagepunkt der Rolle auf der Unterlage als
momentaner Drehpunkt anzunehmen.
1. Fall: Faden waagerecht, Rolle bewegt sich nach
rechts
2. Fall: Faden schräg nach oben, Rolle bewegt sich
nach links
3. Fazit des Versuchs:
Das Moment wechselt die Richtung je nach
wirksamem Radiusvektor.
09.04.2014
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VI.4.1 Dynamische Grundgleichung der Drehbewegung
VERSUCH „Drehmomentenrad“:
Ein Rad ist um eine Achse D drehbar gelagert. Die Achse trägt eine Scheibe, auf die ein Faden
gewickelt ist, an dem eine Masse m hängt. Gibt man die Masse m frei, so beginnt auf die
Masse m die Geschichtskraft zu wirken, die ein konstantes Drehmoment erzeugt. Das führt
eine beschleunigte Drehbewegung aus.
Wirkung eines Drehmoments
Zusammenhang zwischen dem Drehmoment M und der Winkelbeschleunigung :
Man denkt sich den starren Körper in Massenelemente mi zerlegt. Der Körper soll die
Winkelbeschleunigung  erfahren. Alle Massenelemente mi erfahren die Bahnbeschleunigung
ai, die durch die auf jedes Massenelement wirkende Kraft Fi verursacht wird. Insgesamt entstehen
i Momente Mi mit den Beträgen riFi. Man erhält ein Gesamtdrehmoment
M  r1 F1  r2 F2  .....  rN FN 
M 
N
 ri Fi 
i 1
N
 ri mi ai 
i 1
N
 r m  r
i 1
i
i
i
 N 2

2


r
m

  ri mi    J  

i
i
i 1
 i 1

N
Es ergibt sich
die dynamische Grundgleichung der Drehbewegung:
Drehmoment = Massenträgheitsmoment  Winkelbeschleunigung


M  J 
(Gl. 6.13)
Bei dieser Formulierung der dynamischen Grundgleichung ist unterstellt, dass die Drehachse
ortsfest und das Massenträgheitsmoment J ein Skalar ist.
VERSUCH „Drehmomentenrad Fortsetzung“:
Mit der dynamischen Grundgleichung der Drehbewegung kann aus der
Winkelbeschleunigung das Massenträgheitsmoment J experimentell bestimmt werden
J 
M


mg r

Die Winkelbeschleunigung lässt sich aus Weg und Zeit der Bewegung von m bestimmen.
 
2s
a

r
rt2
Insgesamt erhält man für das Massenträgheitsmoment aus den Messgrößen s und t:
J 
09.04.2014
mg r


mg r 2 t 2
2s
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Folgerung:
Greifen an einen Körper Drehmomente mit entgegengesetzter Wirkung an, so heben sie sich
teilweise auf. Sind die Beträge der Momente gleich, so herrscht ein Zustand, den man
Momentengleichgewicht nennt.
Verallgemeinerung:
Im statischen Momentengleichgewicht ist die Vektorsumme aller am Körper angreifender
Momente gleich Null.
statisches Momentengl eichgewich t


M
i

 0
i
Beispiel: Attwood‘sche Fallmaschine
Erweiterung des Versuchs Drehmomentenrad mit 2 Massen
Kräfteansatz: Summe der Antriebskräfte = Summe der Widerstandskräfte +
Summe der Trägheitskräfte
FA  FWi  FTr 1  FTr 2
m1 g  m 2 g  m1 a  m 2 a
 m1  m 2  a 
m1 
m 2 g
Jetzt Berücksichtigung der Rotationsträgheit des Rads
FWi 2 
M
J
Ja

 2
r
r
r
Damit erhält man eine zusätzliche Widerstandskraft
FA  FWi1  FWi 2  FTr 1  FTr 2
m1 g  m 2 g 
Ja
 m1 a  m 2 a
r2
J 

  m1  m 2  2  a  m1  m 2 g
r 

m1  m 2
g
 a 
J
m1  m 2  2
r
Setzt man das Rad speziell als Scheibe an, so erhält man
J 
1
mS R 2
2
a 
09.04.2014
m1  m 2
m
m1  m 2  S
2
g
(Gl. 6.14)
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VI.4.2 Arbeit, Energie und Leistung bei Drehbewegungen
a) Arbeit
1
2
Die Rotationsenergie Wrot  2 J  entspricht der geleisteten Arbeit:
W  F s
s auf der durchlaufe nen Bahn
 F  r   M 
falls das Moment während der Drehung konstant ist.
Formel der Arbeit bei Drehbewegungen:
Arbeit = Drehmoment  überstrichener Winkel
W  M 
(Gl. 6.15)
Behauptung:
2
1
Die geleistete Arbeit W = M entspricht der Rotationsenergie Wrot  2 J 
Beweis für den Fall der gleichmäßig beschleunigten Drehbewegung:
Wrot  M    J    J  12  t 2 
1
2
J 2 t 2 
1
2
J 2 falls  = const
Allgemeiner Fall:
M ist zeitabhängig und damit vom Drehwinkel  abhängig (M = M()). Dann muss die Arbeit
durch ein Wegeintegral berechnet werden.
Mit W0: Rotationsenergie vor der Winkelbeschleunigung
W1: Rotationsenergie nach der Winkelbeschleunigung erhält man
W 
W1
 dW
W0

1
 M ( )d
0
(Gl. 6.16)
b) Leistung
Erinnerung: Leistung war in Abschnitt IV.3 definiert als Arbeit pro Zeit.
Folgerung:
Für die physikalische Größe Leistung bei Drehbewegungen kann demnach folgende Umformung
vorgenommen werden:
dW
d (M   )
dM
d


  M
dt
dt
dt
dt
 M   falls M zeitlich const
P 
Formel der Leistung bei Drehbewegungen:
Leistung = Drehmoment  Winkelgeschwindigkeit
P  M 
09.04.2014
(Gl. 6.17)
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Folgerung:
Eine hohe Leistung (z.B. eines Motors)
kann entweder durch ein großes
Drehmoment bei kleiner Drehzahl oder
durch hohe Drehzahl bei kleinem
Moment erzielt werden.
Amerikanische Limousine: großer
Hubraum  großes Drehmoment 
kleine Drehzahl
Rennmotorrad: kleiner Hubraum 
kleines Drehmoment  große Drehzahl
Nebenstehend ist in Bild 6.9 das M(n)und P(n) Diagramm eines Kfz-Motors
dargestellt.
Bild 6.9:
Drehmoment M und Leistung P
eines Kfz-Motors in Abhängigkeit
von der Drehzahl n (Grafik aus [1])
VERSUCH „Prony’scher Zaum“:
Leistungsmessung eines Elektromotors (Grafik aus [1])
F2  FR  F1  FR  F2  F1
FR  mg  F1
Arbeit:
W  FR  s

 M    FR  r  
P  FR  r    F2  F1   r  2  n
 Tabelle
Masse m
09.04.2014
Kraft F1
Radius r
Kreisfreq.  Leistung
P()
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Anwendungsbeispiel: Getriebe als Drehmomentwandler
Die Umfangsgeschwindigkeiten an den Zahnrädern
sind gleich
Bahngeschwindigkeiten:
r1 1  r2 2
1
r
 2
2
r1

Leistung:
P1  M 1 1  P2  r2 2
Damit erhält man als Verhältnis der Drehmomente
antriebs- und abtriebsseitig:
Bild 6.10: Das Getriebe als
Drehmomentwandler
(eigene Grafik)
M1

r
 2  1
M2
1
r2
VI.5 Zusammenfassung der Formeln der Drehbewegung
Rotation
Translation
Winkel 
Weg s
Winkelgeschwindigkeit 

Geschwindigkeit v

Beschleunigung a


Winkelbeschleunigung 
Gleichf. beschleunigte Bewegung
 = const
Gleichf. beschleunigte Bewegung
a = const
  0   t
v  v0  a t
   0   0 t  12  t 2
s  s 0  v 0 t  12 at 2
Träge Masse
m
Massenträgheitsmoment:
m ges
J 
 r
2
dm
0
Drehmoment:
Kraft:
Arbeit: W  M  
 
 F s
 
Leistung: P  F  v


F  ma


M  J 
Arbeit: W
Leistung: P  M  
Rotationsenergie: Wrot 
09.04.2014
1
J2
2
Kin. Energie: W kin 
1 2
mv
2
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VII Drehimpuls
Analog zum Impuls bei Translationsbewegungen definiert man bei Drehbewegungen den
Drehimpuls.
VII.1 Drehimpuls eines Massenpunkts
Definition


Der Drehimpuls L ist ein Vektor, der senkrecht auf der vom Radiusvektors r und dem Impuls

p aufgespannten Ebene steht. Die vektorielle Definition des Drehimpulsvektors lautet:

 
 
L  r  p  m  r v
(Gl. 7.1)
Die Richtung des Drehimpulsvektors wird durch die Rechtsschraubenregel bestimmt.

Der Betrag des Drehimpulses wird gebildet als Produkt aus dem Betrag r des Radiusvektors r und
dem Betrag der wirksamen Impulskomponente

 
 
L  r  p  sin(r , p)  m r  v  sin(r , v )
(Gl. 7.2)
Bild 7.1:
Der Drehimpuls eines
Massenpunkts auf einer
Kreisbahn (eigene Grafik)
Berechnet wird die zeitliche Änderung des Drehimpulses. Für die Ableitung von Vektorprodukten
die Produktregel:
dL
d  
r  p  

dt
dt

dr 
p 
Wegen
dt


dp 
dr 
p 
r
dt
dt

dr 
p  0
dt



 dp
dL
d  
r  p   r   r  p  r  F  M

Insgesamt erhält man:
dt
dt
dt
Es ergibt sich:
09.04.2014


dL
M 
dt
(Gl. 7.3)
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Seite 86
Folgerung:
Wirkt kein äußeres Drehmoment, so bleibt der Drehimpuls konstant. Der Drehimpuls ändert sich
nur bei Wirken eines äußeren Drehmoments. Man spricht vom Drehimpulserhaltungssatz:



dL
M 
 0  L  const
dt
(Gl. 7.4)
Es existiert eine Analogie zur translatorischen Bewegung:




dp
F 
 0  p  const  v  const
dt
VII.2 Drehimpuls des starren Körpers
Ausgangspunkt:
Als Ausgangspunkt der Betrachtungen benutzen
wir ein stark vereinfachtes Modell eines starren
Körpers. Um eine feste Achse läuft ein Massenpunkt um, der mit einer masselosen starren
Verbindung mit der Achse verbunden ist.
Folgerung:

Der Drehimpulsvektor L fällt im Allgemeinen

nicht mit dem Vektor  der Drehachse
zusammen und ändert seine Richtung ständig.
Das Drehmoment für eine zeitliche Änderung

von L muss von außen auf die Achse
übertragen werden.
Zerlegung des Drehimpulses:

 
 

L  r  p  ( r||  r )  p



 


L  r||  p  r  p  L   L||
L||  r  p  m r2
Bild 7.2: Drehimpuls eines starren Körpers
bestehend aus einem einzigen
Massenpunkt, der an einer
masselosen Stange um eine feste
Achse rotiert. (Grafik aus [1])
p  m  v  m  r 
mit
Erweiterung:
Ein axialsymmetrischer Körper rotiert um seine Symmetrieachse. Axialsymmetrie eines Körpers
bedeutet, dass es zu jedem Massenelement m1 ein Massenelement m2 mit axialsymmetrischer
Lage gibt, wobei gilt m1 = m1.



L1   L 2 , die senkrechten Komponenten des Drehimpulses heben sich gegenseitig


L1  L 2  0
auf:
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
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Seite 87


L||1  L||2 , die parallelen Komponenten des
Drehimpulses addieren sich.
Folgerung:
Bei einem um eine Symmetrieachse rotierenden starren

Körper liegt der Drehimpulsvektor L parallel zum

Vektor der Winkelgeschwindigkeit  , d.h. es gilt
 
L ||  . Für den Betrag des Drehimpulsvektors gilt:
L 
N
 L||i 
i 1
Wegen J 
N
 m r
i 1
2
i i

N
 m r
2
i i
i 1
Folgerung:
Für einen um seine Symmetrieachse rotierenden starren
Körper gilt :


L  J 
Verallgemeinerung:
Man kann zeigen, dass die Beziehung
(Gl. 7.5)
Bild 7.3: Drehimpuls eines axialsymmetrischen
starren Körpers bestehend aus zwei
Massenpunkten, die an masselosen
Stangen um die Symmetrieachsen
rotieren. (Grafik aus [1])


L  J   nicht nur für die Symnmetrieachse gilt,

sondern für alle Hauptträgheitsachsen. Der Drehimpuls L für eine beliebige Drehachse durch den
Schwerpunkt lässt sich in Komponenten in Richtung der Hauptträgheitsachsen zerlegen.
VII.3 Drehimpuls eines Systems von Massenpunkten
In einem System von Massenpunkten wirken innere
und äußere Kräfte.
Definition

Der Drehimpuls L eines Systems von
Massenpunkten in Bezug auf einen Bezugspunkt ist
gleich der vektoriellen Summe der Einzeldrehimpulse:

L 

L
i
N
i1
(Gl. 7.6)
Betrachtet werden muss das Problem innerer Kräfte in
einem System von Massenpunkten.
09.04.2014
Bild 7.4: System von
Massenpunkten
(Grafik aus [1])
Skript Expphy 1 V9-14
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Am Beispiel N=3:
Seite 88

1. Ansatz: Die äußeren Kräfte verschwinden: Fi  0
 mit dem 3. Newtonschen Axiom folgt:


F12   F21


F13   F31


F23   F32
 der Gesamtdrehimpuls des Systems von Massenpunkten beträgt:







M  r1  F12  r1  F13  r2  F21  r2  F23  r3  F13  r3  F23



 r1  r2   F12  r1  r3   F13  r2  r3   F23  0

weil rI  rJ  || F IJ
Satz von der Erhaltung des Drehimpulses
In einem System von Massenpunkten, die nur inneren Wechselwirkungskräften unterliegen, bleibt
der Gesamtdrehimpuls des Systems konstant:

L 

L
 i  const
N
(Gl. 7.7)
i1
Erweiterung:
Berücksichtigt man zusätzlich äußere Kräfte und damit äußere Momente, so gilt für jeden
einzelnen Massenpunkt:


dLi
Mi 
dt

 M 

 Mi 
N
i 1
N

i 1


dLi
d  N 
dL

  Li  
dt
d t  i 1 
dt
Erweiterung des Satzes von der Erhaltung des Drehimpulses
In einem System von Massenpunkten ist die Änderung des Gesamtdrehimpulses gleich dem
äußeren Gesamtdrehmoment:

M 


dL
Mi 

dt
i1
N
(Gl. 7.8)
VII.4 Beispiele zum Zusammenhang Drehmoment und Drehimpuls
Der Zusammenhang zwischen Drehmoment und Drehimpuls wird jetzt an einigen Beispielen
und Versuchen diskutiert und veranschaulicht:
a) Moment und Drehimpulsvektor liegen parallel
 
M || L
Es gibt eine Korrespondenz zum Fall
 
 
F || p bzw. F || v
der translatorischen Bewegung (Beschleunigung eines
Körpers ohne Richtungsänderung).


Der Körper wird durch das Moment M || L auf eine
höhere (oder niedrigere) Winkelgeschwindigkeit
(winkel)beschleunigt.
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Bild 7.5: Drehmoment parallel
Drehimpuls (eigene Grafik)
Skript Expphy 1 V9-14
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Merksatz

Seite 89

Sind Drehmoment M und Drehimpuls L parallel, so ändert sich der Drehimpuls im Zeitintervall
dt um den Betrag dL  M  dt . Die Richtung des Drehimpulses ändert sich nicht und bleibt damit
konstant.


b) Es wirkt kein äußeres Drehmoment M  0




Es gibt eine Analogie zu dem Fall F  0 : Es wirkt keine äußere Kraft. Aus M  0 folgt


dL 
 0  L  const . Man erhält die endgültige Form des Drehimpulserhaltungssatzes:
dt
Satz von der Erhaltung des Drehimpulses
Wirkt auf einen Körper oder ein System von Körpern kein äußeres Drehmoment, so bleibt der
Gesamtdrehimpuls nach Betrag und Richtung erhalten. Die vektorielle Summe aller
Drehimpulsänderungen verschwindet.
Die physikalischen Effekte, die mit dem Drehimpulserhaltungssatz verknüpft sind, werden in
einigen Experimenten erläutert.
b1)
VERSUCH „Drehimpulsscheiben“:
Es werden zwei Scheiben mit dem Massenträgheitsmoment J1 und J2 (J1 = J2) verwendet. Die Scheibe 1
wird auf die Winkelgeschwindigkeit V gebracht.
Bei Ankopplung der Scheibe 2 halbiert sich die
Winkelgeschwindigkeit, mit der beide Scheiben
rotieren.
Lvor  Lnach
 J1V 
 n 
b2)
 J1 
J 2  n
J1
1
V  V
J1  J 2
2
falls J 1  J 2
Bild 7.6: Drehimpulsscheiben
VERSUCH „Mann auf dem Schemel“:
(phys. abgeschlossenes System)
Durch Heranziehem der Hanteln an der Körper kann
der Mann auf dem Schemel seine Rotationsbewegung beschleunigen (Wirken innerer Kräfte bzw.
Momente).
Heranziehen der Hanteln  J wird kleiner   wird
größer
L  J    const  L  J  J  0
J
    

J
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Bild 7.7: Mann mit Hanteln
(Grafik aus [1])
Skript Expphy 1 V9-14
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PHYSIK
Seite 90
VERSUCH „Kardanischer Kreisel“:
b3) Der Kreisel ist kardanisch gelagert. Das
bedeutet, dass der Kreisel gleichzeitig um drei
senkrecht aufeinander stehende Achsen
gedreht werden kann, die sich alle im
Schwerpunkt S schneiden. Es wirkt kein
äußeres Moment:


L  J K   K  const
Eine beliebige Bewegung des Kreisels im Raum
bewirkt kein äußeres Drehmoment: die
Rotation der Kreisels bleibt fest im Raum.

L  const


 L ||  || Figurenach se
 n 
Bild 7.8: Kardanischer Kreisel
(Grafik aus [1])
J1
1
V  V
J1  J 2
2
falls J 1
b4) VERSUCH: Nutation
Auf einen Kreisel wirkt kurzzeitig senkrecht zur


Achse eine Kraft F und damit ein Moment M .
Dieses kurzzeitig wirkende Moment erzeugt


zusätzlich zum Kreiseldrehimpuls L K  J K  K

einen Drehimpuls L Z



Der Gesamtdrehimpuls L  L K  L Z bleibt nach
der Krafteinwirkung wieder konstant.
Die raumfeste Achse des Gesamtdrehimpuls
 

L  L K  L Z fällt jetzt nicht mehr mit der
Figurenachse überein: Die Figurenachse dreht sich
um die raumfeste Drehimpulsachse.Es gilt




L K  J K  K und L Z  J Z  Z
Da die Massenträgheitsmomente JK und JZ nicht
gleich sind (JK  JZ), liegt auch die Achse der
 

momentanen Drehung    K   Z nicht mehr
parallel zur Drehimpulsachse. Es gilt:
Vor der Krafteinwirkung:


L  L K  const


 L ||  || Figurenach se
Nach der Krafteinwirkung:



L  L K  L Z  const


 L    Figurenach se
09.04.2014
Bild 7.9: Nutation
(eigene Grafik)
Skript Expphy 1 V9-14
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PHYSIK
Seite 91
Definition
Bewegt sich die Figurenachse eines rotierenden Körpers um die raumfeste Achse des
Gesamtdrehimpulses, so nennt man diesen Vorgang Nutation.
b5) VERSUCH: „Drehimpulserhaltung bei Wirken
innerer Kräfte“
(Mann mit Bleifelge auf Schemel)
Eine Versuchsperson auf einem Schemel sitzend mit
einem Rad mit Bleifelge als Kreisel bilden ein physikalisch
abgeschlossenes System.Es wirken keine äußeren Kräfte
bzw. Momente.
1. Der Drehimpuls des Kreisels zeigt senkrecht nach
oben, die Versuchsperon ist in Ruhe: Der Drehimpuls
des Gesamtsystems besteht aus dem Drehimpuls des


Kreisels L0  L K
2. Die Versuchsperson kippt den Kreisel in die Waagerechte, die Versuchsperson beginnt sich zu drehen:
Der konstante Drehimpuls des Gesamtsystems

besteht jetzt aus dem Drehimpuls L K des Kreisels

und dem Drehimpuls L M der Versuchsperson:



L0  L K  L M
3. Die Versuchsperson kippt den Kreisel senkrecht nach
unten, die Versuchsperson beginnt sich schneller zu
drehen: Der konstante Drehimpuls des
Gesamtsystems besteht immer noch aus dem

Drehimpuls L K des Kreisels und dem Drehimpuls



L M der Versuchsperson, wobei L M und LK jetzt
entgegengesetzte Richtung haben





L0  L K  L M mit L M  2 L K
Bilder 7.10a bis c:
Drehimpulserhaltung
Mann mit schwerer Felge
auf Drehschemel
(Grafiken aus [1])
Bild 7.11:
Drehimpulserhaltung
09.04.2014
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c) Moment und Drehimpulsvektor stehen senkrecht aufeinander

Seite 92


M L

Es gibt eine Korrespondenz zu dem Fall F  0 : Es wirkt eine Kraft senkrecht zur
Bewegungsrichtung. Unter diesen Bedingungen enststeht eine Kreisbewegung.


Der Fall M  L lässt sich mit Hilfe eines Kreisels leicht realisieren:
Bild 7.12:
Präzession entsteht,
wenn Drehimpuls und
Drehmoment senkrecht
aufeinander stehen
(eigene Grafik)
Eine im Schwerpunkt des Kreisels angreifende Gewichtskraft verursacht ein Drehmoment

 
M  r  FG , das senkrecht zum Drehimpulsvektor gerichtet ist.
Folge: Der Kreisel kippt nicht nach unten, sondern er weicht seitlich aus, da sich der Drehimpuls in


der Zeit dt um dL  M dt ändert.
VERSUCH „Kreiselpräzession“:
An einen schwerkraftfrei gelagerten Kreisel wird ein Gewicht so angehängt, dass ein
Moment entsteht. Der Kreisel weicht mit der Präzessionskreisfrequenz P seitlich aus.
Berechnung der Präzessionskreisfrequenz P :
dL  L d  L  P d t

dL
 L P  M
dt
 P 
M
L
M wird vergrößert (größere Masse)  P wird größer
Kreisel präzediert (dreht sich) schneller
L wird vergrößert (größere Drehzahl)  P wird kleiner
Kreisel präzediert langsamer
09.04.2014
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PHYSIK
Merksatz
Seite 93



Wirkt ein Drehmoment M auf einen rotierenden Körper, so dass immer M  L gilt, so weicht

die Spitze des Drehimpulsvektors L in Richtung des Drehmoments aus. Die entstehende
Bewegung nennt man Präzession.
Der allgemeine vektorielle Zusammenhang zwischen Drehmoment, Drehimpuls und
Präzessionskreisfrequenz p lautet:

 
M  P  L
(Gl. 7.9)
Anwendungen:
1. Dreht man einen fest gelagerten rotierenden Körper mit der Winkelgeschwindigkeit P, so wirkt auf die
Lager ein Moment der Größe
M  L P .
2. Freihändig Fahrrad fahren: Fahrrad bzw.
allgemein Zweirad fahren ist nur dank des
Drehimpulserhaltungssatzes möglich.
Bild 7.13: Drehmoment durch
zwangsweise Drehung eines
rotierenden Körpers (Grafik aus [1])
 Kippt z.B. das Rad nach rechts, so entspricht

dies einer Kraft F , die als Ursache für diese
Kippbewegung angesehen werden kann.



M  r  F und damit eine Änderung des


Drehimpulses dL  M dt .


 dL  M dt erzwingt eine Drehung der
 Die Kraft F verursacht ein Drehmoment
Radachse in eine Rechtskurve und damit ein
Gegenlenken verursacht
 das Fahrrad stabilisiert sich von selbst
Bild 7.14: Zum freihändigen
Fahrradfahren (eigene Grafik)
3. Kreiselkompass:
Ein Kreisel, der in Richtung des Äquators (OstWest-Richtung) rotiert, erfährt auf Grund der

Erddrehung eine Kraft F senkrecht zur
Richtung des Drehimpulses.



M  r  F und damit eine Änderung des


Drehimpulses dL  M dt .
 Die Kraft F verursacht ein Drehmoment
 Dieses Drehmoment ist solange vorhanden, wie eine


Komponente von L senkrecht zum Drehmoment M
vorhanden ist, und verursacht eine Kreiselpräzession.


 Die Kreiselpräzession kommt zur Ruhe, wenn L || M
 Der Kreiselkompass stellt sich immer in
Nord-Süd-Richtung ein
09.04.2014
Bild 7.15: Einstellung eines Kreiselkompasses in Nord-Süd-Richtung durch
Erddrehung (Grafik aus [1])
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Seite 94
VII.5 Zusammenfassung der Formeln des Drehimpulses
Rotation
  
Drehimpuls L  r  p

 dL
Drehmoment M 
dt
 

M || L Richtung von L konstant

Betrag von L ändert sich



M  L Betrag von L konstant

Richtung von L ändert sich
 

F || p Richtung von p konstant

Betrag von p ändert sich
 

F  p Betrag von p konstant

Richtung von p ändert sich
Drehimpulserhaltung:
Impulserhaltung:


M  0  L  const
Translation


Impuls p  m  v
 dp
Kraft F 
dt


F  0  p  const
VII.6 Corioliskraft
Ausgangspunkt:
Als Corioliskraft bezeichnet man eine Trägheitskraft,
die bei Bewegungen in rotierenden Bezugssystemen
auftritt. Am einfachsten kann man die Corioliskraft
über die Erhaltung des Drehimpulses ableiten.
In einem rotierenden Bezugssystem sind folgende
Bewegungen möglich:
- radiale Bewegungen nach außen
- tangentiale Bewegungen bei konstantem Radius,
- axiale Bewegungen parallel zur Drehachse.
Zwangfreie radiale Bewegung eines Massenpunkts
in einem rotierenden Bezugssystem:


Es gilt: v r  r . Der Drehimpuls L  J   liegt
parallel zur Drehachse. Es wirkt kein äußeres
Drehmoment, daher ist der Drehimpuls des
Massenpunkts konstant.

. L  const
Bild 7.16: Zur Ableitung der
Corioliskraft (Grafik aus [1])
 L  0
Für den Drehimpuls des Massenpunkts gilt:


d
d
L  J    
mr 2    2mrr  mr 2  0
dt
dt
Weiterhin gilt für die Bewegung des Massenpunkts:
r  vr
  
r    at
Aus der Drehimpulserhaltung folgt:
2mrr   mr 2  0  2rv r    r 2
  2v r   r  a t
Damit erhält man für eine zwangfreie radiale Bewegung im rotierenden Bezugssystem:
at   2vr   aCoriolis
09.04.2014
(Gl. 7.10)
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Zwangfreie tangentiale Bewegung eines Massenpunkts in einem rotierenden
Bezugssystem:
- Das rotierende System besitzt die Winkelgeschwindigkeit .
- Der im rotierenden System sich tangential bewegende Körper hat eine eigene
Winkelgeschwindigkeit  Mp 
-
vt
r
Der ruhende Beobachter sieht eine effektive Winkelgeschwindigkeit  '   
vt
.
r
Damit der Körper auf seiner tangentialen Bahn bleibt, muss er für den ruhenden Beobachter
einer radialen Beschleunigung unterliegen. Sie beträgt
2
v2
v 

a r   ' r     t   r  r 2  t  2vt
r
r

2
-
Die ersten beiden Terme entsprechen den
Erwartungen.
> Der erste Term entspricht der
Radialbeschleunigung für einen ruhenden
Massenpunkt im rotierenden System.
> Der zweite Term entspricht der
Radialbeschleunigung einer Kreisbewegung im
ruhenden Bezugssystem.
>Der dritte Term entsteht durch die Bewegung
im rotierenden System.
Damit erhält man für eine zwangfreie tangentiale
Bewegung im rotierenden Bezugssystem:
aCoriolis  2vt 
Bild 7.16: Rechtsabweichung einer
Kugel auf einer rotierenden Scheibe
bei radialer zwangfreier Bewegung
(Grafik aus [1])
(Gl. 7.10)
Zwangfreie axiale Bewegung eines Massenpunkts in einem rotierenden Bezugssystem:
- Es gibt keinen Effekt.
Zusammenfassung:
Die Bewegung in einem rotierenden Bezugssystem führt zu einer Schein- oder Trägheitskraft, der
so genannten Corioliskraft FC. Diese ist nach dem 2. Newtonschen Axiom mit einer
Beschleunigung verbunden, der Coriolis-Beschleunigung. Es gilt:
Coriolisbeschleunigung

 
aC  2  v  
(Gl. 7.11a)
Corioliskraft


 
FC  m  aC  2  m  v  
(Gl. 7.11b)
Bild 7.17: Rechtsabweichung einer
Kugel auf einer rotierenden Scheibe
bei tangentialer zwangsfreier
Bewegung (Grafik aus [1])
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VIII Gravitation und Planetenbewegung
Alle Körper üben allein durch ihre bloße Existenz Anziehungskräfte aufeinander aus. Die
Gewichtskraft ist nichts anderes als die Massenanziehungskraft der Erde auf alle Körper.
Nach dem 3. Newtonschen Axiom (actio = reactio) übt auch jeder Körper auf die Erde eine
Gegenkraft aus, die jedoch auf Grund der großen Massenunterschiede nicht ins Gewicht fällt.
VIII.1 Begriff der schweren Masse
Definitionen
Die Massenanziehungskraft zweier Körper bezeichnet man als Gravitationskraft.
Gravitationskräfte sind immer auf ein Gravitationszentrum ausgerichtet.
Die Eigenschaft der Körper, die die Ursache für die Gravitationskraft (Massenanziehungskraft)
darstellt, nennt man schwere Masse mS (auch Gravitationsladung genannt).
Bemerkung:
Es besteht die Gefahr, folgende physikalische Größen zu verwechseln:
träge Masse 
schwere Masse
Gewichtskraft 
schwere Masse
Es wird ein Messverfahren gesucht, um die schwere Masse mS zu bestimmen.
Definition
Bringt man zwei Körper m1 und m2 jeweils in gleiche Entfernung zu einem beliebigen dritten
Körper m3, so soll gelten
mS1
F
 13
mS 2
F23
(Gl. 8.1)
Folgerungen:
1. Die schweren Massen sollen sich verhalten wie die Gravitationskräfte, die sie verursachen, d.h.
mS  F
2. Da aus Erfahrung bekannt ist, dass die Gewichtskraft proportional zur Gravitationskraft und
damit proportional zur Masse sich verhält, gilt
mS  FG
3. Wegen mS  FG ist die träge Masse m eines Körpers zu seiner schweren Masse proportional
m ~ mS
(Gl. 8.2)
4. Schwere Massen kann man über die trägen Massen miteinander vergleichen.
5. Nach Albert Einstein sind schwere und träge Massen grundsätzlich identisch und nach
der Formel E = mc² in Energie umwandelbar.
6. Die physikalische Größe Masse bedeutet
 Gravitationskraft
 Trägheit
 Stoffmenge
 Energie
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VIII.2
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Seite 97
Das Gravitationsgesetz
Erfahrung:
Die Gewichtskraft entspricht der Gravitationskraft auf der Erdoberfläche.
Nach Newton haben auch die Kräfte auf die Himmelkörper ihre Ursache in der Gravitation. Aus
der Beobachtung des Mondes kann man folgendes schließen:
Die Umlaufbahn des Mondes ist näherungsweise kreisförmig mit der Radialbeschleunigung
ar 
mit
2 ²  r
v²
 ²  r 
r
T²
T = 27.4 Tage = 2 367360 s und r = 60 RE = 382 200 000 m folgt ar = 2.6910-3 m/s²
Die Anziehungskraft der Erde auf den Mond verursacht eine Radialbeschleunigung von
ar = 2.6910-3 m/s²
Das Verhältnis der Radialbeschleunigung ar zur Fallbeschleunigung g beträgt
ar 2,69 103 sm²
1
1



g
9,81 sm²
3600
60²
Folgerungen:
1. Die Anziehungskraft der Erde auf den Mond in der Entfernung 60 RE muss 1/60² mal keiner
sein, als sie es auf der Erdoberfläche wäre.

FG = mg
Erdoberfläche:
r = RE
FG = mg/60²
Auf dem Mond: r = 60RE 
2. Die Gravitationskraft F ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands r der Massenmittelpunkte zweier Körper, die sich anziehen.
FGrav ~
1
r²
3. Aus dem 2. Newtonsche Axiom (F ~ m) folgt
FGrav ~
m
r²
4. Aus dem 3. Newtonsche Axiom (actio = reactio) folgt, dass zwischen den sich anziehenden
Körpern nicht unterschieden werden kann:
FGrav ~
m1
m
~ 2
r²
r²
Gravitationsgesetz:
Die Gravitationskräfte zwischen zwei sich anziehenden Körpern gehorchen der Beziehung
FGrav ~
m1  m2
m m
 F   1 2
r²
r²
(Gl. 8.3)
mit  : Gravitationskonstante
09.04.2014
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Laborversuch zur Bestimmung von 
VERSUCH „Drehwaage nach Cavendish“:
Mit der Drehwaage wird die Beschleunigung der jeweils zwei beweglichen Kugeln 2
gemessen, mit der sie sich auf die Kugeln 1 zu bewegen. Die Beschleunigung wird über
den Weg s(t) bestimmt.
m2 a   
m1 m 2
r²
a r ²
m1
  
Bild 8.1:
Drehwaage nach Cavendish
(Grafik aus [1])
Ergebnis von Präzisionsmessungen:
  6.67  1011
m³
kg s²
(Gl. 8.4)
Bestimmung der Erdmasse:
Die Gewichtskraft auf der Erdoberfläche entspricht der Gravitationskraft im Anstand RE vom
Gravitationszentrum:
FG  FGrav
mE 
VIII.3
g  RE2


m g  
m  mE
RE2
  
g  RE2
mE
 6  1024 kg
Arbeit und Energie im Schwerefeld
Vorbemerkung:
Die Formel für die Hubarbeit WH = mgh gilt nur, wenn die Gewichtskraft FG = mg längs des
Weges als konstant angenommen wird. Für das Problem des Transports eines Satelliten mit einer
Rakete in den Weltraum gilt dies nicht mehr. Wegen des Gravitationsgesetzes in Gl. 8.3 ist die
Gravitationskraft längs des Wegs nicht mehr konstant, weil die Entfernung des Himmelskörpers
vom Erdmittelpunkt als Gravitationszentrum mit der Entfernung abnimmt.
Hubarbeit
Wird ein Körper der Masse m in radialer Richtung gegen die Gravitationskraft um den Weg +dr
angehoben (senkrecht nach oben), so wird an ihm gegen die Gravitationskraft Arbeit verrichtet:


m  mE
dW  F (r ) dr   
dr
r²
 
da F || r
Das Vorzeichen von dW ist positiv, da die Kraft, die den Körper gegen die Gravitationskraft
anhebt, in Richtung von dr gerichtet ist.
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Seite 99
Die Gesamtarbeit erhält man durch Integration


W   F ( r ) dr 
r2
r2
r1
r1

m  mE
dr
r²
r2
r2
dr
1
   m  mE 
    m  mE  
r²
 r  r1
r1
Folgerung:
Die Hubarbeit, die erforderlich ist, um einen Körper m im
Schwerefeld eines zweiten Körpers M vom Radius r1
nach r2 zu heben, ist
Bild 8.2: Hubarbeit im Schwerefeld
(Grafik aus [1])
1 1
1 1
W     m  M       m  M   
 r1 r2 
 r2 r1 
(Gl. 8.5a)
Da r1 < r2,  1/r1 > 1/r2  W > 0, es muss Arbeit verrichtet werden, die Energie nimmt zu.
Folgerung:
Die Hubarbeit, die erforderlich ist, um einen Körper m im Schwerefeld der Erde mit der Masse mE
von der Erdoberfläche in eine Umlaufbahn in der Höhe h zu heben, beträgt
 1
1 

W    m  mE 

 RE RE  h 
(Gl. 8.5b)
Bemerkung:
Auch in diesem Fall ist die Hubarbeit unabhängig vom Weg, auf dem der Satellit in seine
Umlaufbahn gebracht wird.
Beispiel:
Hubarbeit einer Rakete (m = 50 t), die in eine Höhe von 600 km über der Erdoberfläche
geschossen werden soll. Nach Gl 8.3 und 8.4 gilt
W 


1
1
 
 r1 r2 
  m  m E 
1
1


6 . 67  10 11  5  10 4  6  10 24  

J
6
6 
6 . 97  10 
 6 . 37  10
2 . 704  10 11 J
Zum Vergleich
W  m g h
 2.943 1011 J
Der exakte Wert der Hubarbeit ist also etwas geringer als der Näherungswert.
09.04.2014
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PHYSIK
Seite 100
Definition
Potentielle Energie ist gespeicherte Hubarbeit. In einem Gravitationsfeld dienen konzentrische
Kugelflächen um das Gravitationszentrum als Bezugsflächen (Flächen gleicher potentieller
Energie). Die Gravitationskraft wird aus der potentiellen Energie durch Ableitung nach r
berechnet.
In Bezug auf einen Radius rBez gilt für die potentielle Energie in einem Gravitationsfeld
 1 1
Wpot (r )    m1  m2  
 
 rBez r 
VIII.4
(Gl. 8.6)
Planetenbewegung und Keplersche Gesetze
Vorbemerkung:
Die Bewegung der Planeten um die Sonne erfolgen unter dem Einfluss einer ständig auf die
Sonne gerichteten Gravitationskraft. Diese Bewegungen erfolgen nach den von Johannes Kepler
aufgestellten drei Keplerschen Gesetzen.
1. Keplersches Gesetz
Planeten bewegen sich um die Sonne auf einer
Ellipse, in deren einem Brennpunkt die Sonne liegt.
2. Keplersches Gesetz (Flächensatz)
Die Verbindungsgerade vom Planeten zur Sonne
überstreicht in gleicher Zeit gleiche Flächen.
3. Keplersches Gesetz
Bewegen sich zwei Planten um dieselbe Sonne
auf verschiedenen Ellipsenbahnen mit den großen
Halbachsen r1 und r2 und den Umlaufzeiten T1 und
T2, so gilt:
Bild 8.4: zum Beweis des 2. Keplerschen
Gesetzes (Grafik aus [1])
T12
r13

T22
r23
(Gl. 8.6)
Beweise:
1. Keplersches Gesetz
Die elliptischen Planetenbahnen lassen sich durch umfangreiche Rechnung aus der Tatsache
herleiten, dass die Gravitationskraft eine Zentralkraft ist, d.h. eine Kraft, die immer zum
Gravitationszentrum hin gerichtet ist.
2. Keplersches Gesetz (Flächensatz)
Es wird die Konstanz der Flächengeschwindigkeit dA/dt bewiesen.
ds  r  d
 ds  r    dt
09.04.2014
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Seite 101
Vom Fahrstrahl überstrichenes Flächenelement
dA 
1
2
r  ds
 dA 
1
2
r ²    dt
Flächengeschwindigkeit des Fahrstrahls
dA

dt
1
2
r ² 
Der Betrag des Drehimpulses

 
L  rp

 
 L  r  p  sin(r , p)  r  p   r  m  v 
Wegen
Bild 8.5: Zum Beweis des Flächensatzes
(Grafik aus [1])
v     r erhält man für L
L  m  r ²    2m
dA
dt
Zusammenfassung
Die Konstanz der Flächengeschwindigkeit
dA

dt
1
2
r ²   des Fahrstrahls entspricht der
Konstanz des Betrags des Drehimpulses L. Nach dem Satz von der Erhaltung des Drehimpulses
bedeutet dies, dass kein äußeres Drehmoment auf das Planetensystem einwirkt.
dA
 const 
dt


L  const  M
 0
Umgekehrt folgt aus dem Fehlen eines äußeren Drehmoments, das auf das Planetensystem
einwirkt, die Konstanz des Drehimpulses nach Betrag und Richtung. Aus der Konstanz des
Betrags von L folgt zwingend die Konstanz der Flächengeschwindigkeit
3. Keplersches Gesetz
Aus Gründen der Einfachheit wird das 3. Keplersche Gesetz hier nur für den Spezialfall von
kreisförmigen Planetenbahnen bewiesen. Der Beweis für elliptische Bahnen ist ebenfalls möglich.
Die für Kreisbahnen notwendigen Zentripetalkräfte liefern die Gravitationskräfte:
Planet 1:
Planet 2:
m1  r1  12  
m1  M
r12
m2  r2   22  
m2  M
r22
Umgeformt erhält man
Planet 1:
12  
M
r13
Planet 2:
 22  
M
r23
Bild 8.6: 3. Keplersches Gesetz
(Grafik aus [1])
Damit erhält man für das Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten:
22
r13

12
r23
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Mit
PHYSIK
i 
Seite 102
2
ergibt sich dann das 3. Keplersche Gesetz für diesen Sonderfall:
Ti
T12
r13
 3
T22
r2
Bemerkungen:
1. Allgemein gilt für jeden Himmelskörper (Planet, Mond, Satellit), der der Gravitationskraft
unterliegt und sich auf einer Kreisbahn um das Gravitationszentrum bewegt:
Zentripetalkraft = Gravitationskraft
m  v²
mM
 
r
r²
 m  r ²  
mM
r²
 ²  
M
r³
2. Speziell auf der Erdoberfläche gilt:
Gewichtskraft = Gravitationskraft
m g  
m  mR
RE2

g  RE2    M
Beispiel:
Geostationärer Satellit:
Satelliten, die immer über derselben Stelle der Erde stehen, nennt man geostationäre Satelliten.
Sie besitzen eine Umlaufbahn über dem Äquator mit der Umlaufzeit 1 Tag.
T  24h  24  3600 s  96400 s
mgs rgs   2  
mgs  mE
rgs2
mE  T 2
6,67 10 11  6 10 24  96,4 2 10 6
 r  

4 2
439,35
3
gs
 94200 1018 m 3
 rgs  45,499 10 6 m  45500km
 h  rgs  RE  39500 km
Geostationäre Satelliten umkreisen die Erde über dem Äquator in einer Höhe von ca. 39 500 km.
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PHYSIK
Seite 103
Literaturliste Physik
1. Dobrinski, Krakau, Vogel: Physik für Ingenieure, B.G. Teubner, 10. Auflage 2003
ISBN 3-519-46501-9
2. NERING: Martin; Stohrer: Physik für Ingenieure, Springer, 7. Auflage 1999
ISBN 3-540-66135-2
3. Leute: Physik und ihre Anwendung in Technik und Umwelt, Hanser, 2. Auflage 2004
ISBN 3-446-22884-5
4. Böge: Physik Grundlagen, Versuche, Aufgaben, Lösungen, Viewegs Fachbücher für Technik, 8.
Auflage 1993
ISBN 3-528-64046-4
5. Stöcker: Taschenbuch der Physik, Verlag Harri Deutsch, 1. Auflage 1993
ISBN 3-8171-1319-6
6. Lindner: Physikalische Aufgaben, Fachbuchverlag Leipzig-Köln, 1992
ISBN 3-343-00804-4
7. P. Profos, Messfehler, B.G. Teubner, Stuttgart, 1984
09.04.2014
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