Überblick - Informatik

Motivation und Beispiel
Definition und Begriffe
Implementierung
Klassische Probleme
1
Aufgabe aus dem Bundeswettbewerb Informatik:
2
!" #! $
Aufzeichnen, wer mit wem in Sympathie steht:
(Sympathie ist nicht immer symmetrisch!)
%
!" #! $
Ordnen führt zu übersichtlicher Darstellung:
3
'
&
Ein Graph beschreibt eine Struktur aus Objekten und
den Beziehungen zwischen ihnen.
Ein Graph besteht aus
–
–
einer Menge von Knoten (vertex) (Objekten) und
einer Menge von Kanten (edges) (Beziehungen), die die
Knoten verbinden.
Mathematisch
G=(V,E) heißt ein Graph, mit:
(i) V eine endliche nichtleere Menge (Knoten)
(ii) E eine Menge von ein- oder zwei-elementigen Teilmengen
von V. Ein Paar {u,v} ∈ V heißt Kante, u und v sind
adjazent. Ein Element {a} ∈ V heißt Schlinge.
(
!
$
Simulation von Verkehrsflüssen
4
!
)
Stammbaum der Musikerfamilie Bach (Ausschnitt)
– Knoten: Person
– (gerichtete) Kante: „ist-Kind“
Quelle: http://www.bzn.rt.bw.schule.de/pages/pro_bach/bilder/stammbaum.gif
Haben die Kanten eine Richtung, so spricht man von
gerichteten Graphen
Im Englischen: directed graph oder kurz digraph
Die zu Grunde liegende Relation zwischen den
Knoten ist dann nicht symmetrisch
Beispiele:
– Ist-Lehrer-von, Ist-Sohn-von, ist-sympathisch
Beispiele für symmetrische Relationen
– Ist-verwandt-mit, wohnt-neben
5
!
Endlicher Automat
– Knoten: Zustand
– gerichtete Kante: Zustandsübergang
!
Termbaum zu
– Knoten: atomare Termeinheit
– Kante: Beziehung zu anderen Bestandteilen des Terms
!
6
!
Netz im Burggymnasium
– Knoten: Switch/...
– Kante: Ethernetsegmente
B04
CDI
B02
Bib
Ver
BR
Ph
Ver hat keine
Verbindung zu
den anderen
Teilen!
„Als Netz oder Netzwerk werden Strukturen und Systeme bezeichnet, die sich mathematisch als
Graphen modellieren lassen. Ein Netzwerk besteht aus einer Menge von Elementen (Knoten), die
mittels Verbindungen (Kanten) miteinander verbunden sind.“ (J. Herlitz, AG ICSY, TU KL 2004)
*
! + $#
Sind je zwei Knoten durch einen Weg miteinander
verbunden, so heißt der Graph zusammenhängend.
Sind je zwei Knoten durch eine Kante miteinander
verbunden, so heißt der Graph vollständig.
7
!
Das „Haus vom Nikolaus“
http://www.linux-related.de/index.html?/coding/alg_nikohaus.htm
%
,
!
Zurück zur Aufgabe...
Wollen erst einmal nur beobachten, wie sich eine
Tratsch-Nachricht ausbreitet.
– Es gibt eine Tratsch-Quelle, wo alles beginnt.
– Es gibt keine Charmefehler.
8
&
,
!
-."!
" #
Wie breitet sich der Tratsch unter den Chatonen aus?
– jeder erzählt es allen, die im sympathisch sind
,
(
!
Alle Knoten werden nacheinander „besucht“. Diesen
Vorgang nennt man Traversieren.
Idee:
Besuche Knoten x
Markiere x als schon besucht.
Für alle Knoten y, die von x aus erreichbar sind, tue:
Wurde y schon besucht?
ja
nein
Besuche Knoten y
Rekursiver Algorithmus
Tiefendurchlauf
(im Gegensatz zur Abbildung der vorigen Folie)
9
,
)
'
$"
"'
Ausbreitung des Tratsches
/0
12
" #
Traversieren von Binärbäumen
!
10
3
3
" #
Wie werden Graphen im Rechner dargestellt?
Knoten
– Werden auf irgendeine Art und Weise aufgezählt
(durchnummeriert, als Aufzählungsdatentyp, als geordnete
Liste, ...)
Kanten
– Spiegeln die Beziehungen zwischen den Knoten wieder und
werden entweder als Beziehungsmatrix oder durch ein(e)
Liste(n) dargestellt.
! "
"
Zur Beschreibung der Beziehungen:
– Adjazenzmatrix (oder Adjazenzliste)
– Im Prinzip wie in der Tratsch-Aufgabe vorgegeben:
A
A
B
C
D
Ja
E
Ja
C
H
Ja
Ja
D
Ja
E
Ja
Ja
Ja
Ja
G
H
G
Ja
B
F
F
Ja
Ja
11
3
3
" #
Definition des Datentyps tKnoten und tAdjMatrix:
TYPE
tKnoten = (A, B, C, D, E, F, G, H);
tAdjMatrix = ARRAY[A..H, A..H] of boolean;
Abspeichern der Adjazenzmatrix:
Aufzählungsdatentyp
8×8 Matrix
= 2-dimensionale
Reihung
CONST
symp : tAdjMatrix =
((false,true, false,false,true, false,false,false),
(false,false,true, false,false,false,false,false),
(false,false,false,true, false,false,true, false),
(false,false,true, false,false,false,false,false),
(false,false,false,false,false,true, false,false),
(false,true, false,false,true, false,true, false),
(false,false,false,false,false,false,false,true ),
(false,false,false,true, false,false,false,false));
3
3
" #
FUNCTION name(k : tKnoten) : char;
begin
RESULT := chr(ord(k)+65);
end;
PROCEDURE besuche(aktKnoten : tKnoten);
VAR
naechsterKnoten : tKnoten;
begin
erledigt[aktKnoten] := true;
writeln('Besuche: ', name(aktKnoten));
for naechsterKnoten := A to H do
IF not (naechsterKnoten = aktKnoten)
AND (symp[aktKnoten, naechsterKnoten])
AND (not erledigt[naechsterKnoten]) then
besuche(naechsterKnoten);
end;
12
3
3
" #
PROCEDURE traversiere;
VAR
erledigt: ARRAY[A..H] of boolean;
k : tKnoten;
FUNCTION name(k : tKnoten) : char;
...
PROCEDURE besuche(aktKnoten : tKnoten);
...
begin
for k := A to H do
erledigt[k]:=false;
besuche(A);
end;
%
4 !! !
5
3
Eulersche Wanderungen
Hamiltonsche Rundreisen
Das Labyrinthproblem
Das Problem des Handlungsreisenden
Das Problem der kürzesten Wege
13
&
2"
!
6
$
" #
– Königsberg, die Pregelflüsse und die Insel Kneiphof um 1736
– Euler suchte einen Rundweg, bei dem jede Brücke genau
einmal überschritten wird
– Er begründet 1736 mit seiner Modellierung und Lösung des
Problems die Graphentheorie
2"
(
7 #
Eulerweg
– Unter einem Eulerweg versteht man einen Kantenzug, in
dem jede Kante des Graphen genau einmal vorkommt.
Eulerkreis
– Ein geschlossener Eulerweg (mit Anfangsknoten =
Endknoten) heißt Eulerkreis
Satz von Euler
– Ein zusammenhängender Graph besitzt dann und nur dann
einen Eulerkreis, wenn alle Knoten geraden Grad haben.
Antwort auf Königsberger Brückenproblem:
– Gibt keinen Eulerkreis!
Algorithmus von Hierholzer
– Liefert einen Eulerweg, sofern existent
14
)
8"
2"
7 #
Idee:
– Beginne bei einem beliebig gewählten Startknoten
– Probiere eine der abgehenden Kanten aus, sollte das nicht
klappen, kehre wieder hierher zurück und probiere die
nächste Kante.
– Lösche die verwendete Kante aus dem Graphen und wende
den gleichen Algorithmus auf den neuen Graphen an.
– Bleiben Kanten übrig:
• Kehre zurück zum letzten Knoten
• trage die verwendete Kante wieder in den Graphen ein
• Versuche eine andere Kante
!-9 "!-
3-:
"!
Bekanntermaßen gibt es zum Niko-Haus einen
Eulerweg (aber keinen Eulerkreis)
Hier:
– Nicht: jede Brücke darf einmal überschritten werden
– sondern: Jede Linie soll einmal gezeichnet werden!
http://www.linux-related.de/index.html?/coding/alg_nikohaus.htm
15
:
9 "!;
Datenmodell
CONST
Min = 0;
Max = 4;
Also gibt es
Knoten 0, 1, 2, 3
und 4
TYPE
tKnoten = Min..Max;
tAdjMatrix = ARRAY[Min..Max] of
ARRAY[Min..Max] of boolean;
Adjazenzmatrix,
symmetrisch (die
Richtung der
Striche ist egal)
:
9 "!; #
*
Variable
var
verbunden : tAdjMatrix =
((false,true, true, true, false),
(true, false,true, true, false),
(true, true, false,true, true ),
(true, true, true, false,true ),
(false,false,true, true, false));
Start : tKnoten;
weg : string;
Merkt sich den
versuchten Weg
Belegung der
Adjazenzmatrix
(diesmal nicht als
Konstante)
Startknoten:
Wo soll mit der Zeichnung
begonnen werden?
16
:
9 "!; 9 '!'"
Ausgabe des Knotennamens
function name(x : tKnoten) : string;
begin
RESULT := inttostr(x);
end;
:
9 "!; <
PROCEDURE haus( VAR verbunden : tAdjMatrix;
aktKnoten : tKnoten;
Die
AnzahlStriche : byte;
Adjazenzmatrix
wird verändert
VAR weg : string );
werden
Wie viele Striche habe ich
schon gemalt? Wenn alle
gemalt, bin ich fertig!
An welchem Knoten bin
ich im Moment mit dem
Stift?
VAR
Naechster : tKnoten;
wegneu : string;
Der Knoten, der als
nächster bearbeitet wird
17
:
9 "!; <
for Naechster := Min to Max do
if verbunden[AktKnoten, Naechster] then
begin
wegneu := weg+' -> '+name(Naechster);
if ( AnzahlStriche < 7 ) then
begin
verbunden[AktKnoten, Naechster] := false;
verbunden[Naechster, AktKnoten] := false;
haus( verbunden, Naechster,
Rekursiver Aufruf
AnzahlStriche+1, wegneu );
verbunden[AktKnoten, Naechster] := true;
verbunden[Naechster, AktKnoten] := true;
end;
end;
%
:
9 "!; 9 "
#
33
begin
for Start := Min to Max do
begin
weg := name( Start );
haus( verbunden, Start, 0, weg);
end;
readln;
end.
18
:
&
9 "!; / !"
– Lässt sich nur von den Knoten 0 und 1 aus beginnend
zeichnen
– Dann gibt es jeweils 44 Möglichkeiten (hier Start = 1):
1
1
1
1
1
1
1
1
1
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(
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0
0
7 #
Harmlos erscheinende Änderung:
– Nicht alle Kanten sollen einmal genutzt werden, sondern
jeder Knoten genau einmal aufgesucht werden!
Hamiltonwege
– Wege, bei denen jeder Knoten genau einmal besucht wird.
Hamiltonkreise
– Geschlossene Hamiltonwege
Bis heute keine allgemeine Aussage:
– „Über die Bedingung zur Existenz einer Hamiltonschen Linie
ist im allgemeinen nichts bekannt“ (König, 1936)
Einzige allgemeingültige Möglichkeit:
– alle Wege betrachten und darin Hamiltonkreis suchen.
(naiver Algorithmus)
19
)
4
#!
#
Beide Aufgaben verbieten Wiederholungen:
– Ein Eulerweg darf Knoten mehrfach passieren,
muss aber jede Kante genau einmal nutzen
– Ein Hamiltonweg kann Kanten auslassen,
muss aber jeden Knoten genau einmal aufsuchen.
In Königsberg
– existiert Hamiltonkreis
ABDCA
– existiert kein Eulerkreis
– Beide Aufgaben rein äußerlich analog, aber Suche nach
Hamiltonkreisen ist ein „wesentlich schwierigeres“ Problem.
!
8
#
"
Alte Schachaufgabe:
– Eine Springerfigur steht auf einem beliebigen Feld eines
Schachbretts
– Durch aufeinander folgende Springerzüge soll der Springer
auf jedem Feld des Bretts genau einmal zu stehen kommen,
um schließlich zur Anfangsposition zurückzukehren.
Verallgemeinerung:
– Das Schachbrett ist rechteckig mit m*n-Feldern, m<n+1.
Aufgabe:
– Jeder Knoten genau einmal, also: suche Hamiltonkreis!
Resultate:
– 3*3 keine Springertour (Mittelfeld kann nie erreicht werden)
– 3*4 mindestens eine Springertour, Startfeld (1,1)
20
!
8
#
"
Siehe LOG IN 14 (1994) Heft 4 Seite 29
=
3
Typische Probleme in einem Labyrinth:
– Wie gelangt man in einem Labyrinth zum Ziel?
– Wie kann man verhindern, sich zu verirren?
Modellierung natürlich wieder als Graph
– Kreuzungen (Knoten)
– Wege (Kanten)
Vorgehensweise
– Markiere die benutzen Abzweigungen irgendwie
– An neuen Kreuzungen nächsten Weg beliebig auswählen.
Erweist er sich als Sackgasse, zurück zur letzten Kreuzung
und nächsten unbenutzten Weg nehmen.
– An alten Kreuzungen ebenfalls zurück zur letzten Kreuzung
21
=
3
Vorgehen entspricht dem Traversieren eines Graphen
– Beschriebenes Verfahren ist ein Tiefendurchlauf
– Vgl. Tratsch-Ausbreitung
– Alternativ: Breitendurchlauf
9
$ " #!
!
$
Problem des Handlungsreisenden
Travelling Salesman Problem (TSP)
– Ein Vertreter möchte alle seine Kunden in beliebiger
Reihenfolge, jeden genau einmal, aufsuchen und am Ende
wieder an seinem Wohnort ankommen.
– Die Reise soll die kürzestmögliche Gesamtlänge haben.
Ebenfalls schwieriges Problem
– Praktiker behelfen sich mit Heuristik: „Fahre immer zur
nächgelegenen noch nicht besuchten Stadt!“
– Liefert Näherungslösung
Praktische Relevanz
– U.a. Bohren von Platinen, ...
22
6
3 '
"
Siehe Computerzeitung Nr. 42/35
vom 11.10.2004, Titelseite
„Tour für Wahlkampf errechnet“
%
0
"
http://www.educeth.ch/informatik/entdecken/brueckenbauen/
23
&
0
"
– Die Inseln sollen durch
Brücken verbunden
werden.
– Es wird mindestens ein
Weg von S nach T
verlangt.
– Zwei Algorithmen sind
vorgegeben und können
experimentell untersucht
werden
(
0
"
Vergleich der Ergebnisse beider Algorithmen
24
)
!
;.#
3"!
Beobachtbare Eigenschaften
– Alle Knoten sind miteinander verbunden
– Die Summe der Kantenlängen ist minimal
– Es gibt keine „überflüssigen“ Kanten, also keine Schleifen
bzw. Kreise
– Das Entfernen einer Kante führt dazu, dass ein Knoten
unerreichbar ist
– Beim Hinzufügen eines Knotens wird mindestens eine
weitere Kante benötigt
Minimaler Spannbaum
!
;.#
3"!
Beobachtbare Eigenschaften
– Nur Start und Ziel (und „auf dem Weg liegende“ Knoten) sind
verbunden
– Die Summe der Kantenlängen ist minimal
– Jeder Knoten hat höchstens zwei Kanten
Suche nach kürzestem Weg von einer Insel zur einer
bestimmten anderen Insel
25
!
;
!.
>
Problem
– Hier sind noch keine Kanten vorgegeben!
– In Realität häufig: Graph gegeben, Spannbaum oder
Kürzester Weg gesucht!
Dabei dürfen nur vorhandene Kanten genutzt werden!
Ansatz
– Interpretiere Graphen als vollständig
(theoretisch sind ja alle möglichen Brücken denkbar)
8
#,
. #?
Zweck:
– Switches fluten alle eingehenden Broadcasts.
Enthält die Netztopologie eine Schleife, würde das Netz
lahmgelegt, da die Switches vollauf damit beschäftigt wären,
die Broadcasts weiterzuleiten.
– Viele Netzkomponenten beherrschen den STA, der dazu
verwendet wird ein Netz so zu konfigurieren, dass es
baumartig aufgebaut ist und keine Schleifen enthält.
Zugehöriger Graph:
– Knoten: Switches
– Kanten: Ethernetsegmente (Kabel, Hubs, ...)
– Heutige Netze arbeiten alle duplex, daher hier nur
ungerichtete Graphen
26
8,.;
"
!7
!
Siehe J. Herlitz: „Topologieerkennung“
DA, TU Kaiserslautern, AG ICSY 2004
8,.; 2 #
!
Siehe J. Herlitz: „Topologieerkennung“
DA, TU Kaiserslautern, AG ICSY 2004
27
.#
3"!
5 3
Ziel: Minimaler Spannbaum
Idee:
– Baue den Baum Kante für Kante auf.
– Um sicherzustellen, dass wirklich ein Baum gebaut wird, darf
jede hinzuzufügende Kante mit dem bisher aufgebauten
Teilbaum nur genau einen Knoten gemeinsam haben.
– Jede hinzugefügte Kante ist unter den zur Auswahl
stehenden Kanten eine billigste.
Eigenschaften
– Algorithmus ist „gierig“: In jedem Schritt wird eine weitere
Kante aufgenommen, und eine einmal aufgenommene Kante
wird nie wieder entfernt.
%
!
"3 . #?
5 3
28
&
.#
3"!
@ !
Ziel: Kürzester Weg zwischen zwei Knoten
Idee:
– Der Graph wird von Boten durchlaufen.
– Die Boten merken sich, wie sie den Graphen durchlaufen
und wieweit sie gelaufen sind.
– An Kreuzungen werden neue Boten erzeugt, die ebenfalls
den bisher gelaufenen Weg und seine Länge kennen.
(
.#
3"!
@ !
– Regeln:
• Jeder Bote (grün) trägt als Markierung die Summe der
Gewichte des bisherigen Weges, dabei zählt sein Weg und der
seiner Vorgänger.
• In jedem Schritt ist der Bote mit der kleinsten Markierung aktiv
(blau)
• Jeder Bote merkt sich, woher er kam.
– Ablauf:
• Vom Startknoten werden Boten auf allen Kanten ausgesendet,
befindet sich auf einem Knoten schon ein Bote, gewinnt der mit
der kleineren Markierung.
• Der aktive Bote bleibt auf dem nächsten Knoten und sendet
seinerseits auf allen Kanten Boten aus (aber nicht in die
Richtung roter Boten). Er selbst wird jetzt passiv (rot)
29
)
.#
3"!
@ !
– 3 Mengen:
• Kosten stehen fest (rot)
• Kosten vorläufig (grün)
• Kosten unbekannt (schwarz)
– Auch bekannt als schwarz/grau/weiß-Algorithmus u.ä.
– Im Prinzip nicht viel mehr als ein Breitendurchlauf mit
gewissen Spielregeln
%
40
!
6 # A
@ !
B
http://www.educeth.ch/informatik/puzzles/routing/docs/dijkstra.exe
30
!
%
B
Z
C
D
A
B
A
21,E
E
%
8
A
C
C
D
20,S
21,E
E
15,E
18,E
2,S
15,E
18,E
2,S
21,E
16,C
15,E
18,E
2,S
19,B
20,D
16,C
15,E
18,E
2,S
19,B
20,D
16,C
15,E
18,E
2,S
19,B
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B
D
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C
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B
Z
Nach Z gelangt
man unter Kosten
von 19 am
billigsten über B
A
Nach B gelangt
man unter Kosten
von 16 am
billigsten über C
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Liefert nicht nur kürzesten Weg:
– baut gleichzeitig einen Spannbaum auf, der die kürzesten
Wege – ausgehend von einem Startknoten – zu allen
anderen erreichbaren Knoten im Graphen enthält!
Einschränkung:
– Funktioniert nur mit nicht-negativen Gewichten!
Praktischer Einsatz
– im Open-Shortest-Path-First-Protokoll, einem der
bekanntesten Routing-Protokolle (entwickelt Ende der 80er,
definiert in RFC 1131 und RFC 2328).
– Knoten: z.B. Internetknoten (Router)
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3
Graphen vs. andere Datenstrukturen
– Listen, Bäume u.a. sind nur spezielle Graphen
– Graphen sind eine allgemeine Datenstruktur, die die anderen
bekannten Datenstrukturen umfasst
Baumann (LOG IN 14 Heft 4, S. 25)
– „Denn aus Sicht der Anwendungen sind Graphen weitaus
wichtiger (und auch motivierender) als Baumstrukturen – und
zwar aufgrund der einfachen Tatsache, daß sich jede
Sammlung irgendwelcher Objekte, seien es nun Personen,
Städte, Spielpositionen oder Begriffe – und die Beziehungen
zwischen ihnen – als Graphen modellieren lassen. Mehr
noch: Jedes Problemlösen kann als Suche in Graphen
aufgefaßt werden.“
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Graphen
– Viele Probleme lassen sich mittels Graphen elegant
modellieren und auf bekannte Graphenprobleme
zurückführen
Typische Algorithmen auf Graphen sind
– Tiefendurchlauf
– Breitendurchlauf
und damit
– Suche nach Kürzesten Wegen
– Erzeugung von Spannbäumen
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Gerichtete Graphen: (directed graph, digraph)
Kanten dürfen nur in einer Richtung durchlaufen werden (die
zugrundeliegende Relation ist nicht symmetrisch)
Gewichtete Graphen:
Die Kanten sind mit einem Gewicht versehen
Zusammenhängende Graphen:
Zwischen je zwei Knoten gibt es einen (ungerichteten) Weg
Zyklen sind geschlossene Wege
Vollständige Graphen: Alle Knoten sind paarweise durch Kanten
miteinander verbunden
Der Grad eines Knoten entspricht der Anzahl der Kanten, die von
ihm abgehen.
Gerüst ist ein kreisfreier Teilgraph (Baum), der alle Knoten
enthält.
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"
– Baumann, R.: Graphen und Algorithmen. Fünf klassische
Probleme. LOG IN 14 Heft 4, S. 25-37
– Baumann, R.: Informatik für die Sekundarstufe II, Band 2.
Klett, Stuttgart 1994
– Bielig-Schulz, G.: Einige erstaunliche Graphenalgorithmen.
Können Lösungen so einfach sein? LOG IN 14 Heft 4, S. 3844
– Jungnickel, D.: Graphen, Netzwerke und Algorithmen. BIWissenschaftsverlag, Mannheim 31994
– Volkmann, L.: Graphen und Digraphen. Eine Einführung in
die Graphentheorie. Springer Verlag, Wien 1991.
– Diverse Autoren, ETH Zürich:
• http://www.educeth.ch/informatik/
• http://www.educeth.ch/compscience/
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