viertes Übungsblatt
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17. November 2006 Übungen zu Information, Codierung, Komplexität (WS 2006/07) 13. Vorbemerkung: Ein wichtiges Hilfsmittel beim Studium von Codes über endlichen Körpern F ist die Vandermonde-Matrix 1 1 ··· 1 α1 α2 · · · αn V (α1 , α2 , . . . , αn ) = .. .. .. . . . . . . n−1 n−1 n−1 α1 α2 · · · αn für α1 , α2 , . . . , αn ∈ F . Sie kennen wahrscheinlich die fundamentale Aussage über die Determinante dieser Matrix: Y det V (α1 , α2 , . . . , αn ) = (αj − αi ). 1≤i<j≤n Wenn nicht, so lesen Sie das in einem Buch über Lineare Algebra oder Matrizenrechnung nach. Insbesondere ist diese Determinante genau dann von Null verschieden, wenn die α1 , α2 , . . . , αn ∈ F paarweise verschieden sind. Die folgende Aufgabe übt den Umgang mit Matrizen dieser Bauart und führt zu einer Konstruktionmöglichkeit für spezielle Codes (wobei die Idee dazu in der Geometrie zu Hause ist). Es sei nun F = Fq ein Körper mit q Elementen. Für b, c ∈ F betrachte die quadratische Funktion f : F × F → F : (x, y) 7→ x2 + bxy + cz 2 . Für (α, β) ∈ F 2 bezeichne vα,β den Spaltenvektor der Länge 4: 1 α vα,β = β f (α, β) Es gibt also insgesamt q 2 solcher Vektoren. In dieser Aufgabe geht es um den linearen Code über F , der von der 4 × (q 2 + 1)-Kontrollmatrix Hb,c (q) definiert wird, die aus allen Vektoren vα,β mit (α, β) ∈ F 2 , sowie dem Vektor [0, 0, 0, 1]t besteht. (a) Zeigen Sie, dass folgende Bedingungen notwendig sind für die lineare Abhängigkeit von drei verschiedenen Vektoren vα1 ,β1 , vα2 ,β2 , vα3 ,β3 : 1 – Entweder ist α1 = α2 = α3 oder es ist β1 − β3 β2 − β3 β1 − β2 = = . α1 − α2 α1 − α3 α2 − α3 – Es ist f (α1 − α2 , β1 − β2 ) = f (α1 − α3 , β1 − β3 ) = f (α2 − α3 , β2 − β3 ) = 0. Hinweis: für den Beweis der zweiten Aussage werden Sie die erste benötigen. Das erfordert schon etwas Rechnerei... Hier ein Hinweis, wie man vorgehen kann: Es geht es um 1 1 1 det α1 α2 α3 = (α2 − α1 )(α3 − α1 )(α3 − α2 ). α12 α22 α32 Da nur der Fall interessant ist, dass nicht α1 = α2 = α3 ist, kann man λ= β1 − β2 β1 − β3 β2 − β3 = = (6= 0) α1 − α2 α1 − α3 α2 − α3 setzen. Zeigen Sie nun: 1 1 1 1 α2 α3 = λ · det α1 det α1 α1 β1 α2 β2 α3 β3 α12 1 1 1 1 2 det α1 α2 α3 = λ · det α1 β12 β22 β32 α12 1 1 α2 α3 α22 α32 1 1 α2 α3 α22 α32 und folgern Sie dann 1 1 1 1 1 1 α2 α3 = f (1, λ) · det α1 α2 α3 det α1 f (α1 , β1 ) f (α2 , β2 ) f (α3 , β3 ) α12 α22 α32 (b) Zeigen Sie, dass die Matrix Hb,c (q) einen [q 2 + 1, q 2 − 3]-Code über Fq definiert, dessen Minimaldistanz ≥ 4 ist, falls f (x, 1) = x2 + bx + c ein irreduzibles Polynom über Fq ist. (c) Konstruieren Sie einen solchen Code für q = 3, also einen [10, 6]-Code über F3 mit einer Minimaldistanz ≥ 4. Bestimmen Sie die wirkliche Minimaldistanz ihres Codes. Hinweis: es nicht nur erlaubt, sondern sogar sehr erwünscht, wenn Sie für diesen konstruktiven Teil Maple oder Mathematica zu Hilfe nehmen! (Aber es geht auch per Hand.) 2
