Link auf Skript und Klaussuraufgaben von Herrn Prof

Hochschule für
Technik und Wirtschaft
des Saarlandes
University of Applied Sciences
Fakultät für Ingenieurwissenschaften
Masterstudiengänge Biomedizinische Technik,
Elektrotechnik und Elektrotechnik im DFHI
Höhere Mathematik 1
Vektoranalysis
Skript zur Vorlesung Höhere Mathematik 1
Sommersemester 2011
von
Prof. Dr. rer. nat. Wolfgang Langguth
Version 1.2
23. Juni 2011
Hochschule für Technik und Wirtschaft
Fakultät für Ingenieurwissenschaften
Studiengänge Biomedizinische Technik und
Elektrotechnik
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
5
2 Vektorfunktionen einer reellen Variablen
2.1 Vektorfunktionen und ihre geometrische Bedeutung
2.2 Differenzieren eines Vektors . . . . . . . . . . . . .
2.3 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Tangenten an eine Kurve . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Der Tangenteneinheitsvektor . . . . . . . .
2.4.2 Die Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
. 6
. 9
. 10
. 11
. 11
. 12
. 15
3 Skalar- und Vektorfelder
3.1 Definition von Skalar- und Vektorfeldern . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Der Gradient eines Skalar- und eines Vektorfeldes . . . . . . . . .
3.3 Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Die physikalische Bedeutung von Divergenz und Rotation
3.4 Der Nabla-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Der Laplace-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Rechenregeln für den Nabla-Operator . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Beweis der Rechenregeln für den Nabla-Operator . . . . .
3.7 Krummlinige Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Vektorkomponenten in krummlinigen Koordinaten . . . .
3.7.3 Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten . . .
3.8 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
16
16
17
20
21
25
26
27
27
28
28
30
31
33
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
34
34
38
38
40
44
44
46
47
47
49
51
53
54
58
4 Kurven-, Oberflächen - und Volumenintegrale
4.1 Das Kurvenintegral über ein Skalarfeld . . . .
4.2 Das Kurvenintegral über ein Vektorfeld . . . .
4.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Konservative Felder . . . . . . . . . . .
4.3 Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Dreifachintegrale . . . . . . . . . . . . .
4.4 Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Beschreibung von Flächen . . . . . . . .
4.4.1.1 Normaleneinheitsvektoren . . .
4.4.1.2 Berechnung des Flächeninhalts
4.4.2 Das Oberflächenintegral . . . . . . . . .
4.5 Volumenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Integralsätze
5.1 Der Gauß’sche Satz
5.2 Der Stoke’sche Satz
5.3 Grenzwertdefinition
~ ·F
~ . . . .
5.3.1 ∇
~
5.3.2 ∇ × F~ . . .
5.4 Übungsaufgaben .
. . . . .
. . . . .
~ · F~
von ∇
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
~ ×F
~
und ∇
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
60
. 60
. 64
. 67
. 67
. 69
. 70
Abbildungsverzeichnis
71
A Beweise zu Rechenregeln mit dem Nabla-Operator
72
B Beweise zu den Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten
74
C Beweis des Gauß’schen Satzes
75
D Lösungen zu den Übungsaufgaben
D.1 Vektorfunktionen . . . . . . . . . . . . . . .
D.2 Skalar- und Vektorfelder Vektorfunktionen .
D.3 Kurven, Oberflächen- und Volumenintegrale
D.4 Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
76
76
77
77
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
E Klausuraufgabensammlung
78
F Lösungen zur Klausuraufgabensammlung
94
G Lehrbücher
98
Kapitel 1
Einleitung
Das hier vorgelegte Skript zur Vorlesung Höhere Mathematik 1 soll als detaillierte Ergänzung zur Vorlesung dienen und es den Studierenden ermöglichen auch selbstständig die
Vorlesung nachzuarbeiten. Es ersetzt kein ausführliches Lehrbuch und noch weniger die
vertiefte eigene Arbeit.
Die bisher eingearbeiteten Grafiken befinden sich teilweise noch im Entwurfsstadium. Sie
werden in Folge weiterhin sukzessiv verbessert.
Übungsaufgaben sind am Ende der Kapitel, alte Klausuraufgaben sind am Ende des Skriptes eingearbeitet. Die bei der Erstellung der Vorlesung verwendeten Lehrbücher wurden
summarisch im Anhang zusammengestellt.
Für viele Studierende der Masterstudiengänge liegt die letzte Mathematikvorlesung schon
eine längere Zeit zurück. Eine nachhaltige Auffrischung der bisher erworbenen Mathematikkenntnisse insbesondere der Vektoralgebra und der Theorie der Funktionen mehrerer
Variabler insbesondere deren Differential- und Integralrechnung wird als Vorbereitung der
Vorlesung Vektoranalysis mehr als dringend empfohlen! In der Vergangenheit hat sich gezeigt, dass insbesondere zum letztgenannten Themenkreis den Studierenden wesentliche
Kenntnisse der Grundlagen fehlen. Skripte des Autors zu Vorlesungen zu diesen Themenkreisen (Mathematik 1 und 3) liegen auf der Homepage der HTW vor.1
Sollten Sie im Skript Fehler oder Unklarheiten entdecken - und davon gibt es in der aktuelle Version bestimmt noch viele - oder aber Fragen haben, bitte nehmen Sie mit mir
Rücksprache.
[email protected]
Tel. 0681 - 5867-279
Saarbrücken, den 23. Juni 2011
gez. Wolfgang Langguth
c Wolfgang Langguth
1
http://www.htw-saarland.de/Members/wlang/Vorlesungsskripte
5
Kapitel 2
Vektorfunktionen einer reellen
Variablen
2.1
Vektorfunktionen und ihre geometrische Bedeutung
Der Ort eines Teilchens im 3-dimensionalen Raum R3 wird durch seinen Ortsvektor bestimmt:
 
x

~r = y 
z
Ändert sich dieser Ort im Verlauf der Zeit, so ist jede Koordinate, x = x(t), y = y(t), z =
z(t), und somit ebenfalls der Ortsvektor ~r = ~r(t) eine Funktion der Zeit:


x(t)
~r = ~r(t) = y(t)
z(t)
~r(t) heißt dann eine „Vektorfunktion einer reellwertigen Variablen“. Die geometrische Bedeutung ist unmittelbar klar:
Abbildung 2.1: Bahnkurve eines Teilchens
6
2.1. VEKTORFUNKTIONEN UND IHRE GEOMETRISCHE BEDEUTUNG
7
Die Parametrisierung einer Raumkurve im dreidimensionalen Raum R3 kann man verstehen als die Abbildung des eindimensionalen Parameterintervalls I = [t1 , t2 ] ∈ R auf die
dreidimensionale Raumkurve C:
Abbildung 2.2: Parametrisierung einer Raumkurve
~r(t) : I ∈ R −→ C ∈ R3 ,
I = [t1 , t2 ] ∈ R, C = {~r ∈ R3 |~r = ~r(t), t ∈ [t1 , t2 ]}
Beispiele:1
1. Kreis

 

x(ϑ)
a sin(ϑ)
~r = ~r(ϑ) = y(ϑ) =  0  ,
z(ϑ)
a cos(ϑ)
0 ≤ ϑ < 2π
Wegen x2 + z 2 = a2 und y = 0 entspricht dies einem Kreis in der (x, z)Ebene um den KO Ursprung mit dem Radius a.
2. Schraubenlinie / Spirale

 

x(t)
ρ sin(t)
~r = ~r(t) = y(t) = ρ cos(t) ,
z(t)
bt
ρ > 0, t ≥ 0
Dies entspricht der Parameterdarstellung einer Schraubenlinie:
1
Wo kommen Anwendungen jedes Beispiels in der Natur oder in der Physik vor?
(2.1)
8
KAPITEL 2. VEKTORFUNKTIONEN EINER REELLEN VARIABLEN
Abbildung 2.3: Parameterdarstellung einer Schraubenlinie
Im Rahmen dieser Vorlesung betrachten wir nur bestimmte Kurven, so genannte einfache
oder auch Jordan - Kurven:
Definition: Jordan Kurve
Es sei ~r(t), t1 ≤ t ≤ t2 , eine Kurve C ∈ R3 .
a) Gilt ~r(ta ) = ~r(tb ) für ta 6= tb ∈ [t1 , t2 ], so heißt ~r(ta ) ein Doppelpunkt .
Eine Kurve C ohne Doppelpunkte heißt doppeltpunktfrei oder einfach.
b) Eine einfache Kurve heißt Jordankurve.
Beispiele:
Abbildung 2.4: Verschiedene Raumkurven
2.2. DIFFERENZIEREN EINES VEKTORS
2.2
9
Differenzieren eines Vektors
Wir betrachten eine Jordankurve C = ~r(t) ∈ R3 . Bei einer Änderung des Parameters t um
∆t ändert sich ~r(t) um:
∆~r = ~r(t + ∆t) − ~r(t)
Abbildung 2.5: Änderung des Ortsvektors um ∆~r
Sind die Komponentenfunktionen von ~r(t), x(t), y(t) und z(t) differenzierbar, so erhält
man analog zur Ableitung skalarer Funktionen die Ableitung eines Vektors ~r(t):
Definition: Ableitung eines Vektors
Sind die Komponentenfunktionen eines Vektors ~r(t) differenzierbar, so ist die erste
Ableitung von ~r(t) definiert als:
d
~r(t + ∆t) − ~r(t)
∆~r(t)
~r˙ (t) =
~r(t) = lim
= lim
∆t→0
∆t→0 ∆t
dt
∆t
Es gilt:


ẋ(t)
~r˙ (t) = ẏ(t)
ż(t)
Stellt ~r(t) die zweimal stetig differenzierbare Bahnkurve eines Teilchens dar, so ist
• ~r˙ (t) = ~v (t) die Geschwindigkeit und
• ~r¨(t) = ~a(t) die Beschleunigung des Teilchens
im jeweiligen Punkt ~r(t) seiner Bahnkurve.
10
KAPITEL 2. VEKTORFUNKTIONEN EINER REELLEN VARIABLEN
Beispiel: Bewegung eines Teilchens entlang einer Spirallinie2


ρ sin(t)
~r(t) = ρ cos(t)
bt


ρ cos(t)
~r˙ (t) = ~v (t) = −ρ sin(t)
b


−ρ sin(t)
~r¨(t) = ~a(t) = −ρ cos(t)
0
2.3
Differentiationsregeln
Für die Differentiation von Summen und Produkten on Vektorfunktionen gelten folgende
Regeln:
Satz: Differentiationsregeln
Sind λ(t), ~a(t) und ~b(t) differenzierbare Funktionen der Variablen t, so gilt:
a)
d d
d
~a(t) + ~b(t) = ~a(t) + ~b(t)
dt
dt
dt
d
dλ(t)
d
(λ(t)~a(t)) =
~a(t) + λ(t) ~a(t)
dt
dt
dt
d
d
d
c)
~a(t) · ~b(t) = ~a(t) · ~b(t) + ~a(t) · ~b(t)
dt
dt
dt
d
d
d
d)
~a(t) × ~b(t) = ~a(t) × ~b(t) + ~a(t) × ~b(t)
dt
dt
dt
b)
Diese Regeln können durch Ausschreiben der Vektorbeziehungen in Komponentenschreibweise sehr einfach bewiesen werden. So zum Beispiel:3
d ~
d
~a · b =
(a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )
dt
dt
= ȧ1 b1 + ȧ2 b2 + ȧ3 b3 + a1 ḃ1 + a2 ḃ2 + a3 ḃ3
˙
= ~a˙ · ~b + ~a · ~b
♯
2
3
Zeichnen Sie den Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor!
Beweisen Sie die restlichen Differentiationsregeln!
2.4. TANGENTEN AN EINE KURVE
2.4
11
Tangenten an eine Kurve
Die geometrische Bedeutung der Ableitung eines Vektors ~r(t) der Raumkurve C ergibt sich
aus seiner Definition:
Abbildung 2.6: Tangente an eine Bahnkurve
•
∆~r(t)
ist ein Vektor in Richtung von ∆~r = ~r(t + ∆t) − ~r(t).
∆t
∆~r(t)
• Der Vektor ~r˙ (t) = lim∆t→0
ist ein Vektor in Richtung der Tangenten an C im
∆t
Punkt P (~r(t)), und zeigt in die Richtung, in die ~r(t) mit wachsendem t läuft.
Mit diesem Verständnis können wir den Tangenteneinheitsvektor definieren:
2.4.1
Der Tangenteneinheitsvektor
Definition: Tangenteneinheitsvektor
~r(t), t ∈ [t1 , t2 ] sei eine Kurve C des R3 .
Existiert der Grenzwert
d
~r(t) 6= ~0 im Punkt P (~r(t)), so ist der Vektor
dt
d
~r(t)
~r˙ (t)
=
T̂ (t) = dt
˙ d
~
r
(t)
~r(t)
dt
der Tangenteneinheitsvektor an die Kurve C im Punkt P .
d
Ist ~r(t) ′ = ~0, so wird T̂ (t) definiert durch
dt
t=t
d
~r(t)
~r˙ (t′ )
= lim T̂ (t) = lim′ dt
′ t→t
d ~r(t) t→t ~r˙ (t′ )
dt
sofern der Grenzwert existiert.
12
KAPITEL 2. VEKTORFUNKTIONEN EINER REELLEN VARIABLEN
Bezeichnungen:4
1. Die Kurve C heißt glatt, falls für alle Punkte t ∈ [t1 , t2 ] T̂ (t) existiert und
stetig ist.
2. Die Kurve C heißt stückweise glatt, falls das Intervall [t1 , t2 ] in endlich
viele Teilintervalle zerlegt werden kann, so dass C in jedem Teilintervall
glatt ist.
Beispiel:5
 
3
~r(t) =  t  ,
t2
y
2.4.2
 
0
d~r  
= 1 ,
dt
2t
 
0
~r˙
1

√
T̂ = =
1
1 + 4t2 2t
~r˙ p
d~r = 1 + 4t2
dt Die Bogenlänge


x(t)
Die Kurve C : ~r(t) = y(t) , t0 ≤ t ≤ t1 sei stückweise glatt.
z(t)
Abbildung 2.7: Teil einer stückweise glatten Kurve
Zur Berechnung der Bogenlänge s von C betrachten wir den Zuwachs von s, ∆s, bei einem
Zuwachs ∆t in t:
s
p
∆x 2
∆y 2
∆z 2
2
2
2
∆s = ∆x + ∆y + ∆z =
+
+
∆t
∆t
∆t
∆t
4
Finden Sie Beispiele für glatte und nicht glatte Kurven. Wie überträgt sich der Begriff der Stetigkeit
von Funktionen auf Kurven C?
5
Übung: Zeichnen Sie die Raumkurven!
2.4. TANGENTEN AN EINE KURVE
Im limes ∆t → 0 ergibt sich
ds =
Dies bedeutet insbesondere:
p
13
d~r(t) dt.
ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 dt = dt ds d~r(t) =
.
dt dt (2.2)
Für die Bogenlänge als Funktion des Parameters t ergibt sich somit:
Z s(t)
Z t
Z tp
d~r(t′ ) ′
′
dt =
s(t) =
ds =
ẋ2 (t′ ) + ẏ 2 (t′ ) + ż 2 (t′ ) dt′ .
dt′ 0
t0
t0
Insbesondere gilt: s(t0 ) = 0 und s(t1 ) = l.
Da
ds(t)
= |~r˙ (t)| ≥ 0 gibt es eine ggf. stückweise definierte Umkehrfunktion t = t(s) und
dt
folgender Parameterwechsel ist erlaubt:
~r = ~r(t(s)) = ~r̃(s), 0 ≤ s ≤ l.
Bezeichnung:
• ~r(s) heißt die natürliche Darstellung der Kurve C.
In der natürlichen Darstellung ergibt sich die folgende einfache Darstellung des Tangenteneinheitsvektors:
~r˙ (t)
,
T̂ (t) = ~r˙ (t)
subst.: t = t(s)


dx(t(s))
 ds 

d~r ds . d~r d~r(t(s)) ds . ds
d~r(t(s)) 
 dy(t(s)) 
=
·
=
·
=
=


 ds 
ds dt dt ds
dt dt
ds
 dz(t(s)) 
|{z}
ds
ds
=
dt
Somit:


dx(t(s))
 ds 

d~r(t(s)) 
 dy(t(s)) 
T̂ (s) =
=

 ds 
ds
 dz(t(s)) 
ds
14
KAPITEL 2. VEKTORFUNKTIONEN EINER REELLEN VARIABLEN
Beispiel: Spirale


a cos(t)
~r(t) =  a sin(t)  , 0 ≤ t ≤ 2π
bt


−a sin(t)
p
˙~r(t) =  a cos(t)  , ~r˙ (t) = a2 + b2
b
Z t
Z tq
˙ ′ ′
s(t) =
a2 cos2 (t′ ) + a2 sin2 (t′ ) + b2 dt′
~r(t ) dt =
0
0
Z tp
p
s
=
a2 + b2 dt′ = a2 + b2 t y t(s) = p
0
a2 + b2


s
a cos p 2
2 

a + b 



~r̃(s) =  a sin p s


2 + b2 

a


bp s
2
2
a +b


a
s
p
p
− a2 + b2 sin
a2 + b2 


~


dr̃(s) 
s
a
=
T̂ (s) =
= p
cos p

ds
 a2 + b2
a2 + b2 


p b
a2 + b2
~r˙ (t(s))
˙
~r(t(s))
2.5. ÜBUNGSAUFGABEN
2.5
15
Übungsaufgaben
1. Wie lautet die Parameterdarstellung eines Kreises um den Ursprung vom Radius R
im R3 , der, beginnend bei x0 = r, y0 = 0, n - mal im mathematisch positiven Sinn
(also entgegen dem Uhrzeigersinn) durchlaufen wird
(a) in den (x, y) - Ebenen bei z = 0 und bei z = 1,
 
0
1  
1 durch den Ursprung und
(b) in den Ebenen mit dem Normalenvektor n̂ = √
2 1
durch z = −1 (hier mit freien Anfangsbedingungen)
2. Bestimmen Sie die Parameterdarstellung einer Geraden zwischen mit dem Anfangspunkt ~r (t = 0) = ~r0 und dem Endpunkt ~r (t = 1) = ~r1 .
3. Gegeben seien die drei Punkte A(1, 0, 0), B(0, 1, 1) und C(−1, 0, 2). Wie lautet die
Parametrisierung der Verbindung der Punkte in der Reihenfolge ABC durch
(a) zwei Geradenstücke
(b) eine Spirale?
4. Betrachten Sie die Bewegung eines Massenpunktes entlang der Spirale Gl. 2.1. Berechnen Sie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Teilchens zu jedem Zeitpunkt
und zeichnen Sie diese in die Ortskurve zu repräsentativ ausgewählten Zeiten ein.


t
5. Berechnen Sie den Tangenteneinheitsvektor T̂ an die Kurve C : ~r(t) =  t2 
t3
6. Wie lautete die Kurve C mit der Parameterdarstellung


t


1
π
2

~r(t) = 
 − √2 ln(cos (t))  , |t| > 2
tan(t) − t
in ihrer natürlichen Darstellung?
Berechnen Sie in beiden Darstellungen den Tangenteneinheitsvektor.
Kapitel 3
Skalar- und Vektorfelder
3.1
Definition von Skalar- und Vektorfeldern
Physikalische Motivation zum Feldbegriff.
Um die Kraftwirkung z. Bsp. elektrisch geladener Körper oder die Anziehung massiver Körper zu beschreiben hat man (Kraft-) Felder eingeführt und ist damit vom (unplausiblen)
Fernwirkungsprinzip zum (plausiblen) Nahwirkungsprinzip gekommen.
Ein elektrisch geladener Körper der Ladung q, ebenso wie ein massiver Körper der Masse
m erzeugen demnach ein Kraftfeld (elektrisches Feld, Gravitationsfeld) zu jeder Zeit an
jedem Ort im Raum F~ (~r, t), das am jeweiligen Ort ~r′ des Partners eine entsprechende
Kraftwirkung hervorruft.
Abbildung 3.1: Nahwirkungsprinzip durch Felder
Kraft- aber z. Bsp. auch Strömungsfelder sind somit Vektorfelder, die an jedem Punkt im
~ (~r, t) als Wert besitzen.
Raum einen entsprechenden Vektor F
Analog dazu gibt es so genannte Skalarfelder φ(~r, t), die z. Bsp. die potentielle Energie
einer Masse m im Schwerefeld der Masse M beschreiben. Ihr Wert ist eine reelle Zahl,
φ(~r, t), ein Skalar.
16
3.2. DER GRADIENT EINES SKALAR- UND EINES VEKTORFELDES
17
einfache Beispiele:1
1. φ(~r) = x2 + y 2 + z 2 ∈ R
~ (~r) = x î + x ĵ + z k̂,
2. F
3.2
 
 
 
1
0
0
î = 0 , ĵ = 1 , k̂ = 0
0
0
1
Der Gradient eines Skalar- und eines Vektorfeldes
Wir betrachten ein Skalarfeld φ(~r), das auf einem Gebiet G ⊂ R3 oder auf ganz R3 definiert sei.
~ konstant ist, heißen Niveauflächen:
Flächen auf denen φ(r)
Abbildung 3.2: Niveauflächen eines Skalarfeldes
Die Änderung dφ(~r) des Skalarfeldes φ(~r) zwischen infinitesimal benachbarten Punkten
~r, ~r + d~r wird durch das vollständige Differential beschrieben:
∂φ
∂φ
∂φ
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
 
dx
Mit dem infinitesimalen Zuwachsvektor d~r = dy  kann man diese Änderung in Form
dz
eines Skalarprodukts schreiben:
dφ(~r) =
dφ(r) =
∂φ ∂φ ∂φ
,
,
∂x ∂y ∂z
= grad φ · d~r
1


dx
· dy 
dz
Stellen Sie die folgenden Felder mit geeigneten Mitteln grafisch dar!
18
KAPITEL 3. SKALAR- UND VEKTORFELDER
Dabei bezeichnet man mit
 ∂φ 
 ∂x 
 ∂φ 

grad φ = 
 ∂y 
 
∂φ
∂z
den Gradienten des Skalarfeldes φ. Der Gradient von φ ist ein Vektor d.h. er ist translationsinvariant und besitzt entsprechende Transformationseigenschaften unter Drehungen.
Definition: Gradient eines Skalarfeldes
Ist das Skalarfeld φ(~r) stetig differenzierbar auf G ⊂ R3 , so heißt der Vektor
 
∂φ
 ∂x 
 
 ∂φ 
grad φ =  
 ∂y 
 ∂φ 
∂z
der Gradient von φ(~r).
Beispiel: Potential einer Punktladung, einer punktförmigen Masse
c
φ(r) = ;
r
c ∈ R, r = |~r| =
6 0.
x
 ry3 
~r
r̂
 
~ (~r)
grad φ(r) = −c  3  = −c 3 = −c 2 = −F
r
r
r 
z
r3
Niveauflächen von φ(r):2
φ(r) ∼
y
c
= konstant
r
r 2 = x2 + y 2 + z 2 = R 2 :
grad φ(r) ∼ r̂ :
2
Kugel mit Radius R
Radialfeld, senkrecht zu den Niveauflächen
Skizzieren Sie die Niveauflächen und zeichnen Sie grad φ(r) darin ein!
3.2. DER GRADIENT EINES SKALAR- UND EINES VEKTORFELDES
Die Richtungsableitung
19
∂φ
:
∂n
−−→
n̂ sei ein fester Einheitsvektor, P sei ein fester Punkt, P ′ ein Punkt des R3 so, dass P P ′
parallel zu n̂ ist.
Die Richtungsableitung von φ(~r) im Punkt P in Richtung n̂ ist definiert zu:
∂φ
φ(P ′ ) − φ(P )
= lim
∂n P P ′ →0
|P P ′ |
falls der Grenzwert existiert. Für die Richtungsableitung gilt:
∂φ
= n̂ · grad φ
∂n
Beweis:
Wähle oBdA die Orientierung der Koordinatenachsen so, dass die x-Achse entlang des Vektors n̂ liegt. Dann gilt:
n̂ · grad φ = î · grad φ =
∂φ
∂x
♯
Damit gilt allgemein:
∂φ
= n̂ · grad φ = |grad φ| cos(δ)
∂n
dabei sei δ der Winkel zwischen grad φ und n̂.
∂φ
Daraus folgt unmittelbar, dass
maximal wird für δ = 0 oder δ = π, also wenn grad φ
∂n
und n̂ parallel oder antiparallel zueinander sind.
~ immer in die Richtung der stärksten Änderung des SkaSomit zeigt der Vektor grad φ(r)
larfeldes φ(~r).
Übungsaufgabe:
Skizzieren Sie eine Funktion f (x, y) von zwei Variablen, wählen Sie einen Punkt in der
(x, y)-Ebene und von diesem Punkt ausgehend, mehrere verschiedene Richtungen. Machen
Sie sich für diese Richtungen auf dem Funktionsgraphen die Bedeutung der Richtungsableitung klar.
20
KAPITEL 3. SKALAR- UND VEKTORFELDER
Beispiel: Richtungsableitung eines Skalarfeldes in einem Punkt P
φ(~r) = x2 yz + 4xz 2 ;


2xyz + 4z 2

grad φ = 
x2 z
2
x y + 8xz


2
1
~n = −1 , n̂ = √ ~n
6
−1
∂φ = n̂ · grad φ
∂n P =(1,−2,1)
P =(1,−2,1)


2xyz + 4z 2 1
 x2 z
= √ (2, −1, −1) · 
6
2
x y + 8xz
P =(1,−2,1)
 
0
1
= √ (2, −1, −1) · 1
6
6
7
= −√ .
6
3.3
Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes

F1 (~r)
~ = F~ (~r) = F2 (~r) sei ein Vektorfeld, dessen Komponenten in einem Gebiet G ⊂ R3
F
F3 (~r)
stetig differenzierbar seien. Dann kann man folgende Größen definieren:

Definition: Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes
Die Divergenz eines Vektorfeldes F~ (~r) ist definiert zu:
∂F1 (~r) ∂F2 (~r) ∂F3 (~r)
div F~ (~r) =
+
+
.
∂x
∂y
∂z
~ (~r) ist definiert zu:
Die Rotation eines Vektorfeldes F
~ (~r) =
rot F
∂F3 (~r) ∂F2 (~r)
−
∂y
∂z
î +
∂F1 (~r) ∂F3 (~r)
−
∂z
∂x
ĵ +
∂F2 (~r) ∂F1 (~r)
−
∂x
∂y
k̂.
3.3. DIVERGENZ UND ROTATION EINES VEKTORFELDES
21
~ (~r) lässt sich formal einfacher in Form einer Determinante schreiben:
Die Formel für rot F
î
ĵ
k̂ ∂
∂ ~ (~r) = ∂
rot F
∂x
∂y
∂z F1 (~r) F2 (~r) F3 (~r)
Die Entwicklung der Determinante nach der ersten Zeile ergibt:
∂F2
∂F3 ∂F1
∂F2 ∂F1
∂F3
~
−
−
−
− ĵ
+ k̂
rot F (~r) = î
∂y
∂z
∂x
∂z
∂x
∂y
X
Als Ergebnis der Bildung der Divergenz und der Rotation des Vektorfeldes F~ (~r) erhält
~ (~r) ein (Pseudo-) Vektorfeld .
man mit div F~ (~r) ein Skalarfeld und mit rot F
3.3.1
Die physikalische Bedeutung von Divergenz und Rotation
a) Divergenz
~ (~r) = ~v (~r) sei die stationäre Stromdichte einer inkompressiblen Flüssigkeit. Wir
F
betrachten die Flüssigkeitsbilanz in einem infinitesimalen Volumenelement ∆ τ =
∆x ·∆y ·∆z :
Abbildung 3.3: Flüssigkeitsbilanz einer inkompressiblen Flüssigkeit
22
KAPITEL 3. SKALAR- UND VEKTORFELDER
Die Bilanz der ein- und ausströmenden Flüssigkeit ergibt :
in z-Richtung:
∆ v3 = (v3 (x, y, z + ∆ z) − v3 (x, y, z)) ∆ x ∆ y
v3 (x, y, z + ∆ z) − v3 (x, y, z)
=
∆τ
∆z
∂v3
infinitesimal: dv3 =
dτ
∂z
∂v1
dτ
analog: dv1 =
∂x
∂v2
dτ
und: dv2 =
∂y
Insgesamt erhält man für die Flüssigkeitsbilanz im Volumenelement dτ :
dv = dv1 + dv2 + dv3 = div ~v dτ.
dv ist von Null verschieden nur dann, wenn dτ eine (Flüssigkeits-) Quelle enthält.
div ~v entspricht der Quelldichte, d.h. der Quelldichte pro Volumeneinheit. Man unterscheidet drei Fälle:
div ~v > 0 : Quelle
div ~v < 0 : Senke
div ~v = 0 : ~v ist quellenfrei
Beispiel: Zwei Maxwell’sche Gleichungen der Elektrostatik
Der vollständig Satz der allgemeinen Maxwell’schen Gleichungen im Vakuum lautet:
~
~j
ǫ0 ∂ E
+
µ0 µ0 ∂t
~
∂B
=−
∂t
=0
ρ
=
ǫ0
~ =
rotB
~
rotE
~
div B
~
div E
Es handelt sich dabei um insgesamt acht gekoppelte partielle Differentialgleichungen
für die elektrischen Feldstärke und die magnetische Induktion.
Dabei bezeichnen hier im einzelnen:
~ r , t) die elektrische Feldstärke
E(~
~ r , t) die magnetische Induktion
B(~
ρ(~r, t) die elektrische Ladungsdichte
~j(~r, t) die elektrische Stromdichte
ǫ0 die Dielektrizitätskonstante des Vakuums
µ0 die Permeabilitätskonstante des Vakuums
3.3. DIVERGENZ UND ROTATION EINES VEKTORFELDES
23
In der Elektrostatik und der Magnetostatik verschwinden die zeitabhängigen Terme.
Wir betrachten die letzten beiden Gleichungen:3
~ =
1. div E
ρ
ǫ0
~ =0
2. div B
b) Rotation
Wir betrachten die Rotationsbewegung eines starren Körpers, der sich mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ω = |~
ω | um eine feste Drehachse ω̂ dreht: 4
Abbildung 3.4: Rotationsbewegung eines starren Körpers
Für das Geschwindigkeitsfeld ~v = ~v (~r) aller Punkte P = P (~r) des Körpers am Ort ~r
erhält man:5

    
cx
ω1
ω2 z − ω3 y
~v (~r) = ~
ω × ~r = ω2  ×  y  =  ω3 x − ω1 z 
ω3
ω1 y − ω2 xy
z
Für die Rotation des Geschwindigkeitsfeldes dieser kreisförmigen Bewegung ergibt
sich:
î
ĵ
k̂
∂
∂
∂
= 2ω
rot ~v (~r) = ~ = ’Wirbelstärke’
∂x
∂y
∂z
ω2 z − ω3 y ω3 x − ω1 z ω1 y − ω2 xy ~ = ~0, so heißt F~ wirbelfrei.
Gilt rot F
3
Diskutierte die Struktur der Feldlinien des elektrischen und der magnetischen Induktion vor dem
Hintergrund dieser beiden Gleichungen!
4
Jonglierteller... Bild
5
Frage: Warum ist ~v (~r) invariant gegen Translationen des Körpers entlang der ~
ω -Achse ?
24
KAPITEL 3. SKALAR- UND VEKTORFELDER
Beispiele:
1. Maxwell’sche Gleichungen der Elektro- und Magnetostatik:
Für die ersten beiden Maxwell’schen Gleichungen erhalten wir im statischen
Fall:6
~ = ~0
(a) rot E
~
~ = j
(b) rot B
µ0
2. Kraftfeld einer elektrischen Punktladung / einer Masse7, 8
~r
F~ (~r) = c 3 ; r 6= 0, c = konst.
r
∂ x
∂ y
∂ z
~
div F = c
+
+
∂x r 3
∂y r 3
∂z r 3
1
∂ x
x2
r 2 − 3x2
=
−
3
=
∂x r 3
r3
r5
r5
2
2
1
y
r − 3y 2
∂ y
=
−
3
=
∂y r 3
r3
r5
r5
2
2
∂ z
1
z
r − 3z 2
=
−
3
=
∂z r 3
r3
r5
r5
Kraftfeld:
mit:
folgt:
2
2
2
2
~ = c 3r − 3(x + y + z ) = 0 für r 6= 0.
div F
r5
Den singulären Punkt ~r = 0 können wir erst später mit Hilfe des Gauß’schen
Satzes betrachten.
 
x
~

3. Divergenz des Ortsvektors F (~r) = ~r = y  : 9
z
∂x ∂y ∂z
div ~r =
+
+
= 3.
∂x ∂y ∂z
~ = r̂ f (r)
4. Die Rotation eines Zentralfeldes F
∂
∂
∂
∂
~
(z f (r)) −
(y f (r)) î +
(x f (r)) −
(z f (r)) ĵ
rot F =
∂y
∂z
∂z
∂x
∂
∂
+
(y f (r)) −
(x f (r)) k̂
∂x
∂y
y
z
x
z
x
y
= z f ′ (r) − y f ′ (r) î + x f ′ (r) − z f ′ (r) ĵ + y f ′ (r) − x f ′ (r) k̂
r
r
r
r
r
r
= ~0
6
Diskutierte die Struktur der Feldlinien des elektrischen und der magnetischen Induktion vor dem
Hintergrund dieser beiden Gleichungen!
7
Formulieren Sie die Konstante c für das Coulomb- und das Gravitationsfeld.
8
~ (~r)
Skizzieren Sie F
9
~ (~r)
Skizzieren Sie F
3.4. DER NABLA-OPERATOR
3.4
25
Der Nabla-Operator
Den Gradienten eines Skalarfeldes, die Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes kann
man unter Einführung eines Differentialoperators, des Nabla - Operators und den bekannten algebraischen Verknüpfungen der Vektoralgebra in einfacher und übersichtlicher Form
schreiben:
Definition: Nabla - Operator
Der Operator


∂
 ∂x   
 
∂x
 
~ = î ∂ + ĵ ∂ + k̂ ∂ =  ∂  = ∂y 
∇

∂x
∂y
∂z 
 ∂y 
∂z
 ∂ 
∂z
heißt Nabla - Operator.
Mit dem Nabla - Operator schreiben sich die eingeführten Differentialoperationen in kompakter Form:




∂x
∂x φ
~ φ = ∂y  φ = ∂y φ
grad φ = ∇
∂z φ
∂z
 
F1
~ ·F
~ = (∂x , ∂y , ∂z ) · F2  = ∂x F1 + ∂y Fx + ∂z F3
div F~ = ∇
F3
  

F1
∂y F3 − ∂z F2
~ =∇
~ ×F
~ = (∂x , ∂y , ∂z ) × F2  = ∂z F1 − ∂x F3 
rot F
F3
∂x F2 − ∂y F1
Damit schreiben sich hintereinander ausgeführte Operationen schnell, einfach und sind
übersichtlich, was die Beurteilung des Ergebnisses anbelangt:
~ (∇
~ ·F
~)
grad (div F~ ) = ∇
~ · (∇
~ φ)
div (grad φ) = ∇
~ · (∇
~ ×F
~)
div (rot F~ ) = ∇
~ × (∇
~ φ)
rot grad φ = ∇
~) = ∇
~ × (∇
~ × F~ )
rot (rot F
Dies ist in verschiedenen Anwendungen, wie sie in der Theoretischen Elektrotechnik bzw.
Elektrodynamik bei der Behandlung der Maxwell’schen Gleichungen vorkommen, besonders hilfreich.
26
KAPITEL 3. SKALAR- UND VEKTORFELDER
3.5
Der Laplace-Operator
~ = ∇φ
~
Ist φ ein auf G ⊂ R3 mindestens zweimal stetig differenzierbares Skalarfeld, so ist F
~ · (∇φ)
~
ein Vektorfeld und ∇
wieder ein Skalarfeld. Es gilt:
 
∂x
~
~

∇ · (∇ φ) = (∂x , ∂y , ∂z ) · ∂y  φ = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 φ := △ φ
∂z
mit:
2
2
2
~ 2 = ∂2 + ∂2 + ∂2 = ∂ + ∂ + ∂
∆ := ∇
x
y
z
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
~ 2 nennt man ’Laplace-Operator’. Der Laplace-Operator kann
Den ’Delta-Operator’ ∆ = ∇
sowohl auf Skalar- als auch auf Vektorfelder angewandt werden:
~ 2 φ = div (grad φ)
∆φ = ∇
~ (∇
~ · F~ ) − ∇
~ × (∇
~ ×F
~)
∆ F~ = ∇
~)
= grad (div F~ ) − rot (rot F
Eine wichtige Eigenschaft des Laplace-Operators ist, dass er unter Drehungen des Koordinatensystems invariant bleibt (Skalar).
Ein Anwendungsbeispiel für den Laplace-Operators in der Elektrostatik ist die Laplaceund Poisson-Gleichung für das elektrostatische Potential φ(~r) im freien Raum oder in
Anwesenheit einer Ladungsverteilung ρ(~r) 10 :
4. MG:
E-Feld ist konservativ
∴
~ · E=
~ ρ
∇
ǫ0
~
~
y E = −∇φ
~ · ∇φ
~ = −∆ φ = ρ
−∇
µ0
Damit haben wir erhalten:
10
Laplace-Gleichung:
∆ φ(~r) = 0
Poisson-Gleichung:
∆ φ(~r) = −
konservative Felder werden in Kap. 4.2.2 behandelt
ρ(~r)
ǫ0
3.6. RECHENREGELN FÜR DEN NABLA-OPERATOR
3.6
27
Rechenregeln für den Nabla-Operator
Für die Hintereinanderausführung der Differentialoperatoren lassen sich eine Reihe nützlicher Rechenregeln aufstellen. Diese sind im folgenden zusammengefasst:
Satz: Rechenregeln für den Nabla-Operator
~ seien auf G ⊂ R3 genügend oft stetig differenzierbare Skalar- und
φ, ψ und F~ , G
Vektorfelder. Dann gilt:
~ (φ + ψ) = ∇
~ φ+∇
~ ψ
∇
~ · (F
~ + G)
~ =∇
~ ·F
~ +∇
~ ·G
~
∇
~ × (F
~ + G)
~ =∇
~ × F~ + ∇
~ ×G
~
∇
~ (φ ψ) = (∇
~ φ) ψ + φ (∇
~ ψ)
∇
~ · (φ F~ ) = (∇
~ φ) · F
~ + φ (∇
~ ·F
~)
∇
~ × (φ F~ ) = (∇
~ φ) × F~ + φ (∇
~ ×F
~)
∇
~ · (F
~ × G)
~ =G
~ · (∇
~ ×F
~ ) − F~ · (∇
~ × G)
~
∇
~ × (F
~ × G)
~ = F~ (∇
~ · G)
~ − G(
~ ∇
~ · F~ ) + (G
~ · ∇)
~ F
~ − (F
~ · ∇)
~ G
~
∇
~ (F
~ · G)
~ = F~ × (∇
~ × G)
~ +G
~ × (∇
~ × F~ ) + F
~ · ∇)
~ G
~ + (G
~ · ∇)
~ F
~
∇
~ × (∇
~ ×F
~) = ∇
~ (∇
~ ·F
~) − ∆F
~
∇
~ × (∇
~ φ) = rot grad φ = ~0
∇
~ · (∇
~ ×F
~ ) = div rot F
~ =0
∇
Die beiden letzten Gleichungen besagen insbesondere:
~ φ ist wirbelfrei
• Jedes Gradientenfeld ∇
~ ×A
~ ist quellenfrei
• Jedes Wirbelfeld ∇
Es gilt sogar:
Jedes wirbelfreie Feld lässt sich darstellen als Gradientenfeld und jedes quellenfreie Feld
lässt sich darstellen als ein Wirbelfeld:
~ ×E
~ = ~0 ⇔ E
~ = −∇
~ φ
∇
~ ·B
~ = ~0 ⇔ B
~ =∇
~ ×A
~
∇
Die erste Gleichung stellt in der Elektrostatik den Zusammenhang zwischen dem elektri~ und dem elektrostatischen Potential φ her, die zweite Gleichung zeigt den
schen Feld E
~ und dem Vektorpotential A
~ auf.
Zusammenhang der magnetischen Induktion B
3.6.1
Beweis der Rechenregeln für den Nabla-Operator
Den Beweis der Rechenregeln kann man durch explizites Nachrechnen erbringen. Einfacher geht das mit dem „antisymmetrischen ǫ - Tensor“. Diese Technik wird im Anhang A
zusammen mit einigen Beweisen vorgestellt.
28
KAPITEL 3. SKALAR- UND VEKTORFELDER
3.7
3.7.1
Krummlinige Koordinaten
Allgemeine Betrachtungen
Die Betrachtungen in den vorangegangen Abschnitten wurden in kartesischen Koordinaten
durchgeführt. In der Praxis betrachtet man häufig krummlinige Koordinatensysteme wie
Zylinder- und Kugelkoordinaten:
Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) :
x = r cos(ϕ)
y = r sin(ϕ)
z=z
r=
p
x2 + y 2
y
tan(ϕ) =
x
z=z
Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ) :
x = r sin(ϑ) cos(ϕ)
r=
y = r sin(ϑ) sin(ϕ)
tan(ϕ) =
z = r cos(ϑ)
tan(ϑ) =
p
x2 + y 2 + z 2
y
x
p
x2 + y 2
z
Allgemeine krummlinige orthogonale Koordinaten u, v, w sind definiert durch die Gleichungen
x = x(u, v, w);
y = y(u, v, w);
z = z(u, v, w)
bzw.

x(u, v, w)
~r = ~r(u, v, w) = x î + y ĵ + z k̂ = y(u, v, w) 
z(u, v, w)

mit den folgenden Eigenschaften:
1. Die Gleichungen sind eineindeutig d.h insbesondere, sie sind umkehrbar:
u = u(x, y, z);
v = v(x, y, z);
w = w(x, y, z)
2. Die Jacobi-Determinante ist immer (evtl. mit Ausnahme einzelner singulärer Punkte),
d.h für alle ~r ∈ G ⊂ R3 , von Null verschieden:
∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u ∂x ∂y ∂z 6= 0 ∀ ~r ∈ G ⊂ R3
J =
∂v
∂v
∂v
∂x ∂y ∂z ∂w ∂w ∂w 3. Die Tangenten an die Koordinatenlinien stehen in jedem Punkt senkrecht aufeinander.
Übung: Bestimme und diskutiere die Koordinatenlinien in Zylinder- und Kugelkoordinaten.
3.7. KRUMMLINIGE KOORDINATEN
29
Konstruktion des lokalen orthogonalen Dreibeins als Basis des lokalen, orthonormalen
Koordinatensystems:
Die Koordinatenlinien sind gegeben durch:
~r = ~r(u, v0 , w0 ); ~r = ~r(u0 , v, w0 ); ~r = ~r(u0 , v0 , w)
Betrachte die Größen:
∂~r ∂~r ∂~r .
h1 = , h2 = , h3 = ∂u
∂v
∂w Da die Jacobi-Determinante nach Voraussetzung nicht verschwindet, gilt auch:
h1 , h2 , h3 6= 0 ∀~r ∈ G ⊂ R3 . (Verständnisfrage: Warum?)
Damit sind die Tangenteneinheitsvektoren an die (u, v, w)−Koordintenlinien in jedem Punkt
P (u, v, w) gegeben durch:
1 ∂~r
1 ∂~r
1 ∂~r
; ~ev =
; ~ew =
.
h1 ∂u
h2 ∂v
h3 ∂w
Die Reihenfolge von u, v, w wird so gewählt, dass ~eu , ~ev , ~ew ein Rechtssystem bilden, d.h.
es muss gelten: ~eu × ~ev = ~ew .
~eu =
Damit bilden ~eu , ~ev , ~ew dann ein orthonormales Tripel (Dreibein) von Einheitsvektoren,
das als lokale Basis dient, deren räumliche Orientierung sich allerdings notwendigerweise
von Raumpunkt zu Raumpunkt ändert.
Beispiel: Kugelkoordinaten


sin(ϑ) cos(ϕ)
~r = r  sin(ϑ) sin(ϕ) 
cos(ϑ)
Die Parameterwahl hier entspricht übersetzt in die Parameter der krummlinigen
Koordinaten:
(u, v, w) ↔ (r, ϑ, ϕ)
Wir berechnen im einzelnen:


sin(ϑ) cos(ϕ)
∂~r
∂~r 
=
= sin(ϑ) sin(ϕ)  ,
h1 = 1
∂u
∂r
cos(ϑ)


cos(ϑ) cos(ϕ)
∂~r
∂~r
=
= r  cos(ϑ) sin(ϕ)  ,
h2 = r
∂v
∂ϑ
− sin(ϑ)


− sin(ϑ) sin(ϕ)
∂~r
∂~r
=
= r  sin(ϑ) cos(ϕ)  , h3 = r sin(ϑ) da 0 ≤ ϑ ≤ π : sin(ϑ) ≥ 0
∂w
∂ϕ
0
Daraus berechnet sich das folgende lokale, orthonormale Dreibein:






sin(ϑ) cos(ϕ)
cos(ϑ) cos(ϕ)
− sin(ϕ)
~er =  sin(ϑ) sin(ϕ)  , ~eϑ =  cos(ϑ) sin(ϕ)  , ~eϕ =  cos(ϕ) 
cos(ϑ)
− sin(ϑ)
0
Probe: ~ei · ~ej = δij , ~er × ~eϑ = ~eϕ zur Übung!
30
KAPITEL 3. SKALAR- UND VEKTORFELDER
Abbildung 3.5: Das lokale Dreibein von Kugelkoordinaten
3.7.2
Vektorkomponenten in krummlinigen Koordinaten
~ , gesucht ist seine Komponentendarstellung bzgl. der orthoGegeben sei ein Vektorfeld F
gonalen Koordinaten ~eu , ~ev , ~ew :
 
F1
F~ (~r) = F1 î + F2 ĵ + F3 k̂ =
ˆ F2 
F3
 
Fu

= Fu ~eu + Fv ~ev + Fw ~ew =
ˆ Fv 
Fw
Dazu werden die Komponenten Fu , Fv , Fw explizit berechnet:
~ · ~eu = F1 î · ~eu + F2 ĵ · ~eu + F3 k̂ · ~eu
Fu = F
mit
1 ∂~r
1
~eu =
=
h1 ∂u
h1
ergibt sich:
Fu =
und analog:
1
h1
F1
∂x ~ ∂y ~ ∂z ~
i+
j+
k
∂u
∂u
∂u
∂x
∂y
∂z
+ F2
+ F3
∂u
∂u
∂u
1
∂x
∂y
∂z
Fv =
F1
+ F2
+ F3
h2
∂v
∂v
∂v
1
∂x
∂y
∂z
Fw =
F1
+ F2
+ F3
h3
∂w
∂w
∂w
3.7. KRUMMLINIGE KOORDINATEN
31
Beispiel:
 
z
~ = z î = 0 in Kugelkoordinaten?
Komponenten des Vektors F
0
~ = Fr ~er + Fϑ ~eϑ + Fϕ ~eϕ
F
~ · ~er = z sin(ϑ) cos(ϕ) = r cos(ϑ) sin(ϑ) cos(ϕ)
Fr = F
~ · ~eϑ = z cos(ϑ) cos(ϕ) = r cos2 (ϑ) cos(ϕ)
Fϑ = F
~ · ~eϕ = −z sin(ϕ) = −r cos(ϑ) sin(ϕ)
Fϕ = F
Dabei wurden die Ergebnisse für ~er , ~eϑ , ~eϕ aus dem letzten Beispiel benutzt.
3.7.3
Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten
~ φ, ∇·
~ F
~ , ∇×
~ F
~ und ∆ gelten für krummlinige Koordinaten
Für die Differentialoperatoren ∇
die folgenden Beziehungen:
~ φ = ~eu ∂φ + ~ev ∂φ + ~ew ∂φ
∇
h1 ∂u h2 ∂v
h3 ∂w
also:
~ = ~eu ∂ + ~ev ∂ + ~ew ∂
∇
h1 ∂u h2 ∂v
h3 ∂w
~ · F~ =
∇
1
h1 h2 h3
∂
∂
∂
(h2 h3 Fu ) +
(h3 h1 Fv ) +
(h1 h2 Fw )
∂u
∂v
∂w
h1~eu
1
∂
~ × F~ =
∇
h1 h2 h3 ∂u
h F
1 u
1
∆=
h1 h2 h3
∂
∂u
h2~ev h3~ew ∂
∂ ∂v
∂w h2 Fv h3 Fw
h2 h3 ∂
h1 ∂u
∂
+
∂v
h3 h1 ∂
h2 ∂v
∂
+
∂w
h1 h2 ∂
h3 ∂w
Die Beweise dieser Beziehungen sind im Anhang ...fehlen noch ... angegeben.
32
KAPITEL 3. SKALAR- UND VEKTORFELDER
Beispiel:
Gegeben sei ein Vektorfeld in Kugelkoordinaten:
1
~ = r 2 cos(ϑ) ~er + 1 ~eϑ +
~eϕ
H
r
r sin(ϑ)
In Kugelkoordinaten gilt: h1 = 1, h2 = r, h3 = r sin(ϑ).
Wir berechnen:
h1~er h2~e
h3~eϑ ϑ
1
∂
∂ ∂
~ ×H
~ =
∇
h1 h2 h3 ∂r
∂ϑ
∂ϑ h1 Hr h2 Hϑ h3 Hϕ ~er
r~eϑ r sin(ϑ)~eϕ 1
∂
∂
∂
= 2
r sin(ϑ) ∂r
∂ϑ
∂ϕ
2
r cos(ϑ) 1
1
=
1
∂ 2
~
e
∗
0
−
r~
e
∗
0
+
r
sin(ϑ)~
e
∗
−
r
cos(ϑ)
r
ϕ
ϑ
r 2 sin(ϑ)
∂ϑ
~ ×H
~ = r sin(ϑ) ~eϕ
∇
sowie
~ ·H
~ =
∇
=
1
h1 h2 h3
1
r 2 sin(ϑ)
∂
∂
∂
(h2 h3 Hr ) +
(h3 h1 Hϑ ) +
(h1 h2 Hϕ )
∂r
∂ϑ
∂ϕ
∂
∂
∂
r 2 sin(ϑ) Hr +
(r sin(ϑ) Hϑ ) +
(r Hϕ )
∂r
∂ϑ
∂ϕ
1 ∂
1
∂
1
= 2
r 2 Hr + 2
(r sin(ϑ) Hϑ ) +
r ∂r
r sin(ϑ) ∂ϑ
r sin(ϑ)
1 ∂
1
∂
1
∂
= 2
r 4 cos(ϑ) + 2
(sin(ϑ)) +
r ∂r
r sin(ϑ) ∂ϑ
r sin(ϑ) ∂ϕ
= 4r cos(ϑ) +
cot(ϑ)
.
r2
∂
Hϕ
∂ϕ
1
r sin(ϑ)
3.8. ÜBUNGSAUFGABEN
3.8
33
Übungsaufgaben
~ φ = n φ.
1. Es sei φ(~r) = xn + y n + z n . Zeigen Sie, dass gilt: ~r · ∇
2. Berechnen Sie die Richtungsableitung
desSkalarfeldes
φ = x3 y 2 z + 8x2 yz 2 in Rich


1
1



tung des Vektors ~n =
−3
im Punkt
2 .
−3
−3
3. Bestimmen Sie grad φ für φ(~r) = ln(r), r = |~r|.
4. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebenen an die Fläche z = x2 + y 2 im
Punkt P (1, 1, 2).


xy
5. Berechnen Sie die Divergenz und Rotation des Vektorfeldes F~ =  yz  im Punkt
0
~
P (1, 1, 1). Berechnen Sie zudem grad (div F ).
6. ~a sei ein konstanter Vektor, ~r sei der Ortsvektor. Zeigen Sie, dass gilt: rot (~a ×~r) = 2~a.
7. Bestimmen Sie die konstanten a, b, c ∈ R so dass das Vektorfeld


x + 2y + az
~ =  bx − 3y − z 
F
4x + cy + 2z
~ als Gradient eines Skalarfeldes F~ = ∇
~ φ darwirbelfrei ist. Zeigen Sie,dass dann F
stellbar ist. Berechnen Sie φ.


xz 2
8. Berechnen Sie die Rotation der Vektorfelder V~1 =  2x2 yz  im Punkt P (1, 1, 1)
2yz 2
und von V~2 = f (r) ~r.
~ ~r 6= ~a (∇
~ · ~r), wobei ~a 6= ~0 ein konstanter Vektor ist.
9. Zeigen Sie, dass (~a · ∇)
10. Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln:
~ (φ V
~ ) = (∇
~ φ) V~ + φ (∇
~ ·V
~)
∇
~ × (φ V
~ ) = (∇
~ φ) × V
~ + φ (∇
~ ×V
~)
∇
11. Die Umströmung eines Kreiszylinders vom Radius R lässt sich durch das Geschwindigkeitspotential
R2
φ = cx 1 + 2
x + y2
, x2 + y 2 ≥ R 2 , c ∈ R
beschreiben. Berechnen Sie
~ φ
(a) ~v = ∇
~ · ~v sowie ∇
~ × ~v
(b) ∇
(c) Bestimmen Sie die Staupunkte P (x, y) mit ~v = ~0 sowie die Geschwindigkeit ~v
in den Punkten P (0, ±R).
Kapitel 4
Kurven-, Oberflächen - und
Volumenintegrale
4.1
Das Kurvenintegral über ein Skalarfeld
C sei eine stückweise glatte Kurve, C ⊂ R3 .
Abbildung 4.1: Eine Raumkurve des R3
Die Kurve C sei in der natürlichen Parameterdarstellung parametrisiert:


x(s)
~r = ~r(s) = y(s) ; 0 ≤ s ≤ l.
z(s)
φ(~r) sei ein auf C definiertes Skalarfeld.
Das Kurvenintegral von φ(~r) entlang C ist dann definiert als:
Z s2
J =
φ(~r(s)) ds
0 ≤ s1 ≤ s ≤ s2 ≤ l.
s1
34
4.1. DAS KURVENINTEGRAL ÜBER EIN SKALARFELD
35
Dieses Integral kann verstanden werden als ein gewöhnliches eindimensionales Integral der
Funktion f (s) = φ(~r(s)) über das Intervall [s1 , s2 ]:
Abbildung 4.2: Das Wegintegral als eindimensionales Integral
Das Integral J hat die folgende Eigenschaft:
Satz:
Rs
Das Kurvenintegral J = s12 φ(~r(s)) ds des Skalarfeldes φ(~r) über die Kurve C ist
unabhängig von der Orientierung von C.
Beweis:
J =
Z
=
Z
l
φ(s) ds
0
s(0)=A,
ˆ
s(l)=B
ˆ
l
0
′
subst.: s = l − s ; ds′ = −ds
l
0
l
φ(~r(s′ )) (−ds′ )
Z 0
=−
φ(~r(s′ )) ds′
l
Z l
=
φ(~r(s′ )) ds′ = J
0
♯
0
36
KAPITEL 4. KURVEN-, OBERFLÄCHEN - UND VOLUMENINTEGRALE
Beispiele:
1. Skalarfeld φ(~r(s)) = z 2 −
x2
Raumkurve C :

1
 , 0 ≤ s ≤ 1.
~r(s) = Arsinh(s)
√
2
1+s
J =
=
=
Z
Z
Z
1
φ(~r(s)) ds
0
1
0
1
0
p
2
( 1 + s2 − 1) ds
1 1 1
(1 + s2 − 1) ds = s3 = .
3 0 3
r
a2 2 b2 2
y + 2x
b2
a
x2 y 2
Raumkurve C, Ellipse:
+ 2 =1
a2
b
Parameterdarstellung der Ellipse : ~r = ~r(x(ϑ), y(ϑ), z):
2. Skalarfeld φ(~r) =
x = a cos(ϑ)
y = b sin(ϑ),
z=0
0 ≤ ϑ < 2π
Bogenlänge ds in der aktuellen Parametrisierung:
s 2 2
ds
dy
dz
dx 2
=
+
+
dϑ
dϑ
dϑ
dϑ
q
= a2 sin2 (ϑ) + b2 cos2 (ϑ)
Integral:
J =
Z
Z
l
φ(~r(s)) ds
0
2π
ds
φ(~r(ϑ))
dϑ
dϑ
0
Z 2π r 2
q
a 2 2
b2 2
2 (ϑ)
=
b
sin
(ϑ)
+
a
cos
a2 sin2 (ϑ) + b2 cos2 (ϑ) dϑ
2
2
b
a
0
Z 2π
=
a2 sin2 (ϑ) + b2 cos2 (ϑ) dϑ
0
= π a2 + b2 .
=
4.1. DAS KURVENINTEGRAL ÜBER EIN SKALARFELD
37
3. Skalarfeld φ(~r) = x2 + y 2
Raumkurve C:
Abbildung 4.3: Eine Raumkurve des R3 in der (x, y)-Ebene
J =
Z
φ(~r(s) ds =
(b) J2 =
R P (A)
0
R P (B)
P (A)
Z
P (A)
|0
C
(a) J1 =
Z
φ(~r(s) ds =
φ(~r(s) ds
Z
P (B)
0
φ(~r(s) ds +
φ(~r(s) ds +
φ(~r(s) ds
P (B)
{z
} | P (A) {z
} |
{z
}
J1
RA
0
J2
J3
x2 dx = 13 A3
Parametrisierung der Raumkurve:
~ + A(1
~ − t), 0 ≤ t ≤ 1
~r(t) = Bt
  
 

0
A (t − 1)
−A(t − 1)
=

= B t − 
0
Bt
0
0
0
r
2
√
ds
dy
dx 2
dz 2
Damit ergibt sich:
=
+
+
=
A2 + B 2
dt
dt
dt
dt
und wir berechnen:
Z 1
ds
J2 =
φ(~r(s(t)))
dt
dt
0
Z 1
p
=
A2 (t − 1)2 + B 2 t2
A2 + B 2 dt
0
Z 1
p
2
2
= A +B
(A2 + B 2 )t2 − 2A2 t + A2 dt
0
(c) J3 =
RB
0
3/2
1 2
=
A + B2
3
y 2 dy = 13 B 3
Insgesamt ergibt sich:
J = J1 + J2 + J3 =
3/2 1 3
A + B 3 + A2 + B 2
3
38
KAPITEL 4. KURVEN-, OBERFLÄCHEN - UND VOLUMENINTEGRALE
4.2
Das Kurvenintegral über ein Vektorfeld
4.2.1
Definition
C sei wiederum eine stückweise glatte Kurve des R3 .
~ (~r) sei ein Vektorfeld, definiert auf C, T̂ sei der Tangenteneinheitsvektor an C.
F
Definition: skalares Kurvenintegral
~ entlang C ist definiert durch
Das skalare Kurvenintegral von F
J =
=
Z
Z
l
0
l
0
Z
F~ (~r(s)) · T̂ (s) ds
F~ (~r) · d~r,
mit d~r(s) = T̂ (s) ds
l
d~r(s)
F~ (~r(s)) ·
ds
ds
0
Z t2
~ (~r(t)) · d~r(t) dt
F
=
dt
t1
=
Ist C eine geschlossene Kurve, so heißt
J =
~ entlang C.
das Umlaufintegral von F
I
C
~ (~r) · d~r
F
Bemerkung:
Das skalare Umlaufintegral ändert sein Vorzeichen, wenn sich der Umlaufsinn
ändert, da dann T̂ in −T̂ übergeht. Beweis als Übung.
Beispiele:
 
z
~ =  x
~ (r)
1. Kraftfeld F
y
Raumkurve C : x2 + y 2 = a2 , z = 0, ein Kreis vom Radius a, der gegen
den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Seine Parameterdarstellung lautet:
Auf C gilt:


a cos(ϑ)
~r(ϑ) =  a sin(ϑ)  ,
0


0
~ (~r) = a cos(ϑ) ,
F
a sin(ϑ)
0 ≤ ϑ ≤ 2π


−a sin(ϑ)
d~r
=  a cos(ϑ) 
dϑ
0
4.2. DAS KURVENINTEGRAL ÜBER EIN VEKTORFELD
Damit berechnet sich das Umlaufintegral zu:
Z
Z 2π
d~r
~
J =
F (~r(ϑ)) · d~r(ϑ) =
F~ (~r(ϑ)) ·
dϑ
dϑ
0
0

 

Z 2π
0
−a sin(ϑ)
a cos(ϑ) ·  a cos(ϑ)  dϑ
=
0
a sin(ϑ)
0
Z 2π
=
a2 cos2 (ϑ) dϑ = π a2
2π
0


−y
1
~ =
~ (r)
x
2. Kraftfeld F
x2 + y 2
0
Wir betrachten die beiden Raumkurven C1 und C1 :
Abbildung 4.4: Zwei Raumkurven des R3
C1 :
C2 :


cos(t)
π
~r1 (t) =  sin(t)  , 0 ≤ t ≤
2
0


1−t
~r2 (t) =  t  , 0 ≤ t ≤ 1
0
Wir berechnen die skalaren Kurvenintegrale entlang beider Kurven:
39
40
KAPITEL 4. KURVEN-, OBERFLÄCHEN - UND VOLUMENINTEGRALE
J1 =
Z
C1
~ · d~r =
F
Z
π/2
0

 

− sin(t)
− sin(t)
 cos(t)  ·  cos(t)  dt = π
2
0
0
  
−t
−1
1
~



1 − t · 1  dt
J2 =
F · ~r =
2
2
C2
0 (1 − t) + t
0
0
Z 1
dt
1 π
= arctan(2t − 1) =
=
2
2
0
0 2t − 2t + 1
Z
Z
4.2.2

1
Konservative Felder
In Anlehnung und in Verallgemeinerung zu dem letzten Beispiel lässt sich folgender Satz
formulieren:
Satz: Wegunabhängigkeit skalarer Kurvenintegrale
R
~ · d~r ist genau dann
~ sei stetig in G ⊂ R3 . Das Wegintegral Q F
Das Vektorfeld F
P
wegunabhängig, wenn es ein Skalarfeld φ gibt mit
~ = ∇φ
~
F
Beweis:
~
a) Es sei F~ = ∇φ
y
Z Q
Z Q
Z Q
~
~
F · d~r =
(∇φ) · d~r =
(φx dx + φy dy + φz dz)
P
P
P
Z Q
=
dφ = φ(Q) − φ(P )
P
Damit ist das Integral wegunabhängig da es von den Endpunkten P und
Q abhängt.
b) Es sei
RQ
P
~ · d~r wegunabhängig y die Größe
F
Z Q
Z Q
~
~ · T̂ ds
F · d~r =
F
φ=
P
P
ist ein Skalar. Wir vergleichen:
dφ
~ · T̂ = F
~ · d~r
=F
ds
ds
mit
und sehen:
dφ(~r(s)
dx
dy
dz ~ d~r
= φx
+ φy
+ φz
= ∇φ ·
ds
ds
ds
ds
ds
~ = ∇φ
~
F
♯
4.2. DAS KURVENINTEGRAL ÜBER EIN VEKTORFELD
41
Eine wichtige physikalische Anwendung ist der Zusammenhang von konservativen Kraftfeldern, Potential, potentieller Energie und Energieerhaltung: Kraftfelder, deren Wegintegral
~ = ∇φ,
~ bezeichnet man als konsernur von den Endpunkten abhängen, also wenn gilt F
vativ ; es gilt der Energiesatz.
Satz: konservative Felder
~ ist genau dann konservativ, wenn gilt:
Ein Vektorfeld F
~ ×F
~ =0
∇
⇔
~
F~ = ∇φ
42
KAPITEL 4. KURVEN-, OBERFLÄCHEN - UND VOLUMENINTEGRALE
Beispiele:
~ = f (r) ~r
1. Zentralfeld (Gravitionsfeld, Coulombfeld): F
~ ×F
~ =∇
~ × (f (r) ~r) = f (r)∇
~ × ~r − ~r × ∇f
~ (r)
∇

  
∂x
x
~



mit ∇ × ~r = 0 :
∂y × y  = ~0
z
∂z
∂
∂r
x
und
f (r) = f ′ (r)
= f ′ (r)
∂x
∂x
r
∂
y
∂
z
′
f (r) = f (r) ;
f (r) = f ′ (r)
∂y
r
∂z
r
~ (r) = ~r × ~r f ′ (r) = 0
~r × ∇f
r
y
~ ×F
~ =∇
~ × (f (r) ~r) = ~0
∇
y


 
−y
0
1
~ (~r) =
 x , ~r 6= 0 , z ∈ R
2. F
x2 + y 2
0
z
Dieses Feld haben wir schon im Beispiel auf Seite 38 kennengelernt und
es ist ein Beispiel mit Fallstricken. Berechnen wir die Rotation von F~
~ auf der z−Achse,
und bemerken und beachten sorgfältig dabei, dass F
(x, y) = (0, 0) nicht definiert ist.

 
 
−y
∂x
1
~
~
~
~





∇×F =∇×
x
,
∇ = ∂y 
x2 + y 2
0
∂z
   
−y
−y
1
1
~
~



∇× x − x ×∇
= 2
2
2
x +y
x + y2
0
0

 

0−0
x∂x
1
1
0 − 0 − 

= 2
y∂y
2
2
x +y
x + y2
1+1
−y∂y − x∂x
 
 
0
0
2 + 2x2
2
2y
0 −
0
= 2
x + y2
(x2 + y 2 )2
1
1
= ~0
für ~r 6= ~0 !
Um den Verlauf des Felds um die z-Achse zu verdeutlichen ist es an ausgewählten Punkten in der folgenden Abbildung dargestellt:
4.2. DAS KURVENINTEGRAL ÜBER EIN VEKTORFELD
Abbildung 4.5: Das Vektorfeld um die z-Achse
~ eine gewisse
Wie man schon anhand der Skizze vermuten kann, besitzt F
Wirbelstärke mit dem Zentrum auf der z−Achse. Die Rotation um die
z−Achse kann demzufolge nicht verschwinden! Wir berechnen das Umlau~ entlang eines Kreises mit beliebigem, das meint insbesonfintegral von F
dere mit beliebig kleinem Radius a um die z−Achse in Polarkoordinaten
und erhalten:
I
J = F~ (~r) · d~r
C

 

Z 2π
−a sin(t)
− sin(t)
1
=
a cos(t)  ·  cos(t)  dt = 2π
a
0
0
0
Damit ist das Wegintegral zwischen zwei Punkten nicht wegunabhängig,
sondern hängt davon ab, wie man um den Weg um die z−Achse wählt. Die
Integrale entlang zweier Wege rechts und links der z−Achse unterscheiden
sich um 2π!
Mit Hilfe des Stoke’schen Satzes, der noch später behandelt wird, ergibt
sich wie später noch gezeigt wird1 :
~ ×F
~ (~r) = 2πδ(x)δ(y)k̂
∇
Dabei bezeichnet δ(x) die Dirac’sche δ−Funktion.
1
Kap. 5.3.2
43
44
4.3
KAPITEL 4. KURVEN-, OBERFLÄCHEN - UND VOLUMENINTEGRALE
Mehrfachintegrale
Mehrfachintegrale wurden schon in der Vorlesung Mathematik 3 bei der Integralrechnung
von Funktionen mehrerer Variabler behandelt. An dieser Stelle soll nur eine kurze Zusammenfassung mit ein paar Beispielen gegeben werden. Die Inhalte ergeben sich allerdings
auch als Spezialfälle der nächsten Kapitel zum Oberflächen- und Volumenintegral.
4.3.1
Doppelintegrale
Gegeben ist eine Funktion f (x, y) von zwei Variablen. Zu berechnen ist das Doppelintegral
über ein Gebiet G ⊂ R2 in der (x, y) - Ebene:
Z
J = f (x, y) da
G
=
Z bZ
q(x)
f (x, y) dy dx
a p(x)
=
Z dZ
c
s(y)
f (x, y) dx dy
r(y)
Dabei wird das Gebiet G im Intervall x ∈ [a, b] durch das Kurvenpaar p(x), q(x) oder
alternativ im Intervall y ∈ [c, d] durch das Kurvenpaar r(y), s(y) begrenzt, wie in Abb. 4.7
dargestellt.
Abbildung 4.6: Das Das Doppelintegral über das Gebiet G
4.3. MEHRFACHINTEGRALE
45
Abbildung 4.7: Das Gebiet G
Beispiel:
1 2 12
J =
x · y dy dx =
x·
y 1 dx
2
x
0 12 x
0
2
Z 1
1 x2
1 1 2 1 4 1
1
=
x·
−
dx =
x − x =
8
8
8
2
4
32
0
0
Z 1Z
1
2
Z
1
Übung: Zeichnen Sie das Integrationsgebiet!
Änderung der Integrationsvariablen:
Ändert man die Integration von den Integrationsvariablen x, y auf die neuen Integrationsvariablen u, v:
x = x(u, v)
y = y(u, v)
so gilt:
J =
ZZ
G
f (x, y) dx dy =
mit der Jacobi - Determinanten
ZZ
∂x
∂(x, y) ∂u
=
∂(u, v) ∂y
∂u
f (x(u, v), y(u, v))
G′
∂x ∂x
∂v = ∂u
∂y ∂x
∂v
∂v
∂y ∂u ∂y ∂v
∂(x, y)
du dv
∂(u, v)
Dabei wird beim Durchlaufen des neuen Integrationsgebiets G ′ das ursprüngliche Integrationsgebiet G überdeckt. Dies wird in den späteren Kapiteln noch deutlich.
46
KAPITEL 4. KURVEN-, OBERFLÄCHEN - UND VOLUMENINTEGRALE
Beispiele:
1. Fläche eines Kreises mit dem Radius R:
ZZ
Z 2πZ
F=
1 dx dy =
Kreis
0
Polarkoordinaten:
R
0
1·
∂(x, y)
dr dϕ
∂(r, ϕ)
x = r cos(ϕ); y = r sin(ϕ)
∂(x, y) cos(ϕ) −r sin(ϕ)
=
=r
∂(r, ϕ) sin(ϕ) r cos(ϕ) Damit ergibt sich wie erwartet:
F=
−(x2 +y 2 )
2. f (x, y) = e
J =
ZZ
Z
Z
0
2πZ R
0
, Gebiet G: 1. Quadrant der (x, y)−Ebene
e−(x
2 +y 2 )
dx dy
1. Quadrant
π/2Z ∞
−r 2
π
=
e r dr dϕ =
2
0
Z0
π 1 ∞ −z
π
= ·
e dz =
2 2 0
4
4.3.2
1 2
R · 2π = R2 π
2
1 · r dr dϕ =
Z
∞
2
e−r r dr,
subst : z = r 2
0
Dreifachintegrale
Analog zu den Doppelintegralen gilt für Dreifachintegrale:
ZZZ
J =
f (x, y, z) dx dy dz
V olumen V
z.B.
=
Z bZ
g2 (x)Z s2 (x,y)
f (x, y, z) dz dy dx
a g1 (x) s1 (x,y)
und analoge Integrationsgrenzen für andere Integrationsreihenfolgen. Bei Änderung der
Integrationsvariablen (x, y, z) → (u, v, w)
x = x(u, v, w),
y = y(u, v, w),
z = z(u, v, w)
gilt:
J =
ZZZ
f (x, y, z) dx dy dz =
V
ZZZ
f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))
V′
∂(x, y, z)
du dv dw
∂(u, v, w)
mit der Jacobi-Determinanten
∂x
∂u
∂(x, y, z)
∂y
=
∂(u, v, w) ∂u
∂z
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v
∂x ∂x
∂w ∂u
∂y ∂x
=
∂w ∂v
∂z ∂x
∂w
∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w
Übung: Berechnen Sie die Jacobi - Determinate für den Übergang von kartesischen Koordinaten zu Zylinder- und Kugelkoordinaten.
4.4. OBERFLÄCHENINTEGRALE
4.4
4.4.1
47
Oberflächenintegrale
Beschreibung von Flächen
Abbildung 4.8: Eine Fläche S im R3 und ihr Parameterbereich R im R2
Der Punkt P in der Fläche S hat den Ortsvektor


x(u, v)
~r = ~r(u, v) = y(u, v) 
z(u, v)
Durchlaufen u und v den Bereich R, so überstreicht ~r(u, v) die Fläche S, d.h.
~r(u, v) :
R −→ S;
R ⊂ R2 , S ⊂ R3
Beispiele:
1. Zylinderoberfläche


a cos(ϕ)
~r = ~r(ϕ, z) =  a sin(ϕ)  ;
z
R = {ϕ ∈ [0, 2π), z ∈ R}
Abbildung 4.9: Ein unendlicher Zylinder vom Radius a
48
KAPITEL 4. KURVEN-, OBERFLÄCHEN - UND VOLUMENINTEGRALE
2. Kugeloberfläche


a sin(ϑ) cos(ϕ)
~r = ~r(ϑ, ϕ) =  a sin(ϑ) sin(ϕ)  ;
a cos(ϑ)
R = {ϑ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π)}
Abbildung 4.10: Eine Kugel vom Radius a
Wir betrachten nur zweiseitige Flächen. Einseitige Flächen wie Möbiusbänder werden
ausgeschlossen.
Weiterhin unterscheidet man offene und geschlossene Flächen. Offene Flächen S besitzen einen Rand, bezeichnet mit ∂S und umschließen kein Volumen. Geschlossene Flächen
besitzen keinen Rand und schließen Volumina vollständig ein, so dass keine Verbindung
von Punkten in verschiedenen Volumina möglich ist ohne die Fläche zu durchdringen.
Beispiele:
Abbildung 4.11: Verschiedene Typen von Flächen
4.4. OBERFLÄCHENINTEGRALE
4.4.1.1
49
Normaleneinheitsvektoren
Oberflächen werden lokal durch Normaleneinheitsvektoren n̂(u, v) beschrieben. Zu deren Konstruktion betrachten wir den Ortsvektor ~r(u, v) eines Punktes auf der Fläche S.
Hält man jeweils u = u0 bzw. v = v0 fest und variiert jeweils v bzw. v, also den verbleibenden Parameter im Parameterraum R, so erhält man die so genannten v− bzw. u−
Koordinatenlinien auf S:
Abbildung 4.12: Koordinatenlinien auf der Oberfläche S
Die tangentialen Vektoren an die u−, v− Koordinatenlinien berechnen sich gemäß
~ru =
∂~r(u, v)
,
∂u
~rv =
∂~r(u, v)
∂v
und im Punkt ~r(u, v) berechnet sich damit der Normaleneinheitsvektor auf die Fläche S
zu
~ru × ~rv
n̂(u, v) =
; |n̂(u, v)| = 1.
|~ru × ~rv |
Der Normaleneinheitsvektor n̂(u, v) bestimmt in jedem Punkt der Fläche S die Tangentialebene an die Fläche.
Zur Orientierung von n̂(u, v):
Vertauscht man ~ru und ~rv , so ändert n̂(u, v) seine Orientierung. Man bezeichnet im allgemeinen die äußere Seite der Fläche S als ’positiv’ (in diese Richtung wählt man die
Richtung von n̂(u, v)) und die innere Seite als ’negativ’.
Abbildung 4.13: Orientierung von n̂(u, v)
50
KAPITEL 4. KURVEN-, OBERFLÄCHEN - UND VOLUMENINTEGRALE
Beispiele:
1. Zylinderoberfläche


a cos(ϕ)
~r(ϕ, z) =  a sin(ϕ)  ; R = {0 ≤ ϕ < 2π, z ∈ R}
z


 
−a sin(ϕ)
0
∂~r(ϕ, z) 
∂~
r
(ϕ,
z)
~rϕ =
= a cos(ϕ)  , ~rz =
= 0
∂ϕ
∂z
0
1


a cos(ϕ)
~rϕ × ~rz =  a sin(ϕ)  ; |~rϕ × ~rz | = a
0


cos(ϕ)
~rϕ × ~rz
n̂(ϕ, z) =
=  sin(ϕ) 
|~rϕ × ~rz |
0
n̂(ϕ, z) zeigt nach außen:
Abbildung 4.14: Orientierung von n̂(u, v) auf der Zylinderoberfläche
2. Kugeloberfläche
. . . zur Übung empfohlen!
4.4. OBERFLÄCHENINTEGRALE
4.4.1.2
51
Berechnung des Flächeninhalts
Das infinitesimale Oberflächenelement dS einer Fläche S ergibt sich aus der Darstellung
der Fläche mit infinitesimal benachbarten Koordinatenlinien:
Abbildung 4.15: Das Oberflächenelement dS einer Fläche S
Wir benötigen zur Berechnung von dS die Koordinaten von drei Eckpunkten von dS:
P0 : ~r(u, v)
∂~r
.
P1 : ~r(u + du, v) = ~r +
du
∂u
∂~r
.
dv
P3 : ~r(u, v + dv) = ~r +
∂v
Damit berechnet sich der Flächeninhalt des Oberflächenelements dS :
∂~r
−−−→ −−−→
∂~r dS = |P0 P1 × P0 P3 | = ×
du dv
∂u ∂v = |~ru × ~rv | du dv
Somit ergibt sich nun der Flächeninhalt der Oberfläche S
ZZ
ZZ
S=
dS =
|~ru × ~rv | du dv
S
R
durch Integration über die gesamte Oberfläche S bzw. über den gesamten Parameterraum
R, der über die Parametrisierung ~r(u, v) die Fläche S aufspannt.
52
KAPITEL 4. KURVEN-, OBERFLÄCHEN - UND VOLUMENINTEGRALE
Beispiel: Oberfläche eines Zylinders der Länge b ohne Deckflächen


a cos(ϕ)
~r(ϕ, z) =  a sin(ϕ)  ;
z


a cos(ϕ)
~rϕ × ~rz =  a sin(ϕ)  ;
0
R = {0 ≤ ϕ < 2π, 0 ≤ z ≤ b}
|~rϕ × ~rz | = a
Damit berechnet sich für die Oberfläche:
ZZ
Z bZ 2π
S=
dS =
|~rϕ × ~rz | dz dϕ
S
0 0
Z bZ 2π
a dz dϕ = 2π a b
=
0 0
Allgemeine krummlinige orthogonale Koordinaten:
Bei geeigneter Wahl der Orientierung und der Reihenfolge bilden krummlinige orthogonale
Koordinatensysteme ein Rechtssystem. Dann gilt:
~eu × ~ev = ~ew
und entsprechende zyklische Vertauschungen. Wegen
~eu =
1
1
1
~ru , ~ev =
~rv , ~ew =
~rw
h1
h2
h3
kann man für das Oberflächenelement dS entsprechender Koordinatenflächen beispielsweise
schreiben:
dS = |~ru × ~rv | du dv = h1 h2 |~eu × ~ev | du dv = h1 h2 |~ew | du dv
= h1 h2 du dv
Analog gilt für andere Koordinatenflächen und Parametrisierungen:
dS = h1 h3 du dw
oder dS = h2 h3 dv dw
Beispiel: Zylinderoberfläche
y


−a sin(ϕ) h1 = |~rϕ | =  a cos(ϕ)  = a,
0
dS = h1 h2 dϕ dz = a dϕ dz
X
 
0 h2 = |~rz | = 0 = 1
1 4.4. OBERFLÄCHENINTEGRALE
4.4.2
53
Das Oberflächenintegral
S sei eine einfache Fläche beschrieben und parametrisiert durch ~r = ~r(u, v), u, v ∈ R.
φ(~r) und F~ (~r) seien ein Skalar- und ein Vektorfeld, die auf der Fläche S definiert sind.
Damit definieren wir folgende skalarwertige Oberflächenintegrale definieren:
ZZ
ZZ
φ dS =
φ(~r(u, v)) |~ru × ~rv | du dv
ZZ S
Z ZR
ZZ
~
~
~
F · dS =
F · n̂ dS =
F~ (~r(u, v)) · (~ru × ~rv ) du dv
S
S
R
~ das gerichtete Flächenelement dS
~ = n̂ dS mit dem
Dabei ist dS das Flächenelement, dS
~ru × ~rv
Normalenvektor n̂ =
|~ru × ~rv |
Weiterhin definieren wir folgende vektorwertige Oberflächenintegrale:
ZZ
ZZ
ZZ
~
φ dS =
φ n̂ dS =
φ(~r(u, v)) (~ru × ~rv ) du dv
S
ZZ S
ZZ
ZZ R
~ × dS
~=
~ × n̂ dS =
~ (~r(u, v)) × (~ru × ~rv ) du dv
F
F
F
S
S
R
Diese beiden letzten Oberflächenintegrale finden jedoch in der Praxis kaum Anwendung
und werden daher in Folge - es sei denn zu Übungszwecken in den Übungen - nicht weiter
betrachtet.
Beispiele:
RR
1. J = S φ dS,
Skalarfeld: φ(~r) = x2 + y 2 , S: Kugeloberfläche, Radius a


a sin(ϑ) cos(ϕ)
~r(r, ϑ, ϕ) =  a sin(ϑ) sin(ϕ) 
a cos(ϑ)




a cos(ϑ) cos(ϕ)
−a sin(ϑ) sin(ϕ)
~rϑ =  a cos(ϑ) sin(ϕ)  , ~rϕ =  a sin(ϑ) cos(ϕ) 
−a sin(ϑ)
0


sin(ϑ) cos(ϕ)
~ra =  sin(ϑ) sin(ϕ)  , h1 = |~rϑ | = a, h2 = |~rϕ | = a sin(ϑ)
cos(ϑ)
dS = |~rϑ × ~rϕ | dϑ dϕ = h1 h2 |~er | dϑ dϕ = a2 sin(ϑ) dϑ dϕ
φ(~r) = x2 + y 2 = a2 sin2 (ϑ)
y
ZZ
Z
2πZ π
φ dS =
a2 sin2 (ϑ) · a2 sin(ϑ) dϑ dϕ
0
0
Z π
8
4
= a · 2π ·
sin3 (ϑ) dϑ = πa4
3
0
J =
S
54
KAPITEL 4. KURVEN-, OBERFLÄCHEN - UND VOLUMENINTEGRALE
2. J =
RR
S
~ (~r) · dS,
~
F
~ (~r) = ~r, S: Kugeloberfläche, Radius a wie oben.
Vektorfeld: F
ZZ
ZZ
ZZ
~
~
~r · n̂ dS =
a dS
J =
F (~r) · dS =
S
S
S
Z 2πZ π
Z π
=a
a2 sin(ϑ) dϑ ϕ = 2π a3
sin(ϑ) dϑ
0
0
0
= 4π a2
4.5
Volumenintegrale
Ausgangspunkt ist wiederum ein krummliniges Koordinatensystem (u, v, w) in dem ein
Volumen V ⊂ R3 durch eine geeignete Parametrisierung beschrieben wird. Der Ortsvektor
~r(u, v, w) überdeckt das Volumen V wenn die Parameter (u, v, w) den Parameterbereich
V ′ durchlaufen.
Abbildung 4.16: Ein Volumen V und sein Parameterraum V ′ im R3 ,
Das infinitesimale Volumenelement dτ des Volumens V ergibt sich analog zum Oberflächenintegral aus folgender Betrachtung:
Abbildung 4.17: Das infinitesimale Volumenelement dτ ,
Wir benötigen zur Berechnung von dτ die Koordinaten von vier Eckpunkten von dτ :
P0 : ~r(u, v, w)
∂~r
.
du
P1 : ~r(u + du, v, w) = ~r +
∂u
∂~r
.
P2 : ~r(u, v + dv, w) = ~r +
dv
∂v
∂~r
.
P3 : ~r(u, v, w + dw) = ~r +
dw
∂w
4.5. VOLUMENINTEGRALE
55
Damit berechnet sich das Volumen des Volumenelements dτ zu:
dτ = |(~ru × ~rv ) · ~rw | du dv dw = h1 h2 h3 du dv dw
Denn es gilt:
(~ru × ~rv ) · ~rw = h1 h2 h3 (~eu × ~ev ) · ~ew = h1 h2 h3
Bemerkung: |(~ru × ~rv ) · ~rw | ist nichts anderes als die Jacobi - Determinante!
Für das Volumenintegral über das Volumen V ergibt sich damit:
V =
=
ZZZ
dτ =
Z Z ZV
ZZZ
V′
|(~ru × ~rv ) · ~rw | du dv dw
h1 h2 h3 du dv dw
V′
Und für das Volumenintegral eines Skalarfeld über das Volumen V :
ZZZ
ZZZ
J =
φ dτ =
φ(~r(u, v, w) |(~ru × ~rv ) · ~rw | du dv dw
′
V
V
ZZZ
=
φ(~r(u, v, w) h1 h2 h3 du dv dw
V′
56
KAPITEL 4. KURVEN-, OBERFLÄCHEN - UND VOLUMENINTEGRALE
Hier sollen die wichtigsten Größen der gebräuchlichsten Koordinatensysteme im Überblick
zusammengestellt werden:
1. Kartesische Koordinaten
(x, y, z)
 
x
~r = y 
z
 
0
~ry = ~ey = 1 ,
0
 
1
~rx = ~ex = 0 ,
0
h1 = 1,
ZZZ
h2 = 1,
V
2. Zylinderkoordinaten
h3 = 1
ZZZ
φ dv =
 
0
~rz = ~ez = 0
1
φ dx dy dz
V′
(r, ϕ, z)


r cos ϕ)
~r = r sin(ϕ)
z


 
−r sin(ϕ)
0
~rϕ =  r cos ϕ)  , ~rz = 0
0
1


 
− sin(ϕ)
0
~eϕ =  cos ϕ)  , ~ez = 0
0
1


cos(ϕ)
~rr =  sin(ϕ)  ,
0


cos(ϕ)
~er =  sin(ϕ)  ,
0
h1 = 1,
ZZZ
h2 = r,
φ dv =
V
3. Kugelkoordinaten
h3 = 1
ZZZ
φ(~r(r, ϕ, z)) rdr dϕ dz
V′
(r, ϑ, ϕ)



sin(ϑ) cos(ϕ)
~rr =  sin(ϑ) sin(ϕ)  ,
cos(ϑ)


sin(ϑ) cos(ϕ)
~er =  sin(ϑ) sin(ϕ)  ,
cos(ϑ)
h1 = 1,
ZZZ

r sin(ϑ) cos(ϕ)
~r =  r sin(ϑ) sin(ϕ) 
r cos(ϑ)




r cos(ϑ) cos(ϕ)
−r sin(ϑ) sin(ϕ)
~rϑ =  r cos(ϑ) sin(ϕ)  , ~rϕ =  r sin(ϑ) cos(ϕ) 
−r sin(ϑ)
0




cos(ϑ) cos(ϕ)
− sin(ϕ)
~eϑ =  cos(ϑ) sin(ϕ)  , ~eϕ =  cos(ϕ) 
− sin(ϑ)
0
h2 = r,
φ dv =
V
h3 = r sin(ϑ)
ZZZ
φ(~r(r, ϑ, ϕ)) r 2 dr sin(ϑ)dϑ dϕ
V′
4.5. VOLUMENINTEGRALE
57
Beispiele:
1.
J =
ZZZ
e−(x
2 +y 2 +z 2 )
dv
R3
Der nahe liegende Lösungsansatz
Z 2πZ πZ ∞
Z
−r 2 2
J =
e
r sin(ϑ)dr dϑ dϕ = 4π
0
0
0
∞
2
e−r r 2 dr
0
führt hier auf ein geschlossen nicht lösbares Integral. Daher führen wir das
Integral auf ein schon früher gelöstes Integral zurück:
Z
∞Z ∞Z ∞
2
2
2
e−(x +y +z ) dx dy dz
−∞ −∞ −∞
Z ∞
Z ∞
Z ∞
−x2
−y 2
−z 2
=
e dx
e dy
e dz
J =
−∞
−∞
−∞
R∞
√
2
Mit dem bekannten Ergebnis 0 e−x dx = π erhalten wir
ZZZ
√ 3
2
2
2
J =
e−(x +y +z ) dv = π .
R3
2.
J =
ZZZ
r 2 dv
V
mit V = {~r | x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 , x, y, z, ≥ 0}
Wir berechnen:
J =
Z
0
π/2Z π/2Z a
0
0
r 2 · r 2 sin(ϑ) dr dϑ dϕ
Z
Z π/2
π a 4
=
r dr
sin(ϑ) dϑ
2 0
0
π a5
=
10
58
KAPITEL 4. KURVEN-, OBERFLÄCHEN - UND VOLUMENINTEGRALE
4.6
Übungsaufgaben


y
1. Für das Kraftfeld F~ = y − x berechne man die Arbeit längs der Wege
z

t
(a) ~r(t) = t , 0 ≤ t ≤ 1
t
 
t
(b) ~r(t) = t3  , 0 ≤ t ≤ 1
t2
~ = ~r , r 6= 0 ist konservativ. Bestimmen Sie das Potential φ(r) mit
2. Das Kraftfeld F
r3
~ = ∇φ
~ und φ(a) = 0, a > 0.
F
RQ
3. Berechnen Sie J = P (x2 + y 2 + z 2 ) ds entlang der Geraden, die die Punkte P (0, 1, 2)
und Q(3, 4, 5) verbindet.
 
x
~ = 2y . Berechnen Sie:
4. Gegeben sei das Vektorfeld F
3z
a)
Z
A
0
F~ · d~r
b)
Z
A
0
~ × d~r
F
b)
Z
A
F~ ds
0


√t
 2 
√

2
entlang der Kurve ~r =  2 t  vom Ursprung zum Punkt A(1, 22 , 13 ).
 1 
t3
3


x − 3y
2
2
H
~ = y − 2x entlang der Ellipse x + y = 1, die
5. Berechnen Sie C F~ · d~r mit F
9
4
0
entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufen wird.
6. Berechnen Sie das Volumen, das durch den elliptischen Paraboloiden z = 4 − x2 − y 2
und der (x, y)-Ebene eingeschlossen wird.
7. Berechnen Sie
J =
Z
√
√
2
2
0
Z
x
Skizzieren Sie das Integrationsgebiet!
1−x2
ln x2 + y 2
p
dy dx
x2 + y 2
8. BerechnenSie den Inhalt
der Fläche mit der Parameterdarstellung

u cos(v)
~r(u, v) =  u sin(v)  , 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π. Skizzieren Sie die Fläche.
u2
RR
9. Berechnen Sie das Integral S φ(x, y) ds mit dem Skalarfeld φ(x, y) = x2 + y 2 .
S sei hier die Oberfläche eines Quaders mit den Begrenzungen
|x| ≤ a, |y| ≤ b, |z| ≤ c.
4.6. ÜBUNGSAUFGABEN
59
10. S sei die Oberfläche der Halbkugel x2 + y 2 + z 2 = 1, z > 0. Berechnen Sie
J =
RR


x2
~ ~
~  y 2 .
S F · dS mit F =
z2
11. V sei das Innere des Halbzylinders
0≤x≤
RRR
Zeigen Sie, dass gilt: J = v x dv = 43 a4 .
p
a2 − y 2 , 0 ≤ z ≤ 2a.
Kapitel 5
Integralsätze
In den vorangegangen Kapiteln wurden Skalar- und Vektorfelder, Differentialoperatoren
wie Gradient, Divergenz und Rotation, sowie verschiedene Integrale eingeführt. All dies
bildet die Grundlage für die folgenden wichtigen Säte der Vektoranalysis, dem Gauß’schen
und dem Stoke’schen Integralsatz. Diese Sätze finden ihre Anwendung z. Bsp. bei der
Lösung der Maxwell’schen Gleichungen, den Grundgleichungen der Elektrodynamik.
5.1
Der Gauß’sche Satz
Der Gauß’sche Integralsatz stellt den Zusammenhang her zwischen dem Volumenintegral
über die Divergenz eines Vektorfeldes und dem Oberflächenintegral dieses Vektorfeldes
über die Berandung des betrachteten Volumens. Er lautet:
Satz von Gauß:
Ein geschlossener Bereich V ⊂ R3 sei durch eine einfache geschlossene Fläche S begrenzt.
~ und seine Divergenz ∇
~ · F~ seien auf V definiert. Dann gilt:
Das Vektorfeld F
I
Z
~
~ ·F
~ dτ
F · d~s =
∇
S
V
Abbildung 5.1: Der Satz von Gauß
60
5.1. DER GAUß’SCHE SATZ
61
Physikalische Interpretation des Gauß’schen Satzes:
~ z. Bsp. das Geschwindigkeitsfeld oder auch Stromdichte ~v einer Flüssigkeitsströmung,
Ist F
~ · ~v als Quelldichte des Geschwindigkeitsfeldes deuten (s. Kap. 3.3). Die
dann kann man ∇
Größe ~v · d~s ist die Flüssigkeitsmenge, die pro Zeiteinheit durch das Oberflächenelement
d~s hindurchströmt:
~v · d~s = ~v · ~n ds = v cos(α)ds = v ds′
Abbildung 5.2: Zum Satz von Gauß
Beim Gauß’schen Satz handelt es sich somit um eine Bilanzgleichung:
Die Summe der in bzw. aus V ein- und ausströmenden Flüssigkeiten und die Summe der
in V erzeugten oder verloren gegangenen Flüssigkeiten ist gleich.
Z
V
~ · ~v dτ
∇
I
~v · d~s
:
Integral über die Quelldichten =
ˆ Quellen im Volumen V
:
Integral über die durch die Oberfläche S des Volumens V
S
hindurchströmende Flüssigkeit
H
~ · ~v = 0 y
Spezialfall: Keine Quellen in V ⇐⇒ ∇
v · d~s = 0
S~
d.h. die in das Volumen V ein- und austretende Flüssigkeitsmenge ist gleich.
Ein erstes Beispiel zum Gauß’schen Satz:
I
~ · d~s
J =
F
S
 3
x
F~ (~r) = y 3 , S = {~r | x2 + y 2 + z 2 = a2 }
z3
1. Gauß’scher Satz
I
Z
~
~ ·F
~ dτ ;
~ ·F
~ = 3r 2
I=
F · d~s =
∇
∇
S
V
Z 2πZ πZ a
3
12π 5
=
3r 2 r 2 dr sin θ dθ dφ = 2π · 2 · a5 =
a
5
5
0
0 0
62
KAPITEL 5. INTEGRALSÄTZE
2. direkte Rechnung
I
F~ · d~s
J =
S
d~s = ~rϑ × ~rϕ dϑ dϕ = h2 h3~er dϑ dϕ
r=a


sin(ϑ) cos(ϕ)
= a2 sin(ϑ)  sin(ϑ) sin(ϕ)  dϑ dϕ
cos(ϑ)
 3 3

r sin (ϑ) cos3 (ϕ) F~ (~r) =  r 3 sin3 (ϑ) sin3 (ϕ)  r 3 cos3 (ϑ)
r=a
I
J =
F~ · d~s
S
Z π Z 2π
=
a3 sin4 (ϑ) cos4 (ϕ) + a3 sin4 (ϑ) sin4 (ϕ) + a3 cos4 (ϑ) a2 sin(ϑ) dϕ dϑ
..
.
0
0
. . . nach gut einer Seite Rechnung . . .
12π 5
=
a
5
Anwendung des Gauß’schen Satzes in der Elektrostatik
Maxwell’sche Gleichung der Elektrostatik
~ ·E
~ = ρ
∇
ǫ0
Z
Z
Q
~ ·E
~ dτ = 1
∇
ρ dτ =
ǫ0 V
ǫ0
V
Wir betrachten eine rotationssymmetische Ladungsverteilung ρ mit der Gesamtladung Q
im Volumen V . Mit dem Gauß’schen Satz gilt:
Z
Z
~
~
~ · d~s
∇ · E dτ =
E
V
S
Z
~ · n̂ ds
=
E
S
Wegen der Rotationssymmetrie ist das elektrische Feld radialsymmetrisch, also ein Radial~ r ) = E(r) r̂. Betrachten wir als Volumen eine Kugel vom Radius r, so erhalten wir
feld: E(~
weiter:
Z 2π Z π
Z
~
E · n̂ ds =
E(r) r̂ · n̂ h2 h3 dθ dφ
S
0
0
Z 2π Z π
=
E(r) r 2 sin(θ) dθ dφ
0
0
Z 2π Z π
2
= E(r) r
sin(θ) dθ dφ
0
0
2
= 4π r E(r)
Durch Vergleich mit oben erhalten wir als Ergebnis das Coulomb’sche Gesetz:
1
4π ǫ0
1
~
E(r)
=
4π ǫ0
E(r) =
Q
r2
Q
r̂
r2
5.1. DER GAUß’SCHE SATZ
63
Als eine Anwendung des Gauß’schen Satzes leiten wir den Gauß’schen Satz für Skalarfelder
her:
~ (~r) = ~a φ(~r) bestehend aus einem beliebigen konDazu betrachten wir das Vektorfeld F
stanten Vektor ~a und dem Skalarfeld φ(~r).
Es gilt der Gauß’sche Satz :
Z
Z
Z
~
~
~
~
∇ · F dτ =
∇ φ dτ
~a · (∇ φ) dτ = ~a ·
V
V
V
Z
Z
Z
=
F~ · d~s = (~aφ) · d~s = ~a ·
φ d~s
S
S
S
Durch Vergleich der rechten Seiten erhält man die Beziehung
Z
Z
~ φ dτ − φ d~s = 0
~a ·
∇
V
Da ~a beliebig ist, muss gelten
Z
V
S
~ φ dτ =
∇
Z
φ d~s
S
Dies nennt man den Gauß’schen Satz für Skalarfelder.
64
KAPITEL 5. INTEGRALSÄTZE
5.2
Der Stoke’sche Satz
Der Gauß’sche Satz reduziert das Volumenintegral über die Divergenz eines Vektorfeldes
auf ein Oberflächenintegral. Der Stoke’sche Satz verbindet das Oberflächenintegral über
die Rotation eines Vektorfeldes mit dem Kurvenintegral entlang des Randes der Oberfläche:
Satz: von Stokes
S sei eine offene Fläche und habe den gleichsinnig orientierten Rand C. ’Gleichsinnig’
heißt dabei, dass die Orientierung des Normalenvektors der Fläche und der Umlaufsinn
des Randes sich nach der rechten Hand-Regel entsprechen.
~ und seine Rotation ∇
~ × F~ seien auf S definiert. Dann gilt:
Das Vektorfeld F
Z
Z
~ ×F
~ ) · d~s =
F~ · d~r
(∇
S
C=∂S
Die geometrische Situation ist in der folgenden Abbildung dargestellt:
Abbildung 5.3: Zum Satz von Stokes
5.2. DER STOKE’SCHE SATZ
65
Der Satz von Stokes kann erweitert werden auf Flächen mit "Löchern". Dabei muss die
Orientierung der Randurve geeignet gewählt werden. Dabei kann man sich anhand die
Konstruktion des Lochs als Grenzfall einer Fläche ohne Loch verdeutlichen:
Abbildung 5.4: Der Satz von Stokes auf einer Fläche mit Löchern
Beispiel:
 
0

~a = 0 , a > 0, konstant,
a
F~ = ~a × ~r
 
x

~r = y 
z
S = Kreisscheibe in der xy-Ebene vom Radius r0
C = ∂S, Kreis, Rand von S
Gesucht :
I
C
F~ · d~r
1. mit dem Satz von Stokes
J =
I
C
~ · d~r =
F
Z
S
~ ×F
~ ) · d~s
(∇
~ ×F
~ =∇
~ × (~a × ~r)
∇
~ · ~r) − ~r (∇
~ · ~a) + (~r · ∇)~
~ a −(~a · ∇)
~ ~r
= ~a (∇
| {z } | {z }
=0
=0
= 3~a − ~a = 2~a
y J =
Z
S
2~a · d~s = 2a
Z
S
ds = 2a r02 π
66
KAPITEL 5. INTEGRALSÄTZE
2. direkt
J =
Z
C
~ · d~r
F




cos(ϕ)
− sin(ϕ)
d~
r
~r(ϕ) = r0  sin(ϕ)  ; d~r =
dϕ = r0  cos(ϕ) 
dϕ
0
0
  
 

0
r cos(ϕ)
−a r sin(ϕ)
~ = ~a × ~r = 0 ×  r sin(ϕ)  =  a r cos(ϕ) 
F
a
0
0
J =
Z
2π
0
~ · d~r dϕ = a r02
F
dϕ
= a r02 · 2π
Z
2π
(sin2 (ϕ) + cos2 (ϕ)) dϕ
0
X
Anwendung: Berechnung des B-Feldes eine geraden, unendlich ausgedehnten, stromdurchflossenen elektrischen Leiters
Maxwell’sche Gleichung der Magnetostatik:
~ × B(~
~ r ) = µ0 ~j
∇
~ die so genannte magnetische Induktion und ~j die elektrische LeitungsstromDabei ist B
dichte. Wir benutzen die Geometrie, die in der folgenden Graphik dargestellt ist:
Abbildung 5.5: Zum B-Feld eine geraden Leiters
C sei ein Kreis vom Radius r, konzentrisch um die Stromachse gelegen, S eine Fläche mit
~ ·F
~ UND ∇
~ × F~
5.3. GRENZWERTDEFINITION VON ∇
67
C als Rand. Mit dem Stoke’schen Satz folgt aus der Maxwell’schen Gleichung:
I
Z
Z
~ · d~r = (∇
~ × B)
~ · d~s =
B
µ0 ~j · d~s = µ0 I
S
C
S
Dabei bezeichnet I die Gesamtstromstärke des Leiters. Aufgrund der Rotationssymmetrie
~ ·B
~ = 0,
um die Stromachse und der Divergenzfreiheit der magnetischen Induktion, ∇
sind die magnetischen Feldlinien in sich geschlossen und liegen in konzentrischen Kreisen
ringförmig um den elektrischen Leiter. Wählen wir den elektrischen Leiter entlang der
z-Achse. Dann gilt in Zylinderkoordinaten:
~ r ) = B(r) êφ
B(~
Damit berechnet sich die Ortsabhängigkeit des B-Feldes leicht zu:
I
Z 2π
I
~
B · d~r = B(r) êφ · d~r =
B(r) êφ · êφ rdφ = B(r) 2π r
C
0
C
Damit erhalten wir für die magnetische Induktion das bekannte Ergebnis:
y B(r) =
µ0 I
2π r


− sin(φ)
µ
I
µ
I
~ r ) = 0 êφ = 0
 cos(φ) 
B(~
2π r
2π r
0
5.3
5.3.1
~ · F~ und ∇
~ × F~
Grenzwertdefinition von ∇
~ · F~
∇
Der Punkt P sei ein Punkt eines (infinitesimalen) Volumens τ , das von einer einfachen
~ und seine Divergenz, ∇
~ ·F
~
geschlossenen Fläche S umschlossen wird. Das Vektorfeld F
seien auf τ definiert. V sei das Volumen von τ . Der Mittelwertsatz der Integralrechnung
in 3 Dimensionen besagt, dass es (mindestens) einen Punkt P ′ im Volumen τ gibt, für den
gilt:
Z
1
~ · F~ dτ = ∇
~ ·F
~ (~r) ∇
V τ
~
r =P ′
Mit dem Gauß’schen Satz folgt unmittelbar
I
1
~ · d~s = ∇
~ · F~ (~r) F
V S
~
r =P ′
Zieht man jetzt die Fläche S auf den Punkt P zusammen, so wird das Volumen τ beliebig
klein und der Punkt P ′ wandert in den Punkt P . Damit erhält man:
I
1
~
~
∇ · F (~r) = lim
F~ · d~s
V →0 V S
~
r =P
Mit dieser Beziehung, die man auch als als Definition der Divergenz eines Vektorfeldes ver~ ·F
~ (~r) als ‚Quelldichte‘ siehe Kap. 3.3.1 nochmals
stehen kann, wird die Bedeutung von ∇
deutlich.
68
KAPITEL 5. INTEGRALSÄTZE
Anwendungsbeispiel:
Divergenz des elektrischen Feldes einer elektrischen Punktladung Q
~ r) =
E(~
1 Q
r̂,
4πǫ0 r 2
~r ∈ R3 , r 6= 0
~ · E(~
~ r ) = 0. Wir berechnen
Für r 6= 0 hatten wir schon früher als Ergebnis erhalten1 : ∇
~
nun die Divergenz von E(~r) im singulären Punkt r = 0 mittels der Grenzwertdefinition:
I
1
~
~
~ · d~s
∇ · E(~r) = lim
E
V →0 V S
~
r =~0
Als Volumen V wählen wir eine Kugel vom Radius a und führen die Integration in Kugelkoordinaten aus:
I
3
~
~
~ · n̂ ds
= lim
∇ · E(~r) E
a→0 4πa3 S
~
r =~0
Z 2πZ π
3
1 Q
r̂ · r̂ a2 sin(ϑ)dϑdϕ
= lim
2
a→0 4πa3 0
4πǫ
a
0
0
3
Q
= lim
4π
a→0 4πa3 4πǫ0
3Q
1
=
lim 3 = ∞
4πǫ0 a→0 a
~ E(~
~ r ) letztlich doch noch zu berechnen wenden wir
Der Grenzwert existiert also nicht. Um ∇·
den Gauß’schen Satz auf eine Kugel mit beliebigem Radius a um den Ursprung nochmals
an:
Z
Z
~
~
~ · n̂ ds
∇ · E dτ =
E
V
S
Z 2πZ π
1 Q
r̂ · r̂ a2 sin(ϑ)dϑdϕ
=
2
0
0 4πǫ0 a
Q
Q
=
4π =
∀a > 0
4πǫ0
ǫ0
Damit erhalten wir als Ergebnis beider Rechnungen in Übereinstimmung mit den Maxwellgleichungen der Elektrostatik:
~ · E(~
~ r ) = Q δ3 (~r)
∇
ǫ0
mit der dreidimensionalen Dirac’schen „Deltafunktion“ δ3 (~r) = δ(x) δ(y) δ(z) und der
punktförmigen Ladungsdichte ρ(~r) = Q δ3 (~r).
1
siehe Kap. ...
~ ·F
~ UND ∇
~ × F~
5.3. GRENZWERTDEFINITION VON ∇
5.3.2
69
~ × F~
∇
~ und seine Rotation, ∇
~ × F~ definiert. In τ definiere man eine ebene
Im Volumen τ seien F
Fläche S, die wiederum den Punkt P enthält und deren Normaleneinheitsvektor n̂ in eine
vorgegebene Richtung zeigt. Der Rand von S, C = ∂S sei eine mit S gleichsinnig orientierte
Kurve, A sei der Flächeninhalt von S. Mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung und
dem Stoke’schen Satz ergibt sich für einen Punkt P ′ in S:
I
Z ~
~ ×F
~ · d~s
F · d~r =
∇
∂S
ZS ~ ×F
~ · n̂ ds = A ∇
~ ×F
~ (~r) · n̂ =
∇
′
~
r =P
S
Zieht man jetzt die Fläche S auf den Punkt P zusammen, so gilt im Punkt P
I
1
~
~
∇ × F (~r) · n̂ = lim
F~ · d~r
A→0 A ∂S
~
r =P
~ × F~ (~r)
Abbildung 5.6: Definition zu ∇
~ ×F
~ (~r) in Richtung von n̂. Da n̂ beliebig gewählt werden
Dies ist die Komponente von ∇
~ ×F
~ (~r) im
konnte, können wir damit alle drei linear unabhängigen Komponenten von ∇
Punkt P berechnen.
Mit dieser Beziehung, die man auch als als Definition der Rotation eines Vektorfeldes
~ ×F
~ (~r) als ‚Wirbeldichte‘ siehe Kap. 3.3.1
verstehen kann, wird die Bedeutung von ∇
deutlich. Zur Anschauung nehme man z. B. für S eine infinitesimale Kreisscheibe, die in x, y
- oder z - Richtung orientiert ist. Ist das entsprechende Umlaufintegral von Null verschieden,
bedeutet dies, dass die mittlere tangentiale Komponente von F~ in Umlaufrichtung des
Integrals von Null verschieden ist, das Feld also eine mittlere Krümmung, insgesamt einen
Wirbelanteil um die entsprechende Achse besitzt.
70
KAPITEL 5. INTEGRALSÄTZE
5.4
Übungsaufgaben
1. Berechnen Sie mit Hilfe des Gauß’schen Satzes das Integral
I
S
~ · d~s ,
F


x4
~ (~r) =  y 4  ,
mit F
z4
S = {~r | x2 + y 2 + z 2 = a2 }
Überprüfen Sie das Ergebnis, indem Sie das Oberflächenintegral direkt berechnen.
2. Berechnen Sie mit Hilfe des Gauß’schen Satzes das Integral
I
S
~r · d~s
für eine Würfel-, Kugel-, und eine beliebige geschlossene Oberfläche S.
3. Verifizieren Sie die Gültigkeit des Stoke’schen Satzes für die Vektorfelder

x y2
~ (~r) =  −y z 2 
b) F
x2 z


x2 y
a) F~ (~r) =  z 
0

für die Halbkugel x2 + y 2 + z 2 = a2 , z ≥ 0 und ihren Rand, den Kreis in der
(x, y)-Ebene mit Radius a und dem Mittelpunkt im Ursprung.
4. Bestimmen Sie direkt und mit Hilfe des Stoke’schen Satzes das Integral
1
2
I
C
~r × d~r
für die folgenden Kurven C:
(a) C ist ein Kreis um den Koordinatenursprung
(b) C ist ein Rechteck mit den Seiten a und b
(c) C ist ein beliebige eben Kurve im R3
Interpretieren Sie Ihr Ergebnis geometrisch.
Hinweis: Welche geometrische Bedeutung hat die infinitesimale Fläche 12 ~r × d~r ?
Abbildungsverzeichnis
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Bahnkurve eines Teilchens . . . . . . . . .
Parametrisierung einer Raumkurve . . . .
Parameterdarstellung einer Schraubenlinie
Verschiedene Raumkurven . . . . . . . . .
Änderung des Ortsvektors um ∆~r . . . .
Tangente an eine Bahnkurve . . . . . . . .
Teil einer stückweise glatten Kurve . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 6
.
7
. 8
. 8
. 9
. 11
. 12
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Nahwirkungsprinzip durch Felder . . . . . . . . . .
Niveauflächen eines Skalarfeldes . . . . . . . . . . .
Flüssigkeitsbilanz einer inkompressiblen Flüssigkeit
Rotationsbewegung eines starren Körpers . . . . .
Das lokale Dreibein von Kugelkoordinaten . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 16
. 17
. 21
. 23
. 30
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
Eine Raumkurve des R3 . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Wegintegral als eindimensionales Integral . . . .
Eine Raumkurve des R3 in der (x, y)-Ebene . . . . .
Zwei Raumkurven des R3 . . . . . . . . . . . . . . .
Das Vektorfeld um die z-Achse . . . . . . . . . . . .
Das Das Doppelintegral über das Gebiet G . . . . . .
Das Gebiet G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eine Fläche S im R3 und ihr Parameterbereich R im
Ein unendlicher Zylinder vom Radius a . . . . . . . .
Eine Kugel vom Radius a . . . . . . . . . . . . . . .
Verschiedene Typen von Flächen . . . . . . . . . . .
Koordinatenlinien auf der Oberfläche S . . . . . . . .
Orientierung von n̂(u, v) . . . . . . . . . . . . . . . .
Orientierung von n̂(u, v) auf der Zylinderoberfläche .
Das Oberflächenelement dS einer Fläche S . . . . . .
Ein Volumen V und sein Parameterraum V ′ im R3 , .
Das infinitesimale Volumenelement dτ , . . . . . . .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
R2
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
34
35
37
39
43
44
45
47
47
48
48
49
49
50
51
54
54
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
Der Satz von Gauß . . . . . . . . . . .
Zum Satz von Gauß . . . . . . . . . . .
Zum Satz von Stokes . . . . . . . . . .
Der Satz von Stokes auf einer Fläche mit
Zum B-Feld eine geraden Leiters . . . .
~ × F~ (~r) . . . . . . . . . .
Definition zu ∇
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
60
61
64
65
66
69
71
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . .
. . . . .
. . . . .
Löchern
. . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Anhang A
Beweise zu Rechenregeln mit dem
Nabla-Operator
Der Beweis der Rechenregeln für den Nabla-Operator lässt sich jeweils komponentenweise
durch explizites Nachrechnen führen. Zur effizienten Rechnung führen wir ein
1. die Einstein’sche Summenkonvention
~a · ~b =
3
X
ai bi := ai bi
i=1
Hier versteht sich die Summation über doppelte Indizes
2. den antisymmetrischen ǫ - Tensor
ǫ123 = 1

 1 für ijk
ǫijk =
−1 für ijk

0 sonst
gerade Permutation von 123
ungerade Permutation von 123
Damit schreibt sich das Kreuzprodukt zweier Vektoren in der Form

 
 

a2 b3 − a3 b2
ǫ123 a2 b3 + ǫ132 a3 b2
ǫ1jk aj bk
~a × ~b = a3 b1 − a1 b3  = ǫ231 a3 b1 + ǫ213 a1 b3  = ǫ2jk aj bk 
a1 b2 − a2 b1
ǫ312 a1 b2 + ǫ321 a2 b1
ǫ3jk aj bk
Oder für die einzelne Komponente:
~a × ~b = ǫijk aj bk
i
Der antisymmetrische ǫ - Tensor hat die Eigenschaft
ǫijk ǫilm = δjl δkm − δjm δkl
1 für i = j
mit δij =
,
0
sonst
72
Kronecker - Delta
73
Damit ergeben sich folgende kompakte Schreibweisen:
~a · ~b = ai bi
~a × ~b = ǫijk aj bk
i
~
∇φ
= ∂i φ
i
~ · F~ = ∂i Fi
∇
~ ×F
~ = ǫijk ∂j Fk
∇
i
Damit beweisen wir folgende Gleichungen. Der Beweis der restlichen Gleichungen wird als
Übung empfohlen.
~ · F
~ ×G
~ = ∂i (ǫijk Fj Gk )
∇
= ǫijk (∂i Fj ) Gk + ǫijk Fj (∂i Gk )
= Gk ǫkij ∂i Fj − Fj ǫjik ∂i Gk
~ · (∇
~ × F~ ) − F
~ · (∇
~ × G)
~
=G
~ × (∇
~ ×F
~ ) = ǫijk ∂j ǫklm ∂l Fm
∇
i
= ǫijk ǫklm ∂j ∂l Fm
= (δil δjm − δim δjl ) ∂j ∂l Fm
= ∂i ∂m Fm − ∂j ∂j Fm
~
~
~
~
= ∇ (∇ · F ) − ∆ F
i
~ × (∇
~ φ) = ǫijk ∂j ∂k φ
∇
i
= −ǫikj ∂j ∂k φ
= −ǫikj ∂k ∂j φ;
k → j, j → k
= −ǫijk ∂j ∂k φ
~ × (∇
~ φ) = 0
=− ∇
i
~ · (∇
~ × F~ ) = ǫijk ∂i ∂j Fk
∇
= −ǫjik ∂i ∂j Fk
= −ǫjik ∂j ∂i Fk ;
i → j, j → i
= −ǫijk ∂i ∂j Fk
~ · (∇
~ × F~ ) = 0
= −∇
Anhang B
Beweise zu den
Differentialoperatoren in
krummlinigen Koordinaten
74
Anhang C
Beweis des Gauß’schen Satzes
75
Anhang D
Lösungen zu den Übungsaufgaben
D.1
Vektorfunktionen
1. fehlt
2. fehlt
3. fehlt
4. fehlt


1
1
 2t 
5. T̂ = √
1 + 4t2 + 9t4
3t2


arctan(s)
6. ~r(s) =  √12 ln(1 + s2 )  ,
s − arctan(s)
D.2


1
1  √ 
T̂ =
2s
1 + s2
s2
Skalar- und Vektorfelder Vektorfunktionen
1. keine Angaben
348
2. √
19
~ = ~r
3. ∇φ
r2
4. t(x, y) = 2(x + y − 1)


 
−1
0
~
~
~
~
~
~
~



5. ∇ · F = 2, ∇ × F =
0
, ∇(∇ · F ) =
1 
−1
1
6. keine Angaben
7. a = 4, b = 2, c = −1, φ =
1 2
3
x + 2xy + 4xz − y 2 − zy + z 2 + C
2
2


0
~ ×V
~1 =  2  , ∇
~ ×V
~2 = ~0, siehe Vorlesung
8. ∇
4
9. keine Angaben
76
D.3. KURVEN, OBERFLÄCHEN- UND VOLUMENINTEGRALE
10. keine Angaben
 R2
2
2
y −x
c 1+

(x2 + y 2 )2

R2
11. (a) ~v = 

−2xy

(x2 + y 2 )2
0
~ · ~v = 0, ∇
~ × ~v = ~0
(b) ∇
(c) ~v = ~0 :
D.3
x = ±R, y = 0;
77








2c
~v (0, ±R) =  0 
0
Kurven, Oberflächen- und Volumenintegrale
1. (a) 1
(b) 1/2
2. φ =
1 1
−
a r
√
3. 69 3
7
6
(b) ~0

4. (a)


(c) 

3
4
√
8 2
15
5
12
5. 6π





6. I = 8π
7. I = − π2
3
8. F = π6 5 2 − 1
9. I =
8
3
10. I =
π
2
3(a2 bc + b2 ac) + a3 b + b3 a + c(b3 + a3 )
11. keine Angaben
D.4
Integralsätze
1. fehlt
2. 3V , V ist dabei das jeweilige eingeschlossene Volumen
3. alle Integrale ergeben 0
4. a) r 2 π n̂,
b) ab n̂,
c) F n̂.
Dabei ist F die von C in Teilaufgabe c) umschlossene Fläche und n̂ der Normaleneinheitsvektor auf die jeweiligen Flächen.
Anhang E
Klausuraufgabensammlung
Bei den jetzt folgenden Klausuraufgaben handelt es sich um Klausuraufgaben aus dem
’alten’ Diplomstudiengang Elektrotechnik der HTW. Sie können und sollen nur als eine
erste Orientierung dienen. Die Klausuren im Masterstudiengang Elektrotechnik ab dem SS
2008 folgen im Anschluss an diese Klausuraufgaben.
1. Gegeben sei das Vektorfeld

axy − 2z 3
~ r ) =  (a − 4)x2  ,
A(~
(2 − a)xz 2

a ∈ R, konstant.
Kann man die Konstante a so festlegen, dass das Vektorfeld entweder wirbelfrei,
~ ×A
~ = ~0, oder quellenfrei ∇
~ ·A
~ = 0 ist? Bestimmen Sie ggf. die zugehörigen Werte
∇
von a.
2. Gegeben sei das Vektorfeld


−y
~ r) =  x 
A(~
0
x 2 y 2
C sei der Rand der Ellipse
+
= 1 in der Ebene z = 0, der gegen den
a
b
Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Berechnen Sie das Wegintegral
I=
I
C
~ r ) · d~r.
A(~
3. Gegeben sei das Vektorfeld

xy − 2z
~ r ) =  x2 + y 2 + z 2 
A(~
zy 2

x 2 y 2
C sei der Rand der Ellipse
+
= 1 auf der Höhe z = 9, der gegen den Uhr3
4
zeigersinn durchlaufen wird. Berechnen Sie mit geeigneten Mitteln das Wegintegral
I=
I
C
Ist das Vektorfeld konservativ?
78
~ r ) · d~r.
A(~
79
4. Gegeben sei das Vektorfeld

xy − 2z
~ r) = 

A(~
x2
2
xz

x2
y2
+
= 1 auf der Höhe z = 0, der gegen den UhrzeiC sei der Rand der Ellipse
2
5
gersinn durchlaufen wird. Berechnen Sie mit geeigneten Mitteln das Wegintegral
I=
I
C
~ r ) · d~r.
A(~
Ist das Vektorfeld konservativ?


y2
~ =  xy  quellenfrei?
5. (a) In welchen Punkten ist das Vektorfeld V
−yz
(b) Gegeben sei der Gradient eines Skalarfeldes φ(~r):


2
2xyz ex
2

~ r) = 
∇φ(~
 z ex

2
y ex
und sein Wert im Ursprung: φ(~0) = 5. Welchen Wert hat das Skalarfeld φ(~r) im
Punkt P (1, 1, 2)?


−y
n
o
~ =  2x  und die Fläche A = x, y, z x2 + y 2 + z 2 = 9, z > 0 .
6. Gegeben sei das Vektorfeld F
z
Berechnen Sie das Oberflächenintegral
ZZ ~ ×F
~ · d~a
I=
∇
A
entweder direkt durch explizite Berechnung des Integranden und anschließende Integration oder mit Hilfe des Stoke’schen Satzes.


3x − 2y
~ =  y + 2z  und verschiedene Raumkurven C
7. Gegeben sei das Vektorfeld F
−x2
zwischen den Punkten P1 (0, 0, 0) und P2 (1, 1, 1). Berechnen Sie das Kurvenintegral
I=
für folgende Kurven C:
(a) der Kurve x = t, y = t2 , z = t3
(b) einer Geraden von P1 nach P2
(c) der Kurve x = z 2 , z = y 2 .
Z
C
F~ · d~r
80
ANHANG E. KLAUSURAUFGABENSAMMLUNG
8. Gegeben sei das Vektorfeld


xz − 2y
~ r ) =  xy + z 2 
A(~
xy 2
x2
y2
C sei der Rand der Ellipse
+
= 1 auf der Höhe z = 3, der gegen den Uhrzei3
4
gersinn durchlaufen wird. Berechnen Sie mit geeigneten Mitteln das Wegintegral
I=
I
C
~ r ) · d~r.
A(~
Ist das Vektorfeld konservativ?
9. Gegeben sei das Vektorfeld


x + yz
~ r) =  xz 
A(~
y + xz
C sei der Rand eines Kreises x2 + y 2 = 25 der Ebene z = 2, der gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Berechnen Sie mit geeigneten Mitteln das Wegintegral
I=
I
C
~ r ) · d~r.
A(~
Ist das Vektorfeld konservativ?
10. Gegeben sei das Vektorfeld


2xy − z
~ r ) =  x2 + 2y 2 + 2z 2 
A(~
2xyz 2
x2
z2
C sei der Rand der Ellipse
+
= 1 in der Ebene y = 1, der gegen den Uhrzei4
16
gersinn durchlaufen wird. Berechnen Sie mit geeigneten Mitteln das Wegintegral
I=
I
C
~ r ) · d~r.
A(~
Ist das Vektorfeld konservativ? Begründen Sie Ihre Antwort!
11. Gegeben sei das Vektorfeld


axy − z 2
~ r ) =  (3 − a)x2  , a ∈ R, konstant
A(~
(a − 4)xz
(a) Kann man die Konstante a so festlegen, das das Vektorfeld wirbelfrei oder quellenfrei ist?
81
(b) Berechnen Sie für allgemeine Werte von a das geschlossene Wegintegral
I=
I
C
~ r ) · d~r
A(~
x2
z2
entlang der Ellipse
+
= 1 in der (x,z)-Ebene. Ist das Vektorfeld konser9
4
vativ?
12. Berechnen Sie die Rotation des Vektorfeldes ~v = (~a · ~r)~r für einen konstanten Vektor
~ × ~v = ~0?
~a. In welchen Punkten des Raumes ist ∇
13. Gegeben sei das Vektorfeld

−y 2
~ r) = 

−x2
A(~
2
2
3(x + y )

Berechnen Sie das Oberflächenintegral
I=
ZZ
S
~ · d~s
A
n
o
über den im zweiten Oktanden O2 = (x, y, z)x ≤ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 gelegenen Teil
der Ebene −6x + 4y + 2z = 6. Die Normale ist dabei nach außen gerichtet. Gewinnen
Sie die Normale aus der Normalenform der Ebenengleichung.


x2 − y 2


z

~ r) = 
x2 + y 2
14. Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes A(~

 aus dem


z
−(x + y) ln(z))
Quader 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 2, 1 ≤ z ≤ 4.
82
ANHANG E. KLAUSURAUFGABENSAMMLUNG
15. Prüfen Sie, ob

x cos(y)
(a) das Wegintegral I =  x sin(y)  · d~r wegunabhängig ist,
x2 + y 2


z sin2 (y)
~ r ) =  2xz sin(y) cos(y)  ein Gradientenfeld ist. Wie lautet
(b) das Vektorfeld A(~
x sin2 (y)
ggf. ein Potential?
R

16. Gegeben sei das Vektorfeld


xy − z
~ r ) =  x2 + 2y 2 + 2z 2 
A(~
2zy 2
x2
y2
C sei der Rand der Ellipse
+
= 1 auf der Höhe z = 1, der gegen den Uhrzei16 25
gersinn durchlaufen wird. Berechnen Sie mit geeigneten Mitteln das Wegintegral
I=
I
C
~ r ) · d~r
A(~
Ist das Vektorfeld konservativ?
17. (a) Skizzieren Sie das Gebiet B, das in der (x, y)-Ebene durch den Kreis mit dem
Mittelpunkt im Ursprung und dem Radius 2, durch die Winkelhalbierende des
ersten Quadranten und durch die y-Achse begrenzt wird.
(b) Berechnen Sie für die Funktion f (x, y) = x2 y 2 das Doppelintegral über den
Bereich B.
18. (a) Skizzieren Sie das Gebiet B, das in der (x, y)-Ebene durch den Kreis mit dem
Mittelpunkt im Ursprung mit dem Radius 3und die Kurven x = 1, x = −1
begrenzt wird.
(b) Berechnen Sie für die Funktion f (x, y) = x2 + y 2 das Doppelintegral über den
Bereich B.
19. (a) Skizzieren Sie das Gebiet B, das in der (x, y)-Ebene durch die Kurven y =
x2 , y = x für x > 0 begrenzt wird.
(b) Berechnen Sie das zweidimensionale Integral der Funktion f (x, y) = 3 x3 y 4 über
das Gebiet B.
20. Bestimmen Sie für die Funktion f (x, y) = 5 − x2 − y 2 das Doppelintegral
ZZ
f (x, y) ds
B
über das Gebiet B, das von der x-Achse, der Geraden y = 2 x und der Ellipse
x2 y 2
+
= 1 eingeschlossen wird.
9
4
Fertigen Sie vom Gebiet B eine Zeichnung an! Für die Integration dürfen Sie Integraltafeln benutzen.
83
21. Berechnen
Sie die Rotation des Vektorfeldes F~ = (~a ·~r) ~r für einen konstanten Vektor


ax
~ ×F
~ = ~0 ?

~a =
ay  . In welchen Punkten des Raumes ist ∇
yz
22. Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes



~ (~r) = 
F



x2 − y 2
z
2
x + y2
z
−(x + y) ln(z)
aus dem Quader 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 2, 1 ≤ z ≤ 4.







23. Berechnen Sie das Doppelintegral
I=
ZZ
(x2 + y 2 ) ds
G
über dem Gebiet G = (x, y) |x| + |y| ≤ 2 . Skizzieren Sie zuerst das Integrationsgebiet !
24. Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch die Flächen x = 0, y = 0, z = 1
und x + y + z = 5 begrenzt wird. Skizzieren sie zuerst den Körper !
25. Skizzieren Sie den Bereich B in der (x, y) - Ebene, der durch die Kurven y =
sin(x), y = x und x = 2 begrenzt wird. Berechnen Sie das zwei-dimensionale Integral der Funktion f (x, y) = 2 x2 + y 2 über den Bereich B.
26. Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch die Flächen z = x2 + y 2 , z = 0
und (x − 1)2 + y 2 = 1 eingeschlossen wird. Skizzieren Sie das Volumen!
x2
das Doppelintegral über den Bereich B
y2
√
in der (x, y) - Ebene, der von den Kurven y = x, y = 1 und y = 2 eingeschlossen
wird. Skizzieren Sie den Bereich.
27. Berechnen Sie für die Funktion f (x, y) =
28. (a) Skizzieren Sie das Gebiet B, das in der (x, y) -Ebene durch die Kurven y =
x2 , x = 2 und y = 1 begrenzt wird.
(b) Berechnen Sie das Doppelintegral der Funktion f (x, y) = x2 + y 2 über das
Gebiet B.
29. Berechnen Sie durch ein Mehrfachintegral das Volumen einer Kugel vom Radius R,
aus der ein Kegel mit der Spitze im Mittelpunkt der Kugel und einem Öffnungswinkel
von π/3 ausgeschnitten wurde.
30. Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch die Flächen x2 + 4y 2 = 8z
x2 + 4y 2 = 1 und z = 0 begrenzt wird. Skizzieren Sie das Volumen.
84
ANHANG E. KLAUSURAUFGABENSAMMLUNG
Hier folgen nun Klausuren des Masterstudiengangs Elektrotechnik ab dem SS 2008:
Klausur SS 2008:
1. Gradient, Divergenz und Rotation
(4 Punkte)
Folgende Felder seien in kartesischen Koordinaten x, y, z definiert:
U (x, y, z) = x2 (1 − y) + 3xy,
Berechnen Sie


x−y
~ (x, y, z) =  x2 + y 2  ,
F
xz − 3
(a) ∆U
~ ×F
~
(b) rotF~ = ∇
~ )) = ∇
~ · (∇
~ × (U F
~ ))
(c) div(rot(U F
Kommentieren Sie das Ergebnis von Teilaufgabe c.
2. Linienintegral
(4 Punkte)
Berechnen Sie die Arbeit, die von einem Teilchen verrichtet wird, das sich auf einer
Spirale entlang einer Spulenwindung der Höhe h,

im Kraftfeld

cos(t)
C : ~r(t) =  sin(t)  , t ∈ [0, 2π]
ht/(2π)
1
F~ (~r) = 2 ~er ,
r
~r
~er = ,
r
r = |~r|
bewegt.
3. Flußintegral
(4 Punkte)
Berechnen Sie den Fluss des axialsymmetrischen Feldes
F~ (ρ, z) = ρ2 ~eρ + c ~ez , c reell
durch die Oberfläche einer Kugel mit dem Mittelpunkt im Ursprung und dem Radius
a.
4. Volumenintegral, Gauss’scher Satz
(4 Punkte)
Berechnen Sie das Volumenintegral der Divergenz des radialsymmetrischen Feldes
~ = r s ~er ,
F
s > −2, reell
über eine Kugel im Ursprung mit dem Radius a sowohl direkt als auch mit dem
Gauss´schen Satz.
85
5. Satz von Stokes
(4 Punkte)
Berechnen Sie den Fluss der Rotation des Feldes

z
~ (~r) =  x 
F
y

durch die Halbkugelschale
S : x2 + y 2 + z 2 = a2 , z ≥ 0
sowohl direkt als auch mit dem Stoke’schen Satz.
Midterm vom Juni 2009:
1. Gradient, Divergenz und Rotation
(3 Punkte)
Folgende Felder seien in kartesischen Koordinaten x, y, z definiert:
U (x, y, z) = x3 (1 − y 2 ) + 5xy 2 ,
Berechnen Sie

x3 + y 2
F~ (x, y, z) =  x2 − y 2  .
xz 2 − 3y

(a) ∆U
~ =∇
~ ×F
~
(b) rotF
~ · (∇
~ × (U F~ ))
(c) div(rot(U F~ )) = ∇
Kommentieren Sie das Ergebnis von Teilaufgabe c.
2. Linienintegral
(4 Punkte)
Berechnen Sie die Arbeit, die von einem Teilchen verrichtet
 wird, das sich auf einer
3
elliptischen Spirale C ausgehend vom Punkt P1 =  0  bis zum Punkt P2 =
0


3
 0 
10




3 cos(t)
2π z
~ (~r) =  x 
C : ~r(t) =  4 sin(t) 
im Kraftfeld
F
5 t/(2π)
πy
bewegt.
86
ANHANG E. KLAUSURAUFGABENSAMMLUNG
3. Bereichsintegral
(3 Punkte)
Berechnen Sie das Bereichsintegral
I=
der Funktion f (x, y) =
C=
r
1−
ZZ
f (x, y)ds
B
x2 y 2
− 2 über den Bereich B, der von der Ellipse
a2
b
x2 y 2
+ 2 = 1 für x ≥ 0 umschlossen wird.
a2
b
Skizzieren Sie zunächst den Integrationsbereich und wählen Sie eine geeignete Parametrisierung des Integrals.
Klausur vom August 2009:
1. Gradient, Divergenz und Rotation
(3 Punkte)
Folgende Felder seien in kartesischen Koordinaten x, y, z definiert:
U (x, y, z) = x y 2 ,
Berechnen Sie


2 x2 z
~ (x, y, z) = 
,
F
1
2
2
x y z


x2
~
G(x,
y, z) =  y 2  .
z2
~ U
(a) grad U = ∇
~ ×F
~
(b) rot F~ = ∇
~ · ∇)
~ G
~
(c) (F
~ · (∇
~ U)
(d) F
~ × (∇
~ U)
(e) F
2. Linienintegral
(3,5 Punkte)
Berechnen Sie die Arbeit, die von einem Teilchen verrichtet wird, das sich auf einer Schraubenlinie
C um die z-Achse mit dem Radius R ausgehend



 vom Punkt
R
R
P1 =  0  entlang einer Windung bis zum Punkt P2 =  0  im Kraftfeld
0
a


yz
~ (~r) =  x z  bewegt.
F
xy
87
3. Bereichsintegral
(3,5 Punkte)
Berechnen Sie das Bereichsintegral
I=
ZZ
f (x, y)ds
B
der Funktion f (x, y) = (1 − x2 − y 2 )2 über den Bereich B, der durch die Ungleichung
x2 + y 2 ≤ 2 x beschrieben wird wird.
Hinweis: Skizzieren Sie zunächst den Integrationsbereich und wählen Sie eine geeignete Parametrisierung des Integrals.
4. Flußintegral
(3,5 Punkte)
S sei die geschlossene Oberfläche, die aus der Halbkugel x2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0 und
ihrer Grundfläche x2 + y 2 ≤ 1, z = 0 besteht.
Berechnen Sie explizit über ein Oberflächenintegral den Fluß des Feldes
F~ (x, y, z) = 2 x ~ex + 2 y ~ey + 2 z ~ez
durch die Fläche S.
5. Volumenintegral, Gauß’scher Satz
(3 Punkte)
Berechnen Sie mit Hilfe des Gauß’schen Satzes das Oberflächenintegral des Feldes
~ (x, y, z) = y ~ex + z ~ey + x z ~ez
F
über den Bereich, der durch x2 + y 2 ≤ z ≤ 1, x ≥ 0 definiert ist.
6. Umlaufintegral, Satz von Stokes
(3,5 Punkte)
Berechnen Sie das Umlaufintegral J =
H
C
~ · d~r des Vektorfeldes
F

entlang des Kreises

x2
F~ (~r) =  2 x y + x 
z
C : x2 + y 2 = 1, z = 0
im positiven Umlaufsinn sowohl direkt als auch über den Stoke’schen Satz.
88
ANHANG E. KLAUSURAUFGABENSAMMLUNG
Klausur vom März 2010:
1. Gradient, Divergenz und Rotation
(3 Punkte)
Berechnen Sie:

 2 

2x2 ez
x y
~ · (~v1 × ~v2 ) mit ~v1 =  yz 2  und ~v2 =  xy 2 
(a) ∇
x
xyz


xy
~ × (u~v3 ) mit u = x2 + y 2 + z 2 und ~v3 =  xz 2 
(b) ∇
sin(xy)


2xy
~ · ∇
~ × ~v4 mit ~v4 =  x2 + z 2 
(c) ∇
exyz
2. Linienintegral
(3.5 Punkte)
Berechnen Sie die Arbeit die von einem Teilchen verrichtet wird, das sich auf der
Raumkurve


 2 
y
√ t
C : ~r(t) =  √ R t − t2  , t ∈ [R, 0], im Kraftfeld F~ (~r) =  z 2  bewegt.
x2
R2 − R t
3. Bereichsintegral
Berechnen Sie das Bereichsintegral I =
(3.5 Punkte)
RR
x2
y2
− 2− 2
a
b
B f (x, y)ds der Funktion f (x, y) = e
über den Bereich B, der durch die Ungleichung
x2 y 2
+ 2 ≤ 1 beschrieben wird.
a2
b
Hinweis: Skizzieren Sie zunächst den Integrationsbereich und wählen Sie eine geeignete Parametrisierung des Integrals.
4. Flußintegral
(3.5 Punkte)
RR
~ (~r) =
Berechnen Sie das Flußintegral F = S F~ (x, y, z) · d~s des Vektorfeldes F




−y
u
 x  durch die Fläche S. Die Fläche S wird beschrieben durch ~r(u, v) = 

v
2
2
2
−z
u +v
mit dem Parameterbereich B = (u, v) ∈ R2 u2 + v 2 ≤ 2 .
89
5. Volumenintegral, Gauß’scher Satz
(4.5 Punkte)


x2
~ (x, y, z) =  y 2 
Verifizieren Sie den Integralsatz von Gauß für das Vektorfeld F
z2
und das Volumen V = ~r ∈ R3 x2 + y 2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ x + 2
6. Umlaufintegral, Satz von Stokes
(2 Punkte)


x
~ (x, y, z) =  y 
Verifizieren Sie den Integralsatz von Stokes für das Vektorfeld F
z
und die Fläche S = ~r ∈ R3 x2 + y 2 + z 2 = a, y ≥ 0, a > 0
Klausur vom August 2010:
1. Gradient, Divergenz und Rotation
(3 Punkte)
Berechnen Sie:
 2 x
 2 
y e
x y
~ · (~v1 × ~v2 ) mit ~v1 =  yz  und ~v2 =  y 2 
(a) ∇
ex
xz
 
x
p
~ × (u ~v3 ) mit u = x2 + y 2 + z 2 und ~v3 = y 
(b) ∇
z


sin(xyz)
 2

~ · ∇
~ × ~v4 mit ~v4 = x + y 2 + z 2 
(c) ∇


exyz
~ ~v1
(d) (~v3 · ∇)
2. Linienintegral
(3 Punkte)


y2 z2
Gegebenen sei das Kraftfeld: F~ (~r) = z 2 + x2 . Berechnen Sie die Arbeit, die von
x2 − y 2
einem Teilchen verrichtet wird, das sich in diesem Kraftfeld vom Punkt A = (0, 0, 0)
zum Punkt B = (1, 2, 3) auf den beiden folgenden Raumkurven bewegt:
(a) Einer Geraden


t
(b) Der Raumkurve C : ~r(t) = 2t2 
3t4
Ist das Kraftfeld konservativ? Begründen Sie Ihre Antwort.
bitte wenden...
90
ANHANG E. KLAUSURAUFGABENSAMMLUNG
3. Bereichsintegral
Berechnen Sie das Bereichsintegral I =
über den Bereich
(3 Punkte)
RR
B
f (x, y) ds der Funktion f (x, y) = x y
1
√
x2 y 2
B = (x, y) ≤ 2 + 2 ≤ 1, − 3 x ≤ y ≤ x, x ≥ 0
4
a
b
Hinweis: Skizzieren Sie zunächst den Integrationsbereich und wählen Sie dann eine
geeignete Parametrisierung des Integrals.
4. Flußintegral
Berechnen Sie explizit das Flußintegral F =
 2
y
 x2 
xyz
(4 Punkte)
RR
S
~ (~r) =
F~ (x, y, z)·d~s des Vektorfeldes F
über die Fläche S:


cos(u)
S = ~r(u, v) =  sin(u)  , (u, v) ∈ B = (u, v) ∈ R2 | 0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ 3 + sin(u) .
v
5. Volumenintegral, Gauß’scher Satz
(3 Punkte)


xy 2 z
~ (x, y, z) = −x2 yz  durch die geschlosBerechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes F
z
sene Fläche S = S1 + S2 :


x
2


2
2
y
S1 = ~r(x, y) = 
 , (x, y) ∈ B = (x, y) ∈ R x + y ≤ 1
−x2 − y 2
 
x
S2 = ~r(x, y) =  y  , (x, y) ∈ B
−1
6. Umlaufintegral, Satz von Stokes
(4 Punkte)


xy 2
~ (x, y, z) = −yz 2 
Verifizieren Sie den Integralsatz von Stokes für das Vektorfeld F
zx2
und die Fläche S = ~r ∈ R3 x2 + y 2 + z 2 = a2 , x ≥ 0
91
Klausur vom März 2011:
1. Gradient, Divergenz und Rotation
(3 Punkte)
Berechnen Sie, falls möglich:
~ × (~v1 × ~v2 )
(a) ∇


 2
x2
xy
mit ~v1 = yz  und ~v2 =  z 2 
x
xz
 2
x
1
~
~

(b) ∇ · u ~v3 + ∇ × ~v1
mit u = 2
und ~v3 = y 2 
x + y2 + z2
z2
 x
xe
 y
~ · ∇
~ · ~v4
ye 
(c) ∇
mit ~v4 = 


zez
~ · ∇)
~ ~v4
(d) (∇
2. Linienintegral
(3 Punkte)
Berechnen Sie die Arbeit, die von einem Teilchen verrichtet wird, das sich in dem
Kraftfeld


y+z
~ (~r) =  x + z  vom Punkt A = (1, 0, 0) über den Punkt B = (0, 1, 1) zum Punkt
F
x2 + y 2
C = (−1, 0, 2)
entlang (a) zweier Geraden (b) einer Spirale bewegt. Was können Sie aus dem Ergebnis auf die Konservativität des Kraftfeldes schließen? Begründen Sie Ihre Antwort
physikalisch nachvollziehbar.
3. Bereichsintegral
Berechnen Sie das Bereichsintegral I =
über den Bereich
(3 Punkte)
RR
B
f (x, y) ds der Funktion f (x, y) = y +
n
o
B = (x, y) ∈ R2 x ≥ 0, x2 + y 2 ≤ a2 , a ∈ R
3
x
2
(a) in kartesischen Koordinaten mit beiden Integrationsreihenfolgen für x und y,
(b) in Polarkoordinaten.
92
ANHANG E. KLAUSURAUFGABENSAMMLUNG
4. Flußintegral
(4 Punkte)
Berechnen Sie explizit das Flußintegral F =
 3
x
x2 y 
xyz
RR
S
~ (~r) =
F~ (x, y, z)·d~s des Vektorfeldes F
über die Außenfläche S des Volumens V (Rotationsparaboloid ohne Deckfläche):
V = (x, y, z) ∈ R3 x2 + y 2 ≤ 2 z < 1 .
5. Volumenintegral, Gauß’scher Satz
(3 Punkte)


x z + ey z + sin(z) + 13 x3

Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes F~ (x, y, z) = 
x z 2 − cos(z)
2
y z
durch die geschlossene Oberfläche des Volumens, das durch die Flächen z = x2 +
y 2 , x = 0, y = 0, z = 1 begrenzt wird.
6. Umlaufintegral, Satz von Stokes
(4 Punkte)
 
z
~ (x, y, z) = x und
Verifizieren Sie den Integralsatz von Stokes für das Vektorfeld F
y
die Fläche A,
die durch die Verbindungsgeraden der vier Punkte
 
 
 
 
0
0
1
0
~ = 0 , B
~ = 0 , C
~ = 0 , D
~ = 1
A
0
1
0
0
C = ∂A = CA~ B~ + CB~ C~ + CC~ D
~ + CD
~A
~
berandet wird.
Midterm vom Mai 2011:
1. Gradient, Divergenz und Rotation
(3 Punkte)
(a) Verifizieren Sie die Formel
für die beiden Felder
~ × UF
~ =U∇
~ × F~ + ∇U
~ × F~
∇
U (~r) = x2 + y 2 + z 2 ,


xy
~ (~r) =  x z 2 
F
cos(x z)
93
(b) Bestimmen und zeichnen Sie die Äquipotentialfächen V (~r) = ±1 des Skalarfelx+y
.
des V (~r) = 2
x + y2
~ = −∇
~ V (~r) an einigen von Ihnen repräsenZeichnen Sie das Gradientenfeld F
tativ ausgewählten Punkten in die Skizze ein.
2. Linienintegral
(4 Punkte)


2xy + z
~ (~r) =  x2 
Gegeben sei das Vektorfeld F
x
Welche Werte
! haben die Kurvenintegrale vom Punkt A = (0, 0, 0) zum Punkt B =
√ √
2 2
,
, 1 entlang
2 2
!
!
!
√
√ √
√ √
2
2
2
2
2
(a) des Polygonzugs (0, 0, 0) →
, 0, 0 →
,
,0 →
,
,1
2
2 2
2 2
(b) eines Viertelkreisbogens?
Ist das Kraftfeld konservativ? Begründen Sie Ihre Antwort!
Berechnen Sie ggf. das zugehörige Potential.
3. Bereichsintegral
Berechnen Sie das Bereichsintegral I =
(3 Punkte)
RR
B
f (x, y) ds
der Funktion f (x, y) = 1 − x2 − y 2 über den Bereich
(
√ )
2
B = (x, y) ∈ R2 x2 + y 2 ≤ 1, |y| ≤
2
Anhang F
Lösungen zur
Klausuraufgabensammlung
• Klausur vom 31. Juli 2008
1. (a) ∆U = 2 − 2y


0
~ ×F
~ = 0 
(b) ∇
2x + 1
~ · (∇
~ × (U F
~ )) = 0
(c) ∇
2 2 t2 −3/2 −2
2. J = − 8 π 2 + 2 h2 t2 4 π π+h
π
2
3. J =
4. J =
8π 3
3 a
4πas+2
5. J = a2 π
• Midterm Juni 2009
1. (a) ∆U = 16 x − 6 xy 2 − 2 x3


−3
~ ×F
~ =  −z 2 
(b) rotF~ = ∇
2x − 2y
~ )) = ∇
~ · (∇
~ × (U F
~ )) = 0
(c) div(rot(U F
2. J = 84 π
1
3. J =
3
94
95
• Klausur vom 01. August 2009
 2
y
~

1. (a) ∇U = 2xy 
0


2x2 yz
~ ×F
~ = 2x2 − 2xy 2 z 
(b) ∇
0


4x3 z
~ · ∇)
~ G
~ =  2y 
(c) (F
2x2 y 2 z 2
~ · (∇U
~ ) = 2x2 y 2 z + 2xy
(d) F


−2x3 y 3 z
~ × (∇U
~ ) =  x2 y 4 z 
(e) F
4x3 zy − y 2
2. J = 0
4π
3. J =
3
4. J = 4π
4
5. J =
15
6. J = π
• Klausur vom 15. März 2010
~ · (~v1 × ~v2 ) = y 2 z 3 − 2 xy 2 + x3 − 2 x3 ez z + 2 x3 ez y 2 − 2 y 2 zx2
1. (a) ∇


2y sin(xy) + (x2 + y 2 + z 2 ) cos(xy)x − 2z 3 x − (2(x2 + y 2 + z 2 ))xz
~

(b) ∇×(u~
v3 ) = 
2xyz − 2x sin(xy) − (x2 + y 2 + z 2 ) cos(xy)y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2x z + (x + y + z )z − 2xy − (x + y + z )x
~ · ∇
~ × ~v4 = 0
(c) ∇
1
11
2. J = − R3 π + R3
8
30
e−1
3. J = π
e
8
4. J = π
3
5. J = 28π
6. J = 0
• Klausur August 2010


yz 2 x − y 2 ex
~ · (~v1 × ~v2 ) = ∇
~ · ex x2 y − y 2 ex xz  = yz 2 − y 2 ex + ex x2 − 2 xyz ex − x2 y 2
1. (a) ∇
y 4 ex − y 2 zx2
 p

xpx2 + y 2 + z 2

~ × (u ~v3 ) = 
(b) ∇
ypx2 + y 2 + z 2  = ~0
z x2 + y 2 + z 2


xz exyz − 2 z
~ · ∇
~ · xy cos (xyz) − yz exyz  = 0
~ × ~v4 = ∇
(c) ∇
2 x − xz cos (xyz)
96
ANHANG F. LÖSUNGEN ZUR KLAUSURAUFGABENSAMMLUNG


xy 2 ex + 2 y 2 ex
~ ~v1 = 

2 yz
(d) (~v3 · ∇)
x
xe
RB
163
2. (a) J1 = A F~ (~r) · d~r =
15
RB
219
(b) J1 = A F~ (~r) · d~r =
65
3.
4.
5.
6.
konservativ? : nein
15
b4 a4
I=−
64 (b2 + 3 a2 ) (b2 + a2 )
π
F =2+
8
R
~ s= π
B=∂V F · d~
2
R
~
r=0
∂S F · d~
• Klausur März 2011
1. (a)
(b)
(c)
(d)
2. (a)
(b)
(c)

−3 y 2 z x + x3
~ × (~v1 × ~v2 ) = 2 y z x − 2 x z − 2 x z 2 + y 3 z 
∇
2 x y 2 − 3 x2 z − x z 2
x y 2 + x z 2 + y x2 + y z 2 + x2 z + z y 2
~
~
∇ · u ~v3 + ∇ × ~v1 = 2
(x2 + y 2 + z 2 )2
~ · ∇
~ · ~v4 : nicht definiert.
∇


(2 + x) ex
~ · ∇)
~ ~v4 = (2 + y) ey 
(∇
(2 + z) ez
5
Jzwei Geraden = −
3
4
JSpirale = −
 π

2y − 1
~ ×F
~ = 1 − 2 x 
∇
0
3. I = a3
π
4. F =
6
π
5. J =
8
6. J = 1

97
• Midterm Mai 2011
1. (a)
(b)


2 y cos(x z) − 2 z 3 x − 2 x2 + y 2 + z 2 x z
~ × U F~ = 2 z x y − 2 x cos(x z) + x2 + y 2 + z 2 sin(x z) z 
∇
2 x2 z 2 − 2 y 2 x + x2 + y 2 + z 2 z 2 − x
V =1 :
V = −1 :
2. (a)
( S = ~r x −
( S = ~r x +
)
1 2 1
+ y−
= ,z∈R
2
2
)
2 2
1
1
1
+ y+
= ,z∈R
2
2
2
1
2
2
1√

1√ 

 1√ 
Z 1
0
2t
2 2
2 2t
 1 t2  ·  0  dt = 0
~r1 (t) =  0  , ~r˙1 (t) =  0  , I1 =
2√
1
0
0
0
0
2 2t

 1√ 


 

Z 1
0
t
0
2√ 2
√
√
√
 1  ·  1 2 dt = 1 2
~r2 (t) =  12 2 t , ~r˙2 (t) =  12 2 , I2 =
2
2
√
4
1
0
0
0
0
2 2

1√ 
 
  
Z 1 1+t
0
0
2 √2
√
 1  · 0 dt = 1 2
~r3 (t) =  12 2 , ~r˙3 (t) = 0 , I3 =
2
√
2
1
0
1
1
t
2 2
3√
2
I1 + I2 + I3 =
4
2
(b)
1√

1√

2 √2 sin(t)
2 √2 cos(t)
~r1 (t) =  12 2 sin(t) , ~r˙1 (t) =  12 2 cos(t)
1 − cos(t)
sin(t)
 2

 1√
Z π/2 sin (t) + 1 − cos(t)
2 √2 cos(t)
1
2

 ·  1 2 cos(t) dt
I=
2√sin (t)
2
1
0
sin(t)
2 2 sin(t)
Z π/2 √
1√
1
1√
2 cos(t) sin2 (t) + 1 − cos(t) +
2 cos(t) sin2 (t) +
2 sin2 (t) dt
=
2
2
2
0
I=
3√
2
4
(c)
~ ×F
~ = ~0
∇
Φ = x2 y + x z + C
3.
JB =
2 π
+
3 4
Anhang G
Lehrbücher
• D.E. Bourne, P.C. Kendall: Vektoranalysis, Teubner Studienbücher Physik (vermutlich vergriffen)
• R. Schark: Vektoranalysis für Ingenieurstudenten, Verlag Harri Deutsch
• L. Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 3, Vieweg
Fachbücher der Technik
• E. Marshden, A. J. Tromba: Vektoranalysis, Spektrum Adademischer Verlag
• H. Dallmann, K.-H. Elster: Einführung in die höhere Mathematik, Band II, Gustav
Fischer Verlag, Jena
• S. Großmann: Mathematischer Einführungskurs für die Physik, Teubner Verlag
98