Kapitel 3: Werkzeuge der Mathematik

3 Werkzeuge der Mathematik
3.1 Mengen (18.11.2011)
Definition 3.1 Die Menge
∅ := {x ∈ M | x 6= x}
heißt leere Menge.
Definition 3.2 Es seien N und M Mengen. Wir definieren:
M ⊂ N :⇔ (x ∈ M ⇒ x ∈ N ).
und analog
N ⊃ M :⇔ (x ∈ N ⇐ x ∈ M ).
Wir sagen M ist Teilmenge1 von N . Zwei Mengen M und N heißen gleich
wenn gilt
M = N :⇔ (x ∈ M ⇔ x ∈ N ).
Definition 3.3 Die Potenzmenge 2M von M ist die Menge aller Teilmengen
von M , also
2M = {N | N ⊂ M }.
Definition 3.4 (Operationen mit Mengen) Es seien N und M Mengen.
a) Die Vereinigung von N und M ist
M ∪ N := {x | x ∈ M ∨ x ∈ N }
b) Der Durchschnitt zweier Mengen M und N ist
M ∩ N := {x | x ∈ M ∧ x ∈ N }
c) Das Komplement einer Menge N in M (oder die Differenz von M und N )
ist die Menge
M \N := {x | x ∈ M ∧ x ∈
/ N }.
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Hier sei betont, dass die Bezeichnung M ⊂ N auch erlaubt, dass M = N ist Will man
ausdrücken, dass M eine echte Teilmenge von N ist, d.h. M ⊂ N und M 6= N , gilt schreibt
man M $ N . Das ist leider nicht einheitlich in der Literatur. In manchen Büchern und
Vorlesungen werden die Symbole ⊆ (statt ⊂) bzw. ⊂ (statt und $) benutzt.
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d) Das geordnete Paar („Tupel“) zweier Objekte x, y ist das Objekt (x, y)
mit der Eigenschaft
(x, y) = (x′ , y ′ ) ⇔ x = x′ und y = y ′ .
Insbesondere ist (x, y) 6= (y, x) falls x 6= y. Das kartesische Produkt
zweier Mengen M, N ist die Menge
M × N := {(x, y) | x ∈ M und y ∈ N }.
Satz 3.5 Für Mengen M , N , L gilt:
a) M \M = ∅, M \∅ = M .
b) M ∩ M = M, M ∪ M = M .
c) Kommutativität:
M ∪ N = N ∪ M,
M ∩ N = N ∩ M.
d) Assoziativität:
(M ∪ N ) ∪ L = M ∪ (N ∪ L),
(M ∩ N ) ∩ L = M ∩ (N ∩ L).
e) Distributivität:
(M ∩ N ) ∪ L = (M ∪ L) ∩ (N ∪ L),
(M ∪ N ) ∩ L = (M ∩ L) ∪ (N ∩ L).
(M ∩ N ) × L = (M × L) ∩ (N × L)
(M ∪ N ) × L = (M × L) ∪ (N × L).
Definition 3.6 Zur Indexmenge I sei Mi für jedes i ∈ I eine Menge.
a) Die Vereinigung der Mengen aus Mi , i ∈ I ist die Menge
[
Mi := {x | ∃ i ∈ I mit x ∈ Mi }.
i∈I
b) der Durchschnitt einer der Mengen Mi , i ∈ I ist
\
Mi := {x | ∀ i ∈ I gilt x ∈ Mi }
i∈I
Satz 3.7 Für die Teilmengen M, N bzw. Mi , i ∈ I einer Menge X gilt:
a)
X\(M ∩ N ) = (X\M ) ∪ (X\N )
X\(M ∪ N ) = (X\M ) ∩ (X\N )
de Morgansche Regel
b)
S
T
X\ Si∈I Mi = Ti∈I (X\Mi )
X\ i∈I Mi = i∈I (X\Mi )
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de Morgansche Regel
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3.2 Abbildungen I (24.11.2011)
Definition 3.8 (Abbildungen) Eine Abbildung f einer Menge M in eine Menge N ist eine Vorschrift, die jedem Element x ∈ M jeweils ein eindeutig bestimmtes Element y = f (x) ∈ N zuordnet. y = f (x) heißt Wert von f an der Stelle
x. M heißt Definitionsbereich, N der Wertebereich von f .
Schreibweise:
f : M → N, x 7→ f (x)
Bemerkung: Falls eine Vorschrift in dem Sinne nicht funktioniert, dass (i)
nicht zu jedem x ∈ M ein Wert aus N zugeordnet wird, oder (ii) dass zu einem
Wert x ∈ M mehr als ein Wert in N zugeordnet wird, so beschreibt diese
Vorschrift keine Abbildung. Man sagt die Abildung ist nicht wohldefiniert2
Zwei Abbildungen f1 : M1 → N1 , f2 : M2 → N2 heißen gleich wenn gilt
(i)M1 = M2 , N1 = N2 und (ii) f1 (x) = f2 (x) für alle x ∈ M1 = M2 . Ist beides
erfüllt schreiben wir f1 = f2 .
Definition 3.9 (Bild und Urbild)
N ist die Menge
a) Der Graph einer Abbildung f : M →
Γf := {(x, f (x)) | x ∈ M } ⊂ M × N.
b) Das Bild einer Teilmenge A ⊂ M unter f : M → N ist die Teilmenge
f (A) := {f (x) | x ∈ A}.
f (M ) heißt Bildmenge von M .
c) Das Urbild einer Menge B ⊂ N ist die Teilmenge
f −1 (B) := {x ∈ M | f (x) ∈ B}.
d) Sei A eine Teilmenge von M . Dann nennt man
f |A : A → N, x 7→ f (x)
die Einschränkung von f auf A.
Satz 3.10 Für jede Abbildung f : M → N und Teilmengen A, A1 , A2 ⊂ M ,
B1 , B2 ⊂ N gilt:
(a)
f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 )
(b)
f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 )
2
Ein etwas irreführender Sprachgebrauch, da es sich ja dann um garkeine Abbildung handelt
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(c)
f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 )
(d)
f (A1 ∩ A2 ) ⊂ f (A1 ) ∩ f (A2 )
(e)
A ⊂ f −1 (f (A))
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3.3 Abbildungen II (25.11.2011)
Definition 3.11 (Injektivität, Surjektivität, Bijektivität) Eine Abbildung
f : M → N heißt
(a) injektiv, wenn für alle x1 , x2 ∈ M gilt
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 .
Eine äquivalente Definition ist: Zu jedem y ∈ N höchstens ein Element
x ∈ M mit f (x) = y existiert.
(b) surjektiv, wenn f (M ) = N . Eine äquivalente Definition ist: zu jedem y ∈ N
mindestens ein Element x ∈ M mit f (x) = y existiert.
(c) bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. Eine äquivalente Definition ist:
zu jedem y ∈ N genau ein Element x ∈ M mit f (x) = y existiert. Eine
weitere äquivalente Definition ist: es gibt eine Abbildung g : N → M so
dass für alle x ∈ M und für alle y ∈ N gilt: g(f (x)) = x und g(f (y)) = y.
Definition 3.12 (Verkettung) Die Verkettung oder Komposition der Abbildungen f : M → N und g : N → P ist die Abbildung
g ◦ f : M → P,
x 7→ g(f (x)).
(Lies: g nach f .) Falls Definitionsbereich und Wertebereich gleich sind (also
f : M → M ) schreiben wir auch f 2 statt f ◦ f . Die Abbildung idM : M → M ,
x 7→ x ist die identische Abbildung (auf der Menge M ).
Definition 3.13 Ist f : M → N eine bijektive Abbildung. Dann gibt es genau
eine Abbildung g : N → M mit der Eigenschaft f ◦ g = idN und g ◦ f = idM .
Diese Abbildung heißt Umkehrabbildung oder Inverse von f und wird mit
f −1 bezeichnet.
Achtung: Eine Umkehrfunktion f −1 ist nur für bijektive Abbildungen definiert.
Das Urbild f −1 (A) existiert für jede Abbildung f : M → N und jede Teilmenge
A ⊂ N.
Satz 3.14 Es seien f : M → N und g : N → P Abbildungen.
a) Sind f und g beide injektiv, so ist g ◦ f injektiv.
b) Sind f und g beide surjektiv, so ist g ◦ f surjektiv.
c) Sind f und g beide bijektiv, so ist auch g ◦ f bijektiv und die Umkehrabbildung von g ◦ f ist f −1 ◦ g −1 .
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3.4 Äquivalenzrelationen (1.12.2011)
Definition 3.15 Eine Relation auf M ist eine Teilmenge R ⊂ M × M . Wir
schreiben x ∼ y falls (x, y) ∈ R. Eine Relation auf M heißt
a) reflexiv, falls für jedes x ∈ M gilt: x ∼ x
b) symmetrisch, falls x ∼ y auch y ∼ x impliziert.
c) transitiv, falls x ∼ y und y ∼ z auch x ∼ z impliziert.
Ist eine Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv, so nennt man sie Äquivalenzrelation. Wir lesen x ∼ y als „x ist äquivalent zu y bezüglich R“.
Satz 3.16 Ist f : M → N eine Abbildung und sei eine Relation auf M durch
x ∼ y :⇔ f (x) = f (y)
erklärt, dann ist die Relation eine Äquivalentzrelation.
Definition 3.17 Auf M sei eine Äquivalenzrelation erklärt. Zu x ∈ M heißt
die Menge
Kl(x) := {y ∈ M | x ∼ y}.
Äquivalenzklasse von x.
Satz 3.18 Für jede Äquivalenzrelation auf einer Menge M gilt:
(a) x ∈ Kl(x)
(b) x ∼ y ⇔ Kl(x) = Kl(y)
(c) Kl(x) 6= Kl(y) ⇔ Kl(x) ∩ Kl(y) = ∅.
Definition 3.19 Sei R eine Äquivalenzrelation auf der Menge M . Der Quotient M/R von M bezüglich R ist definiert als die Menge der Äquivalenzklassen von R, also
M/R := {Kl(x) | x ∈ M }.
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3.5 Mächtigkeit (2.12.2011)
Definition 3.20 Zwei Mengen M und N heißen gleichmächtig, wenn es eine
Bijektion f : M → N gibt. Sind zwei Mengen M und N gleichmächtig, so
schreiben wir |M | = |N |. Ist M gleichmächtig mit der Menge {1, 2, . . . , n} so
nennet man M eine endliche Menge und n die Mächtigkeit von M . Ist M
gleichmächtig mit N so nennt man M abzählbar unendlich.
Satz 3.21 Es sei X eine Menge. Die Relation auf 2X definiert durch
M ∼ N ⇔ M gleichmächtig zu N
ist eine Äquivalenzrelation.
Korollar 3.22 Zwei endliche Mengen sind genau dann gleichmächtig, wenn Sie
gleichviel Elemente haben.
Satz 3.23 (Schubfachprinzip) Es seien M und N zwei endliche Mengen mit
|M | = m > n = |N | und f : M → N eine Abbildung. Es gibt mindestens zwei
Elemente m1 , m2 ∈ M mit f (m1 ) = f (m2 ).
Satz 3.24 Es sei A eine n+1-elementige Teilmengen der Menge {1, 2, . . . , 2n},
dann gibt es zwei Zahlen a, b ∈ A so dass eine die andere teilt.
Satz 3.25 (Satz von Cantor) Es gibt keine surjektive Abbildung f : M →
2M von einer Menge M auf ihre Potenzmenge.
Korollar 3.26 2N ist nicht abzählbar.
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