8. Vorlesung - Physik

Überschallbewegung
Quelle legt zwischen dem Aussenden
zweier Wellenberge eine Strecke
zurück, die größer ist als λ
Mach-Kegel: sin(α/2) = c/vS.
Wenn c = vS ⇒ α = π
Überschallknall
Film
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1
Das menschliche Ohr
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2
Das Außenohr
• Ohrmuschel (auricula) unter 15° zur Schädeldecke.
• Ohrtrichter (concha): V = 2,5 cm³, akustisch aktiv ab ca. 4,5 kHz.
• Gehörgang (meatus acusticus): ∅ = 7 mm, l = 3 cm, einseitig geschlossenes
Volumen, Resonanzfrequenz 2,5 – 3 kHz, 30-fache Resonanzüberhöhung.
• Mit Kopfhörern zweiseitig geschlossenes Volumen: andere Resonanzfrequenz.
• Trommelfell (membrana tympani): d = 100 µm, Reißfestigkeit = 1/2000 von
Stahl, ∅ ≈ 8-10 mm, A = ¾·π·∅²/4 = 55 mm².
• Auslenkung an der Hörschwelle:~100 µm @ 20 Hz, ~1nm @ 18 kHz (bei 100 dB
ca. 105 mal höher).
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3
Das Mittelohr
1. Hammer (malleus): l = 8,3 mm, m = 25 mg,
2. Amboss (incus)
3. Steigbügel (stapes): A = 3,2 mm², m = 3 mg.
Hebel mit 30 % Kraftverstärkung, Druckerhöhung
um Faktor 22 wg. Kraftverstärkung und Flächenverhältnis Trommelfell/ovales Fenster
Hammer, Amboss, Steigbügel: Impedanzanpassung,
Vermeidung von Reflexionsverlusten!
Schallübergang zwischen zwei Medien [(1) und (2)],
(senkrechter Einfall der Schallwellen)
2
⎛ Z − Z1 ⎞
Reflexionsgrad: R = ⎜ 2
⎟ ,
⎝ Z1 + Z 2 ⎠
Transmissionsgrad: T =
Z1 = ρLuft ⋅ cLuft = 427 kg/(m2 s) ,
4 ⋅ Z1 ⋅ Z 2
( Z1 + Z 2 )
Z = Schallimpedanz = pˆ / vˆ = ρ ⋅ c.
2
.
Z2 = ρ Wasser ⋅ c Wasser = 1,48 ⋅ 106 kg/(m2s).
Z 2 ≈ Z1 ⇒ T ≈ 1, Z 2 Z1 ⇒ R ≈ 1!
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4
Schnecke und Cortisches Organ
• Schwingungen des Trommelfells ⇒ Ovales Fenster
• Vorwärtswelle entlang der scala vestibuli (l = 3,2 cm)
• Rückwärtswelle entlang der scala tympani
• Helicotrema – F = 0.25 mm² - verbindet beide Spiralen
• Dazwischen die scala media mit dem Corti´schen
Organ auf der Basilarmembran
• Basilarmembran mit vom ovalen Fenster weg abnehmender Steifigkeit
• Wanderwelle entlang Basilarmembran
• Resonanz bei verschiedenen Frequenzen an
verschiedenen Stellen der Basilarmembran
• Bewegung der Membran durch Haarzellen registriert
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Schnitt durch die Schnecke
1. scala media,
2. scala vestibuli,
3. scala tympani.
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6
Frequenzbestimmung
Basilarmembran
Schnitt durch die Schnecke
1. scala media,
2. scala vestibuli,
3. scala tympani.
Resonanz bei verschiedenen Frequenzen an
verschiedenen Stellen der Basilarmembran
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Richtungshören
• Ohrabstand d ~ 20 cm: λ = d ⇒ f = 1,65 kHz
• Laufzeitunterschied Δt ~ 0,6 s
• Richtungshören durch Intensitätsunterschiede (kein Laufzeitunterschied vorne/hinten!)
• Phänomen von Beugung und Reflexion
• Kein Richtungshören unter ca. 500 Hz: Subwoofer und 2-5 Hochtöner
Zur Erinnerung: cLuft = 330 m/s
f = 100 Hz ⇒ λ = 3,3 m
f = 10 kHz ⇒ λ = 3,3 cm
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Schallpegel, Lautstärkepegel
Menschliches Ohr: pˆ = 20 μ Pa ..200Pa.
⎛p ⎞
⎛I ⎞
Schallpegel Lp : Lp = 20 ⋅ log ⎜ rms ⎟ = 10 ⋅ log ⎜ rms ⎟ , da I ~ p 2
⎝ pref ⎠
⎝ I ref ⎠
pref = 20μ Pa, I ref = 10−12 W/m²; ⎡⎣ Lp ⎤⎦ = dB (deziBel).
Lp = 1 dB:
I2
I
= 100,1 = 1, 26, LP = 60 dB: 2 = 106 !
I1
I1
Lautstärkepegel LS : LS =Lp bei f = 1 kHz. [LS ] = phon.
Mit derEmpfindlichkeit des Ohrs gewichteter Schallpegel.
2002: „Endlich Schmerzensgeld für Hörschäden nach Rock-Konzert“:
90 Minuten @ 104 dB ⇒ DM 9000 Schmerzensgeld!
Hörschäden bei 25% aller Jugendlichen
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Empfindlichkeit des menschlichen Ohrs
Lautheit N :[ N ] = sone.
Maß für die empfundene Lautheit
Weber-Fechner‘sches Gesetz
Wahrnehmung ~ ln(Anregung)
P = k·ln(S/S0)
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Ultraschalldiagnostik
• Signal: f = 1–10 MHz, λ ≈ µm–mm, Tastverhältnis =Tein/Taus = 1:1000, I = 0,1-20 mW/cm²,
• Sender und Empfänger in einem Schallkopf,
• Reflexionen von Änderungen von Z = ρ ·c abhängig, c ~ 1400 m/s (Wasser)
• Impuls-Echo-Verfahren: Aussendung kurzer Impulse; Richtung und zeitlicher Verlauf ⇒
2D-Schnitt, Stärke des Echos ⇒ Helligkeit; Änderung der Verteilung ⇒ Bewegung;
Anwendung: abdominale, gynäkologische Diagnostik,
Doppler-Ultraschalldiagnostik: Blutfluss in Gefäßen
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Elektromagnetische Wellen
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Licht - Spektrum
Sonnenspektrum 5800 K außerhalb der
Erdatmosphäre und auf der Erde
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20
Lichtquellen auf der Erde
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Lichtstärke, Lichtstrom, Beleuchtungsstärke
Die Lichtstärke I: in Candela (cd) gemessen – [I] = cd: SI-Basiseinheit.
Definition: 1 cd ist die Lichtstärke einer Strahlungsquelle, die in einer bestimmten Richtung monochromatisches Licht mit f = 540 THz (λVac = 555 nm) mit der
Strahlstärke1/683 Watt/Steradiant aussendet.
Lichtstrom Φ : Produkt aus Lichtstärke und durchstrahltem Raumwinkel W.
SI-Einheit Lumen (lm)= cd · sr
Beleuchtungsstärke E: Lichtstrom/Empfängerfläche.
SI-Einheit Lux (lx) = lm/m2
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Optik
Mikroskop
Mikroorganismus
Glasfasern
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Geometrische Optik
Huygens‘sches Prinzip
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Geometrische Optik mit
Lochkamera
Öffnung der Lochkamera bestimmt die
Schärfe !
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Versuch: Lochkamera
Die Wendel einer Halogenlampe wird mit Hilfe verschieden großer Lochblenden auf die Leinwand abgebildet. Man sieht eine zunehmend deutliche Abbildung mit abnehmenden Lochdurchmesser. Das Bild wird allerdings immer dunkler.
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Grundlegende Gesetze der Optik
Fermatsches Prinzip: Der Weg, den das Licht beschreibt, wenn es sich von einem Punkt
(z.B. A) zu einem anderen (z.B. B) bewegt, ist stets so, dass die Zeit, die das Licht für das
Zurücklegen des Wegs s benötigt, stationär, meist minimal wird.
⎛
δ ⎜∫
1
⎝ clokal
⎞
⋅ ds ⎟ = 0 ⇒ δ
⎠
(
)
∫ n ⋅ ds = 0 mit n =
c
clokal
, Brechungsindex
Vergleich: kürzeste Zeit um von A nach B zu
gelangen folgt dem roten Weg. Der kürzeste
Weg ist die blaue Linie.
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Grundlegende Gesetze der geometrischen Optik
1.
2.
3.
Das Gesetz der geradlinigen Ausbreitung des Lichts: Licht breitet sich in einem optisch
homogenen Medium geradlinig aus.
Das Gesetz von der Unabhängigkeit von Lichtstrahlen: der von einem einfallenden
Lichstrahl hervorgerufene Effekt hängt nicht von der Einwirkung oder Nichteinwirkung noch
weiterer Lichtstrahlen ab.
Das Reflexionsgesetz: Ein reflektierter Strahl liegt in der gleichen Ebene wie der einfallende
Strahl und die Normale zur Mediengrenze durch den Auftreffpunkt; der Reflexionswinkel ist
gleich dem Einfallswinkel
Einfallswinkel ist gleich Ausfallswinkel
α1 α1*
α1 = α1*
Spiegel
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Reflexionsgesetz: Ableitung mit dem Fermatschen Prinzip
α
a
α
β b
β
x
c-x
c
s ( x ) = x 2 + a 2 + (c − x ) 2 + b 2
ds
=
dx
x
x +a
2
x
x2 + a2
sin α =
2
−
(c − x )
(c − x ) + b
2
2
= 0, Fermat!
c−x
=
(c − x ) 2 + b 2
x
x2 + a2
,sin β =
c−x
(c − x ) 2 + b 2
sin α = sin β ⇒ α = β
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Experiment: Reflexionsgesetz
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Grundlegende Gesetze der Optik: Brechungsgesetz
Brechungsgesetz: Der einfallende und der gebrochene Strahl sowie die Normale zur Mediengrenze durch den Auftreffpunkt, liegen in der gleichen Ebene;
das Verhältnis des Sinus des Einfallwinkels zum Sinus des Brechungswinkels ist
für zwei gegebene Medien eine konstante Größe:
sin ε n2 c1
=
=
=N
sin ε ′ n1 c2
n1 ⋅ sin ε = n2 ⋅ sin ε ′
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n1
n2
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n1
n2
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Brechung: Totalreflexion
Wenn Licht aus einem Medium mit einer großen Brechzahl n1 (optisch dichter) in ein Medium
mit geringerer Brechzahl n2 (optisch weniger dicht, z.B. aus Glas in Luft) (n1 > n2), dann gilt:
sin ε n2
=
<1
sin ε ′ n1
Der gebrochene Strahl entfernt sich weiter von der Normalen, d.h. der Brechungswinkel ε‘ ist
größer als der Einfallswinkel ε.
Der Grenzwinkel ist:
n2
sin ε g =
ε ′ = π /2(= 90D )
n1
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Brechung am Übergang Plexiglas/Luft oder Wasser/Luft
Das brechende Medium: eine halbkreisförmige Plexiglasscheibe, die zentrisch
auf der drehbaren Scheibe befestigt
wird.
Die Scheibe ist mit Winkeleinteilungen
versehen, so daß man Reflexions- bzw.
Brechungswinkel ablesen kann. Man
strahlt so ein, daß zuerst der gekrümmte
Teil des Plexiglaskörpers getroffen wird.
Bei Annäherung des Einfallswinkels an
den Grenzwinkel verringert sich die
Intensität des gebrochenen Strahls, und
die des reflektierten Strahls wächst an.
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Beispiel: Quarz-Lichtleiter
Versuch: Der Strahl eines He-Ne-Lasers wird durch einen Lichtleiter
geschickt, in den man einen Knoten gemacht hat.
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Das Endoskop
Auflösung durch Durchmesser der Fasern bedingt
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39
Anwendung Reflexion : Parabolspiegel
Normale an Kurve im Punkt P halbiert
Winkel zwischen Strahl vom Brennpunkt
und Parallele zur x-Achse durch P.
Einfallswinkel = Ausfallswinkel
P
f
Experiment:
An der optischen Wand wird der Strahlengang am Parabolspiegel mit Hilfe
eines Mehrfachstrahlers sichtbar gemacht. Parallele Strahlen gehen alle
durch einen Punkt, den Brennpunkt F. Die Brennweite f ist der Abstand vom
Scheitel des Spiegels zum Brennpunkt F
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Darstellung von Gegenständen mit Hilfe von Linsen
(a): Bikonvexlinse, (b): Plankonvexlinse, (c): Konkavkonvexlinse,
(d): Bikonkavlinse, (e): Plankonkavlinse, (f): Konvexkonkavlinse.
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Darstellung von Gegenständen mit Hilfe von Linsen
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Linsengleichung
1 1 1
= +
f a b
Für eine Sammellinse sind alle Größen positiv, für eine Zerstreuungslinse
müssen f und b als negativ angenommen werden
Brechkraft D = 1/f ; [D] = Dioptrie, 1 Dioptrie entspricht f = 1 m
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46
Sonderfälle
a→∞⇒b=f
1 1 1
= +
f a b
a = f ⇒ 1/b = 0 ⇒ b → ∞
1 Dioptrie = 1 /m
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Bildkonstruktion für Linsen
Die Bildkonstruktion für Linsen wird mit Hilfe
folgender Strahlen vorgenommen:
1. Strahlen, die parallel zur optischen Achse in die
Linse einfallen; nach der Brechung gehen diese
Strahlen (oder ihre Fortsetzung) durch den
zweiten Brennpunkt der Linse.
2. Strahlen (oder ihre Fortsetzung), die durch den
ersten Brennpunkt der Linse führen; nach der
Brechung treten diese Strahlen parallel zur
optischen Achse aus der Linse aus.
3. Strahlen, die durch das optische Zentrum der
Linse führen, ohne dabei ihre Richtung zu
ändern.
Das Verhältnis der linearen Abmessungen des
Bildes (A´B´) und des Objektes (AB) heißt
lineare Vergrößerung bzw. Abbildungsmaßstab.
Negativen Werten des Abbildungsmaßstabs
entsprechen reelle Bilder (sie stehen
umgekehrt, d.h. auf dem Kopf); positiven
Werten virtuelle Bilder (sie stehen aufrecht)
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Bildgröße
h´ b
=
h a
b
a
h
h´
a
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1 1 1
+ =
a b f
b
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Versuch: Optische Abbildung
Wir bilden einen Gegenstand, der in der Form von kleinen ausgestanzten Löchern in einer Aluminiumplatte existiert und die Form einer
"1" hat, mit Hilfe verschiedener Linsen auf die Leinwand ab und zeigen
dabei den Zusammenhang zwischen den optischen Größen.
f = 50 mm, 125 mm, 250 mm
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Beispiel: Bildkonstruktion für Zerstreuungslinsen
Zerstreuungslinse:
DUENNLNS.EXE
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Aberration (Abbildungsfehler) optischer Systeme
1) Sphärische Aberration
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Aberration (Abbildungsfehler) optischer Systeme
2. Chromatische Aberration
3. Astigmatismus
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Dispersion
sin ε ′ =
n1
⋅ sin ε
n2
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Versuch: Chromatische Aberration
Die Strahlen einer Lichtquelle werden divergent durch eine Linse
geschickt und dahinter streifend auf der Leinwand gezeigt. Man sieht
sehr gut, daß das blaue Bild der Lichtquelle näher an der Linse liegt als
das rote.
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