Anleitung - TU Darmstadt

Praktikum Materialwissenschaft III
Metropolis Monte-Carlo Simulation einer binären
Mischung im Ising-Modell
Manuel Diehm ([email protected]), L1|08 (CSI), R212
Péter Ágoston ([email protected]), L1|08 (CSI), R212
Wintersemester 2011
Version vom 21. Okt. 2011
Treffpunkt: L1|02, Computerpool Materialwissenschaft
1
Einleitung
Der einzig stabile Zustand eines Systems ist der Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts. Jeder Nichtgleichgewichtszustand ist bestrebt
ins thermodynamische Gleichgewicht zu gelangen. Der Gleichgewichtszustand wird durch das Minimum eines der thermodynamischen Potentiale1
bestimmt:
Potential
Definition
Randbedingungen
Ensemble
(Innere) Energie
Enthalpie
Freie Energie
Freie Enthalpie
Großkanonisches
Potential
U
H = U + pV
F = U − TS
G = U − T S + pV
Φ = U − T S − µN
S,V ,N = const.
S,p,N = const.
T ,V ,N = const.
T ,p,N = const.
T ,V ,µ = const.
mikrokanonisch
kanonisch
isotherm-isobar
großkanonisch
1
Im Englischen bezeichnet man nach IUPAC Empfehlung die Freie Energie als “Helmholtz Energy” und die Freie Enthalpie als “Gibbs Energy”.
1
Welches Potential das Gleichgewicht bestimmt, entscheiden die Randbedingungen des Systems. Die meisten für die Praxis interessanten Systeme befinden sich in Kontakt mit einem Wärmereservoir (=Entropiereservoir). In
diesen Systemen wird der Gleichgewichtszustand, abhängig von den weiteren Randbedingungen, durch das Minimum der Freien Energie F , der Freien Enthalpie G oder des Großkanonischen Potentials Φ bestimmt. Kennt
man das charakteristische thermodynamische Potential der Phasen eines
Systems als Funktion seiner natürlichen Variablen2 , so lässt sich daraus
das Phasendiagramm des Systems konstruieren. Hier ist dies schematisch
dargestellt am Beispiel einer ordnenden binären Legierung mit der ungeordneten Phase α und der geordneten Phase α0 .
Die Bestimmung der thermodynamischen Potentiale erfordert Kenntnis der
Inneren Energie des Systems (U ) sowie der Entropie (S) bei vorgegebener
Temperatur.
Ein einfaches analytisches Modell zur Berechnung dieser Größen ist das
der regulären Lösung. Die Entropie einer binären Legierung berechnet sich
dabei kombinatorisch über die Anzahl an Möglichkeiten, die Atome auf
einem festen Gitter zu verteilen. Nach Näherung der Fakultäten durch die
mix
Stirling Formel erhält man so für die molare Mischentropie (Sm
):
mix
Sm
= −R [XA ln(XA ) + XB ln(XB )] .
Hierbei bedeuten N die Gesamtzahl der Atome des Systems (in mol), R die
ideale Gaskonstante und XA , XB die Konzentrationen der beiden Komponenten A und B. Die molare Mischenergie ergibt sich unter der Annahme,
das alle Atome zufällig auf dem Gitter verteilt sind zu
mix
Um
= ΩXA XB = Na zXA XB ,
2
Die natürlichen Variablen sind jene, die über die Randbedingungen als konstant vorgegeben werden
2
mit Na der Avogadro Konstanten, z der Zahl der Nächsten Nachbar Bindungen und = AB − 12 (AA + BB ) dem Unterschied der A-B Bindungsenergie zur mittleren Bindungsenergie gleichartiger Atome. Modelle wie die
reguläre Lösung können zwar qualitativ das Verhalten solcher Systemen
beschreiben, sind aber aufgrund der verwendeten Näherungen für quantitative Voraussagen zu ungenau. Das Modell der regulären Lösung ist exakt
für den Fall, dass die Mischenergie des Systems Null beträgt, wird aber mit
zunehmender Mischenergie immer ungenauer. Der Grund liegt darin, dass
das Gitter nun nicht mehr zufällig besetzt ist, sondern die Atome gleichartige oder ungleichartige Nachbarn bevorzugen. Dies führt auch zu Fehlern in der Abschätzung der Mischentropie, da die energetisch günstigen
Konfigurationen nun ein höheres Gewicht haben (sog. Wärmetönung der
Entropie).
Um genauere Voraussagen über die Stabilität von Systemen treffen zu
können, bedient man sich der Computersimulation. Die Innere Energie eines Systems lässt sich dabei über ein geeignetes Modell der interatomaren Wechselwirkung berechnen. Die direkte Berechnung der Entropie ist
hingegen nicht ohne weiteres möglich. Um den Einfluss der Entropie auf
das Gleichgewicht zu berücksichtigen, bedient man sich daher statistischer
Sampling Methoden, welche die möglichen Zustände des Systems mit der
korrekten relativen Wahrscheinlichkeit besuchen und somit die Entropie
implizit berücksichtigen. Eine solche Methode ist der Metropolis MonteCarlo Algorithmus, welcher in diesem Praktikum verwendet wird. Die Berechnung der Energie des Systems erfolgt dabei über das Ising Modell.
Ziel des Praktikums ist die Bestimmung des Gleichgewichtszustandes
einer binären Legierung in Abhängigkeit der Temperatur. Dabei sollen die
Phänomene des Unordnungs-Ordnungs Phasenübergangs sowie der Spinodalen Entmischung untersucht werden.
Lernziele
• Ising Modell
• Metropolis Monte-Carlo
• Ordnungs-Unordnungs Phasenübergang
• Spinodale Entmischung
3
2
2.1
Grundlagen
Ising Modell
Um ein Material atomistisch modellieren zu können, benötigt man ein Modell für die Wechselwirkung zwischen den Atomen. betrachtet auf dem die
atomaren Abstände konstant sind. Hierfür gibt es ein einfaches Modell der
atomaren Wechselwirkung, das Ising Modell. Die Energie Ei eines Atoms i
hängt hier nur von Art und Anzahl der nächsten Nachbaratome ab:
X
Ei =
Jij
j
Hierbei ist Jij ein (empirischer) Wechselwirkungsparameter und der Index
j läuft über alle nächsten Nachbaratome. Der Wert von Jij ist nur abhängig
vom Typ der Atome i und j. Die folgende Abbildung illustriert das Modell
für zwei Komponenten A und B auf einem kubisch primitiven Gitter.
Es gibt drei verschiedene Ising Parameter: JAA , JBB und JAB für die drei
möglichen Arten von Nachbarschaften. Die Energie des zentralen Atoms
wäre in diesem Beispiel E = 3JAA + JAB . Die Ising Parameter entsprechen
den Parametern des Modells der Regulären Lösung.
Um die Innere Energie des gesamten Systems zu berechnen, muss über
alle Atome i summiert werden. Der Faktor 21 resultiert daraus, dass man in
der Summe jede Bindung zweimahl zählt.
U=
1X
1 XX
Ei =
Jij
2 i
2 i j
4
In einer Erweiterung des Modells kann man auch weiter entfernte Nachbarschaften in die Energieberechnung mit einbeziehen,
X (1) X (2) X (3)
Ei =
Jij +
Jik +
Jil + ...,
j
(2)
k
l
(3)
wobei sich Jik , Jil jeweils auf eine weitere Nachbarschaftsschale beziehen, also die übernächsten Nachbarn, die über-übernächsten Nachbarn,
usw. .
2.2
Entropie
Um den Grundzustand des Systems bei nicht verschwindender Temperatur bestimmen zu können, muss neben der Inneren Energie zusätzlich der
Entropieterm −T S bestimmt werden.
Die Entropie für ein Material setzt sich aus verschiedenen Anteilen zusammen:
S = SVibration + SKonfiguration + Smagnetisch + SPolarisation + SRotation + ... .
Grundsätzlich liefert jeder Freiheitsgrad des Systems einen Beitrag zur Entropie, wobei allerdings meist ein Beitrag dominant ist. Für Festkörper liefern
die Vibrationen den dominierenden Beitrag. Im Fall von mischbaren, mehrkomponentigen Systemen kommt der Beitrag der Konfigurationen hinzu.
Da sich die Vibrationsentropien von verschiedenen Materialien (festen Phasen) nur schwach voneinander unterscheiden, bestimmt die Konfigurationsentropie massgeblich das Erscheinungsbild ihrer Phasendiagramme.
Allgemein lässt sich die Entropie (für alle Freiheitsgrade) mit Hilfe der
Boltzmann-Gleichung errechnen
S(N, V, E) = kB ln (W(N, V, E)) ,
wobei man W das statistische Gewicht nennt. Die Logarithmierung führt
man aus mathematischer Zweckmässigkeit durch und die Boltzmann Konstante kB gibt dem Ausdruck die richtige Einheit (J/K).
Die physikalische Essenz steckt in dem Statistischen Gewicht W (auch
Unordnung genannt), welches für ein gegebenes System abgezählt werden muss. W beschreibt die Anzahl an Anordnungen (Konfigurationen),
5
die das System für gegebene Energie E, Volumen V und Teilchenzahl N
einnehmen kann.
Um die Verbindung des Begriffs Unordnung mit der Entropie, also dem
statistischen Gewicht, zu veranschaulichen, kann man z.B. den Aufbewahrungsort von Gegenständen im Haushalt heranziehen. Ein bestimmtes Buch
hat (idealerweise) einen einzigen zugewiesenen Platz (z.B. ganz links im
Regal) und somit ein statistisches Gewicht von W = 1 und S = kB ln(1) = 0.
Es herrscht Ordnung. Auf dem Boden liegend kann es eine Vielzahl von Koordinaten einnehmen sowie in verschiedenen Winkeln bezüglich der Wand
liegen und auf- oder zugeschlagen sein. Das statistische Gewicht ist immens
hoch und die Entropie ist positiv - es herrscht Unordnung!
Ein materialwissenschaftlich relevanter Fall ist eine Legierung mit N
Atomen bei der z.B. N − 1 Atome des Typs A und 1 Atom des Typs B
vertreten sind. Die Anzahl von Konfigurationen einer solchen verdünnten
Legierung ist W = N da sich das B Atom auf allen N Giterplätzen befinden
könnte und sich Energie, Volumen und Teilchenzahl für die verschiedenen Konfigurationen nicht unterscheiden. Eine konsequente Weiterführung
dieser Idee führt unter Anwendung von einigen Näherungen schliesslich zu
Formel der Mischungsentropie für reguläre Lösungen.
In realen Lösungen ist die Betrachtung weit schwieriger und die direkte Berechnung der Entropie wird praktisch unmöglich. In realen Lösungen
wechselwirken die verschiedenen Spezies miteinander, wie es z.B. durch
das Ising Modell beschrieben wird, und die Konfigurationen unterscheiden sich energetisch. In solchen Fällen muss für jede Konfiguration noch
die Energie bestimmt werden, um W(E, V, N ) zu erhalten. Rein statistische
Formeln sind somit nicht mehr anwendbar und das direkte Abzählen ist
aufgrund der enormen Zahl von Konfigurationen selbst mit dem Computer
nicht in angemessener Zeit durchführbar.
Eine elegante Methode die Konfigurationsentropie zu berücksichtigen,
ohne dass sie explizit berechnet werden muss, bietet die Metropolis MonteCarlo Methode.
2.3
Metropolis Monte-Carlo Algorithmus
Der Metropolis Monte-Carlo Algorithmus ermöglicht es, ein System, welches sich in Kontakt zu einem Wärmereservoir befindet, von einem beliebigen Ausgangszustand ins thermodynamische Gleichgewicht zu bringen.
6
Algorithmus.
Der Algorithmus umfasst folgende Schritte:
1. Beginne bei einer zufälligen Konfiguration α. (Hier: Verteile die Komponenten A und B entsprechend ihrer Konzentration zufällig auf dem
Gitter.)
2. Berechne die Energie Uα der Konfiguration α. (Hier: Werte den Ausdruck für die Energie nach dem Ising Modell aus.)
3. Wähle zufällig eine neue Konfiguration β. (Hier: Vertausche auf zwei
zufällig ausgewählten Gitterplätzen die Komponenten A und B.)
4. Berechne die Energie der neuen Konfiguration Uβ .
5. Akzeptiere die Konfiguration β mit Wahrscheinlichkeit P als neue
Konfiguration α, wobei
(
, falls ∆U ≤ 0
1
(1)
P =
−∆U
, falls ∆U > 0
exp kB T
∆U = Uβ − Uα .
(2)
Andernfalls behalte die alte Konfiguration α.
6. Weiter bei 3.
Einen Durchlauf dieser Schleife bezeichnet man als Versuchsschritt. Hat
man soviele Versuchsschritte durchlaufen, wie Atome im System sind, spricht
man von einem Monte-Carlo (MC) Schritt.
Begründung. Warum führt der Algorithmus das System ins thermodynamische Gleichgewicht? Die Antwort liefert die statistische Thermodynamik:
Im Gleichgewicht ist die Wahrscheinlichkeit Pα , dass sich ein kanonisches
System im Zustand α mit der Energie Uα befindet, gegeben durch die Boltzmann Verteilung:
Uα
1
Pα =
exp −
.
(3)
Zk
kB T
Hierbei ist
7
Zk die kanonische Zustandssumme, welche für ein System bei konstantem
Volumen, Teilchenzahl und Temperatur eine Konstante ist,
kB die Boltzmann-Konstante und
T die Temperatur des Systems.
Die relative Wahrscheinlichkeit zweier Zustände α und β ergibt sich aus
Gleichung (3) zu
Pα
∆U
= exp −
,
Pβ
kB T
wobei ∆U die Differenz in den Energien der beiden Zustände α und β
ist. Vergleicht man diese relative Wahrscheinlichkeit der Zustände mit der
Akzeptanzwahrscheinlichkeit aus dem Metropolis Algorithmus (Gleichung
1), so erkennt man, dass der Metropolis Algorithmus eine Kette von Zuständen generiert, deren relative Wahrscheinlichkeiten der Boltzmann Verteilung entsprechen. Der Algorithmus besucht also alle Zustände mit derselben Wahrscheinlichkeit, wie sie im thermodynamischen Gleichgewicht
auftreten. Mittelt man nun über diese Zustände, so erhält man Erwartungswerte für die thermodynamischen Variablen (z.B. U ) im Gleichgewicht. Die
ersten gesampelten Zustände werden dabei verworfen, da es sich bei dem
zufällig gewählten Ausgangszustand um eine sehr unwahrscheinliche Konfiguration handeln kann, der bei der Mittelung eine unangemessen hohe
Bedeutung zukommen würde.
8
3
Das Programm
Das für die Simulation verwendete Programm heißt DLMC. Das Programm
liest die Parameter für die Rechnung aus einer Eingabedatei, welche beim
Programmaufruf als Argument übergeben wird. Ein typischer Programmaufruf sieht also folgendermaßen aus ($ symbolisiert den Eingabeprompt
des Terminals. input.in ist der Name der Eingabedatei. Beachten Sie, dass
in Unix-artigen Systemen zwischen Groß- und Kleinbuchstaben unterschieden wird.):
$ .\DLMC input.in
Aus der Eingabedatei ließt DLMC alle Informationen, die für die Durchführung der Rechnung benötigt werden. Bei Zeilen beginnend mit # handelt es
sich um Kommentare, die vom Programm ignoriert werden. Die wichtigsten
Optionen sind:
COORD Hier wird das Format und der Name der Datei, welche die Strukturinformationen des Gitters enthält, angegeben. Die Strukturinformationen liegen in der Datei pos_sc.dat vor.
SUPER Definiert die Größe der Simulationsbox als Vielfaches der bei COORD
spezifizierten Einheitszelle.
TEMP Gibt das Temperaturprogramm vor. Einheiten sind in Kelvin. Beispiel:
#-----------------------------------------------------# Temperature program
# number of T sequences | T_initial
# delta_T | T_final | initial MC steps | aver. MC steps
#-----------------------------------------------------TEMP
1 2000
-50 300 10 10
Hier haben wir eine Temperatursequenz, die bei 2000 K startet und in
Schritten von 50 K bis 300 K abkühlt. Bei jeder Temperatur werden
10 MC Schritte zur Initialisierung und weitere 10 MC Schritte zur
Mittelung durchgeführt.
9
INTERACTION Gibt die Parameter für das Isingmodell vor. Einheiten sind in
eV. Beispiel:
#-----------------------------------------------------# Interaction
# model | number of shells | distance tolerance
# type I | type II | shell | J
#-----------------------------------------------------INTERACTION
pair 2 0.0001
1 2
1
-0.05
1 2
2
0.00
Hier wird der Ising Parameter J zwischen Atomtyp 1 und 2 für die erste und zweite Nachbarschaftsschale definiert. Die Parameter für nicht
angegeben Kombinationen (hier also z.B. zwischen Atomen gleichen
Typs) sind standardmäßig gleich Null.
OCCUPANCY Hier wird die Konzentration der Komponenten vorgegeben.
DLMC schreibt zwei Ausgabedateien mit den Ergebnissen der Simulation:
movie.xyz Hier wird in regelmäßigen Abständen die Konfiguration des
Systems im xyz Format gespeichert.
ETOT_av.dat Hier wird zu jedem MC Schritt die gemittelte Energie rausgeschrieben.
4
Aufgaben
In diesem Praktikum simulieren Sie ein binäres System aus zwei Komponenten A und B auf einem festen, kubisch primitiven Gitter. Schauen Sie
sich vor jeder Aufgabe die entsprechende Eingabedatei an und machen Sie
sich klar, was simuliert wird (Temperaturprogramm, Ising-Parameter, Zusammensetzung). Im Anhang finden Sie die im Praktikum verwendeten
10
Eingabedateien abgedruckt. Erstellen Sie für jede Teilaufgabe ein eigenes
Verzeichnis und sichern Sie ihre Ergebnisse!
Die Aufgaben 1-5 dienen dem Verständnis des Ablaufs der Monte-Carlo
Simulation sowie des Ising Modells. Die Fragen hierzu sollen während des
Praktikums beantwortet werden. Die Fragen zu Aufgaben 6-9 geben einen
Leitfaden für das Praktikumsprotokoll und sollen in diesem beantwortet
werden.
4.1
Beobachtung der Monte-Carlo Schritte
Eingabedatei: input1.in
1. Starten Sie DLMC mit der Eingabedatei. DLMC durchläuft nun einen
MC Schritt und schreibt die Konfiguration nach jedem Versuchsschritt
in die Datei movie.xyz. Visualisieren Sie die Datei movie.xyz mit
OVITO und beobachten Sie, wie sich die Konfiguration des Systems
mit jedem Versuchsschritt ändert.
F RAGEN :
Was passiert in einem Versuchsschritt? Warum ändert sich in manchen
Versuchsschritten die Konfiguration nicht?
2. Senken Sie nun die Temperatur in der Eingabedatei auf 0.1 K und
starten Sie die Simulation erneut.
F RAGEN :
Was beobachten Sie? Erklärung?
4.2
Bedeutung der Ising Parameter
Eingabedatei: input2.in
3. Führen Sie DLMC aus und betrachten Sie die bei 0 K resultierende
Gleichgewichtskonfiguration.
F RAGEN :
Wie lässt sich die Gleichgewichtskonfiguration anhand der verwendeten
Ising Parameter erklären?
11
4. Ändern Sie das Vorzeichen des Ising Parameters für die erste Nachbarschaftsschale und starten Sie die Simulation erneut.
F RAGEN :
Was erwarten Sie nun in Bezug auf die Gleichgewichtskonfiguration?
5. Probieren Sie verschiedene Kombinationen des Ising Parameters für
die erste und zweite Nachbarschaftsschale aus und betrachten Sie die
resultierenden Konfigurationen bei 0 K.
F RAGEN :
Welche Gleichgewichtsstrukturen erhalten Sie? Wie können Sie diese erklären?
4.3
Unordnungs - Ordnungs Phasenübergang
Eingabedatei: input3.in
6. In der Datei ETOT_av.dat wird zu jeder Temperatur T die innere
Energie U des Systems (sowie die Akzeptanzrate) gespeichert. Betrachten Sie die Simulation mit einem Ising Parameter von -0.05 für
die erste Nachbarschaft.
F RAGEN :
Bei welcher Temperatur findet die Umwandlung von der ungeordneten
in die geordnete Phase statt? Berechnen Sie dazu numerisch die Ableitung (∂U/∂T )V = cV (z.B. nach der Methode der finiten Differenzen)
und tragen Sie die Wärmekapazität cV über T auf. Welcher Ordnung ist
der Phasenübergang?
7. Halbieren Sie nun den Wert des Ising Parameters auf -0.025 und führen Sie die Simulation erneut durch.
F RAGEN :
Was erwarten Sie in Bezug auf die Temperatur der Phasenumwandlung?
Wie verändert sie sich? Erklären Sie die Veränderung anhand des Modells der Regulären Lösung! Berechnen Sie dazu die Temperatur der Phasenumwandlung nach dem Modell der Regulären Lösung. (Nehmen Sie
an, dass Smix der geordneten Phase Null ist und das dass z in der ungeordneten Phase effektiv nur halb so groß ist. Begründen Sie diese Annahmen!).
12
4.4
Spinodale Entmischung und Keimbildung
Eingabedatei: input4.in
8. Betrachten Sie die zeitliche Entwicklung der unterkühlten Phase bei
einer konstanten Temperatur von 820 K. Sichern Sie das Ergebnis!
Senken Sie anschließend die Temperatur auf 600 K und starten Sie
die Simulation erneut.
F RAGEN :
Um welchen Mechanismus der Entmischung handelt es sich jeweils? Welches Kriterium bestimmt die Art des Mechanismus?
9. Überlegen Sie, wie man die kritische Temperatur für die spinodale
Entmischung bestimmen kann und führen Sie eine entsprechende Simulation durch!
F RAGEN :
Wie vergleicht sich die mittels Simulation ermittelte kritische Temperatur mit der kritischen Temperatur aus dem Model der regulären Lösung?
Geben Sie einen Grund für evtl. Unterschiede an! Skizzieren Sie grob
ein Temperatur-Zusammensetzungs Phasendiagramm des Systems wie
es sich aus der Simulation ergibt (nutzen Sie auch ihre Erkenntnisse
aus der vorherigen Aufgabe!). Tragen Sie die Punkte ein, an denen die
beiden Simulationen aus der vorherigen Aufgabe durchgeführt wurden!
Berechnen und plotten Sie das Phasendiagramm für dieses System nach
dem Model der regulären Lösung und vergleichen Sie es mit dem aus der
Simulation! Erklären Sie die Unterschiede!
5
Voraussetzungen (Theorie)
Folgende Fragen müssen Sie zu Begin des Praktikums beantworten können.
Das nötige Wissen dazu finden Sie entweder in dieser Anleitung oder in den
Grundlagenvorlesungen. Konsultieren Sie bei offenen Fragen entsprechende Literatur (Vorschläge finden Sie am Ende dieser Anleitung) oder wenden
Sie sich rechtzeitig vor dem Praktikum an den Praktikumsbetreuer.
13
Thermodynamik
1. Viele häufig verwendete Materialien sind unter Normalbedingungen
thermodynamisch nicht stabil. Allerdings ist die Umwandlung in den
Gleichgewichtszustand so langsam, dass über die typische Verwendungsdauer des Materials der Zustand erhalten bleibt (dies nennt
man metastabil). Nennen Sie mindestens zwei Beispiele für solche Materialien und geben Sie jeweils den Zustand des thermodynamischen
Gleichgewichts an.
2. Das Minimum der Freien Energie bestimmt das Gleichgewicht von
Systemen, welche konstantes Volumen und konstante Teilchenzahl
haben und sich in Kontakt mit einem Wärmereservoir befinden. Geben
Sie mindestens ein Beispiel aus dem (Labor) Alltag für ein solches System
an.
3. Wann verwendet man die Freie Enthalpie statt der Freien Energie um die
Stabilität eines Systems zu beurteilen? Geben Sie ein Beispiel aus dem
(Labor) Alltag an!
4. Phasenübergänge werden üblicherweise nach ihrer Ordnung klassifiziert. Wie definieren sich Phasenübergänge 1. und 2. Ordnung nach
Ehrenfest? Tragen Sie für Phasenübergänge 1. Ordnung schematisch F
und U über T auf und kennzeichnen Sie die latente Wärme. Tragen Sie
für Phasenübergänge 2. Ordnung schematisch U und CV über T auf.
Kristallographie
1. Betrachten Sie ein kubisch primitives Gitter mit Gitterkonstante a.
Wieviele nächste Nachbarn hat ein Gitterpunkt? Wieviele übernächste
Nachbarn hat ein Gitterpunkt? In welchem Abstand befinden sich nächste und übernächste Nachbarn?
2. Wie muss man die Teilchen zweier Komponenten A und B auf einem
einfach kubischen Gitter verteilen um die Kochsalzstruktur zu erhalten?
14
Ising Modell
1. Im Praktikum sind die Ising Parameter für die Wechselwirkung zwischen gleichartigen Atomen, JAA und JBB , gleich Null. Welche Innere
Energie hat ein System der reinen Komponente A (bzw. der reinen Komponente B) in diesem Fall?
2. Welche Bedeutung hat das Vorzeichen des Ising Parameters JAB in Bezug auf die Wechselwirkung zwischen den beiden Komponenten A und
B? Wann erwarten Sie ein mischendes und wann ein entmischendes Verhalten?
3. Beim Ising Modell hängt die Energie der atomaren Wechselwirkung
nicht vom Abstand der Atome ab. Zeigen Sie, dass in diesem Modell der
Druck p immer Null ist und somit gilt: U = H und F = G. (Hinweis:
p = (∂U/∂V )S,N ).
Reguläre Lösungen / Spinodale Entmischung
1. Geben Sie die Formeln für die Misch-Energie Umix und die Misch-Entropie
Smix einer regulären Lösung aus zwei Komponenten A und B in Abhängigkeit von deren Konzentrationen XA und XB an!
2. Skizzieren Sie ein einfaches Phasendiagramm jeweils für ein System mit
Mischungslücke und ein ordnendes System.
3. Skizzieren Sie den Verlauf von Fmix für eine Temperatur T < Tcrit für
die oben skizzierten Phasendiagramme und konstruieren Sie (wo zutreffend) graphisch die Orte von geordneter Phase, Zweiphasengebiet,
Spinodale und Binodale.
4. Berechnen und plotten Sie den Verlauf der Spinodalen und der Binodalen eines binären, entmischenden Systems auf einem kubisch primitiven
Gitter nach dem Model der regulären Lösung. Nehmen Sie für die Energie der Atombindung AB einen Wert von 0.05 eV an und setzen Sie die
Energie der Bindung gleichartiger Atome Null.
15
6
Voraussetzungen (Praxis)
Die Kenntnis der hier aufgeführten Dinge ist Voraussetzung für die Teilnahme am Praktikum. Für die Einarbeitung können z.B. die PCs des Computerpools Materialwissenschaft genutzt werden.
6.1
Linux (Unix) Terminal
Die Klammerung “<>” bezeichnet ein notwendiges Programmargument.
Beachten Sie, dass in Unix-artigen Systemen zwischen Groß- und Kleinschreibung unterschieden wird.
• Kopieren von Dateien: cp <quelle(n)> <ziel>
• Kopieren von Verzeichnissen: cp -r <quelle(n)> <ziel>
• Erstellen von Verzeichnissen: mkdir <verzeichnisname>
• Wechsel in ein Verzeichnis: cd <verzeichnisname>
In das übergeordnete Verzeichnis wechseln: cd ..
• Inhalt des aktuellen Verzeichnis anzeigen: ls
• Datei mit einem Editor öffnen (am Beispiel von gedit): gedit <datei>
6.2
Visualisierungssoftware OVITO
Zur Anzeigen der Simulationsergebnisse wird die Visualisierungssoftware
OVITO verwendet. OVITO verfügt über eine graphische Benutzeroberfläche
und ist auch für MicrosoftTM Windows als binär Version frei verfügbar.
Download-Link: http://www.ovito.org/index.php?option=com_content&view=
article&id=5&Itemid=7
Machen Sie sich mit der Benutzung von OVITO vertraut. Unter folgendem Link finden Sie eine Datei, die mit OVITO angezeigt werden kann.
Download-Link: http://www.mm.mw.tu-darmstadt.de/~mdiehm/praktikum/
nanotube_movie.xyz
16
Dargestellt ist der Beschuss einer Kohlenstoff-Nanoröhre mit einem Argon
Atom. Das Format ist xyz. Die Spaltenzuordnung ist AtomType, PosX, PosY, PosZ. Stellen Sie sicher, dass beim Importieren die Option “Load file
containing a sequence of snapshots” ausgewählt ist.
7
Leitfaden für das Protokoll
Orientieren Sie sich für das Protokoll am Standard für wissenschaftfliche
Veröffentlichungen (engl. Paper). Eine solche Veröffentlichung ist typischerweise folgendermaßen gegliedert:
Einleitung (Introduction). Was ist das Thema der Veröffentlichung? Was
ist die Motivation für die Untersuchung des Themas? Warum ist es relevant? Was ist der Kontext zu bereits erschienenen Veröffentlichungen?
Theorie und Methodik (Theory and Methods). Wie wurde das Thema untersucht? Welche Methoden fanden Verwendung? Welche theoretischen Modelle liegen zugrunde?
Ergebnisse und Diskussion (Results and Discussion). Zu welchen Ergebnisse führte die Untersuchung (Rechnungen und/oder Messungen)?
Wie lassen sich die Ergebnisse erklären und mit etablierten oder neu
entwickelten Modellen vergleichen? Wie vergleichen sich die eigenen
Ergebnisse mit den Ergenissen Anderer? Wie können evtl. Unterschiede erklärt werden?
Schlussfolgerung (Conclusion). Welche Erkenntnisse folgen aus den Ergebnissen? Was bedeutet dies für die weitere Forschung zu dem Thema? Welche Fragen konnten geklärt werden und welche neuen Fragen haben sich aufgetan?
17
8
Literatur
Kristallographie: De Graef, M., McHenry, M. E., Structure of Materials,
Cambridge University Press, 2007
Thermodynamik: Callen, H. B., Thermodynamics and an Introduction to
Thermostatistics, John Wiley & Sons, 1985
Reguläre Lösung/Phasendiagramme: Porter, D. A. and Easterling, K. E.,
Phase Transformations in Metals and Alloys (2nd Ed.), Taylor & Francis,
1992
18
Anhang
A
input1.in
#------------------------------------------------------------# expansion of the cell given in the coordinate file
#------------------------------------------------------------SUPER
4 4 4
#------------------------------------------------------------# Temperature program
# number of T sequences | T_initial
# delta_T | T_final | annealing MC steps | averaging MC steps
#------------------------------------------------------------TEMP
1 2000
-50 2000 0 1
#------------------------------------------------------------# Interaction
# model | number of shells | distance tolerance
# type I | type II | shell | J
#------------------------------------------------------------INTERACTION
pair 2 0.0001
1 2
1
-0.05
1 2
2
0.00
#------------------------------------------------------------# occupancy of the lattice
# number of types | concentration unit | type of distribution
# concentration | occupying sublattice
#------------------------------------------------------------OCCUPANCY
2 rel rnd
0.5 1
0.5 1
19
B
input2.in
#------------------------------------------------------------# expansion of the cell given in the coordinate file
#------------------------------------------------------------SUPER
12 12 12
#------------------------------------------------------------# Temperature program
# number of T sequences | T_initial
# delta_T | T_final | annealing MC steps | averaging MC steps
#------------------------------------------------------------TEMP
1 2000
-50 0 50 50
#------------------------------------------------------------# Interaction
# model | number of shells | distance tolerance
# type I | type II | shell | J
#------------------------------------------------------------INTERACTION
pair 2 0.0001
1 2
1 -0.05
1 2
2
0.025
#------------------------------------------------------------# occupancy of the lattice
# number of types | concentration unit | type of distribution
# concentration | occupying sublattice
#------------------------------------------------------------OCCUPANCY
2 rel rnd
0.50 1
0.50 1
20
C
input3.in
#------------------------------------------------------------# expansion of the cell given in the coordinate file
#------------------------------------------------------------SUPER
24 24 24
#------------------------------------------------------------# Temperature program
# number of T sequences | T_initial
# delta_T | T_final | annealing MC steps | averaging MC steps
#------------------------------------------------------------TEMP
1 2000
-50 0 50 200
#------------------------------------------------------------# Interaction
# model | number of shells | distance tolerance
# type I | type II | shell | J
#------------------------------------------------------------INTERACTION
pair 2 0.0001
1 2
1 -0.05
1 2
2
0.00
#------------------------------------------------------------# occupancy of the lattice
# number of types | concentration unit | type of distribution
# concentration | occupying sublattice
#------------------------------------------------------------OCCUPANCY
2 rel rnd
0.50 1
0.50 1
21
D
input4.in
#------------------------------------------------------------# expansion of the cell given in the coordinate file
#------------------------------------------------------------SUPER
40 40 40
#------------------------------------------------------------# Temperature program
# number of T sequences | T_initial
# delta_T | T_final | annealing MC steps | averaging MC steps
#------------------------------------------------------------TEMP
1 820
-0.05 819 1 1
#------------------------------------------------------------# Interaction
# model | number of shells | distance tolerance
# type I | type II | shell | J
#------------------------------------------------------------INTERACTION
pair 2 0.0001
1 2
1
0.05
1 2
2
0.00
#------------------------------------------------------------# occupancy of the lattice
# number of types | concentration unit | type of distribution
# concentration | occupying sublattice
#------------------------------------------------------------OCCUPANCY
2 rel rnd
0.05 1
0.95 1
22