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MHD Um das Verhalten des Plasmas und Magnetfeldes im interplanetaren Raum beschreiben zu können, bedienen wir uns der sogenannten Magnetohydrodynamik (MHD). So wird ein Plasma als eine elektrisch neutrale magnetische Flüssigkeit betrachtet. - Zeitliche Störungen sind kleiner als die Zyklotronperiode - Räumliche Störungen sind kleiner als der Debyeradius. MHD Grundgleichungen: Kontinuitätsgleichung Massendichte Kontinuitätsgleichung Ladungsdichte Ohm’sches Gesetzt Bewegunsgleichung Maxwellgleichungen Physik VI V7-Seite 1 Eingefrorene Feldlinien In der folgenden Formel sind das Ampére‘sche und das Ohm‘sche Gesetz verbunden wo Wir bestimmen dann die Rotation Induktionsgleichung Für schlechte Leitfähigkeit oder langsame Plasmas haben wir Physik VI V7-Seite 2 Eingefrorene Feldlinien Für schnelle oder gut leitende Plasmas kann der diffusive Term vernachlässigt werden, Die Flussänderung kann in einem kleinen Flächenelement dA beschrieben werden durch Die Änderung des Magnetfeldes kann auch durch die Bewegung eines infinitesimales Element der Kurve dl relativ zu B beschrieben werden. und die totale Änderung ergibt sich durch Konturintegration entlang C. Die Gesamtänderung des Flusses durch eine Kurve C aufgespannte Fläche S ist dann Physik VI V7-Seite 3 Eingefrorene Feldlinien Mit dem Gesetz von Stokes Im Integranden haben wir die rechte Seite der Induktionsgleichung für gute Leitfähigkeit des Plasmas, was heisst dass Das heisst, dass der Fluss durch die Kurve C sich nicht verändert. Das bedeutet, dass sich das Magnetfeld mit dem Plasma bewegt, und das wird ausgedrückt als die Approximation der „eingefrorenen Feldlinien“. Diese näherung heisst auch „ideale“ MHD. Der Übergang zwischen einem diffusiven und einem eingefrorenen Magnetfeld lässt sich durch das Verhältnis der Diffusionszeit zur Konvektionszeit. Und die Magnetische Reynoldszahl ist dann Physik VI V7-Seite 4 Sonnenwind Die Sonne rotiert mit einer Geschwindigkeit von 2.7 ×10-6 Radian pro Sekunde, und Ihre Bewegung kann beschrieben werden durch: wo q ist der Winkel vom Nordpol. Der Winkel zwischen einer eingefrorenen und mitbewegten Magnetfeld und der Radialen beträgt Die Bewegung des Magnetfeldes kann man mit der Differentialgleichung aufstellen Physik VI V7-Seite 5 Parker Spirale Die Integration ergibt die Form der Feldlinien Die einzelnen Teilchen im Plasma fühlen nur Kräfte, welche auf ihre thermische Bewegung im Plasma zurückzuführen sind. Teilchenpopulationen welche sich relativ zum Sonnenwind bewegen spüren das vorbeikonvektierte Magnetfeld. Die Quellenfreiheit des Magnetfeldes lautet In der Approximation der eingefrorenen Feldlinien Physik VI V7-Seite 6 Parker Spirale Wegen Axialsymmetrie ist dann die Divergenzgleichung Die Komponenten des interplanetaren Magnetfeldes sind dann Dass Bf eine andere Abhängigkeit mit r als Br hat, zeigt dass die Schallgeschwindigkeit und die Alfvéngeschwindigkeit nicht dieselbe radiale Abhängigkeit haben. Sind die Magnetfeldlinien dann offen?. Nach Maxwell gleich positiver wie negativer Fluss die Quelle verlassen muss. Als Quellfläche wird oft eine Fläche bei 2.5 Sonnenradii verwendet. Physik VI V7-Seite 7 Sonnenwind Die Struktur des Magnetfeldes wird bestimmt durch die Ausbreitungseigenschaften des Sonnenwindes und durch die Anfangsbedingungen auf der Sonne. Im Aktivitätsminimum, ist das Magnetfeld mit einer dominanten Dipolkomponente, dessen Symmetrieachse um ca. 7 Grad gegenüber der Rotationsachse der Sonne geneigt ist. In der Ekliptik erscheint dann die Polarität des IMF abwechslungsweise positiv und negativ. Der Sonnenwind strömt dann entlang der Grenzen zwischen den offenen und geschlossenen Feldlinien ins interplanetare Medium. Stark vereinfacht muss die Heliosphäre im solaren Aktivitätsminimum grossräumig in zwei Hälften geteilt werden welche durch eine Stromschicht (heliospheric current sheet) getrennt sind. Physik VI V7-Seite 8 Sonnenwind Struktur des solaren Magnetfledes während des solaren Aktivitätsminimums Heliosphärische Stromschicht Physik VI V7-Seite 9 Sonnenwind Die heliosphärische Stromschicht zeichnet sich durch mehrere ungewöhnliche Eigenschaften aus: - Erhöhte Dichte, - Besonders langsamen und kalten Sonnenwind, - Verschwinden der differentielen Strömung zwischen Protonen und Alphateilchen, - Angleichung der kinetischen Temperaturen von Protonen und Alphateilchen, - Abnahme der Heliumhäufigkeit, -besonders heisses koronales Plasma (hohe Einfriertemperaturen). - etc. Physik VI V7-Seite 10 Sonnenwind Physik VI V7-Seite 11 Sonnenwind Physik VI V7-Seite 12 Boltzmanngleichung Wir betrachten erstmals eine Verteilung von Teilchen. Wenn sie untereinander nicht stossen, so werden nach einer Zeit dt einen veränderten Ort und Impuls haben. Unterliegen sie einer externen Kraft Liouville Satz sagt, denn die Phasenraumdichte ist inkompressibel, dass Boltzmanngleichung Wo C(f) das Stossintegral ist, welches die Stösse beschreibt. Wenn wir E, B und f auf einen makroskopischen Teil E0, B0 und f0 und einen stochastisch fluktuierenden Teil e, b und df so werden die makroskopischen Grössen die Kraft bestimmen Physik VI V7-Seite 13 Boltzmanngleichung Durch einsetzen der aufgeteilten Grössen E, B und f in die Boltzmanngleichung kann diese in einen makroskopischen und in einen stochastischen Teil aufgeteilt werden. Übrig bleibt dann ein Kraft-term aber in den stochastischen Grössen. Dieser kann als Stossintegral aufgefasst werden. Alle makroskopischen grössen sind a eiwt-ikx. Ist die mittlere Stossfrequenz n<<w, dann C(f)<<∂f/∂t. Ist die freie Weglänge |v|/n >>1/|k| so folgt n<<kv und damit C<<v∂f/∂x Es können nun drei Fälle unterschieden werden Physik VI V7-Seite 14 MHD Die MHD Näherung wird hier auch verwendet . Folgende vereinfachende Annahmen charakterisieren MHD: - Die Charakteristischen Längen und Zeiten sind grösser als die mittleren freien Weglängen und Flugzeiten, - keine Dissipation, Viskosität und Wärmeleitung, - unendliche elektrische Leitfähigkeit (eingefrorene Feldlinien). - der Verschiebungsstrom ist wesentlich kleiner als der induzierte Strom und kann vernachlässigt werden, - die makroskopischen Fluss- und Wellengeschwindigkeiten sind wesentlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. Physik VI V7-Seite 15 Ausbreitung von Störungen Wir betrachten im folgenden die Ausbreitung von beliebig kleinen Störungen, in einem homogenen Medium. Diese werden beschrieben wie vorher für die Boltzmanngleichung als b für das Magnetfeld, e für das elektrische Feld, usw. Nur die lineare Terme (und nicht die quadratische oder höhere Grössenordnungen) werden in den MHD Gleichungen eingesetzt und werden so „linearisiert“. Die Lösung für diese Störungen kann man in Abhängigkeit von der Schall und Alfvéngeschwindigkeiten Cs und Ca und vom Winkel q zwischen ihrer Ausbreitungsrichtung und der mittleren Feldstärke B darstellen. Wo I entspricht die intermediäre, F die schnelle und S die langsame Phasengeschwindigkeit. Der langsame ist und schnelle mode sind kompressiv, der intermediäre nicht. Physik VI V7-Seite 16 Entstehung von Schocks Wenn eine Störung eine andere aufholt, bildet sich eine kompressive Welle, deren Geschwindigkeitsprofil immer steiler wird. Dieser Prozess ist in der inneren Heliosphäre besonders wichtig (CIR), und aufgrund von CME zu interplanetaren Schocks. Das entstandene Geschwindigkeitsprofil kann nicht immer steiler werden. Es existiert ein Gleichgewicht zwischen der Energie, die durch die Wellen oder das schneller Plasmapaket in die Schockregion eingebracht wird, und der Energie, die in irgendeiner Art und Weise dissipiert wird. MHD- Gleichungen sind dann nicht genug um Schocks zu beschreiben, denn man braucht zusätzliche Dissipation Terme. Physik VI V7-Seite 17 Entstehung von Schocks Um diese Störungen zu beschreiben, können wir die folgende Gleichungen verwenden (Navier-Stokes) (Ohm‘sche Gesetz) Das Ohm‘sche Gesetz im Faraday‘schen Gesetz eingesetzt ergibt eine Diffusionsgleichung für die magnetische Feldstärke B. Die magnetische Feldstärke dissipiert mit einer typischen Zeitkonstanten von Die Dicke der Schock oder Übergangsschicht kann direkt aus den Navier-Stokes Gleichungen abgeschätzt werden. In einem inkompressiblen Medium muss in einer Dimension Physik VI V7-Seite 18 Entstehung von Schocks In der gewöhnlichen Beschreibung von MHD Schocks werden Viskositätsterme vernachlässigt und die Dicke wird dann als unendlich dünn angenommen. Wenn die elektrische Leitfähigkeit verantwortlich für die Dicke der Übergangsschicht, muss die Dicke anders geschätzt werden. Die dissipativen Prozesse haben alle eine Skalenlänge. Reynoldszahlen sind dimensionslosen Zahlen, die sich aus den typischen Skalen eines Systems bilden lassen. Es gibt dann drei typische Längen in dissipativen Fall, die die Schockstruktur beeinflussen können, und die werden bestimmt durch: - Viskosität, - das gewöhnliche Reynoldszahl, - das magnetische Reynoldszahl. Die Skalenlänge für die Dispersion ist gegeben durch: - den Debye-Radius, - die Elektroneninertiallänge c/we, - die Ioneninertiallänge c/wi. Physik VI V7-Seite 19 Interplanetare Schocks Physik VI V7-Seite 20 Rankine-Hugoniot Beziehungen Links vom Schock ist die Machzahl grösser als eins, eine Überschallströmung, rechts ist die Machzahl kleiner als eins, eine Unterschallströmung. Beim Übergang müssen verschiedene Grössen erhalten bleiben. Es muss gleich viel Masse in den Schock fliessen, wie aus ihm wegfliesst, also Aus dieser Gleichung können wir die Geschwindigkeit mit der sich der Schock durch das interplanetare Medium bewegt, abschätzen. Für de Entstehung von Schocks und die Beschleunigung von Teilchen spielt die parallele Geschwindigkeitskomponente zum Magnetfeld eine wesentliche Rolle. - Wenn vs|| > vA bildet sich einen Schock. - Wenn vs >vA ist nicht genug, um einen Schock zu bilden. Die Alfvénische Machzahl des Schocks ist definiert als, Es ist, durch diese Definition auch möglich, dass schnelle Schocks eine Machzahl kleiner als eins haben. Um dies zu vermeiden wird die kritische Machzahl definiert, Mc>1 oder <1 Physik VI V7-Seite 21 Rankine-Hugoniot Beziehungen Der Impuls muss erhalten bleiben: Die Energie muss erhalten bleiben: wo g=cp/cv das Verhältnis der spezifischen Wärmen ist, sowie Aus diesen Gleichungen erhalten wir die Rankine-Hugoniot-Gleichungen: Physik VI V7-Seite 22 Schockarten -Fast: Eine schnelle Welle ist kompressiv und das Magnetfeld isn zur Schocknormalen hin abgelenkt, -slow: Die langsame Welle ist kompressiv und das Magnetfeld ist nach Passieren des Schocks von der Schocknormalen weg abgelenkt, -forward: Propagiert relativ zu einem mit dem Sonnenwind vorwärts. -reverse: Gegenteil von „forward“, -critical: Hat eine Geschwindigkeit vs||>Mc, -parallel: parallele Schocknormale zum Magnetfeld, -perpendicular: Schocknormale senkrecht zum Magnetfeld, -quasi parallel: 0≥qBn<45°, -quasi perpendicular 45°≥qBn<90°, -dissipative: Der Schock wird durch Dissipation stabilisiert, - Dispersive: Der Schock wird hauptsächlich durch Dispersion stabilisiert. Physik VI V7-Seite 23 Schockarten Physik VI V7-Seite 24 Teilchenbeschleunigung - Stochastische Beschleunigung: Teilchen werden in der Turbulenz hinter dem Schock beschleunigt. (Fermibeschleunigung ist ein Beispiel) -Diffusive Beschleunigung: Reflexion an Inhomogenitäten im Plasma up- und downstream des Schocks. -Schock-Drift Beschleunigung: Beschleunigung am induzierten E feld. Physik VI V7-Seite 25 Fermibeschleunigung Die hohe Leitfähigkeit des Plasmas gleich elektrische Felder aus. Ein Magnetfeld kann keine Arbeit verrichten und damit lässt sich in einem Magnetfeld keine Energie gewinnen. Wie werden dann Teilchen beschleunigt? In einem magnetischen Spiegel werden die Teilchen reflektiert auf Grund der Erhaltung der magnetischen Invarianten. Die kinetische Energie muss konstant bleiben. Der zweite Term ist gleich mB. Wenn ein sich Teilchen im Homogenen Magnetfeld bewegt B0, und dann in Spiegel einen anderen Magnetfeld spürt B1, gelten So erhalten wir: Physik VI V7-Seite 26 Fermibeschleunigung Die reflektierten Teilchen können nun beschleunigt werden, wenn sich der Spiegel mit Geschwindigkeit U bewegt. Im Koordinatensystem des Spiegels können wir Vierer-vektoren verwenden. Im Ruhesystem des Spiegels ist p2=-p1 und E‘1=E‘2 Nach vergleichen der beiden Matrizen, erhalten wir Physik VI V7-Seite 27 Stochastische Beschleunigung Die durch den Schock generierten Wellen haben Wellenvektoren in alle Richtungen. Teilchen gewinnen oder verlieren Energie, je nachdem, ob sie die Welle einholen oder gegen sie laufen. Wegen der grösseren Wahrscheinlichkeit gegen eine Welle zu laufen, als eine einzuholen, gewinnen die Teilchen netto Energie. Diese Energie wird proportional zur bereits vorhandenen Energie. Die Lösung der differentialen Gleichung lautet: Physik VI V7-Seite 28 Diffusive Beschleunigung Wie bei der stochastischen Beschleunigung gewinnt bei der diffusiven Beschleunigung ein Teilchen bei jedem Durchgang durch die Schockfront ein dp, das propotional zum bereits vorhandenen Impuls ist. In der diffusiven Beschleunigung werden die Teilchen auf beiden Seiten des Schocks gestreut, und können mehrmals passieren und jedesmal ein dp gewinnen. Nach N Durchgängen hat deshalb ein Teilchen den Impuls Während jedes Zyklus besteht eine kleine Wahrscheinlichkeit ei dass das Teilchen downstream vom Schock von der Strömung mitgenommen wird und nie mehr zum Schock zurückkehrt. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen N Zyklen des Prozesses überlebt ist damit Nach mehrere Rechnungen erhalten wir, dass das Spektrum wie in der stochastischen Beschleunigung beschrieben werden kann ; Physik VI V7-Seite 29 Schock-Drift Beschleunigung Bei jedem Übergang durch den Schock spürt das Teilchen ein induziertes elektrisches Feld das durch den Geschwindigkeitsunterschied beidseits des Schocks zustande kommt. Wenn die Felder B und v × B homogen bleiben während manchen Gyroradien des Teilchens wird diese Beschleunigung auch „scatter-free“ genannt. Die Berechnung der Energie ist auch stochastisch und man integriert für viele Teilchen ihre Trajektorien. In den meisten interplanetaren Schocks (quasi-senkrecht Schnell magnetosonich) erfahren die Teilche Driftbewegungen im Schock-System. Ihre Bewegung ist durch zwei Komponenten gegeben: der B -Drift und der B-Krümmungsdrift. In schnellen Schocks ist die BDrift parallel zu qE und die Krümmungsdrift entgegengestzt. Für die meisten Teilchen überwiegt in quasi-senkrechten Schocks der B Driftterm und die Teilchen gewinnen Energie. Die Schockbeschleunigung wird effizienter, wenn der Schock mehrmals passiert werden kann und die Turbulenz im umgebenden Medium spielt wieder eine wichtige Rollewie in der diffusiven Schockbeschleunigung. Physik VI V7-Seite 30 Boltzmann Transportgleichung Der Transport bis an den Beobachtungsort kann aus der Boltzmann hergelietet werden. Die Transportgleichung beschreibt die Entwicklung der Verteilungsfunktion f(x,v,t) Wo Q und V Quell- und Verlustterme sind. Dabei haben einzelnen Terme die folgende Bedeutung. Die linke Seite ist die substantielle Ableitung, also eine Summe von zeitlicher und räumlicher Änderung. Der erste Term auf der rechten Seite ist ein räumlicher Diffusionsterm, der zweite beschreibt die adiabatische Expansion oder Kompression am Schock und der folgende Diffusion im Impulsraum. In etwas Entfernung vom Schock haben die Teilchen schon etwas Energie verloren, weil sie Turbulenz spüren und ihr Spektrum sieht nicht mehr aus, wie ein Potenzgesetz. Die Form wird durch eine Transportgleichung beschrieben, Wo der Index i für upstream und downstream stehen kann. Physik VI V7-Seite 31 Planetare Magnetosphäre Physik VI V7-Seite 32 Planetare Magnetosphäre Der Sonnenwind übt einen Rammdruck auf der Magnetosphäre, 2 pDyn nswmiv sw Der Magnetische Druck der Erde ist, B2 pmag 2 m0 Wenn beide Druckterme verglichen werden, können wir drei Zonen unterscheiden: pmag pDyn Sonnenwind,Schock pmag pDyn Magnetosphäre pmag pDyn Magnetopause In der Magnetosphäre ist das Magnetfeld von der Erde bestimmt (nicht von Sonnewind, d.h. die Parker Spirale ist nicht mehr zu finden). Natürlich wird das Dipolfeld von den Plasmateilchen auch verformt, daher sind die Magnetfeldlinien in der Nacht-Hälfte der Erde länger als in der Tag-Hälfte. Die Magnetopause ist dann die Übergangsregion. Vor der Magnetopause (also, weiter von der Erde entfernt) sind die interplanetare Magnetfeldlinien abgelenkt von dem Erdmagnetfeld bis dem „Bow Schock“ vor dem (noch weiter von der Erde entfernt), das Magnetfeld dies, des Interplanetaren Mediums entspricht. Physik VI V7-Seite 33 Magnetopause Die pdyn Gleichung gilt für die Reflexion der Kommenden Sonnenteilchen. Nicht alle Teilchen werden perfekt gespiegelt, ausserdem, ist das Dipolfeld der Erde nicht perfekt, deswegen brauchen wir einen Effizienz–Koeffizient K. Die Gleichgewichtsdistanz in der Ekliptik ist gegeben durch KBE2 1/ 6 Rmp 2 2 m0 n sw miv sw Wo BE das Erdmagnetfeld auf der Erdoberfläche ist und Rmp die Distanz vom Zentrum der Erde. In beiden Flanken ist gegeben durch Rmpf 2 1/ 6 nsw miv sw 1/ 6 KBE2 Rmp 2 m0 pIMF (1 sw ) pIMF (1 sw ) Wo pIMF=B2IMF/2m0. Der „bow shock“ befindet sich, wie schon erwähnt etwas entfernter von der Erde, nämlich n sw Rbs 11.1 Rmp n bs wobei nbs die Dichte nahe der Schockrampe ist. Physik VI V7-Seite 34 Referenzen • • • • W. Baumjohann, Rudolf A. Treumann, Basic Space Plasma Physics, Imperial College Press http://www.ieap.uni-kiel.de/et/people/wimmer/teaching/Phys_VI/Phys_VI_teil_2.pdf http://www.ieap.uni-kiel.de/et/people/wimmer/teaching/et2/et2.pdf M. Aschwanden, Physics of the Solar Corona An Introduction with Problems and Solutions Springer
