Lineare Algebra (IFB1), Übungsblatt 6 mit Lösungen

Lineare Algebra (IFB1), Übungsblatt 6
mit Lösungen
M.Gruber
WS 2006/2007
1. Welche Linearkombination der Vektoren
h2i
Vektor b = 1 am nächsten?
h
1
2
−1
+
3
2
i
und
h1i
0
1
kommt dem
1
Lösung Es ist die Linearkombination
den Abstand 0.
2.
1
2
h
1
2
−1
i
h2i
1
1
, denn sie hat von
h2i
1
1
(a) E bezeichne die Einheitsmatrix. Zeige, dass für eine Matrix P mit
P 2 = P gilt: (E − P )2 = E − P .
(b) Wenn P auf den Spaltenraum C(A) einer Matrix A projiziert, auf
welchen Raum projiziert dann E − P ?
Lösung
(a) Matrixmultiplikation ist distributiv, also rechnet man einfach aus: (E −
P )2 = E 2 − 2EP + P 2 = E − 2P + P = E − P .
(b) Wenn P der Projektor auf C(A) ist, dann ist E − P wegen b = (E −
P )b + P b der Projektor auf N (At ), denn jedes b ∈ Rm hat eine eindeutige
Darstellung der Form b = bN + bC mit bN ∈ N (At ) und bC ∈ C(A) (siehe
SU 8).
3.
(a) Wenn P die 2 × 2-Projektionsmatrix auf die Gerade span ([ 11 ]) ist,
wohin projiziert dann E − P ?
h 1 i
(b) Wenn P die 3 × 3-Projektionsmatrix auf die Gerade span 1
ist,
1
wohin projiziert dann E − P ?
Lösung
(a) Wenn P die 2 × 2-Projektionsmatrix auf die Gerade span ([ 11 ]) ist, dann
t
projiziert E − P auf N ([ 11 ] ) = span ([ −1
1 ]).
“h 1 i”
(b) Wenn P die 3 × 3-Projektionsmatrix auf die Gerade span 1
ist, dann
1
h 1 it
“h −1 i h −1 i”
1
projiziert E − P auf N ( 1 ) = span
, 0
.
1
0
1
4. Um die Projektionsmatrix P auf die Ebene x − y − 2z = 0 zu finden,
wähle zwei linear unabhängige Vektoren aus dieser Ebene und mache
sie zu Spalten einer Matrix A, so dass die Ebene mit dem Spaltenraum
von A zusammenfällt.
Berechne nun A(At A)−1 At .
1
Lösung Die Gleichung x − y − 2z = 0 kann man auch als [ 1 −1 −2 ]
hxi
y
z
= 0
schreiben, d.h. die Ebene ist der Nullraum
h i h iN ([ 1 −1 −2 ]). Zwei linear unabhängige
1
1
0
Vektoren in dieser Ebene sind z.B.
2
0
1
, denn die beiden Vektoren spannen
h1 2i
den Nullraum N ([ 1 −1 −2 ]) auf. Sei also A = 1 0 . Dann ist A(At A)−1 At =
h 5 0 11 1 i
h1 2i
h1 2i ˆ
˜ 110
5 −1
2 −1 1 1 0
1 0 [2
[ 2 0 1 ] = 16 1 5 −2 .
[ 2 0 1 ] = 1 0 16 −2
2
2 5]
0 1
,
1 −2 2
0 1
5. Um die Projektionsmatrix P auf dieselbe Ebene wie in Aufgabe 4 zu
finden, wähle einen Vektor e orthogonal zur Ebene, berechne
Q=
eet
,
et e
dann P = E − Q und vergleiche mit dem P von Aufgabe 4.
h 1 i hxi
h 1 i
Lösung Der Vektor e = −1 ist orthogonal zur Ebene, denn −1 · y = 0.
z
h 1 i h 1 it −2h 1 −1 −2 i
h 5 1 1 i −2
t
1 −1 1 2
1 1 5 −2
1 −1
−1
=
und
E
−
Q
=
—
das
gleiche
=
Q = ee
et e
6
6
6
−2 2
−2
−2
2 −2 2
4
Resultat wie in Aufgabe 4 (natürlich!).
6.
(a) Finde die Projektion PC auf den Spaltenraum von A = [ 34 68 68 ].
(b) Finde die 3 × 3-Projektionsmatrix PR , die auf den Zeilenraum von
A projiziert.
(c) Berechne B = PC APR .
Lösung
(a) C(A) = C ([ 34 ]) (zweite und dritte Spalte von A sind freie Spalten).
t
t
1
9 12
[ 12
PC = [ 34 ] ([ 34 ] [ 34 ])−1 [ 34 ] = 25
16 ].
“h 1 i”
t
2
(b) C(A ) = C
(die zweite Spalte von At ist frei).
2
h 1 i „h 1 it h 1 i«−1 h 1 it h 1 i
h1 2 2i
2
2
2
PR = 2
= 2 [ 19 ] [ 1 2 2 ] = 91 2 4 4 .
2
(c) PC APR =
2
1
25
2
3 6 6
9 12
[ 12
16 ] [ 4 8 8 ]
2
2
1
9
h1 2 2i
Überraschung, denn
PC APR
2 4 4
2 4 4
2 4 4
= [ 43 86 86 ]. Dass PC APR = A ist, ist keine
=
(A(At A)−1 At )A(At (AAt )−1 A)
=
A(At A)−1 At (AAt )(AAt )−1 A
=
A(At A)−1 )(At A)
=
A.
Man kann es salopp auch so ausdrücken: Wenn man mit PR auf den
Zeilenraum von A projiziert (d.h. N (A)-Anteile ausblendet) und auf das
Ergebnis A anwendet, bekommt man dasselbe, wie wenn man nur A
anwndet. Wendet man anschließend auf das Ergebnis den Projektor P C
an, bleibt das Ergebnis unverändert, weil man schon in C(A) ist.
2