Merkhilfe-Technik

Merkhilfe Mathematik/Technik
Juli 2011
Teil I: Stoffgebiete der Mittelstufe
Schnittwinkel zweier Geraden
Binomische Formeln
tan  
m1 – m 2
1  m1  m 2
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2
(a  b)3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b3
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2
(a  b)3  a 3 – 3a 2 b  3ab 2 – b3
Parabelgleichung
(a  b)  (a  b) = a 2  b 2
a 3  b3  (a – b)  (a 2  ab  b 2 )
f (x) = ax² + bx + c
(allgemeine Form)
f (x) = a  (x – x s )² + ys
(Scheitelform)
f (x) = a  (x – x1 )  (x – x 2 )
(Linearfaktorform)
Absolutbetrag
 x für x  0
x 
 – x für x  0
Logarithmen
Lösungsformel für die quadratische Gleichung ax +bx + c = 0
x1/ 2
log b
log b  u z   z  log b  u 
 b  b 2  4ac
=
2a
   log
 u   log b  v 
log b  a 
log c  a  
log b  c 
log b  u v   log b  u   log b  v 
2
u
v
b
Rechtwinkliges Dreieck
Potenzen und Wurzeln
a0  1
1
n
a1  a
n
n
m
m
a  a
a 
ax  az  ax +z
ax
 ax  z
az
a 
a =a
a
n
a  b = ab
a
x

a 
1
x
ax
a x  b x   ab 
a
b
=
Geradengleichung
f(x) = mx + t;
Punkt-Steigungsform: f  x   m  (x  x 0 )  y0
a
b
x
z
a
ax  a 
 
bx  b 
x z
x
b
Pythagoras:
a 2  b2  c2
Höhensatz:
h2  p q
Kathetensatz:
a 2  c p ; b2  c q
a
sin   ;
c
cos  
b
;
c
tan  
A

C
h
q
a

c
B
p
sin  a

cos  b
Allgemeines Dreieck
Sinussatz:
a : b : c  sin  : sin  : sin 
Kosinussatz:
a 2  b 2  c 2 – 2bc  cos
b 2  a 2  c 2 – 2ac  cos
c 2  a 2  b 2 – 2ab  cos
1
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Sinus und Kosinus
Teil II: Analysis
(sin )  (cos )  1
Grenzwerte
2
2
sin      sin 
cos     cos 
sin  90     cos 
cos  90     sin 
sin 2  2sin  cos 
cos 2  (cos )2 – (sin )2
Definition der Ableitung

1
( cos ) 2 =  (1 + cos )
2
2
Ableitung:
( sin
 2 1
) =  (1 – cos )
2
2
sin(  )  sin  cos   cos  sin 
lim
x  
1
gh
2
Trapez: A 
a2
a
3; h =
3
4
2
Raumgeometrie
ac
h
2
Kreis: U  2r  ; A  r 2 
V  Gh
Pyramide:
V  13 G h
gerader Kreiszylinder:
V  r h; M  2r h
gerader Kreiskegel:
V  13 r 2  h ; M  r  m
V  r ;
3
x0
(jeweils r > 0)
f (x)  f (x 0 )
,
x  x0
falls der Grenzwert existiert und endlich ist.
x  x0
f / (x)  y / =
df (x) dy

;
dx
dx
ds(t) 
 s(t)
dt
1 /
r
)  – r 1
r
x
x
(cos x) /   sin x
(x r ) /  r x r 1
(sin x) /  cos x
1
(arccos x) /  
1  x²
(ln x) / 
(e x ) /  e x
(
1
1  x²
(arctan x) / 
1
x
1
1  x²
Ableitungsregeln
2
4
3
lim  x r  ln x   0
Ableitung der Grundfunktionen
(arcsin x) / 
Prisma:
ln x
 0;
xr
f / (x 0 )  lim
Schreibweisen:
Gleichseitiges Dreieck: A 
Kugel:
lim
x  
cos(  )  cos  cos  – sin  sin 
Flächengeometrie
Allgemeines Dreieck: A 
xr
0 ;
ex
Summenregel:
f (x)  u (x)  v(x)
 f / (x)  u / (x)  v / (x)
Faktorregel:
f (x)  c  u (x)
 f / (x)  c  u / (x)
Produktregel:
f (x)  u (x)  v(x)
 f / (x)  u / (x)  v(x)  u (x)  v / (x)
Quotientenregel:
f (x) 
Kettenregel:
f (x)  u  v(x) 
O  4r 
2
u (x)
v(x)
 f / (x) 
u / (x)  v(x)  u (x)  v / (x)
[v(x)]2
 f / (x)  u /  v(x)   v / (x)
2
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L`Hospitalsche Regeln
Newtonsche Iterationsformel
 Gilt z(a) = n(a) = 0 und existiert lim
x a
/
/
z (x)
z (x)
z (x)
= lim /
, so gilt lim
/
x

a
x

a
n (x)
n (x)
n (x)
 Gilt | z(x) |  und | n(x) |  für x  a und existiert lim
x a
z / (x)
,
n / (x)
zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen: x n 1  x n 
f (x n )
f / (x n )
Symmetrie bezüglich des Koordinatensystems
/
so gilt lim
x a
z (x)
z (x)
= lim
n (x) x  a n / (x)
 Beide Regeln gelten in ähnlicher Weise auch für x   (anstelle von x  a )
Anwendungen der Differenzialrechnung
 Gleichung der Tangente im Punkt P ( x 0 | f (x 0 ) ): y  f / (x 0 )  (x – x 0 )  f (x 0 )
 Monotoniekriterium:
f / (x)  0 im Intervall I  f fällt streng monoton in I.
f(x) = f(x) für alle x  D  G f ist achsensymmetrisch zur y-Achse
(f heißt dann gerade Funktion)
f(x) = f(x) für alle x  D  G f ist punktsymmetrisch zum Ursprung
(f heißt dann ungerade Funktion)
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
1) Ist f eine in [a; b] stetige Funktion, so ist
x
die Integralfunktion Fa : x   f (t) dt differenzierbar
f (x)  0 im Intervall I  f steigt streng monoton in I.
/
a
und Fa ist eine Stammfunktion von f, d.h. Fa / (x)  f (x) .
 Art von Extremwerten (mithilfe der zweiten Ableitung):
f / (x 0 )  0 und f // (x 0 )  0  f hat an der Stelle x 0 ein relatives Minimum.
f (x 0 )  0 und f (x 0 )  0  f hat an der Stelle x 0 ein relatives Maximum.
/
//
 Graphenkrümmung:
f // (x)  0 im Intervall I  G f ist in I rechtsgekrümmt.
f // (x)  0 im Intervall I  G f ist in I linksgekrümmt.
 Wendepunkt:
Ist f // (x 0 )  0 und wechselt f // an der Stelle x 0 das Vorzeichen,
so hat G f an der Stelle x 0 einen Wendepunkt.
 Terrassenpunkt:
b
2) Ist F eine Stammfunktion von f, so gilt  f (x) dx  F(b)  F(a)   F(x)  ab .
a
Partielle Integration
b
b
a
a
/
b
/
 u(x)  v (x) dx =  u(x)  v(x) a   v(x)  u (x) dx
Integration durch Substitution
b
g-1 (b)
 f (x) dx = -1
a
f (g(t))  g / (t) dt mit x = g(t)
g (a)
Ist f / (x 0 )  0 und f // (x 0 )  0 und wechselt f // an der Stelle x 0 das Vorzeichen,
so hat G f an der Stelle x 0 einen Terrassenpunkt.
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Uneigentliche Integrale

Teil III: Wahrscheinlichkeitsrechnung
b
 f (x) dx
:= lim  f (x) dx
b 
a
Gesetze der Mengenalgebra:
A   \ A;
A  A = ;
A=A;
A \ B = AB
a
AA =
 ;
Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die x-Achse
b
V=  
  f(x) 
2
dx
Gesetze von De Morgan:
AB = AB ; AB = AB
Unvereinbarkeit:
AB =
Ereigniswahrscheinlichkeiten:
P( ) = 0 ; P() = 1; P(A) = 1 – P(A)
Satz von Sylvester:
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
PA  B  
a
Wichtige unbestimmte Integrale
r
 x dx 
x r 1
 C (r  1)
r 1
1
 x dx  ln | x | C

 sin x dx   cos x  C
 cos x dx  sin x  C
 e dx  e
 ln x dx   x  x ln x  C
Bedingte Wahrscheinlichkeit:
f
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen: PA  B   P  B 
x
x
C
/
f (x)
 f (x) dx  ln
f (x)  C
/
(x)  ef ( x ) dx  e f (x )  C
a

2
1
1
ax
dx  ln
C
2a a  x
 x2
1
a x
2
2
dx  arcsin
x
C
a
1
 (sin x)2 dx   cot x  C
a

2
1
1
x
dx  arctan  C
 x2
a
a
1
x a
2
2
dx  ln x  x 2  a 2  C

a 2  x 2 dx 
x 2
a2
x
a  x 2  arcsin  C (Kreisintegral)
2
2
a

a 2  x 2 dx 
x 2
a2
a  x 2  ln(x  a 2  x 2 )  C
2
2
P A
oder auch: P  A  B   P  A   P  B 
1
 f (ax  b) dx  a F(ax  b)  C , wobei F Stammfunktion von f ist.
1
 (cos x)2 dx  tan x  C
P  A  B
Fakultät:
Binomialkoeffizient:
n! = n  (n – 1)  (n – 2)  ...  2 1
Anzahl der Möglichkeiten, n unterscheidbare Elemente in einer Reihe anzuordnen.
n   n  1  ...   n  k  1
n
n!

 
k!
 k  k!   n  k  !
Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Menge mit n Elementen
Teilmengen mit k Elementen zu bilden.
Laplace-Experiment: Alle Elementarereignisse des zugehörigen Ergebnisraumes
sind gleich wahrscheinlich.
|A|
Es gilt dann: P(A) =
||
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Zufallsgrößen – Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung
Die Zufallsgröße X nehme die Werte x1 , x 2 , ... , x n jeweils mit den
Wahrscheinlichkeiten p1 , p 2 , ..., p n an. Dann gilt:
n
 Erwartungswert:   E  X    x i  pi  x1  p1  x 2  p 2  ...  x n  p n
Normalverteilung
Dichtefunktion:
f (x) 
1
 2
e
1  x  
 

2  
2
i 1
n
 Varianz: Var  X     x i    2 pi
Verteilungsfunktion:
i 1
F(x) 
  x1     p1   x 2     p 2  ...   x n     p n
2
2
2
Verschiebungsregel: Var  X   E  X 2    2
 Standardabweichung:   Var  X 
Binomialverteilung
Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der Treffer in einer Bernoullikette der
Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p.
Dann heißt die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung „Binomialverteilung“.
X heißt binomialverteilt, genauer B(n; p)-verteilt.
Ist die Zufallsgröße X binomialverteilt nach B(n; p), so gilt:
n
n k
P(X  k)  B  n; p; k      p k  1  p 
für k = 0, 1, ..., n
k
 
x
1
 2
e

1  t  
 

2  
2
dt

Standardisierung:
Dichtefunktion:
(u) 
Verteilungsfunktion:
 (u) 
1
2
1
2
e
1
 u2
2
u

e
1
 t2
2
dt

 (u)  1   (u)
Es gilt:
Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung
(brauchbar für n  p   1  p  > 9)
1  k  

 mit   n  p und   n  p  (1  p)
   
mit Erwartungswert E(X)  n  p und Varianz Var(X)  n  p   1  p 
B(n; p; k) 
Hypothesentest
Beim Testen der Nullhypothese H0 im Signifikanztest können zwei Fehler auftreten:
1

 x  2 
F(x)   






Fehler 1. Art: H0 wird abgelehnt, obwohl sie wahr ist.
Fehler 2. Art: H0 wird angenommen, obwohl sie falsch ist.
Als „Signifikanzniveau“ α des Tests bezeichnet man die größtmögliche noch akzeptierte Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art.
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Teil IV: Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor
 a11

 a 21
a
 31
a12
a 22
a 32
a13   v1   a11  v1  a12  v 2  a13  v3 
   

a 23    v 2  =  a 21  v1  a 22  v 2  a 23  v3 
a 33   v3   a 31  v1  a 32  v 2  a 33  v3 
Lineare Unabhängigkeit
 

Drei Vektoren a, b und c  IR 3 sind genau dann linear unabhängig,


 
wenn die Gleichung a  m b  c  0 nur mit λ = μ = ν = 0 lösbar ist.
 

  
Alternativ gilt: a, b und c linear unabhängig  a  b  c  0

Gerade im IR 3
 a1   b1 
     
3
Skalarprodukt im IR : a  b   a 2    b 2   a1b1  a 2 b 2  a 3 b3
a  b 
 3  3
 Punkt-Richtungsform:
 Zwei-Punkte-Form
Eigenschaften und Anwendungen des Skalarprodukts
 
 
 zueinander senkrechte Vektoren:
a  b  ab  0

 
 Betrag eines Vektors: | a |  a  a


a
 Einheitsvektor:
a0  
|a|
 
ab
 Winkel zwischen zwei Vektoren: cos     mit 0    180
| a | | b |

 

g : x  a  u
 
 
g : x  a    (b – a )
Ebene im IR 3
Parameterformen
 Drei-Punkte-Form:
 


E : x  a  u v
 
 
 
E : x  a    (b – a )  m  (c – a)
Parameterfreie Formen
 Koordinatenform:
E : ax1  bx 2  cx 3  d  0
 Achsenabschnittsform:
E:
 Punkt-Richtungsform:
 a 2 b3  a 3 b 2 
  

3
Vektorprodukt im IR : a  b   a 3 b1  a1b3 
a b a b 
2 1 
 1 2
x1 x 2 x 3


1
s
t
u
Festlegung durch die Achsenschnittpunkte
S(s| 0| 0), T(0| t| 0) und U(0| 0| u)
Eigenschaften und Anwendungen des Vektorproduktes

 

 a  b steht senkrecht auf a und b
 
 
 | a  b |  | a |  | b |  sin  mit 0    180
 
 Flächeninhalt F des Dreiecks ABC: F  12 | AB  AC |
  
 Volumen V der dreiseitigen Pyramide ABCD: V  16 AB  AC  AD

 Normalenform:
  
E : n  (x – a) = 0

6