Tutorium Nr. 16 - GBI Tut Philipp Oppermann

Grundbegriffe der Informatik
Tutorium 1
Tutorium Nr. 16
Philipp Oppermann | 9. November 2014
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE
KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg und
nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
www.kit.edu
Outline/Gliederung
1
Organisatorisches
2
Aussagenlogik
3
Mengen
4
Relationen
Organisatorisches
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Aussagenlogik
Mengen
Relationen
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Organisatorisches
Philipp Oppermann
5. Semester Informatik
Website: gbi.phil-opp.com
Email: [email protected]
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Aussagenlogik
Mengen
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Organisatorisches
Vorlesungswebsite gbi.ira.uka.de
Übungsblätter
Ausgabe am Mittwoch
Abgabe am Freitag der nächsten Woche
Übungsschein
50% der Übungspunkte
Pflicht!
Abschreiben gibt 0 Punkte für alle Beteiligten!
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Aussagenlogik
Mengen
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Aussagenlogik
Negation:
¬A ist genau dann wahr, wenn A falsch
Und: A ∧ B ist genau dann wahr, wenn A wahr und B wahr
Oder: A ∨ B ist genau dann wahr, wenn A wahr oder B wahr
Implikation: A ⇒ B ist genau dann wahr, wenn A falsch oder B wahr
„Genau dann wenn“: A ⇔ B ist genau dann wahr, wenn „A=B“
Beispiele
A und B seien wahr, C sei falsch. Dann gilt:
A ∨ (B ∧ C ) ist . . . wahr
A ∧ (¬B ∨ C ) ist . . . falsch
B ⇒ (¬C ∨ ¬A) ist . . . wahr
¬A ⇒ (C ∨ ¬B ) ist . . . wahr
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Aussagenlogik
Mengen
Relationen
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Aussagenlogik
A
falsch
falsch
wahr
wahr
B
falsch
wahr
falsch
wahr
¬A
wahr
wahr
falsch
falsch
A∧B
falsch
falsch
falsch
wahr
A∨B
falsch
wahr
wahr
wahr
A⇒B
wahr
wahr
falsch
wahr
A⇔B
wahr
falsch
falsch
wahr
Implikation A ⇒ B ist äquivalent zu ¬A ∨ B
Äquivalenz A ⇔ B ist äquivalent zu (A ⇒ B ) ∧ (B ⇒ A)
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Aussagenlogik
Mengen
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Aussagenlogik
Beispiele
A, B und C seien beliebig. Sind dann folgende Aussagen im Allgemeinen
wahr?:
A ⇔ (A ⇒ C ): . . . nein, z.B. für A falsch
C ⇒ (A ⇒ C ): . . . ja, da äquivalent zu ¬C ∨ ¬A ∨ C
C ⇔ (C ⇐ C ): . . . nein, z.B. für C falsch
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Aussagenlogik
Mengen
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Mengen
Reihenfolge ist egal
Menge kann leer sein (dargestellt als ∅ oder {})
enthält keine Elemente mehrmals
Beispiel
{1, 2, 3, 4, 8, 0} = {0, 3, 2, 8, 4, 1}
5 ∈ {1, 5, 4} 3 1
3∈
/ {1, 5, 4}
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Aussagenlogik
Mengen
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Aussagenlogik für Mengen
„Für alle . . . gilt . . . “:
∀x ∈ {1, 3, 5} : x > 0
„Es existiert ein . . . , für das gilt . . . “:
„Die Menge aller . . . , wobei . . . “:
∃x ∈ {1, 3, 5} : x ≤ 2
{x ∈ N0 | x ≥ 42}
Achtung!
Die Aussage ∀x , y ∈ {1, 2, 3} : (x < y ) ∨ (x > y ) ist falsch!!
es ist nicht ausgeschlossen, dass x = y
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Aussagenlogik
Mengen
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Besondere Mengen
N+
Menge der positiven ganzen Zahlen: N+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
N0
Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen: N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Zn
Zn = {i ∈ N0 | 0 ≤ i ∧ i < n}
Menge der ganzen Zahlen von 0 bis n − 1
Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}
Z0 = {}
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Mengen
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Mengenoperationen
Teilmenge
A ⊆ B ⇔ ∀a ∈ A : a ∈ B
{1, 2} ⊆ N+
∅ ⊆ {1, 2, 3} ⊆ {2, 1, 3}
N0 * N+
Vereinigung
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B }
Schnittmenge
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B }
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Kartesisches Produkt
Definition
A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B }
Beispiel
{a, b, c } × {1, 2, 3} =
{(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c , 1), (c , 2), (c , 3)}
Achtung
A × B 6= B × A
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Relationen
Definition
Eine Teilmenge R ⊆ A × B heißt auch eine Relation.
Beispiel
A = B = {1, 2, 3}
R≤ = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}
statt (1, 2) ∈ R≤ kann man auch 1 ≤ 2 schreiben
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Aussagenlogik
Mengen
Relationen
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Linkstotal und Rechtstotal
linkstotal
∀a ∈ A ∃b ∈ B :
(a, b) ∈ R
„von jedem Element aus A geht mindestens 1 Pfeil weg“
rechtstotal
∀b ∈ B ∃a ∈ A :
(a, b) ∈ R
„zu jedem Element aus B kommt mindestens 1 Pfeil“
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Mengen
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Rechtseindeutig und Linkseindeutig
rechtseindeutig
∀a ∈ A,
∀b1 , b2 ∈ B :
(a, b1 ) ∈ R ∧ (a, b2 ) ∈ R ⇒ b1 = b2
„von jeden Element aus A geht höchstens 1 Pfeil weg“
linkseindeutig
∀b ∈ B ,
∀a1 , a2 ∈ A :
(a1 , b) ∈ R ∧ (a2 , b) ∈ R ⇒ a1 = a2
„zu jedem Element aus B kommt höchstens 1 Pfeil“
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Mengen
Relationen
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Funktion/Abbildung
Definition
Eine Funktion oder Abbildung ist eine linkstotale und
rechtseindeutige Relation.
f :A→B
A heißt Definitionsbereich und B Zielbereich
f (A) ⊆ B heißt das Bild von f
statt (a, b) ∈ f schreiben wir f (a) = b
besondere Funktionen
eine linkseindeutige Abbildung heißt injektiv
eine rechtstotale Abbildung heißt surjektiv
eine injektive und surjektive Abbildung heißt bijektiv
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Mengen
Relationen
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Aufgabe
Was kann man über die Injektivität, Surjektivität und Bijektivität folgender
Abbildungen sagen?
(
a) f1 : N+ → N0 : x 7→
42
wenn x = 1
x −1
sonst
b) f2 : A4 → B3
c) f2 : A4 → B4
d) f2 : A4 → B5
A4 enthält 4 Elemente, B3 , B4 , B4 3, 4, bzw. 5 Elemente.
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