Begegnungen mit Mathematik

Professor Dr. C. Hesse
Institut für Stochastik und Anwendungen
Fakultät Mathematik und Physik
Universität Stuttgart
Übungsblatt 7
Sommersemester 2006
Begegnungen mit Mathematik
Aufgabe 1 Geben Sie eine natürliche Zahl an, welche bei Division durch 6 den Rest 5,
durch 5 den Rest 4, durch 4 den Rest 3, durch 3 den Rest 2 und durch 2 den Rest 1 lässt,
also alle diese Bedingungen erfüllt.
Aufgabe 2 Eine alte Bäuerin geht mit einem Korb Eier zum Markt, wo ein Pferd auf den
Korb tritt und die Eier zerbricht. Der Reiter bietet sofort Entschädigung an und fragt,
wieviele Eier denn in dem Korb gewesen seien. Die Bäuerin erinnert sich nicht mehr an die
Anzahl, sie weiß nur noch:
a) Es war mehr als ein Ei.
b) Wenn man immer zwei Eier zusammen nahm, blieb am Schluss eines übrig.
c) Wenn man immer drei Eier zusammen nahm, blieb am Schluss auch eines übrig.
d) Das Gleiche passierte auch, wenn man vier, fünf oder sechs Eier auf einmal nahm.
Wie viele Eier waren mindestens in dem Korb?
Aufgabe 3 Mit dem Euklidischen Algorithmus kann man den größten gemeinsamen
Teiler zweier natürlicher Zahlen bestimmen, ohne vorher deren Primfaktorzerlegung zu
ermitteln:
Es seien z0 und z1 zwei natürliche Zahlen mit z0 > z1 . Dann dividiert man z0 durch z1 ,
wobei man meist einen Divisionsrest übrig behält, den wir mit z2 bezeichnen, d.h. es gibt
ein (hier nicht interessierendes) Divisionergebnis q0 mit:
z0 = q 0 · z1 + z 2 .
Jetzt dividiert man z1 durch z2 , wobei meist wieder ein Divisionsrest übrig bleibt, den wir
mit z3 bezeichnen, d.h. es gibt ein (hier nicht interessierendes) Divisionergebnis q1 mit:
z1 = q 1 · z2 + z 3 .
Wenn man dieses Verfahren fortsetzt, erhält man schließlich zwei natürliche Zahlen zn−1
und zn , bei denen die Division ohne Rest aufgeht:
zn−1 = qn−1 · zn .
a) Beweisen Sie, dass zn tatsachlich der größte ein gemeinsamer Teiler von z0 und z1 ist.
b) Bestimmen Sie den größten gemeinsame Teiler von 11088 und 364.
Bemerkung: Der Euklidische Algorithmus kann auch auf Polynome oder ganze rationale
Funktionen, d.h. auf Funktionen der Form
f (x) := a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an−1 xn−1 + an xn
angewendet werden, und zwar um die Nullstellen, also Stellen xj mit f (xj ) = 0 zu ermitteln,
bei denen auch die Ableitung verschwindet. Man erhält allerdings dabei nicht sofort die
Nullstellen selbst, sondern ”kleinere” Polynome, von denen dann wieder Nullstellen zu
bestimmen sind.
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Hausübungsaufgabe 7 (4 Punkte):
Das Sieb des Ulam zur Bestimmung der glücklichen Zahlen von 1 bis n funktioniert folgendermaßen:
1. Man schreibe alle Zahlen von 1 bis n auf.
2. Man streiche alle geraden Zahlen aus der Liste und markiere die 1 als glücklich.
3. Man suche die kleinste noch nicht markierte, nicht gestrichene Zahl i, markiere sie
als glücklich und streiche jede i-te Zahl, bei 1 beginnend zu zählen. (Dabei zähle
man die gestrichen Zahlen nicht mit.)
4. Man wiederhole 3. bis entweder alle Zahlen markiert oder gestrichen sind.
Aufgabe:
a) Bestimmen Sie alle glücklichen Zahlen von 1 bis 30.
b) Schreiben Sie jede gerade Zahl unter 31 als Summe zweier glücklicher Zahlen.
Bemerkung: Die Frage, ob sich jede gerade Zahl als Summe zweier glücklicher Zahlen (bzw.
zweier Primzahlen) darstellen lässt, kann bislang nicht beantwortet werden (GoldbachProblem).
Die Bearbeitung dieser Hausübungsaufgabe geben Sie bitte am Dienstag, den
27.06.06, am Beginn der Übungsstunde bei der Übungsgruppenleitung ab.
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