Blatt XII P¨U

Analysis I
WS 2016/2017
Vorlesung: PD Dr. O. Kutovyi
Übungen: PD Dr. O. Kutovyi
Blatt XII PÜ
Keine Abgabe
Aufgabe 54 Für alle a > 0 und x ∈ R setzen wir ax := exp (x ln a) .
(a) Beweisen Sie die Identität (ax )y = axy für alle x, y ∈ R.
(b) Sei a 6= 1. Beweisen Sie, dass die Funktion f (x) = ax mit dem Definitionsbereich R die Umkehrfunktion mit dem Definitionsbereich (0, +∞) hat.
Diese Umkehrfunktion ist mit loga x bezeichnet und heißt der Logarithmus
zur Basis a.
ln x
ln a
(c) Beweisen Sie, dass loga x =
für alle x > 0.
(d) Beweisen Sie, dass für alle x, y > 0,
loga (xy) = loga x + loga y.
Aufgabe 55 (a) Beweisen Sie, dass die Hyperbelfunktionen sinh x und cosh x
stetig auf R sind.
(b) Beweisen Sie, dass sinh x und cosh x streng monotone steigend auf R bzw
[0, +∞) sind.
(c) Beweisen Sie, dass die Umkehrfunktionen sinh−1 und cosh−1 existiert und
bestimmen Sie ihre Definitionsbereiche.
Aufgabe 56 Die trigonometrischen Funktionen sin x und cos x werden für alle
x ∈ C wir folgt definiert
sin x =
eix − e−ix
eix + e−ix
and cos x =
.
2i
2
(a) Beweisen Sie die Identitäten
cos2 x + sin2 x = 1
cos (x + y) = cos x cos y − sin x sin y
sin (x + y) = sin x cos y + cos sin y
(b) Beweisen Sie, dass für alle x ∈ C
∞
X
x2k+1
(−1)
sin x =
(2k + 1)!
k=0
k
und cos x =
∞
X
k=0
(−1)k
x2k
.
(2k)!
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(c) Beweisen Sie, dass für alle z = x + iy ∈ C
exp (z) = ex (cos y + i sin y) .
(d) Beweisen Sie, dass für jede Folge {zn }∞
n=1 von komplexen Zahlen
zn → z ⇒ exp (zn ) → exp (z) .
Schließen Sie daraus, dass die Funktionen sin x und cos x stetig auf R sind.
Aufgabe 57 Beweisen Sie:
sin x
=1
(a) lim
x→0 x
1 − cos x
=
x→0
x2
(b) lim
1
2
Aufgabe 58 Leiten Sie die folgenden Funktionen ab:
p
√
sin x + cos x
(ii)
2x2 + x2 + 1
(i)
sin x − cos x
Aufgabe 59 (a) Beweisen Sie die folgende Identität für jede positive differenzierbare Funktion f :
f′
(ln f )′ = .
f
Bemerkung. Die Funktion (ln f )′ heißt die logarithmische Ableitung von f . Sie
kann benutzt werden, um die Ableitung f ′ zu bestimmen wie folgt: f ′ = (ln f )′ f .
(b) Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen mit Hilfe von
logarithmischer Ableitung:
x3 exp (x)
(i)
(ii) (sin x)cos x
cos x
Aufgabe 60 Beweisen Sie die folgenden Eigenschaften der Funktion sin x.
(a) Die Funktion sin x ist streng monoton steigend auf dem Intervall [−π/2, π/2] .
(b) Das Bild von sin x auf [−π/2, π/2] ist [−1, 1].
(c) Beschließen Sie, dass die Umkehrfunktion von sin x existiert auf dem Interval [−1, 1]. Diese Funktion wird mit arcsin bezeichnet.
(d) Bestimmen Sie die Ableitung von arcsin.
Aufgabe 61 Beweisen Sie, dass cos x > 0 für alle x ∈ [0, 32 ]. Schließen Sie
daraus, dass π > 3.
Aufgabe 62 Bestimmen Sie die Maximum- und Minimumstellen der Funktion x2 exp (−x)
auf [1, 3] .
Aufgabe 63 Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen:
(a) tan x ≥ x für alle x ∈ [0, π2 )
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