Billard - Physik

Billard: Hohe, tiefe Stöße
v
Queue
u
z>
7
⋅ R : Der gestoßene Ball rotiert mit u > v ; u und v in entgegenges. Richtung;
5
Reibung mit Unterlage ⇒ Beschleunigung, bis u = v.
7
⋅ R : Der gestoßene Ball rollt von Anfang an: u = v
5
7
z < ⋅ R : Der gestoßene Ball rotiert mit u > v ; u und v in gleicher Richtung;
5
Reibung mit Unterlage ⇒ Abbremsung.
z=
z <<
7
⋅ R : Der gestoßene Ball rotiert mit u >> v ; u und v in gleicher Richtung.
5
Reibung mit Unterlage ⇒ Abbremsung bis zum Rollen und darüber hinaus.
21.11.2007
Experimentalphysik für Chemieingenieure und
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1
Billard: Stoppball, Rückzieher, Nachläufer
Stoppball: Cue-Ball rollt
im Augenblick des Stoßes
nicht.
http://billiards.colostate.edu
Nachläufer: Cue-Ball überträgt
Impuls und stoppt momentan;
Drehimpuls wird nicht
übertragen; Rotation geht durch
Reibung mit der Unterlage in
Linearbewegung über, bis
Umfangsgeschwindigkeit
angepasst
Rückzieher: Cue-Ball überträgt Impuls und stoppt momentan; Drehimpuls wird nicht
übertragen; Abbau der Rotationsenergie durch Reibung mit der Unterlage führt zu
linearer Rückwärtsbeschleunigung über, bis Umfangsgeschwindigkeit angepasst.
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2
Die Masse der Erde (Forts.)
Bestimmung von aMond = e durch
Messung der Winkel h1 und h2
z 1,2 = 90° – h 1,2
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Die Bahn der Erde
Äquinoktien,
Solstitien
Abstand zur Sonne: 149.60 Mio. km, Exzentrizität der Bahn: 0.0162
Umlaufgeschwindigkeit um die Sonne: 29.79 km/s
Winkel zwischen Achse und Ekliptik: 23°26´
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4
Der Abstand Sonne-Erde
1.
2.
3.
4.
Bestimme Abstand Venus-Erde d absolut, z.B. durch Radar, Parallaxe
Bestimme maximale Elongation α,
d = AU*cos α, AU = Astronomische Einheit = Abstand Sonne-Erde
In Zahlen: d = 1.033·108 km, α = 46.3°⇒ cos α =0.691
Astronomische Einheit (AE):
Sonne
Venus
AU
α
Mittlere Entfernung Sonne-Erde
1 AE = 1,496·1011 m
d
Erde
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5
Die Bahnen der Planeten
Titius-Bode: aPlanet = (0.4+0.3·2n)AE
n
Planet
0
Merkur
Venus
aTB
0.4
aTB
0.39
1
2
3
4
5
6
Planetoiden
(Ceres, Pallas,
Juno, Vesta)
Jupiter
Saturn
Uranus
Erde
Mars
0.7
1.0
1.6
2.8
5.2
10.0
19.6
0.72
1.00
1.52
2.77
5.20
9.54
19.18
7
(Neptun)
Pluto
38.8
30.06
39.7
Bahnebenen der Planeten:
< 3° zur Ebene der Erdbahn, außer Merkur (7°) und Pluto (17°).
Exzentrizität < 0.1
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6
Die Sonne
Entfernung d Erde – Sonne bekannt: d = (147,1 .. 152,1)·106 km
D aus ∠ (Sonne) = 32,0´ ⇒ R = ½ ·d·∠ (Sonne) ⇒ R = 6,96·108 m
• Rotationsdauer T aus Bewegung der Sonnenflecken
• Rotationsgeschwindigkeit v aus Dopplerverschiebung
• Sonnenradius aus T und v
• Entfernung aus ∠ (Sonne) und Radius
Sonnenflecken: Gebiete mit niedrigerem T
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7
Die Sonne (Forts.)
Effektive Temperatur der Sonne: T = 5770 K
Verbrennt ca. 4 Mio. t H2 pro s
Sonnenzentrum: T = 16 Mio. K, p = 2,5·1016 Pa
ρ = 160 g/cm³
Energieerzeugung der Sonne durch Kernfusion
p + p → d + e + + ν e + 0.42 MeV,
p + d → 3 He + γ + 5.49 MeV,
Leistung
He + 3 He → p + p + α + 12.86 MeV,
PS = 4π rS 2 ⋅ σ ⋅ TS 4 = 4 ⋅ 10 26 W,
3
e + + e − → γ + γ + 1.022 MeV,
σ = 5,670 ⋅ 10 −8 W ⋅ m-2 ⋅ K -4
p + p + p + p → α + e + + e + + ν e + ν e + 26.72 MeV (Stefan-Boltzmann-Konstante)
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8
Die Sonne (Forts.)
dMr
= 4 ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ ρ,
dr
dP
G⋅M
= − 2 r ⋅ ρ,
r
dr
dLr
= 4 ⋅ π ⋅ r2 ⋅ ρ ⋅ ε,
dr
dT
3 κ ρ Lr
=−
⋅
⋅ ,
dr
64π σ r 2 T 3
Zustandsgleichung, z.B. P = K ⋅ ρ 4 /3 .
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Die Sonne (Forts.)
r-Erde = 1,49·1011 m
Erde
Solarkonstante = Leistungsflussdichte am Ort der Erde:
Sonne, T ≈ 5800 K
2
PErde = PS / 4π d Sonne-Erde
≈ 1400 W/m 2
Mittlere Einstrahlung
F
S = S ⋅ E = 1 ⋅ S = 350 W/m 2 = 350 MW/km 2
4
OE
FE = Querschnitt Erde = π ⋅ rE ,
2
OE = Oberfläche Erde = 4 ⋅ π ⋅ rE .
2
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10
Parallaxe
Entfernung naher Sterne: Parallaxe der Erdbahn um die Sonne
Parallaxe
dSonne-Stern
dSonne-Erde
tan(φ ) =
dSonne-Erde
dSonne-Stern
Parsec (pc) = (Parallaxensekunde): Parallaxe =1´´
1pc = 3,0856·1016 m
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Die Milchstraße und mehr
•
Alter des Weltalls ca. (12,5 ± 3) Milliarden Jahre
(Zerfall 238U: T1/2 = 4,5 Mia. Jahre – ESO 2001)
Ca. 100 Milliarden Sterne alleine in der Milchstraße
•
•
Masse der Sterne: (0,5 .. 10)⋅M
Etwa 100 Milliarden Galaxien im Weltall
•
Bild der
Milchstrasse
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Galaxien
Hoags Objekt
Galaxie,
Entfernung 600 Millionen Lichtjahre
Durchmesser 120 000 Lichtjahre
Aufgenommen mit dem Hubble-Teleskop
Lichtjahr (Lj)
Weg des Lichts in 1 Jahr
1 Lj = 9,4605 ·1015 m
1 Lj = 3600*24*365.25*300000 km
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Teleskope: ESO
European Southern Observatory, Garching
Teleskope in La Silla und Paranal, Chile
APEX
λ=0.3-10 mm
fünfzig 12-m-Antennen
2003 - 2012
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E-ELT
Sichtbar, IR
Spiegel ∅ = 42 m
5500 Tonnen, 800 Mio€
2010 – 20??
14
Teleskope: Hubble
ACS: Advanced Camera for Surveys
COSTAR: Corrective Optical Space Telescope
Axial Replacement
FGS: Fine Guidance Sensor
NICMOS: Near IR Camera & Multi-Object Spectr.
STIS: Space Telescope Imaging Spectrograph
WFPC2: Wide Field and Planetary Camera
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Die Geschichte des Universums
tlgraphic.html
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Ausdehnung Universum
Messung der Entfernung
• Relation Leuchtkraft – Periode Helligkeitsschwankung
Eichung durch Cepheiden, (geeicht durch Parallaxe)
Mv = −2.8 ⋅ log(P / Tage) − 1.4
• Entfernung D aus Leuchtkraft MV und scheinbarer Helligkeit
• Rotverschiebung des Lichts durch Dopplereffekt
• Hubble: v = H0·D, 75 km/s/Megaparsec
(1 Mparsec = 3.09·1022 m)
• Durchmesser des Universums heute 156 Mia Lichtjahre,
vor 13 Mia Jahren 13 Mia Lichtjahre.
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Schwingungen
Schwingungen sind:
•Bewegungsvorgänge mit einem
•periodischen zeitlichen Verlauf
zur Realisierung von Zeitmessungen
02gw02_02.exe
oder von periodischen Signalen
U
Digitale Signalerzeugung
Zeit
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Bilder von akustischen Schwingungen (Oszilloskop)
Schwingungen verschiedener Schallquellen (Stimmgabel, Galtonpfeife,
menschliche Stimme, Pfeifen) werden über ein Mikrophon aufgenommen, verstärkt und auf dem Oszilloskop sichtbar gemacht.
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Einleitung
Eine Sinusschwingung ist mathematisch
leicht zu beschreiben:
A
Amplitude [z.B. cm]
ν = 1/Τ Frequenz [1/s oder Hz]
ω = 2πν Kreisfrequenz [1/s]
t
Zeit [s]
x(t ) = A ⋅ sin(ωt )
Sinus- oder Kosinus-Schwingungen treten häufig auf. Mann nennt sie
Harmonische Schwingung !
Alle anderen Schwingungsformen nennt man
Anharmonische Schwingung !
Eine Anordnung, die harmonische Schwingungen ausführt wird
harmonischer Oszillator genannt.
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Einleitung
Ein Oszillator besteht in der Mechanik immer aus einer (trägen) Masse
und einem elastischen Element, das bei einer Auslenkung eine
rücktreibende Kraft ausübt.
Dabei kann das träge und das elastische Element getrennt sein, oder die
beiden sind räumlich untrennbar miteinander verbunden.
Schwingungen gibt es nicht nur in der Mechanik, sondern auch in der
Elektrizitätslehre z.B. in Schwingkreisen, Kippschaltungen und
Hohlraumresonatoren.
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Freie ungedämpfte Schwingung (Harmonischer Oszillator)
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Freie ungedämpfte Schwingung (Harmonischer Oszillator)
Zu jedem Zeitpunkt muss gelten: F = m·a
Für die Feder ist: F = - k·x
und:
d2 x
m⋅a = m⋅ 2
dt
Also:
d2 x
−k ⋅ x = m ⋅ a = m ⋅ 2
dt
d2 x
k
&&
=
=
−
⋅x
x
dt 2
m
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Differentialgleichung für x(t)
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Freie ungedämpfte Schwingung (Harmonischer Oszillator)
d2 x
k
=
−
⋅x
dt 2
m
Ansatz:
definiere ω =
k
m
d2 x
2
=
−
ω
⋅x
2
dt
x =A·cos(ωt)
dx
= x& = −ω ⋅ A ⋅ sin(ωt)
dt
d2 x
= x&& = −ω 2 ⋅ A ⋅ cos(ωt) = −ω 2 ⋅ x
2
dt
q.e.d.
Lösung: x = A ⋅ cos(ωt)
Kinetische Energie: Ekin = 12 ⋅ m ⋅ x&² = 12 ⋅ m ⋅ ω² ⋅ A² ⋅ sin²(ωt)
Potentielle Energie:Epot = 12 ⋅ k ⋅ x² = 12 ⋅ k ⋅ A² ⋅ cos²(ωt)
Ekin + Epot = const.
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Freie ungedämpfte Schwingung (Harmonischer Oszillator)
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Freie ungedämpfte Schwingung (Harmonischer Oszillator)
Der allgemeinere Ansatz x = A ⋅ cos(ωt + φ)
führt zu
d2 x
= −ω 2 ⋅ A ⋅ cos(ωt + φ) = −ω 2 ⋅ x
2
dt
Phasenwinkel
mit der allgemeinen Lösung
x = A ⋅ cos(ωt + φ)
Die Schwingungs(kreis)frequenz hat also einen bestimmten Wert ω.
Die Amplitude A und der Phasenwinkel φ sind dagegen frei wählbar. Sie dienen
dazu, die Lösung an spezielle Anfangsbedingungen anzupassen.
02gw03_07.exe
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Freie ungedämpfte Schwingung (Harmonischer Oszillator)
Generell:
ωt+φ = 0
φ
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wenn Verschiebung nach
rechts dann ist φ negativ,
wenn nach links, dann
positiv !)
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28
Freie ungedämpfte Schwingung (Harmonischer Oszillator)
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Mathematisches Pendel....
Rücktreibende Kraft:
Ft = m·g·sinα = m·g·α
Erzeugtes Drehmoment:
M = r·F = - l·m·g·sinα = -l·m·g·α
α
l = Fadenlänge
m
Fs
02gw03_08.exe
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Fl
Trägheitsmoment: I = l2 · m
Bewegungsgleichung:
d 2α
l ⋅ m ⋅ 2 + l ⋅ m ⋅ g ⋅ sin α ⋅ = 0
dt
2
Ft
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33
Bewegungsgleichungen für Pendel
Drehmoment: M =
dL
dt
Drehimpuls: L = r ⋅ p = r ⋅ m ⋅ ω ⋅ r = m ⋅ r² ⋅ ω = I ⋅
dα
dt
Trägheitsmoment I = m ⋅ r²
d2α
also ist M = I ⋅ 2
dt
da M = −L ⋅ m ⋅ g ⋅ sin(α )
d2α
I ⋅ 2 = −L ⋅ m ⋅ g ⋅ sin α
dt
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Mathematisches Pendel....
Diese Bewegungsgleichung beschreibt
keine harmonische Schwingung
sondern eine anharmonische. Sie hat
keine einfache Lösung!
Für kleine Auslenkungen wird sie aber
ein harmonischer Oszillator da
sin(a) = a
gesetzt werden kann.
d 2α
l ⋅ 2 + g ⋅ sin α = 0
dt
d 2α
Damit erhält man l ⋅ 2 + g ⋅ α = 0
dt
Lösung
mit
α = α o ⋅ sin(ωot + ϕo )
ω0 =
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g
l
Die Schwingungsfrequenz hängt nicht von der
Masse ab, da sowohl das Trägheitsmoment als
auch die Rückstellkraft zu dieser proportional sind.
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Experiment: Gekoppelte Pendel
Zwei gleich lange Stangenpendel mit Fadenaufhängung werden nebeneinander
aufgehängt und mit einer schwachenSpiralfeder miteinander gekoppelt. Die
Anordnung wird im Schatten gezeigt. Ein Pendel wird ausgelenkt und losgelassen. Die Schwingungsenergie wandert zwischen beiden Pendeln hin und her.
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Gedämpfte Schwingung
Um die Dämpfung zu berücksichtigen, müssen wir eine Reibungskraft in die
Bewegungsgleichung einführen:
Fc F
R
0
m
v
x
d 2x
Bewegungsgleichung: m ⋅ 2 = Fc + FR
dt
Die mathematisch einfachste Form
der Reibungskraft ist FR = − β ⋅ v = − β ⋅
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dx
dt
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Gedämpfte Schwingung
d 2x
dx
− kx
m ⋅ 2 = −β ⋅
dt
dt
Diese Kraft ist immer der Geschwindigkeit
entgegen gerichtet und mit ihr ist die
Bewegungsgleichung relativ leicht zu lösen.
d 2 x β dx k
+ ⋅
+ ⋅x = 0
2
dt
m dt m
Eine der Geschwindigkeit proportionale
Reibungskraft tritt z.B. in Flüssigkeiten bei
nicht zu schneller Bewegung auf (bei
schneller Bewegung wird FR proportional
zum Quadrat der Geschwindigkeit !).
2γ
ω02
x(t) = A ⋅ exp [ −γ t ] ⋅ cos(ωt + ϕ)
γ =
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β
2m
ω=
k
β2
−
= ωo2 − γ 2
2
m 4m
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Gedämpfte Schwingung
Die Amplitude A und der Phasenwinkel Φ sind frei
wählbar zur Anpassung an die Anfangsbedingungen
A
A⋅exp(-γ⋅t)
x(t)
Gedämpfte Schwingung
Zeit
γ < ωo
ωo = 2π/T
-A
T
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Experiment: Pohlsches Rad
Das Gerät nach Pohl
• Kupfer-Schwungscheibe,
• mit Markierung versehen,
• von Skala umgeben,
• Scheibe durch Spiralfeder in Nullstellung,
• Elektromagnet = Wirbelstrombremse,
• Amplitude der Schwingung in
Abhängigkeit von der Dämpfung
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