Grundwissen-Mathematik-9.Jahrgangsstufe Geometrie G9 1 • Die

Grundwissen-Mathematik-9.Jahrgangsstufe
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Geometrie
G9
Die zentrische Streckung
Eine zentrische Streckung mit Zentrum Z und Abbildungsfaktor m (m ∈ ℝ\{0}) ist eine
Abbildung, bei der jedem Punkt P der Zeichenebene ein Punkt P’ wie folgt zugeordnet
wird:
1) P ≠ Z :
P’ liegt auf der Geraden PZ mit ZP' = m ⋅ ZP
Für m > 0 liegt Z nicht zwischen P und P’
Für m < 0 liegt Z zwischen P und P’
2) P = Z:
P’ = P = Z (Z ist der einzige Fixpunkt)
Eigenschaften
o Die zentrische Streckung ist geradentreu, kreistreu, winkeltreu, verhältnistreu und
inzidenztreu
o Gerade und Bildgerade sind parallel
o Jede Bildstrecke ist |m|-mal so lang wie die Originalstrecke
o Die Bildfigur hat den m2-fachen Flächeninhalt der Originalfigur
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Der Strahlensatz
Wird eine Geradenkreuzung von einem Parallelenpaar geschnitten, das den Kreuzungspunkt nicht enthält, dann gilt:
Je zwei Abschnitte auf der einen Kreuzungsgeraden verhalten sich wie die entsprechenden
Abschnitte auf der anderen Kreuzungsgeraden.
Die ausgeschnittenen Parallelstrecken verhalten sich wie die Entfernungen entsprechender
Endpunkte vom Kreuzungspunkt.
ZA' ZB' A' B'
ZA ZB
=
=
;
=
ZA ZB
AB
AA' BB'
Beispiele:
B'
A'
A
Z
A
Z
B
B
A'
B'
Folgerung aus dem Strahlensatz
In jedem Dreieck schneiden sich die Seitenhalbierenden in einem Punkt, dem
Schwerpunkt S.
S teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1.
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Grundwissen-Mathematik-9.Jahrgangsstufe
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Geometrie
G9
Innere und äußere Teilung einer Strecke
Innere Teilung von [AB]:
A
Äußere Teilung von [AB]:
A
Ti
B
τ>0
Ta
B
τ<0
Der Punkt Ti ≠ B teilt die Strecke [AB] innen im Verhältnis τ = ATi : Ti B (τ > 0 ) .
Der Punkt Ta ≠ B auf AB (außerhalb [AB]) teilt die Strecke [AB] außen im Verhältnis |τ|
mit τ = − ATa : Ta B.
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Goldener Schnitt
Eine Strecke wird nach dem goldenen Schnitt geteilt, wenn sich die ganze Strecke zum
größeren Abschnitt verhält wie der größere Abschnitt zum kleineren.
a+b a
a
b
=
a
b
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Ähnlichkeitssätze
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie
o in zwei Winkeln übereinstimmen
o im Verhältnis ihrer Seiten übereinstimmen
o im Verhältnis zweier Seiten und dem Zwischenwinkel übereinstimmen
o im Verhältnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen
C
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Die Satzgruppe des Pythagoras
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
Höhensatz:
h2 = p⋅q
Kathetensatz:
a2 = c⋅p bzw. b2 = c⋅q
Satz des Pythagoras:
c2 = a2 + b2
A
b
a
h
p
q
c
B
Folgerungen:
Diagonale d im Quadrat mit der Seitenlänge a: d = a 2
Höhe h im gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a: h =
Entfernung zweier Punkte A(a1 | a2) und B(b1 | b2): AB =
•
a
3
2
(a 2 − a1 )2 + (b 2 − b1 )2
Pyramide
Ist die Grundfläche ein n-Eck, so heißt die Pyramide n-seitig.
Eine Pyramide heißt gerade, wenn die Grundfläche einen Umkreis hat und der
Höhenfußpunkt mit dem Umkreismittelpunkt zusammenfällt.
Volumen der Pyramide:
V=
1
⋅ G ⋅ h (G: Grundfläche, h: Höhe)
3
2