Inhaltsverzeichnis Einführung - I. Physikalisches Institut B RWTH

Inhalt
Inhaltsverzeichnis
1
Wahrscheinlichkeit
1.1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . .
1.2 Wichtige Wahrscheinlichkeitsdichten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Mehrere Zufallsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
4
6
2
Statistische Messunsicherheiten
2.1 Parameterschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Definition der statistischen Messunsicherheit . . . . . . . . . . . . .
2.3 Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
9
10
3
Modellanpassung
3.1 Methode der kleinsten Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
15
4
Systematische Unsicherheiten
4.1 Definition und Abschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
17
Einführung
Literatur
• G. Cowan, Statistical Data Analysis, Oxford University Press, ISBN 0-19-8501552
• R. Barlow, Statistics, Wiley, ISBN 0-471-92295-1
• V. Blobel und E. Lohrmann, Statistische und numerische Methoden der Datenanalyse, eBuch: http://www.desy.de/∼blobel/ebuch.html
Messunsicherheiten
• Im Praktikum sollen alle Messergebnisse zusammen mit ihrer Unsicherheit angegeben werden, z.B.:
R = 99.82 Ω ± 0.10 Ω
• Die Unsicherheit gibt dabei an, mit welcher Genauigkeit eine Größe im Praktikum mit den zur Verfügung stehenden Mitteln bestimmt werden konnte. Sie
spiegelt die Qualität und die Präzision einer Messung wider, vorausgesetzt dass
sie korrekt bestimmt wurde.
• Wichtig ist die Unterscheidung zwischen statistischen und systematischen Unsicherheiten, dazu später mehr.
1
• Bei der Angabe des Messergebnisses sollen nur die im Rahmen der Genauigkeit signifikanten Stellen angegeben werden. (Am besten, 2 signifikante Stellen
angeben, um Rundungsfehler klein zu halten.)
1
Wahrscheinlichkeit
1.1
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wahrscheinlichkeit
Wir betrachten eine Menge S und nennen sie den Parameterraum. Jeder Untermenge A von S weisen wir eine reelle Zahl P (A) zu, die wir Wahrscheinlichkeit nennen.
Kolmogorov Axiome (1933)
1. Für jede Untermenge A in S: P (A) ≥ 0.
2. Für alle disjunkten Untermengen A and B: P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
3. P (S) = 1.
Wir möchten mit reellen Zahlen statt mit Elementen von Mengen rechnen, deshalb
definieren wir:
Definition 1. Eine Abbildung X : S → Rn heißt Zufallsgröße.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Definition 2. Für zwei Untermengen A und B des Parameterraums ist die bedingte
Wahrscheinlichkeit P (A|B) definiert durch
P (A|B) =
P (A ∩ B)
P (B)
Die zwei Untermengen heißen unabhängig, wenn P (A ∩ B) = P (A) P (B).
Wegen A ∩ B = B ∩ A, P (B ∩ A) = P (A|B)P (B) = P (B|A)P (A), und so
kommen wir zu dem
Theorem 3 (Satz von Bayes).
P (A|B) =
P (B|A)P (A)
P (B)
2
Interpretation von Wahrscheinlichkeiten
Frequentistische Interpretation
Anzahl der Vorkommnisse von Ausgang A in n Messungen
P (A) = lim
n→∞
n
• Zugrunde liegende Annahme: Das Zufallsexperiment kann prinzipiell beliebig
oft wiederholt werden.
• Beispiel: Messung der Kapazität eines Kondensators.
• Problematischer: Aussagen über Zufallsexperimente, die nur ein einziges Mal
durchgeführt werden können, z.B.: “Morgen wird es regnen.”
Wahrscheinlichkeitsdichte
Betrachten wir einen Parameterraum S und eine Zufallsgröße X : S → R.
Definition 4. Die Wahrscheinlichkeitsdichte von X ist definiert als
f (x) dx = P (X ergibt Wert in [x, x + dx])
f (x) ist normiert, so dass
Z
f (x) dx = 1
S
Die Definition gilt genauso für kontinuierliche wie für diskrete Zufallsgrößen.
Histogramme
3
Kumulative Verteilung
Definition 5. Die kumulative Verteilung F (x) zu einer Wahrscheinlichkeitsdichte f (x)
ist definiert durch
Z x
f (x0 ) dx0
F (x) =
−∞
Erwartungswert und Varianz
Wir betrachten eine 1-D Zufallsgröße X. Um Mittelwert und Streuung von X zu
charakterisieren, definieren wir:
Definition 6. Der Erwartungswert oder Mittelwert von X ist gegeben durch
Z ∞
E[X] =
xf (x) dx = µ
−∞
Die Varianz von X ist gegeben durch
Z ∞
V [X] =
(x − µ)2 f (x) dx = σ 2
−∞
p
Die Standardabweichung von X ist gegeben durch σ = V [X]. Diese Größe ist
sinnvoll, weil sie dieselben Einheiten hat wie x. Beachte, dass V [X] = (E[X 2 ]) − µ2 .
1.2
Wichtige Wahrscheinlichkeitsdichten
Gauß-Verteilung
Definition 7.
(x − µ)2
f (x; µ, σ) = √
exp −
2σ 2
2πσ 2
1
• E[X] = µ
• V [X] = σ 2
4
Die Wichtigkeit der Gauß-Verteilung liegt im zentralen Grenzwertsatz begründet: Die
Summe von n unabhängigen kontinuierlichen Zufallsgrößen mit Mittelwerten µi und
endlichen Varianzen σi2 nähert sich im Grenzfall n → ∞ einer Gauß-Verteilung mit
Mittelwert µ =
P
i
µi und Varianz σ 2 =
P
i
σi2 .
Binomial-Verteilung
Betrachte eine Serie von N unabhängigen Versuchen oder Beobachtungen, von
denen jede zwei Mögliche Ausgänge hat (’1’ oder ’0’), mit fester Wahrscheinlichkeit p
für ’1’ (Bernoulli-Experiment). Die Wahrscheinlichkeit, k-mal ’1’ in N Versuchen zu
messen, ist
Definition 8.
N k
f (k; N, p) =
p (1 − p)N −k
k
N
N!
with
=
k!(N − k)!
k
• E[X] = N p
• V [X] = N p(1 − p)
Poisson-Verteilung
Betrachte die Binomial-Verteilung im Grenzfall, dass N sehr groß wird, p sehr
klein wird, aber das Produkt np konstant gleich einem endlichen Wert ν bleibt. Dann
nähert sich die Binomial-Verteilung einer Poisson-Verteilung an:
Definition 9.
f (k; ν) =
5
ν k −ν
e
k!
• E[X] = ν
• V [X] = ν
Beispiel: Zählexperiment. Für große ν nähert sich die Poisson-Verteilung einer Gauß-
Verteilung mit Mittelwert ν und Varianz ν an.
Gleichverteilung
Definition 10. Die Gleichverteilung ist gegeben durch
1
α≤x≤β
β−α
f (x; α, β) =
0
otherwise
• E[X] = 12 (α + β)
• V [X] =
1
12 (β
− α)2
Beispiele:
• Digitalisierung im Analog-Digital-Wandler (ADC)
• Maßband (Intervall zwischen zwei Skalenstrichen)
1.3
Mehrere Zufallsgrößen
Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte und Kovarianz
Definition 11. Seien X und Y zwei Zufallsgrößen. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte f (x, y) ist definiert als
P (X(ω) ∈ [x, x + dx] ∧ Y (ω) ∈ [y, y + dy]) = f (x, y) dx dy
für alle ω ∈ S.
Definition 12. Die Kovarianz von zwei Zufallsgrößen X and Y ist definiert als
Vxy = E[(x − µx )(y − µy )] = E[xy] − µx µy
Z ∞Z ∞
=
xy f (x, y) dx dy − µx µy
−∞
−∞
6
Korrelationskoeffizient
Ein dimensionsloses Maß für die Korrelation zwischen zwei Zufallsgrößen ist gegeben durch den Korrelationskoeffizienten
ρxy =
Vxy
σx σy
Man kann zeigen, dass −1 ≤ ρxy ≤ 1. Per Konstruktion ist die Kovarianzmatrix Vab
symmetrisch in a und b, und die Diagonalelemente Vaa = σa2 (d.h. die Varianzen) sind
positiv.
Streudiagramme
Rechnen mit Erwartungswerten
Aus der Definition des Erwartungswert folgt:
• Für die Multiplikation einer Zufallsgröße mit einer Konstanten a:
E[aX] = aE[X]
V [aX] = a2 V [X]
• Für die Summe zweier Zufallsgrößen X und Y :
E[X + Y ] = E[X] + E[Y ]
V [X + Y ] = V [X] + V [Y ]
wobei die letzte Beziehung nur gilt, wenn X and Y unabhängig sind, d.h. die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte faktorisiert: f (x, y) dx dy = fx (x)fy (y) dx dy.
7
2
2.1
Statistische Messunsicherheiten
Parameterschätzung
Einführung in die Parameterschätzung
Die Parameter einer Wahrscheinlichkeitsdichte sind Konstanten, die ihre Form beschreiben, z.B. θ in
1
f (x; θ) = e−x/θ
θ
Um den unbekannten Parameter θ zu bestimmen, benutzen wir eine Stichprobe von Beobachtungswerten x = (x1 , . . . , xn ), die entsprechend der Wahrscheinlichkeitsdichte
verteilt sind. Die Aufgabe besteht nun darin, eine Funktion der Daten zu finden, um
den gesuchten Parameter zu schätzen:
θ̂(x)
θ̂(x) wird Schätzgröße für den unbekannten Parameter θ genannt. Im Allgemeinen
heißt eine Funktion, die Beobachtungsdaten (x1 , . . . , xn ) eine Zahl zuordnet, eine Testgröße.
Beispiel: Schätzgrößen für Mittelwert und Varianz
Wir wollen eine Schätzgröße für den Mittelwert µ einer Wahrscheinlichkeitsdichte
mit völlig unbekannter Form angeben, basierend auf der Stichprobe (x1 , . . . , xn ). Wir
benutzen das arithmetische Mittel
n
1X
xi
x̄ =
n i=1
Der Erwartungswert von x̄ ergibt sich zu
" n
#
n
n
1X
1X
1X
E[x̄] = E
xi =
E[xi ] =
µ=µ
n i=1
n i=1
n i=1
was bedeutet, dass x̄ in der Tat eine erwartungstreue Schätzgröße für µ ist. Man kann
zeigen, dass die empirische Varianz
n
s2 =
1 X
(xi − x̄)2
n − 1 i=1
eine erwartungstreue Schätzgröße für die unbekannte Varianz ist: E[s2 ] = σ 2 .
Schätzgröße für die Kovarianz
Ähnlich kann gezeigt werden, dass die Größe
n
V̂xy =
1 X
n
(xi − x̄)(yi − ȳ) =
(xy − x̄ȳ)
n − 1 i=1
n−1
eine erwartungstreue Schätzgröße für die Kovarianz Vxy zweier Zufallsgrößen X und
Y mit unbekanntem Mittelwert ist.
8
Varianz des arithmetischen Mittels
Für die Varianz des arithmetischen Mittels finden wir


! n
n
X
X
1
1
V [x̄] = E[x̄2 ] − (E[x̄])2 = E 
xi 
xj  − µ2
n i=1
n j=1
=
n
1 X
E[xi xj ] − µ2
n2 i,j=1
=
σ2
1
[(n2 − n)µ2 + n(µ2 + σ 2 )] − µ2 =
2
n
n
wo wir benutzt haben, dass E[xi xj ] = µ2 für i 6= j und E[xi xj ] = µ2 + σ 2 für i = j.
Dieses Ergebnis bedeutet, dass die Unsicherheit des Mittelwerts
√ bei n Messungen von
x gleich der Standardabweichung von f (x) ist, geteilt durch n.
2.2
Definition der statistischen Messunsicherheit
Statistische Messunsicherheit
Wir betrachten zwei experimentelle Gegebenheiten:
• Ein bestimmter Parameter soll aus einer Menge von n wiederholten Messungen
bestimmt werden. Wie stark streuen die Messungen? (→ Standardfehler)
• Der unbekannte wahre Parameter einer Wahrscheinlichkeitsdichte soll aus einem einzelnen Experiment bestimmt werden. Mit welcher Genauigkeit kann der
Parameter bestimmt werden? (→ Konfidenzintervall)
In beiden Fällen sind wir daran interessiert, ein Intervall zu finden, das den wahren Wert
der zu messenden Größe mit einer Wahrscheinlichkeit von 68 % enthält. Motivation:
Bei der Gauß-Verteilung gilt:
Z µ+σ
(x − µ)2
1
√
exp −
dx ≈ 0.68
2σ 2
2πσ
µ−σ
Semantik: Was verstehen wir unter den folgenden Begriffen?
• Fehler
• Unsicherheit
Standardabweichung als statistischer Fehler
Wenn wir die Messung eines (wahren aber unbekannten) Parameters θt mehrfach
wiederholen und dabei
P Messwerte (t1 , . . . , tn ) erhalten, können wir das arithmetische
Mittel θ = (1/n) ti und die empirische Standardabweichung σθ berechnen. Für
9
n Wiederholungen wird die Unsicherheit
auf das arithmetische Mittel, das aus allen
√
Messungen berechnet wird, σθ / n betragen. Wir können dann
√
θ ± σθ / n
als Ergebnis der Messung angeben. Aber: Welcher Anteil der Messungen wird im Mit√
√
tel einen Wert im Intervall [θ − σθ / n, θ + σθ / n] ergeben? Es stellt sich heraus, dass
dieses simple Verfahren streng nur für Gauß-verteilte Messgrößen gilt.
Konfidenzintervalle
Problemstellung:
• Wir möchten auf einen Parameter µ schließen, dessen wahrer Wert µt unbekannt
ist.
• Dazu führen wir eine einzelne Messung einer Observablen x durch.
• Die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, x in Abhängigkeit des unbekannten Parameters µ zu erhalten, nehmen wir als bekannt an und nennen diese Wahrscheinlichkeitsdichte P (x|µ).
• Unsere Messung ergebe nun den Wert x0 .
Ein Konfidenzintervall [µ1 , µ2 ] ist ein Element einer Menge, die durch die Eigenschaft
P (µ ∈ [µ1 , µ2 ]) = α
definiert ist. α heißt Konfidenzniveau.
2.3
Fehlerfortpflanzung
Fehlerfortpflanzung
Wir betrachten eine Menge von n Zufallsgrößen x = (x1 , . . . , xn ), die gemäß einer
gewissen gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) verteit seien. Die Wahrscheinlichkeitsdichte selbst ist unbekannt, aber die Mittelwerte der xi , µ = (µ1 , . . . , µn ) sowie die Kovarianzmatrix Vij seien bekannt oder abgeschätzt. Unser Ziel ist die Bestimmung der Varianz V [y] einer Funktion y(x) der n Variablen. (Beispiel: Bestimmung
eines Ohmschen Widerstands aus Messung von Strom und Spannung über R = U/I.)
Dazu entwickeln wir y(x) bis zur ersten Ordnung um die Mittelwerte der xi :
y(x) ≈ y(µ) +
n X
∂y
(xi − µi )
∂xi x=µ
i=1
Wegen E[xi − µi ] = 0, ist der Erwartungswert von y
E[y(x)] ≈ y(µ)
10
Fehlerfortpflanzung
Der Erwartungswert von y 2 ist
n X
∂y
E[y (x)] ≈ y (µ) + 2y(µ) ·
E[xi − µi ]
∂xi x=µ
i=1


! n n X
X ∂y ∂y
+E
(xi − µi ) 
(xj − µj )
∂x
∂x
i
j
x=µ
x=µ
i=1
j=1
2
2
n X
∂y ∂y
= y (µ) +
Vij
∂xi ∂xj x=µ
i,j=1
2
so dass die Varianz σy2 = E[y 2 ] − (E[y])2 gegeben ist durch
Gauß’sche Fehlerfortpflanzung
σy2 ≈
n X
∂y ∂y
Vij
∂xi ∂xj x=µ
i,j=1
Häufige Spezialfälle
Für den Fall, dass die xi nicht korreliert sind, d.h. Vii = σi2 und Vij = 0 für i 6= j,
erhalten wir die wohlbekannte Formel
2
n X
∂y
2
σi2
σy ≈
∂x
i
x=µ
i=1
Wir betrachten zwei Spezialfälle: Wenn y = x1 + x2 , ergibt sich die Varianz von y zu
σy2 = σ12 + σ22 + 2V12
Für das Produkt y = x1 x2 erhalten wir
σy2
σ12
σ22
V12
=
+
+2
y2
x21
x22
x1 x2
3
3.1
Modellanpassung
Methode der kleinsten Quadrate
Die Methode der kleinsten Quadrate
Angenommen, wir haben eine Menge von N unabhängigen Gauß’schen Zufallsgrößen yi , an verschiedenen Orten xi . Jeder Wert yi hat einen anderen Mittelwert λi ,
der durch eine Funktion λ = λ(x; θ) gegeben ist, aber eine bekannte Varianz σi2 . λ
hängt von m Parametern (θ1 , . . . , θm ) ab, welche wir bestimmen wollen.
11
Die Parameter, die die Größe
χ2 (θ) =
N
X
(yi − λ(xi ; θ))2
σi2
i=1
minimieren, heißen χ2 -Schätzgrößen (LS, least-squares) für die θ.
Varianz der χ2 -Schätzgrößen
Man kann zeigen, dass für den Fall eines freien Parameters die Unsicherheit auf die
best-fit Parameter θ0 durch diejenigen Werte gegeben ist, bei denen
χ2 (θ) = χ2min + 1
12
wird.
Güte der Anpassung (goodness of fit)
Der Wert von χ2min ist ein Maß für die Übereinstimmung zwischen den Daten und
der angepassten Modellkurve:
χ2min =
N
X
(yi − λ(xi ; θ̂))2
σi2
i=1
Er kann deshalb als so genannte goodness-of-fit Testgröße benutzt werden, um die
Hypothese der funktionalen Form λ(x; θ) zu testen.
Man kann zeigen, dass wenn die Hypothese korrekt ist, die Testgröße t = χ2min
einer χ2 -Verteilung folgt:
f (t; ndf ) =
1
tndf /2−1 e−t/2
2ndf /2 Γ(ndf /2)
wobei ndf die Anzahl der Freiheitsgrade ist:
ndf = Anzahl der Datenpunkte − Anzahl der freien Parameter
13
Güte der Anpassung
Man erwartet χ2min /ndf ≈ 1. Für den Fall, dass...
• χ2 /ndf 1: Sind die angenommenen Messunsicherheiten zu klein? Ist die
funktionale Form der Hypothese λ(x; θ) korrekt? Den Mangel an Übereinstimmung kann man durch den p-value quantifizieren:
Z ∞
f (t; ndf ) dt
p=
χ2min
also die Wahrscheinlichkeit für den Fall einer korrekten Hypothese, einen Wert
von χ2min zu erhalten, der so groß wie oder größer ist als derjenige, den wir
tatsächlich gefunden haben. (→ TMath::Prob() )
• χ2 /ndf 1: Sind die angenommenen Messunsicherheiten zu groß? Folgen die
Datenpunkte wirklich unabhängigen Zufallsgrößen?
• χ2 /ndf ≈ 1: Sind die angenommenen Messunsicherheiten wirklich korrekt?
Wie sieht der Residuenplot aus?
Residuenplots
Zusammenfassen von Messungen
Es sei eine unbekannte Größe λ in N verschiedenen Experimenten gemessen worden, die unabhängige Messwerte yi mit abgeschätzten Unsicherheiten σi geliefert haben. Die χ2 -Schätzgröße λ̂ für λ kann dadurch abgeleitet werden, dass wir
χ2 (λ) =
N
X
(yi − λ)2
i=1
14
σi2
minimieren. Gleichsetzen von ∂χ2 (λ)/∂λ = 0 liefert
PN
yi /σi2
λ̂ = Pi=1
N
2
i=1 1/σi
also die wohlbekannte Formel für das gewichtete Mittel. Die zweite Ableitung von χ2
liefert die Varianz von λ̂ (hier ohne Beweis):
V [λ̂] = PN
1
i=1
1/σi2
(Eine analoge Methode wird im Praktikum zur nummerischen Bestimmung der Maxima einer Kurve eingesetzt (Peakfinding).)
3.2
Lineare Regression
Lineare Regression
Eine häufige Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate besteht in der Bestimmung von Steigung m und Achsenabschnitt c einer Geraden
y = mx + c
an n Paare von Messpunkten (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) mit Messunsicherheiten σi auf
die yi , während die xi als genau bekannt angenommen werden. Beispiel: Messung
der Schallgeschwindigkeit aus Resonanzlängen einer stehenden Welle gemäß Ln =
(v/2f ) n.
Zu minimieren ist
2 X
2
n n X
yi − y(xi )
yi − mxi − c
2
χ =
=
σi
σi
i=1
i=1
Lineare Regression
2
χ =
2
n X
yi − mxi − c
σi
i=1
X yi − m̂xi − ĉ X yi
X xi
X 1
∂χ2
= −2
=
− m̂
− ĉ
=0
2
2
2
∂c
σi
σi
σi
σi2
P yi
P xi
⇒P
σi2
1
σi2
− m̂ P
σi2
1
σi2
− ĉ = 0
oder
ȳ − m̂x̄ − ĉ = 0
wo wir z.B. definieren:
x̄ =
X xi X 1
/
σi2
σi2
15
Lineare Regression
χ2 =
2
n X
yi − mxi − c
σi
i=1
X xi yi
X x2
X xi
X yi − m̂xi − ĉ
∂χ
i
x
=
−
m̂
− ĉ
=0
= −2
i
2
2
2
∂m
σi
σi
σi
σi2
2
⇒ xy − m̂x2 − ĉx̄ = 0
Als Lösung des Gleichungssystems ergibt sich schließlich:
m̂ =
xy − x̄ȳ
x2 − x̄2
und ĉ = ȳ − m̂x̄
Lineare Regression
Zur Bestimmung der Unsicherheit σm̂ auf m̂ schreiben wir
m̂ =
X
xi − x̄
N (x2 − x̄2 )
yi
wobei
N=
X 1
σi2
und mit dem Gesetz über die Fehlerfortpflanzung folgt dann
s
X xi − x̄ 2
σi2
σm̂ =
N (x2 − x̄2 )
Analog ergibt sich
v
u
uX
σĉ = t
x2 − x̄xi
N (x2 − x̄2 )
!2
σi2
Korrelation zwischen m und c
Vorsicht: Im Allgemeinen gibt es eine Korrelation zwischen Steigung m und Achsenabschnitt c bei der linearen Regression, die z.B. für den Fall σi = σ gegeben ist
durch
x̄
ρm̂,ĉ = − p
x2
Dadurch erhöht sich die Unsicherheit auf m und c! Die Korrelation verschwindet offenbar für den Fall x̄ = 0. Diesen Fall können wir erreichen, indem wir die Geradengleichung wie folgt modifizieren:
y = m(x − x0 ) + c
mit x0 = x̄. Der Parameter x0 muss im Fit festgehalten werden!
16
Lineare Regression mit Unsicherheiten in beiden Messgrößen
Im Allgemeinen sind die x-Koordinaten der Datenpunkte nicht beliebig genau bekannt, sondern weisen Messunsicherheiten σxi auf. In erster Näherung kann man diese
Unsicherheiten berücksichtigen, indem man die folgende Größe minimiert:
χ2 =
X
i
(yi − f (xi ))2
+ (f 0 (xi )σxi )2
2
σyi
Diese Methode heißt Methode der effektiven Varianz.
4
4.1
Systematische Unsicherheiten
Definition und Abschätzung
Definitionen
Betrachten wir die folgenden zwei Situationen:
• Mit einem Metall-Lineal werden Längenmessungen durchgeführt. Das Lineal
wurde bei einer Temperatur von 15 ◦ C kalibriert, aber die Messungen werden
in einem wärmeren Labor durchgeführt und der Experimentator versäumt es, für
die thermische Expansion zu korrigieren.
• Zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit wird die Wellenlänge einer stehenden Schallwelle ausgemessen. Dazu wird ein Wegaufnehmer verwendet, der zuvor nur mit einer endlichen Präzision kalibriert werden konnte.
Frei übersetzt nach R. Barlow
Es ist essentiell, systematische Effekte von systematischen Fehlern zu unterscheiden,
die die Unsicherheiten in der Größe dieser Effekte sind, und von handwerklichen Fehlern, die aus dem Übersehen solcher Effekte herrühren.
In diesem Sinne ist der Ausdruck systematische Unsicherheit sprachlich präziser
als der Ausdruck “systematischer Fehler”.
Abschätzung systematischer Messunsicherheiten
Es existieren viele Methoden, um systematische Messunsicherheiten abzuschätzen.
Wir nehmen an, dass das Ergebnis von einer Menge von N unbekannten Parametern φ
abhängt und dass wir zumindest grobe Kenntnis ihrer Wahrscheinlichkeitsdichten haben. Im Praktikum benutzen wir vor allem die Verschiebemethode: Für N unbekannte
Parameter φ = (φ1 , . . . , φn ) mit unkorrelierten Gauß’schen Unsicherheiten σi , und einer Schätzgröße f (φ1 , . . . , φn ) für die uns interessierende physikalische Größe, liefert
die lineare Näherung:
2
N X
∂f
2
σf ≈
σi2
∂φ
i
i=1
17
Die partiellen Ableitungen können als finite Differenzen angenähert werden:
∂f
f (φ1 , . . . , φi + σi , . . . , φN ) − f (φ1 , . . . , φi , . . . , φN )
∆i
≈
=
∂φi
σi
σi
und so erhalten wir σf2 ≈
PN
i=1
∆2i .
Beispiel für die Verschiebemethode
Beispiel: Ein Ohmscher Widerstand R soll aus einer linearen Regression an Messpunkte (Ui , Ii ) aus Spannungs- und Strommessungen bestimmt werden. Der Hersteller des Messgeräts gibt die folgenden systematischen Unsicherheiten auf Spannungsund Strommessungen an:
√
σU,sys = (0.01Ui + 0.005UBereichsendwert )/ 3
√
σI,sys = (0.02Ii + 0.005IBereichsendwert )/ 3
Man studiert dann die Verschiebungen, die man jeweils für R erhält, wenn man die
Spannungsmessungen bzw. die Strommessungen um die systematischen Unsicherheiten verschiebt. Die systematische Unsicherheit auf R erhält man schließlich durch quadratische Addition der Verschiebungen.
Vergleich
Statistische Fehler
• geben eine nicht zu vermeidende, zufällige Fluktuation der Messwerte wieder,
• können aus der Wiederholung von Messungen
√ unter identischen Bedungungen
bestimmt werden und fallen dabei wie ∝ 1/ n.
Systematische Fehler
• basieren auf Effekten, die stets zu derselben, unbekannten Abweichung von Messwerten führen,
• können durch Wiederholung der Messung weder abgeschätzt noch reduziert werden,
• dürfen daher auch nicht als Gewicht beim gewichteten Mittel eingesetzt werden.
Die statistischen und systematischen Unsicherheiten sollten getrennt ausgwiesen werden, z.B.:
R = 99.8 Ω ± 0.1 Ω (stat.) ± 0.5 Ω (syst.)
Zusammenfassung
Zusammenfassung der wichtigsten Konzepte
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• Empirisches Mittel, Standardabweichung, Fehler des Mittelwerts:
v
u
N
N
u 1 X
σx
1 X
xi σx = t
(xi − x̄)2 σx̄ = √
x̄ =
N i=1
N − 1 i=1
N
• Gewichtetes Mittel
• Wichtige Wahrscheinlichkeitsdichten: Gauß-Verteilung, Binomial-Verteilung, PoissonVerteilung, Gleichverteilung
• Gauß’sche Fehlerfortpflanzung, z.B.:
y = Am B n
⇒
σy
y
2
σ 2 σ 2
A
B
+ n
≈ m
A
B
• Regressionsrechnung, χ2 , Residuenplots
• Statistische und systematische Unsicherheiten
19