1.3 Der Elektrische Stromkreis - antriebstechnik.fh
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Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 3. Der elektrische Stromkreis 3.1 Beschreibungen in der Elektrotechnik Die Elektrotechnik ist in den 70er und 80er Jahren des 19. Jahrhunderts als Ableger der Physik entstanden. Sie hat im Laufe der Zeit ein eigenes System von Normen und Standards zur Beschreibung von Bauelementen, Schaltungen und Systemen entwickelt. Eine Schaltung wird elementar als eine Kombination von idealisierten Basiselementen beschrieben. Dies sind: − − − − − Quellen für Spannungen und Ströme Widerstände Induktivitäten Kapazitäten Schalter Diese Basiselemente haben alle zwei Anschlußpole, man nennt sie deshalb auch "Zweipole". Im speziellen Fall können noch weitere Basiselemente wie ideale Übertrager (Transformatoren) und Leitungen hinzukommen. Die Verbindungen im Schaltbild zwischen diesen Elementen sind als idealisierte Verbindungsleitungen anzusehen, die weder einen Widerstand noch eine Kapazität oder Induktivität aufweisen. Dagegen haben im realen Stromkreis die Verbindungsleitungen durchaus parasitäre Eigenschaften wie Widerstand, Kapazität oder Induktivität, meistens sogar alle in Kombination. Für die Beschreibung einer realen Schaltung muß man diese parasitären Eigenschaften mit berücksichtigen. C2 1 R1 2 R3 U0 C1 L1 R2 C3 Iout 2' 1' Eingang Ausgang Abb. 3.1: Schaltbild eines einfachen Transistorverstärkers mit elementaren Zweipolen Die Beispielschaltung in Abb. 3.1 enthält als sogenannte elementare Zweipole Widerstände je eine Spannungs- und Stromquelle, Widerstände (R), Kapazitäten (C) und eine Induktivität (L). Die wichtigsten elementaren Zweipole sind in Abb. 3.2 zusammengestellt. 1 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 Spannungsquelle Stromquelle Widerstand U0 R I0 Induktivität Kapazität C Verbindung Schalter L Kreuzung (ohne leitende Verb) Verbindung (Knoten) Abb. 3.2: Elementare Zweipole In der Praxis versucht man oft, zum Zweck der besseren Berechenbarkeit einer komplexen Schaltung diese auf ein solches elementares Schaltbild zurückzuführen. Dazu existieren für komplexere Elemente, zum Beispiel für Transistoren, sogenannte Ersatzschaltungen aus elementaren Zweipolen. Die hier für den einfachsten Fall vorgestellten Elementarzweipole haben zunächst mal konstante Werte von Strom und Spannung. Hier sei nur der Vollständigkeit halber erwähnt, daß insbesondere in realen Schaltungen der Halbleitertechnik sowohl Kapazitäten als auch Widerstände fast immer von der anliegende Spannung abhängige Werte haben. Schaltungen, bei denen R, L und C als konstant angenommen sind, werden als lineare Schaltungen bezeichnet. Sind dagegen Bauelemente mit spannungs- oder frequenzabhängigen Werten von R, C, L vorhanden, so wird die Schaltung als nicht-linear bezeichnet. Nicht lineare Schaltungen erfordern für die Berechnung z. B. von Spannungen und Strömen einen viel höheren Rechenaufwand als lineare, oft sind nur numerische Näherungsverfahren möglich. Reale Schaltungen, z. B. Verstärkern, haben in der Regel ein Paar von Eingangsklemmen und ein Paar von Ausgangsklemmen. Man nennt sie dann auch Vierpole oder, wenn man ein Paar von Klemmen als ein Tor ansieht, als Zweitore. In der Digitaltechnik kommen natürlich auch Schaltungen mit vielen Ein- und Ausgangsklemmen vor, die man entsprechend als Vieltore bezeichnen würde. Im Schaltbild gibt es eine Besonderheit zu beachten. Wenn zwei Leiterbahnen sich kreuzen, so kann der Kreuzungspunkt leitend oder nicht leitend ausgeführt sein. Hier unterscheiden sich die deutsche und die amerikanische Darstellung. Bei einer nicht leitenden Kreuzung ist in der amerikanischen Darstellung ein zusätzlicher Bogen einer Leitung angedeutet (entsprechend Abb. 3.2). In der deutschen Darstellung ist die Verbindung nur dann leitend, wenn ein sie an der Kreuzung zusätzlich einen schwarzen Punkt besitzt. 2 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 In realen Schaltplänen kommen natürlich noch weitere Bauelemente vor. Für den Entwurf komplexer digitaler und analoger Schaltungen hat man eine Reihe sogenannter "Abstraktions-ebenen" geschaffen, wobei bei den "höheren" Ebenen die einzelnen Komponenten immer komplexer werden. In der Reihenfolge zunehmender Komplexität findet man als Schaltungs-elemente − − − − Transistoren logische Gatterbausteine / integrierte Verstärkerbausteine digitale Funktionsgruppen (Addierer, Multiplexer, Komparatoren, Register) komplexe digitale Baugruppen (Prozessorkern, Speicher, Busse). In realen Schaltungen gibt es oft zur Rückleitung der Ströme zum Generator für viele Schaltelemente einen gemeinsamen großen Knoten. Dieser wird als "Masse" oder "Erde" bezeichnet. In der Digitaltechnik kann das z. B. die durchgehend metallisierte Rückseite einer Platine sein. Bei integrierten Schaltkreisen ist es der Anschluß für das Grundsubstrat. 1 R1 2 R3 U0 C1 L1 R2 C3 Iout 2' 1' Eingang Ausgang Abb. 3.3: Schaltung von 3.1 mit gemeinsamem Masseanschluß der Bauelemente In Abb. 3.3 haben die meisten Bauelemente einen einseitigen Anschluß an den gemeinsamen Massepol. Nur C2 und R1 sind "schwebende" Bauelemente. Hier sei angemerkt, daß solche schwebenden Zweipole in integrierter Schaltungstechnik kaum zu realisieren sind. In der digitalen Schaltungstechnik spielt das zur Stromversorgung der einzelnen Komponenten benötigte Netzwerk in erster Näherung für die Funktion der Schaltung keine Rolle. Es wird deshalb oft nicht dargestellt, sondern man beschränkt sich auf die Signalleitungen. 3.2 Gesetze des elektrischen Stromkreises Wir betrachten nochmals den in Abb. 2.3 vorgestellten einfachen Stromkreis. Ri Ri I Ua U0 Quelle Ui Ra Uq Verbraucher Abb. 3.4: Gleichstromkreis mit Innenwiderstand der Quelle Die Quellenspannung U0 treibt einen Strom I durch die Widerstände Ri und Ra. 3 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 An diesen Widerständen erfolgt jeweils ein Spannungsabfall Ui bzw. Ua. Insgesamt gilt die sogenannte "Maschenregel" nach Kirchhoff: Bei einem vollständigen Umlauf im geschlossenen Stromkreis wird die Summe der Spannungen und Spannungsabfälle zu null. Die Pfeilrichtungen zeigen, daß U0 als "Generatorspannung" anders herum als die Spannungsabfälle Ui und Ua gezählt wird. Strom und Spannung werden jeweils positiv gezählt, wenn sie vom positiveren zum negativeren Pol weisen. Man kann deshalb schreiben: U0 - Ui - Ua = 0 (Kirchhoffsche Maschenregel) Der Wert der Spannungsabfalls ist am Widerstand ist über das Ohmsche Gesetz mit dem Strom durch den Widerstand verknüpft: Ua = Ra * I, Ui = Ri * I Für den Stromkreis insgesamt gilt bezüglich des Stromes: I = U0 / (Ri + Ra) Widerstände, die in Reihe geschaltet sind, addieren sich bezüglich der Spannung, die den gemeinsamen Strom treibt. Die Stellen im Stromkreis, an denen zwei oder mehrere Bauelemente (z. B. Widerstände, Quellen) miteinander verbunden sind, heißen Knoten. n1 Ri Ri I I2 Ua U0 Ui Ra1 Uq Ra2 I1 Quelle Verbraucher Abb. 3. 5: Stromkreis mit parallelen Widerständen Praktisch wird man Knoten nur dann explizit behandeln, wenn sie drei oder mehr Bauelemente verbinden, so wie der Knoten n1 in Abb. 3.5. Auch für Knoten hat der deutsche Physiker Kirchhoff schon im letzten Jahrhundert eine spezielle Regel gefunden. In unserem Beispiel teilt sich der Strom I im Knoten n1 auf in den Strom I1 und den Strom I2. Nach Kirchhoff gilt für jeden Knoten, daß die Summe der herein- bzw. herausfließenden Ströme stets null sein muß. Generell wird man einen Strom, der in einen Knoten hineinfließt, als positiv ansetzen, dagegen wird ein aus dem Knoten herausfließender Strom ein negatives Vorzeichen erhalten. Nach Kirchhoff wird also in unserem Fall gelten: I - Ia1 - Ia2 = 0 (Knotenregel) In diesem Fall sind jetzt die beiden Widerstände Ra1 und Ra2 parallelgeschaltet. 4 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 Sie haben den gleichen Spannungsabfall, aber entsprechend ihren Werten unterschiedliche Ströme Ia1 und Ia2. Mittels des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln könnte man jetzt ableiten, daß für den aus Ra1 und Ra2 gebildeten Gesamtwiderstand gilt: 1 / Ra = 1 / (Ra1 + Ra2) oder: Ra = Ra1 * Ra2 / (Ra1 + Ra2) 3.3 Energie, Arbeit, Leistung Wie wir aus der Praxis wissen, hat der elektrische Strom die Fähigkeit, Energie zu transportieren. Energie kann man als die Fähigkeit definieren, Arbeit zu verrichten. Elektrische Energie kommt in der Natur nicht "frei" vor, wie z. B. die mechanische potentielle Energie, die in einem Bergsee enthalten ist oder die chemische Energie in Kohle und Erdöl. Selbst der Blitz bezieht seine Energie über die potentielle Energie des in Wolken enthaltenen Wasserdampfes indirekt aus dem Sonnenlicht. Man kann elektrische Energie gewinnen aus: − − − − chemischer Energie wie in Batterie, Akkumulator und Brennstoffzelle aus mechanischer Energie wie im Dynamo oder Generator aus optischer Strahlung wie in der Solarzelle aus thermischer Energie wie im Thermoelement Wenn man genau hinsieht, so wird elektrische Energie in großem Maßstab nur aus chemischer Energie (Kohle, Öl) und nuklearer Energie (Kernkraft) gewonnen, wobei die Umwandlung aber über thermische Energie (Kessel, Reaktor) und mechanische Energie (Turbine, Motor, Generator) erfolgt. Verbraucher setzen elektrische Energie in andere Energieformen um: − − − − der Widerstand in Wärmeenergie der Elektromotor in mechanische Energie der Akkumulator in chemische Energie die Leuchtdiode in Strahlungsenergie. Insgesamt wird Energie nicht erzeugt und verbraucht, sondern immer nur von einer Form in die andere umgewandelt. (Genau das sagt der 1. Hauptsatz der Wärmelehre, das vielleicht fundamentalste Gesetz der Physik). Nur kann man Energie, die in Wärmeenergie umgewandelt ist, nicht beliebig in andere Energieformen zurückverwandeln. Ganz ohne Energie kann man übrigens auch keine Informationsverarbeitung betreiben, damit ist das Traumprojekt "Stromversorgung des PCs durch Software emulieren" von vorn herein zum Scheitern verurteilt. Energie und Arbeit wird allgemein in Joule gemessen. Die Definition: 1 Joule = 1 Newton * 1 m = 1 Watt-Sekunde (Ws) 5 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 verknüpft elektrische und mechanische Größen. Es ist nämlich auch: 1 Watt-Sekunde = die Einheit der elektrischen Arbeit = 1 A * 1 V * 1s (Ein Newton ist ein m * kg / s2) Aufpassen: Das Formelzeichen für Energie ist im Deutschen oft E, im Englischen aber W (work). Nicht mit Watt zu verwechseln ! Die Einheit der elektrischen Energie und der elektrischen Arbeit ist also die Watt-Sekunde oder, im täglichen Gebrauch viel verbreiteter, die Kilowattstunde (abgekürzt kWh) Eine Wattsekunde ist die elektrische Arbeit, die ein Strom von einem Ampere bei einer Spannung von einem Volt in einer Sekunde transportiert. Anders herum: Es ist auch die Energie, die ein Strom von einem Ampere in einer Sekunde in einem Widerstand von einem Ohm in Wärme umsetzt. Das Elektrizitätswerk liefert uns mit einer Kilowattstunde die Energie, mit der man einen Widerstand von 1000 Ohm eine Stunde lang mit einem Strom von 1 A glühen könnte. Die Leistung ist allgemein die Arbeit pro Zeiteinheit. Sie errechnet sich aus dem Quotienten Energie pro Zeiteinheit: P=E/t und hat die Einheit Watt. Ein Watt ist gleichzeitig definiert als 1 V * 1 A. Die Leistung ist eine "modernistische" Größe, insbesondere dann, wenn sie nicht in Watt oder kW sondern in PS gemessen wird. Sie gibt zum Beispiel die Energiemenge an, die ein Motor pro Sekunde aus chemischer Energie (Benzin) oder elektrischer Energie in Bewegungsenergie umsetzt. Dabei ist 1 PS = 735,5 W. Leistungen in der Größe von einigen Watt sind typisch für Endgeräte der Nachrichtentechnik und für kleine Motoren. Die Leistungen von Anlagen der Energietechnik rechnen in vielen Kilowatt und Megawatt. So liegt die maximale Leistung großer elektrischer Lokomotiven bei ca. 5 bis 10 Megawatt (MW). Die Leistungen der Maschinensätze in Kraftwerken liegen bei 500 bis ca. 1200 MW. Die Nachrichtentechnik kommt dagegen mit viel kleineren Leistungen. Rundfunksender erreichen Leistungen bis zu einigen Megawatt, nur bei weitreichenden Radargeräten sind Kurzzeitleistungen bis zu ca. 100 MW (Pulsbetrieb) notwendig. In der Nachrichtentechnik (Fernsehgerät, Computer) haben die Endgeräte typischerweise einen Leistungsverbrauch im Bereich von einigen Watt bis zu ca. 200 Watt. Interessant ist die Frage, wie viel Energie man für die eigentliche Nachrichtenverarbeitung und Übermittlung benötigt. Prinzipiell kann man Nachrichten durch Folgen einzelner Elektronen oder einzelner Lichtquanten übermitteln. Die allgegenwärtige Wärmestrahlung auf der Erde und, bei einem viel geringerem Niveau, sogar im leeren Weltraum wirkt als Störstrahlung, von der sich ein Information übertragendes Signal abheben muß. Die minimale Energie, die zur Übermittlung eines Bits notwendig ist, liegt bei etwa 3 mal 10-21 Ws. Praktisch ist also Nachrichtenübermittlung stets auch an Energieübertragung gebunden. Wir haben bisher schon positive Zählrichtungen für Spannungen und Ströme vorgestellt. Durch Multiplikation von Spannungen und Strömen erhält man dann Leistungen mit ggf. unterschiedlichen Vorzeichen. Die Elektrotechnik hat zwecks Klärung zwei verschiedene Zählsysteme entwickelt (Abb. 3.3). 6 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 Verbraucher- Pfeilsystem: i (t) hineinfließender Strom, an den Zweipol abgegebene Leistung ist positiv Zweipol u (t) p=u*i Generator - Pfeilsystem: i (t) u (t) herausfließender Strom, vom Zweipol abgegebene Leistung ist positiv Zweipol p=u*i Abb. 3.6: Generator- und Verbraucherpfeilsystem Im Generatorsystem wird die Leistung und Energie als positiv gezählt, die durch einen aus dem Zweipol herausfließenden Strom erzeugt wird. Dagegen zählt das Verbraucherpfeilsystem die in den Zweipol (z. B. ein Widerstand) hineinfließende Leistung als positiv. Als letzte wichtige Größe sei an dieser Stelle noch der Wirkungsgrad erwähnt. Bei jeder Umwandlung von einer Energieform in eine andere, z. B. zwischen mechanischer und elektrischer Energie und ebenso beim Transport von Energie wird stets ein gewisser Teil in Wärme umgewandelt. Pv Pout Pin Quelle Verbraucher Wandler Pv Pin Sender Pout Übertragungsstrecke Empfänger Abb. 3.7: Wirkungsgrad Die vom Sender oder von einer Quelle gelieferte Leistung sei Pin. Davon wird ein Teil als "Verlustleistung" in Wärme umgesetzt. Die vom Empfänger / Verbraucher nutzbare Leistung sei Pout. Dann ist der Wirkungsgrad definiert als das Verhältnis: h = Pout / Pin = (Pin - Pv) / Pin Daß alle Wandlungs- und Transportprozesse verlustbehaftet sind, ist auch ein Grundgesetz der Physik. Während in der elektrischen Energietechnik in der Regel mit Wirkungsgraden von über 90% gearbeitet wird, ist die Wandlung in der Nachrichtentechnik in der Regel wesentlich weniger günstig. 3.4 Grundelemente elektrischer Schaltkreise 7 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 3.4.1 Quellen Wir haben bisher schon einige Elemente des Gleichstromkreises kennengelernt. Zunächst einzuführen sind Quellen für Spannungen und Ströme. Widerstände sind Schaltelemente, in denen elektrische Energie in Wärmeenergie umgesetzt werden. Weitere Schaltungselemente können magnetische und elektrische Energie speichern. Ideale Spannungsquelle: U0 - Innenwiderstand = 0 U0 Ideale Stromquelle: - Innenwiderstand unendlich hoch I0 I0 Abb. 3.8: Ideale Spannungs- und Stromquelle Die ideale Spannungsquelle liefert, unabhängig vom angeschlossenen Stromkreis, eine konstante Spannung U0, wobei der Innenwiderstand null ist. Die Spannung ist also nicht von der Größe des Stromes abhängig, den die Quelle erzeugt. Die ideale Stromquelle liefert, unabhängig vom abgeschlossenen Stromkreis, stets einen konstanten Strom I0. Sie ist also unabhängig von der Größe der Spannung, welche der Strom im angeschlossenen Stromkreis erzeugt. Im Gleichstromkreis haben solche Quellen feste Spannungen U0 bzw. Ströme I0. Man nennt sie auch Konstantspannungs- und Konstantstromquellen. In Schaltungen der Elektronik werden auch oft Spannungs- und Stromquellen verwendet, deren Ausgangswerte von einer Eingangsgröße gesteuert sind. Reale Quellen besitzen stets einen Innenwiderstand oder Innenleitwert. Wie wenig real insbesondere idealisierte Stromquellen sind, soll folgendes Beispiel zeigen. In einer Schaltung existiere eine Konstantstromquelle mit I0 = 1 mA Konstantstrom. Angeschlossen werde nun ein Widerstand von RL =1 MOhm. Dann wird der am Widerstand auftretende Spannungsabfall sich auf: Ur = I0 * RL = 10-3 A * 106 Ohm = 103 V = 1 kV belaufen. Natürlich kann im Gleichstromkreis, der von einer Spannung von z. B. 12 V getrieben wird, kein Spannungsabfall von 1 kV auftreten. Man sieht hier schon, daß das Modell der idealen Stromquelle nicht ganz realistisch ist. Die bisher betrachteten Quellen waren konstant. Insbesondere in der Elektronik werden uns aber auch Quellen begegnen, die von Spannungen oder Strömen gesteuert sind. Es kommen dabei vor: − von Spannungen gesteuerte Spannungsquellen − von Strömen gesteuerte Spannungsquellen − von Spannungen gesteuerte Stromquellen − von Strömen gesteuerte Stromquellen. 8 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 Die dritte Kombination ist für Feldeffekttransistoren charakteristisch, der bipolare Transistor verhält sich dagegen weitgehend wie eine stromgesteuerte Stromquelle. 3.4.2 Reale Spannungs- und Stromquellen, Kurzschluß und Leerlauf Reale Quellen von Spannungen und Ströme sind: − Batterien und Akkumulatoren − Generatoren − Solarzellen als primäre Quellen. In der Laborpraxis liefert dann das Netzgerät die benötigten Ströme und Spannungen. Solche Quellen sind natürlich nicht ideal. Eine reale Spannungsquelle besitzt einen Innenwiderstand Ri. Entsprechend hat eine reale Stromquelle einen Leitwert Gi parallel zur Quelle. Ri U0 Gi I0 Abb. 3.9: Reale Spannungs- und Stromquellen Den Innenwiderstand einer Spannungsquelle erhält man aus dem Quotienten: Ri = U0 / Ik Ik ist der Kurzschlußstrom, der im Außenkreis auftritt, wenn die äußeren Pole der Quelle im "Kurzschluß" direkt verbunden sind. Entsprechend ergibt sich der Parallelleitwert zur Stromquelle zu Gi = Ik / U0. Leerlauf Kurzschluß Ri U0 Ri Gi U0 U0 Ik Gi I0 I0 I0 Abb. 3.10: Leerlauf und Kurzschluß 9 U0 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 In der Praxis wird man meßtechnisch den Innenwiderstand kaum auf diese Weise ermitteln können, da die Kurzschlußströme sehr groß werden können und dabei die Wärmeentwicklung durch am Innenwiderstand in Wärme umgesetzte Leistung den Generator zerstört. Eine Autobatterie hat z. B. eine Leerlaufspannung von Uo = 12 V. Der maximal mögliche Strom, den sie an den Anlasser liefern kann, ist 300 A. Durch den Innenwiderstand der Batterie, der mit zunehmender Entladung ansteigt, sowie außerdem durch Übergangswiderstände an Klemmen und Kontakten wird beim Kaltstart der Anlasser nur noch 6 bis 8 Volt Spannung zur Verfügung haben und damit unter Umständen auch nur die halbe Leistung. Mit "Leerlauf" bezeichnet man also den Zustand, in dem ein Generator am Ausgang nicht belastet ist und kein Strom fließt. Mit "Kurzschluß" ist der Zustand gemeint, bei dem die Ausgangsklemmen direkt verbunden sind, also die Ausgangsspannung null wird. In diesem Zustand können sehr hohe Ströme fließen, keinesfalls aber, wie von Laien angenommen, ein unendlich hoher Strom. Trotzdem wird dieser Zustand, z. B. durch das Vorschalten von Sicherungen, nach Möglichkeit vermieden. Es gibt aber eine wichtige Anwendung dieser Charakterisierung (Abb. 3.11). Netzwerk 1 2 Netzwerk 1 Netzwerk 2 1' 2' 2 U0 Ri Netzwerk 2 2' Abb. 3.11: Netzwerkpartitionierung Ein größeres elektrisches Netz wird in Teilnetze zerlegt. Wir nehmen nun an, daß speziell für das Netzwerk 2 Berechnungen durchzuführen sind. Die Frage ist dann, ob man, wenn Ströme und Spannungen im Netz 2 zu berechnen sind, alle Elemente im Netzwerk 1 explizit für die Berechnung kennen muß. Der als eine der elementaren Grundlagen der Netzwerktheorie sagt nun, daß ein Teilnetz durch entweder seine Leerlaufspannung und den Innenwiderstand oder seinen Kurzschlußstrom und den Parallelleitwert ausreichend und vollständig beschrieben ist. Die Darstellungen als nicht-ideale Spannungsquelle mit der Leerlaufspannung U0 und dem Innenwiderstand Ri auf der einen Seite und der nicht-idealen Stromquelle mit dem Kurzschlußstrom I0 und dem Parallelleitwert Gi sind dabei völlig äquivalent und lassen sich eindeutig ineinander umrechnen: U0 = Gi I0 I0 = U0 / Ri 10 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 Also ist auch: Ri = 1 / Gi 3.4.3 Widerstand im Gleichstromkreis Das neben der Quelle wichtigste Bauelement im Gleichstromkreis ist der Widerstand. Diese Bezeichnung ist etwas unglücklich, weil sie sowohl eine physikalische Eigenschaft von Bauelementen als auch Bauelemente selbst bezeichnet. (Nur im Deutschen, englisch ist "resistance" die Eigenschaft, aber "resistor" das Bauelement.) W id e r s t a n d R I U K o n d e n s a to r C U S p u le L I Abb. 3.12: Passive Bauelemente des elektrischen Stromkreises In der für die Darstellung von Schaltkreisen üblichen idealisierten Form ist der Widerstand ein passives Bauelement, das dem Stromfluß den Widerstand R entgegensetzt. Im Stromkreis, in dem ein Strom I den Widerstand durchfließt, fällt an diesem eine Spannung U = R * I ab. Dabei setzt der Widerstand gleichzeitig eine elektrische Leistung W = U * I = R * I2 in Wärmeenergie um. Die physikalische Eigenschaft des elektrischen Widerstandes haben fast alle Stoffe bis auf die Supraleiter, allerdings in ganz unterschiedlicher Größenordnung. Deshalb ist die Eigenschaft des elektrischen Widerstandes im Stromkreis nicht auf das Bauelement "Widerstand" konzentriert, sondern alle Bauelemente weisen diese Eigenschaft parasitär auf, auch die metallischen Verbindungsleitungen. Der Widerstand eines zylindrischen Körpers mit der Querschnittsfläche A und der Länge l ist bestimmt durch den spezifischen Widerstand r des Stoffes: R=r*l/A Die nachfolgende Tabelle zeigt den spezifischen Widerstand verschiedener Stoffe. 11 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 Werkstoff Spez. Widerstd. in Ohm * qmm / m Leitfähigkeit in S * m / qmm Aluminium (Al) 0,027 35,5 Eisen (Fe) 0,13 7,5 Gold (Au) 0,022 45 Kupfer (Cu 0,0178 56 Silber (Ag) 0,016 62 Konstantan 0,5 2 40 bis 100 0,01 bis 0,025 Kohle (Graphit) Silizium (Si) 2,3 * 10**9 Germanium (Ge) 4,7 * 10**5 Gallium-Arsenid > 10 ** 12 4,3 * 10 ** -10 2,1 * 10** -6 < 10 ** -12 Tabelle 3.1: Spezifische Widerstände und Leitfähigkeiten verschiedener Stoffe Von den Metallen ist Silber der beste Leiter. Wegen seines hohen Preises kommt Silber aber nur selten zum Einsatz. Großtechnisch werden für Leitungen vor allem Kupfer und Aluminium benutzt. Gold spielt wegen seiner Festigkeit gegen Korrosion eine wichtige Rolle. Die Verbindungsleitungen auf ICs sind aus (legiertem) Aluminium aufgebaut, die auf Platinen meistens aus Kupfer oder Gold. Wegen der besseren Leitfähigkeit sind die Wicklungen elektrischer Maschinen meistens aus Kupfer gebaut. Der spezifische Widerstand der meisten Metalle ist nicht konstant, sondern nimmt mit der Temperatur zu. Insbesondere für präzise Meßgeräte ist das ein sehr unerwünschter Effekt. Konstanten ist eine Metall-legierung, deren spezifischer Widerstand kaum temperaturabhängig ist. Ein für metallische Kontakte, insbesondere Schleifkontakte, spielen Werkstoffe auf Kohle-Basis (Graphit) eine wichtige Rolle. Der Vollständigkeit halber sind auch die technische wichtigsten Halbleitermaterialien aufgeführt. Hier zeigen die Werte, daß diese Stoffe für die Fortleitung des Stromes über größere Entfernungen völlig ungeeignet sind. Die in elektronischen Schaltungen als "Widerstände" verwendeten Bauelemente sind entweder aus gewickeltem Draht oder aus Keramikkörpern aufgebaut, auf die dünne Metall- oder Kohleschichten aufgedampft sind. Diese Bauelemente sind stets nicht-ideal, sie wirken im Stromkreis stets auch ein wenig wie eine Induktivität und / oder eine Kapazität. Serienschaltung R1 R 2 R 3 R n R Parallelschaltung R R1 R2 R3 Rn Abb. 3.13: Parallel- und Serienschaltung von Widerständen 12 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 Bei der Serienschaltung von Widerständen im Stromkreis addieren sich deren Werte. R = R1 + R2 + R3 + ..... Rn Bei einer Parallelschaltung addieren sich dagegen die Leitwerte Gi = 1 / Ri. Damit erhält man für den Gesamtwiderstand: 1 / R = 1 / R1 + 1/R2 + 1/R3 + .........1 / Rn Hier sei noch angemerkt, daß es neben Widerständen, die einen festen Widerstand haben, auch spannungsabhängige Widerstände (sogenannte Varistoren) gibt . Als ein typisches Beispiel werden wir später die Halbleiterdiode kennenlernen. Weiterhin werden in der Praxis auch mechanisch abstimmbare Widerstände, sogenannte Potentiometer, verwendet. 3.4.4 Kapazitäten und Kondensatoren Der Kondensator ist das zweite wichtige passive Bauelement. Er hat die Fähigkeit, elektrische Energie im elektrischen Feld zwischen den Platten zu speichern, deren Menge (also die Ladungsmenge) durch die Größe seiner Kapazität C bestimmt ist. Gleichzeitig stellt er für den elektrischen Gleichstrom (im Idealfall) einen unendlich hohen Widerstand dar. Ein Kondensator ist also eine Gleichstromsperre. Die Kapazität wird in Farad (F), in der Praxis meistens in Mikrofarad (uF), Nanofarad (nF) und Pikofarad (pF) gemessen. Ein Farad ist ein unpraktisch großer Wert. Die praktisch verwendeten größten Werte liegen bei ca. 2000 uF in der Niederfrequenztechnik, in der Hochfrequenztechnik arbeitet man eher mit Nanofarad und Pikofarad. Die parasitären Kapazitäten auf den Verbindungsleitungen integrierter Schaltkreise liegen im pF-Bereich. Natürlich wird bei der Entladung eines Kondensators ein elektrischer Strom im angeschlossenen Stromkreis fließen. Dieser Entladestrom ist aber ein zeitlich veränderlicher Strom, also kein Gleichstrom. Ist die Spannung am Kondensator Uc, der Strom Ic, so gilt: Ic = C * dUc / dt Ein Strom ist also nur bei zeitlich veränderlichen Spannungen und Strömen möglich. Wie der Widerstand so ist auch die Kapazität eine im elektrischen Stromkreis allenthalben auch parasitär vorkommende elektrische Eigenschaft. Leiterbahnen auf einem IC oder auf einer Platine haben Kapazitäten gegeneinander und gegen den Masseanschluß, in Kabeln haben die einzelnen Leiter eine erhebliche Kapazität gegeneinander. C1 C2 C3 Cn C C C1 C2 C3 Cn Abb. 3.14: Serien- und Parallelschaltung von Kapazitäten 13 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 Bei der Zusammenschaltung von Kapazitäten addieren sich diese durch Parallelschaltung. Für die Parallelschaltung gilt also: C = C1 + C2 + C3 +......... Cn Dabei liegt an allen Kapazitäten dieselbe Spannung. Für den Fall der Serienschaltung der Kapazitäten gilt für die Gesamtkapazität: 1 / C = 1 / C1 + 1 / C2 + 1 / C3 + ........ 1 / Cn Die Serienschaltung besitzt also stets eine geringere Kapazität als die geringste Einzelkapazität. Allerdings "teilen" sich die einzelnen Kapazitäten jetzt die angelegte Spannung. Man kann also mittels dieser Schaltungsart Kondensatoren auf Kosten der Kapazität spannungsfester machen. Um eine letzte wichtige Eigenschaft der Kapazität kennenzulernen, schauen wir und nochmals den Zusammenhang zwischen Strom, Spannung und Kapazität an: Ic = C * dUc / dt In einem Stromkreis, der eine Kapazität enthält, kann sich die Spannung nur stetig ändern, denn sonst würde der Strom gegen Unendlich gehen ! 3.4.5 Induktivität und Spulen Wir haben bereits die magnetische Wirkung des elektrischen Stromes kennengelernt. Wie bereits im Kapitel 2 vorgestellt, erzeigt schon der Stromfluß in einem geraden Leiter um diesen herum ein Magnetfeld mit ringförmigen, geschlossenen Feldlinien. Wickelt man den Leiter zu einer Spule auf, so ergibt sich durch Überlagerung ein Magnetfeld, das dem eines Stabmagneten ähnelt. Der Strom erzeugt in der Spule einen sogenannten magnetischen Fluß F, gemessen in Weber mit: 1 Weber (Wb) = 1 V s. F ist zunächst der Fluß des geraden Leiters. Bei der Spule mit der Anzahl von w Windungen wird daraus der sogenannte verkettete magnetische Fluß Y mit: Y = w * F. Es gilt die sogenannte Rechtsschraubenregel: Die magnetischen Feldlinien umschließen den Strom im Rechtsschraubensinn. Der verkettete magnetische Fluß ist abhängig von Strom i der Schaltung und von der sogenannten "Selbstinduktivität" L der Spule, oft auch abkürzend nur Induktivität genannt. Die Induktivität hat das Symbol L, die Dimension Voltsekunde pro Ampere und wird in Henry bzw. Millihenry (mH) und Mikrohenry (uH) gemessen. Es gilt: Y = L * i. Eine Spule besitzt die Induktität 1 Farad (F), wenn ein Strom von 1 A einen magnetischen Fluß von 1 Vs erzeugt. Die Induktivität einer zylindrischen Spule ist gegeben durch: L = m0 mr A N2 / l Dabei ist m0 die sogenannte magnetische Feldkonstante, mr ist die sogenannte Permeabilität des Füllstoffes in der Spule (1 für Luft, bis 1000 und höher für ferromagnetische Materialien wie Eisen, Nickel etc.). A ist der Querschnitt der Spule, N die Zahl der Windungen, l die Länge. 14 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 Die magnetische Feldkonstante hat den Wert: m0 = 4p 10 -7 Vs / Am. An der Spule besteht zwischen Strom und Spannung der Zusammenhang: uL = L di / dt Eine Spannung tritt also nur dann auf, wenn der Strom sich ändert. Eine Spule ist ein idealer Kurzschluß für den Gleichstrom, die abfallende Gleichspannung ist gleich null. Wird eine Spule vom Strom durchflossen, so baut sich ein magnetisches Feld auf. Man kann auch sagen, daß beim Stromfluß durch eine Spule eine Energiespeicherung im magnetischen Feld auftritt. Eine Spule erzeugt beim Durchfluß von Strom I in ihrem Inneren ein magnetisches Feld der Stärke H = I * n / l. Dabei ist n die Windungszahl und l die Länge der Spule. Auch ein einfacher Draht (n = 1) hat eine von seiner Länge l abhängige Induktivität L. Seine Feldstärke ist dann: H = I / 2pr Dabei ist r der radiale Abstand vom Leiter. Bringt man in das von einer Spule erzeugte magnetische Feld eine zweite Spule, so wird bei jeder Magnetfeldänderung in dieser zweiten Spule eine Spannung induziert. Dieser Effekt wird auch als "Gegeninduktion" bezeichnet. Das Maß der Kopplung zwischen den beiden Spulen wird durch die "Koppelinduktivität" M bestimmt. Durchschneiden alle magnetischen Feldlinien, welche die erste Spule erzeugt, auch die zweite Spule, so hat man eine "feste" Kopplung, bei "loser" Kopplung haben beide Spulen nur einen Teil der Feldlinien gemeinsam. Der Effekt der Gegeninduktion wird in der Starkstromtechnik in sogenannten Transformatoren ausgenutzt, in der Nachrichtentechnik spricht man eher von Übertragern als von Transformatoren. Speziell betrachtet werden soll hier noch das Verhältnis zu Strom und Spannung an einer Spule. Wenn ein gleichbleibender Strom fließt, so ist die Spannung an der Spule null. Es ist Energie im Magnetfeld gespeichert. Wird der Stromfluß verringert, so entspricht das einem Abbau der Größe des Magnetfeldes. An der Spule liegt eine induzierte Spannung an, die im externen Stromkreis Arbeit leisten kann. Ganz entsprechend wird beim Anstieg des Stromes mehr Energie im Magnetfeld gespeichert. Wegen der Gleichung: uL = L di / dt kann sich der Strom durch eine Spule nur stetig ändern, denn sonst würde die induzierte Spannung gegen unendlich gehen. Das sollte man aber auch als Informatiker wissen: Wird in einem Stromkreis, der Induktivitäten enthält, der Strom sehr schnell geändert, so ergeben sich hohe induktive Spannungsspitzen. Serienschaltung L 1 L 2 L 3 L n L Parallelschaltung L L1 L2 L3 Ln Abb. 3.16: Serien- und Parallelschaltung von Induktivitäten 15 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 Bezüglich der Serien- und Parallelschaltung verhalten sich Induktivitäten wie Widerstände. Bei Serienschaltung ergibt sich die Gesamtinduktivität aus der Addition der Teilinduktivitäten. Bei der Parallelschaltung gilt hier entsprechend: 1 / L = 1 / L1 + 1 / L2 + 1 / L3 + ...... 1 / Ln In der Gleichung für die Induktivität Spule wurde bereits die Permeabilität mr eingeführt. Man kann die Induktivität einer Spule ganz wesentlich vergrößern, wenn sie einen Kern aus magnetisierbarem Material enthält. Solche Materialien sind vorrangig die Metalle Eisen, Kobalt und Nickel, aber auch Verbindungen dieser Metalle mit Sauerstoff (Ferrit-Keramik). Die Permeabilität kann Werte von 10**2 bis 10**5 erreichen. Sie ist allerdings abhängig von der Stärke des Magnetfeldes, also nichtlinear. Sie ist in der Regel auch frequenzabhängig. Während man bei niedrigen Frequenzen Spulenkerne aus massivem Eisen oder auch geschichteten Eisenblechen nimmt, entstehen, bedingt durch die elektrische Leitfähigkeit des Eisens, bei hohen Frequenzen schon an einigen kHz zu hohe Verluste. Spulen der Nachrichtentechnik und magnetische Bauelemente der Mikrowellentechnik haben deshalb nicht-leitende Kerne aus magnetischer FerritKeramik. Ganz typisch ist, daß einmal magnetisierte magnetische Materialien magnetisch bleiben. Auf diese Weise kann man in magnetischen Stoffen Information speichern. Dies geschieht in großem Umfang in magnetischen Plattenspeichern und auf Magnetbändern. Mittels des Schreibkopfes wird durch Magnetfelder ein magnetisches Material vormagnetisiert, beim Lesen wird in Abhängigkeit von der Magnetisierung des Speichermaterials im Lesekopf ein mehr oder weniger großer Strom erzeugt. Trotz aller konkurrierenden Technologien sind magnetische Speicher immer noch die nicht-flüchtigen Massenspeicher der Digitaltechnik (Diskette, Hard-Disk., etc.). Dies bedeutet aber auch, daß man magnetische Speichermedien dann löschen kann, − man mit einem Permanentmagneten in ihre Nähe kommt − wenn man sie durch Ströme erzeugten Magnetfeldern aussetzt. Aus Eisenblech bestehende Gehäuse haben bezüglich magnetischer Felder eine abschirmende Wirkung, Kunststoffgehäuse dagegen gar nicht !! 3.4.6 Technische Zweipolbauelemente 3.4.6.1 Widerstände Zu den wichtigsten passiven Zweipolbauelementen gehören Widerstände. Sie sind als diskrete Bauelemente im Bereich von etwa 0,1 Ohm bis zu mehreren MOhm realisiert. Neben dem Widerstandswert sind dabei noch zu beachten: − − − − die zulässige Verlustleistung des Widerstandes sein Temperaturkoeffizient ggf. Verstellbarkeit zulässiger Frequenzbereich. Widerstände bis zu einigen zig-Ohm werden meistens aus Draht gewickelt. Sie sind als feste oder als über einen Abgriff verstellbare Widerstände erhältlich. Drahtwiderstände besitzen zwangsläufig auch eine hohe Induktivität und sind deshalb nur bei Gleichstrom und bei niedrigen Frequenzen einsetzbar. 16 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 fest verstellbar abstimmbar mit Abgriff Abb. 3.17: Typen von Widerständen Verstellbare Widerstände werden auch als Potentiometer bezeichnet. Widerstände mit höheren Werten werden meistens aus Kohle- oder Metallschichten hergestellt, die auf einen kleinen Keramikkörper aufgebracht (aufgedampft) sind. Die Kohleschichten werden dabei eher für die höheren Widerstandswerte verwendet. Dabei gibt es Bauformen mit unterschiedlicher Belastungsfähigkeit. Zur Kennzeichnung des Widerstandswertes und der Fertigungstoleranzen sind Widerstandskörper mit Farbringen versehen, welche diese Informationen kodiert enthalten. die Zur Abstimmung werden in Schaltungen der Nachrichtentechnik oft kleine verstellbare Widerstände verwendet, sogenannte Trimm-Potentiometer. Bei Schaltungen, die in monolithisch integrierter Form auf einem Halbleitermaterial aufgebaut sind, kann man keine Widerstände in herkömmlicher Bauweise integrieren. Dort werden Widerstände oft ersatzweise durch Transistoren, die auf eine bestimmte Leitfähigkeit eingestellt sind, realisiert. 3.4.6.2 Kondensatoren Kondensatoren werden für einen Kapazitätsbereich von einigen pF (Pikofarad) bis zu einigen zehntausend Mikrofarad hergestellt. Während beim Widerstand der maximale Strom bzw. die maximale Verlustleitung ein wichtiger Parameter sind, ist es beim Kondensator die Spannungsfestigkeit. Diese reicht von einigen Volt bis zu einigen 10 000 Volt. Aus der Kombination dieser Anforderungen ergibt sich eine Fülle von Bauformen. Die generelle Formel für die Kapazität eines Plattenkondensators ist: C = ε0 εr A / d Dabei ist ε0 = 8,854 * 10 -12 As / Vm die Dielektrizitätskonstante des leeren Raumes, er ist die relative Dielektrizitätskonstante des Isolatormaterials zwischen den Platten, A ist die gemeinsame Fläche der Kondensatorplatten, d ist der Abstand zwischen den Platten. Die Kapazität wird also proportional der Größe der Platten und umgekehrt proportional ihrem Abstand sein, außerdem aber proportional der relativen Dielektrizitätskonstante des Isolatormaterials. 17 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 Aus Platzgründen kann man A nicht beliebig groß machen, sehr dünne Isolatorschichten bringen eine hohe Kapazität, aber auch eine geringe Spannungsfestigkeit des Kondensator mit sich. Für mittlere bis große Kapazitäten und niedrige Spannungen werden häufig sogenannte ElektrolytKondensatoren oder Elkos eingesetzt. Sie dürfen als gepolte Kondensatoren nur mit einer Spannungrichtung verrwendet werden, sind also als Abstimmkondensatoren in Wechselstrom-kreisen nicht brauchbar. Solche Kondensatoren werden manchmal auch als "Becherkondensatoren" bezeichnet, weil die eine Elektrode durch einen Aluminiumbecher gebildet wird, die andere durch ein schwammartikes Material mit sehr großer Oberfläche. Dazwischen befindet sich noch eine Flüssigkeit als Elektrolyt. fest u n g e p o lt fest g e p o lt eintellbar verstellbar + - Abb. 3.18: Typen von Kondensatoren Andere gepolte Kondensatoren relativ großer Kapazität werden aus Aluminium-Tantal-Legierungen gefertigt. Feste, nicht gepolte Kondensatoren großer Kapazität werden aus gerollten Lagen dünn ausgewalzten Metalls mit Papier als Isolator gefertigt. Für kleinere Kapazitäten werden Kondensatoren aus Keramik (auch für hohe Frequenzen) oder aus Kunststoffen als Isolatoren gefertigt. Als verstellbare Kondensatoren werden sogenannte Drehkondensatoren verwendet, wobei zwei Reihen von Metallplatten. eine fest und eine drehbar auf einer Achse, so angeordnet sind, daß man die eine Reihe mehr oder weniger weit in die Zwischenräume der anderen Reihe hineindrehen kann. Solche Drehkondensatoren wurden und werden noch in der Rundfunktechnik verwendet, um die Resonanz-kreise der Empfänger abzustimmen. Trimmer haben meistens 2 bis 6 kleine Metallscheiben mit dazwischenliegenden Kunststoffen, die man durch Verstellen (mit dem Schraubenzieher, am besten aus Plastik) auf mehr oder weniger Überlappung verdrehen kann. Halbleiter-Dioden werden heute oft als elektrisch abstimmbare Kondensatoren verwendet, die man natürlich auch nur in eine Richtung vorspannen darf. Ihre Kapazität ist aber nicht-linear von der Spannung abhängig. Man bezeichnet sie auch als Varaktor-Dioden. Elektrolytkondensatoren und gewickelte Metallpapierkondensatoren sind nur bei relativ geringen Frequenzen (im kHz-Bereich) verwendbar. Sie haben ein Ersatzschaltbild, das einen wesentlichen induktiven Anteil enthält. Für Zwecke der Abpufferung der Stromspitzen von ICs nimmt man deshalb in der Digitaltechnik vorwiegend keramische Kondensatoren, die auch im hohen MHz-Bereich noch brauchbare Eigenschaften aufweisen. Kondensatoren werden dadurch zerstört, daß man sie entweder mit zu hohen Spannungen beaufschlagt (Durchschlag) oder überhitzt. Einige Typen von Kondensatoren sind selbstheilend: Schaltet man nach einem Durchschlag die Spannung an und erhöht sie dann langsam wieder, so wird der Kondensator wieder sperrend. Man kann also den Fehler kaum durch Anlegen einer Prüfspannung messen. Abschließen sei erwähnt, daß auch die Speicherzellen in den dynamischen Speicherbausteinen der Digitaltechnik ( Dynamic Random Acess Memories, DRAMs) ihre Information als Ladung sehr kleiner Kondensatoren speichern. 18 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 3.4.6.3 Spulen Auch Spulen werden in ganz unterschiedlichen Bauformen hergestellt. Zunächst unterscheidet man Spulen mit und ohne Eisenkern. Luftspule Spule mit Eisenkern Gekoppelte Spulen mit gemeinsamem Kern Abb. 3.19: Symbole von Spulen Die Induktivität einer Spule ist bestimmt durch die Bauform, die Anzahl der Windungen n und die Art des Kerns. Bei einer geraden Zylinderspule errechnet sich die Induktivität nach der Formel: L = m0 mr n2 A / l Dabei ist m0 die sogenannte Permeabilität des Vakuums, auch als die magnetische Feldkonstante bezeichnet, mr ist die relative Permeabilität des Materials im Spulenkern, A ist die Querschnittsfläche der Spule, l ist die Länge der Spule, n ist die Anzahl der Windungen. Oft wird die Induktivität auch angegeben als: L = n2 AL AL ist dann der sogenannte Induktivitätsfaktor. Für die Ringspule mit Eisenkern würde gelten: AL = µ0 µr A / 2π r (r ist der Radius des Eisenkerns) Für die lange Zylinderspule in Luft (wie oben) gilt: AL = µ0 A / l Auch nicht gewickelte Leitungen haben eine typische Induktivität. Für die Paralleldrahtleitung gilt: L = µo /π ln (2b /(d1 d2) 1/2 )) Die sogenannte innere Induktivität eines geraden Leiters ist: L' = µ0 /8π Wir halten also hier fest, das jeder Leiter eine Induktivität aufweist, die sich durch Winden auf eine Spule und noch mehr durch einen geeigneten Kern noch verstärken läßt. Spulen werden entweder in den häufigsten Bauformen entweder als Zylinderspulen gebaut, mit oder ohne Eisenkern, oder auf die unterschiedlichsten Typen von Eisenkernen mit und ohne Luftspalt aufgewickelt. 19 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 Ringkern mit Wicklung Parelleldrahtleitung d1 b d2 l Gerader Leiter Zylinderspule mit Kern Windungen d l l Abb. 3.20: Bauformen von Spulen und Leitern Im Gegensatz zu Widerständen und Kondensatoren werden Spulen viel weniger als genormte Bauelemente vertrieben, sondern oft für die jeweilige Anwendung hergestellt. Dagegen werden die unterschiedlichen Typen von Magnetkernen in großen Stückzahlen hergestellt. Typischerweise sind Spulen mit Eisenkern bezüglich der Abhängigkeit der magnetischen Feldstärke vom Strom nicht-lineare Bauelemente. H 2 Hr 1 I 2 Hr Abb. 3.21: Magnetisierungskurve einer Spule mit Eisenkern Wir nehmen an, daß sich der Eisenkern zunächst im nicht-magnetischen Zustand befindet (Neukurve 1). Dann steigt das Magnetfeld zunächst stark an, weil die hohe Permeabilität des Eisenkerns wirkt. Oberhalb eines bestimmten Maximalwertes der Feldstärke gerät der Kern in den Zustand der "Sättigung". Das Magnetfeld erhöht sich bei steigendem Strom nur relativ mit der Permeabilität 1. Wird nun die Stromstärke wieder abgesenkt, so bleibt durch sogenannten "remanenten Magnetismus" auch nach dem Absenken der Stromstärke auf null noch ein Magnetfeld übrig, das dem eines Permanentmagneten aus dem Kern-Material entspricht. Um ein Magnetfeld umzupolen, muß ein erheblicher Strom in Gegenrichtung aufgebracht werden. Die Magnetisierungskurve wird auch als "Hysterese" bezeichnet und steht hier stellvertretend für viele Effekte, bei denen Materialien ein "Gedächtnis" aufweisen. Genau derselbe Memory-Effekt wird auch in der Digitaltechnik bei Disketten und PlattenLaufwerken ausgenutzt. Die Arbeitsspeicher in der Rechnertechnik der 60er und 70er Jahre wurden durch ringförmige Magnetkerne gebildet, die mittels hindurchgeführter Drähte magnetisiert und entmagnetisiert wurden. 20 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 In der Nachrichtentechnik und speziell in der Digitaltechnik sind die Magnetkerne allerdings nicht durch leitende Metalle (Eisen, Kobalt, Nickel), sondern durch nichtleitende Metall-Oxide, sogenannte Ferrite gebildet, die wesentlich geringere Verluste durch das Fehlen induzierter Ströme verursachen. 3.4.7 Schalter Weitere wichtige Elemente elektrischer Stromkreise sind Schalter, welche das Öffnen und Schließen eines Stromkreises ermöglichen. Sie werden in einer großen Vielzahl von Größen und Bauformen hergestellt. Dazu rechnet man nicht nur mechanisch betätigte elektrische Schalter, sondern weitere Typen. Neben "direkten" Schaltern gibt es auch solche, die über andere Stromkreise magnetisch geschaltet werden. Diese nennt man Relais oder, wenn der schaltende wie in der Starkstromtechnik mit Wechselstrom betrieben wird, Schütze. In der Digitaltechnik kann man Transistoren als Schalter ansehen, die elektrisch geöffnet und geschlossen werden. Wichtig ist zu bemerken, daß auch Schalter Strom und Spannung nicht in Nullzeit schalten können. Bei einem Stromkreis, der induktiv belastet ist, kann der Strom nur stetig geändert werden, in einem kapazitiv belasteten Kreis die Spannung. Im schlimmsten Fall liegen deshalb am Schalter die maximal im Kreis mögliche Spannung und der maximal mögliche Strom vor. Das Produkt aus Umax und Imax wird auch als "Schaltleistung" P bezeichnet. Auf die Bauformen realer passiver Bauelemente werden wir später noch eingehen. Neben Schaltern, die von Hand betätigt werden, haben elektrisch betätigte Schalter eine weite Verbreitung. Ein Relais ist ein Schalter, der elektromagnetisch von einem äußeren Stromkreis aus gesteuert wird. Ri U0 RL Abb. 3.22: Stromkreis mit Relais Die Funktion ist in Abb. 3.22 dargestellt. Von einem kleinen, von Hand betätigten Schalter aus wird der Strom durch die Erregerspule des Relais an- oder abgeschaltet. Im Relais hat die Spule einen beweglichen Eisenkern, der wiederum einen elektrischen Kontakt schließt oder öffnet. In der Praxis, z. B. bei der Automobilelektronik, werden Relais vielfach verwendet, um indirekt mittels kleiner Schalter und kleiner Ströme große Ströme schalten zu können. Sowohl der Anlasser als auch die Beleuchtung werden über Relais betätigt. Relais sind prinzipiell auch als Bauelement für Logik verwendbar (Abb. 3.23). 21 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 U0 RL R1 UL R2 U1 U2 Abb. 3.23: AND-Logik mit Relais Tatsächlich hat Konrad Zuse in den 30er Jahren seine ersten Rechner mit Relais aufgebaut. In Abb. 3.23 kann im Stromkreis mit Uo, Ri und RL nur dann ein Strom fließen, wenn beide Relais geschlossen sind. Dazu muß sowohl die Spannung U1 als auch die Spannung U2 so hoch sein, daß die Kontakte der Relais R1 und R2 ansprechen. Auf ähnliche Weise kann man auch andere logische Verknüpfungen realisieren. Natürlich ist Relais-basierte Logik um Größenordnungen langsamer und größer als z. B. integrierte Schaltungen. Relais haben die Eigenschaft, daß man zwei Stromkreise potentialfrei miteinander verbinden kann, d. h. man kann auch mit getrennten Masseleitungen arbeiten. Diese Art von Entkopplung ist bei elektrischen Steuerungen von großer Bedeutung. Relais, deren Spulen mit Wechselspannung bei Netzfrequenz betrieben werden, bezeichnet man häufig auch als Schütze. Sie werden z. B. zum Ein- und Ausschalten von größeren Beleuchtungsanlagen oder von elektrischen Maschinen benutzt. 3.4.8 Gesteuerte Quellen Wir haben ideale und reale Quellen für Spannungen und Ströme bereits kennengelernt. Der Vollständigkeit halber sollen bereits hier sogenannte gesteuerte Quellen eingeführt werden, bei denen Spannungen und Ströme einer Quelle nicht fest eingeprägt sind, sondern von einer externen Quelle gesteuert werden. Wir unterscheiden: − spannungsgesteuerte Spannungsquellen − stromgesteuerte Spannungsquellen − spannungsgesteuerte Stromquellen − stromgesteuerte Stromquellen Spannungsquellen Stromquellen spannungsgesteuert Ust Au Ust spannungsgesteuert Uq stromgesteuert Ist Z Ist Ust S Ust Ua stromgesteuert Uq Ist Abb. 3.24: Gesteuerte Quellen 22 A i Ist Ua Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 Bei einer durch eine Spannung gesteuerten Spannungsquelle hat die Gesamtschaltung einen unendlich hohen Eingangswiderstand Ri und einen Ausgangswiderstand von Rq = 0. Die Spannung wird mit einem Verstärkungsfaktor von Au vom Eingang auf den Ausgang übersetzt. Die durch einen Strom gesteuerte Spannungsquelle hat entsprechend einen Eingangswiderstand Ri = 0 und einen Ausgangswiderstand Rq = 0. Der Strom am Eingang wird mit einem Transfer-Widerstand Z vom Eingang auf den Ausgang übersetzt. Die durch eine Spannung gesteuerte Stromquelle hat wiederum den Eingangswiderstand Ri von unendlich, jetzt aber auch einen unendlich hohen Ausgangswiderstand Rq. Die Übertragung vom Eingang zum Ausgang geschieht mittels eines Transferleitwertes S, der auch als Steilheit bezeichnet wird. Im letzten Fall hat die stromgesteuerte Stromquelle einen Eingangswiderstand von Ri = 0, der Ausgangswiderstand Rq wird unendlich. Jetzt wird der Strom mit einem Verstärkungsfaktor Ai vom Eingang auf den Ausgang übersetzt. Gesteuerte Quellen spielen in der Darstellung der Funktion aktiver Halbleiterbauelemente (Transistoren) eine wichtige Rolle. 3.5 Berechnungsverfahren im Stromkreis 3.5.1 Ein einfaches Beispiel Die wesentlichen Grundlagen zur Berechnung von Spannungen und Strömen haben wir bereits kennengelernt. Es sind die Maschenregel und die Knotenregel nach Kirchhoff und das Ohmsche Gesetz. Ri Ra3 I2 Ua I U0 n1 Ra1 Uq Ra2 I1 Quelle Verbraucher Abb. 3.25: Beispielnetzwerk Für die gegebene Beispielschaltung in Abb. 3.25 sei die Ausgangsspannung Ua und der Strom I2 in Abhängigkeit von der Eingangsspannung U0 zu bestimmen. Die Werte der Widerstände sind als bekannt anzunehmen. Ein Maschenumlauf liefert die Gleichung: - U0 + I* Ri + Ua3 + Ua = 0 Die Knotenregel für den Knoten n1 ist: I - I1 - I2 = 0 Wenn U0 als bekannte Ausgangsgröße gegeben ist, so enthalten diese beiden Gleichungen noch 5 Unbekannte. Zur Lösung benötigen wir also weitere Gleichungen. 23 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 Für den Widerstand Ra3 gilt: Ua3 = I * Ra3 Für die Abhängigkeit zwischen Spannung und Strom in anderen Teilen der Schaltung müssen wir die Konfiguration der Widerstände berücksichtigen. Es sei Ra = Ra1 // Ra2 (Parallelschaltung). Dann gilt: Ra = Ra1 * Ra2 / (Ra1 + Ra2) und Ua = I * Ra = I * (Ra1 * Ra2 / (Ra1 + Ra2) Auch die Ströme I1 und I2 können wir ersetzen: I1 = Ua / Ra1 I2 = Ua / Ra2 Damit kann man jetzt in die Ausgangsgleichungen einsetzen: − U0 + I* Ri + Ua3 + Ua = 0 wird zu: − U0 + I * Ri + I * Ra3 + Ua = 0 In dieser Gleichung sind nur noch I und Ua als Unbekannte vorhanden. I - I1 - I2 = 0 wird ersetzt durch: I - Ua /Ra1 - Ua / Ra2 = 0 Daraus ergibt sich: I = Ua * Ra − U0 + Ua *Ri / Ra + Ua *Ra3 / Ra + Ua = 0 Ua (1 + Ri/Ra + Ra3 /Ra) = Uo Ua = U0 / (1 + Ri/Ra + Ra3/Ra) I2 = Ua / Ra2 = U0 / (Ra2 + Ri Ra2/Ra + Ra2 Ra3/Ra) Wie man hier schon sieht, muß der "klassische" Ingenieur der Elektrotechnik mit Gleichungen und der Bruchrechnung umgehen können. Zu erwähnen bleiben noch ein paar "klassische" Grundschaltungen und ihre Anwendungen. 24 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 Ri Ua Ra U0 Abb. 3.26: Spannungsteiler Ri R1 R2 Uo Rb R3 R4 Abb. 3.27: Brückenschaltung In der Brückenschaltung wird der Strom durch den Querzweig mit dem Widerstand Rb zu null, wenn gilt: R1 / R3 = R2 / R4. Die Brücke ist dann "abgeglichen". Solche Brückenschaltungen werden in der elektrischen Meßtechnik häufig verwendet. Die allgemeinen Regeln für die Berechnung von Netzwerken gelten gleichermaßen im Gleichstromwie im Wechselstromkreis. Wir werden nur sehen, daß beim Wechselstrom die Berechnung durch die Zeitabhängigkeit zusätzlich noch wesentlich komplizierter wird. 3.5.2 Netzwerkberechnung im allgemeinen Fall, Kennlinien Im Beispiel haben wir die Berechnungsaufgabe im wesentlichen durch Einsetzen in den Spannungsumlauf gelöst. Je nach Gestalt des Netzwerkes ist es günstiger, die Berechnung entweder auf der Basis der Maschen- oder der Knotenregel durchzuführen. Bei großen Schaltungen ist die Methode des Einsetzens nicht mehr effizient. Man stellt dann eine Serie von Gleichungen auf (bei n Unbekannten braucht man dann n linear unabhängige Gleichungen), stellt sie in Form einer Matrix dar und setzt systematische Verfahren zur Lösung an, z. B. die Reduktion nach Gauss. Als Elektrotechniker lernte man früher auch Verfahren auf der Basis von Determinanten kennen. Heute gibt es effiziente Programme zur Netzwerkberechnung (z. B. SPICE der University of California, Berkeley). 25 Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 Zur Berechnung von Gleichstromnetzwerken muß man Systeme algebraischer Gleichungen lösen. Viel komplizierter werden die Lösungsverfahren im allgemeinen Fall bei Wechselströmen, weil dort Differentialgleichungen zu lösen, wenn Induktivitäten und / oder Kapazitäten im Stromkreis vorkommen. Noch schwieriger wird das Problem der Schaltungsberechnung, wenn in der Schaltung Bauelemente mit nicht-linearen Kennlinien vorkommen. Eine solche Kennlinie gibt die Abhängigkeit zwischen einer Eingangsgröße (z. B. Spannung) und der Ausgangsgröße (z. B. Strom) einer Schaltung in graphischer Form an. Beim Widerstand ist die Strom-spannungskennlinie eine Gerade, bei anderen Bauelementen, z. B. bei vielen Halbleiterbauelementen,, kann es eine viel komplexere Abhängigkeit zwischen Strom und Spannung geben. Widerstand Diode exponentielle Kennlinie lineare Kennlinie I I U U Abb. 3.28: Lineare und nicht-lineare Kennlinien In Schaltungen, welche Bauelemente mit nicht-linearen Kennlinien beinhalten, ist die algebraische Lösung der Stromspannungsgleichungen kaum möglich. Entweder werden graphische Verfahren eingesetzt, oder man verwendet in numerischen Verfahren eine stückweise Linearisierung der Kennlinien. Graphische Verfahren werden oft verwendet, um beim Zusammenwirken eines Generator-Stromkreises und eines Verbrauchers, von denen mindestens einer eine nicht-lineare Stromspannungskennlinie hat, den sogenannten Arbeitspunkt zu finden. Schaltung Kennlinie des Widerstandes Ur Ra U0 Ia Quelle Io Ua Ur Kennlinie des Transistors Ia Arbeitspunkt Ia Ia Ua Uo Ua Abb. 3.29: Graphische Ermittlung eines Arbeitspunktes 26 Uo Informatik V-Teil 1, Kap. 3, WS 98/99 In Abb. 3.29 ist ein solches Problem dargestellt. Wir wollen einen Widerstand und einen Transistor zusammenschalten, wobei wir bei letzterem den Einfluß des Basis-Strom vernachlässigen und nur die nicht-lineare Ausgangskennlinie betrachten. Gegeben ist sind zunächst die Kennlinien der Elemente (Transistor und Widerstand). Für die Zusammenschaltung betrachten wird die Spannungsversorgung mit der Leerlaufspannung U0 und den Widerstand Ra zusammen als nicht-ideale Quelle. Diese hat dann den Kurzschlußstrom: Ia = I0 = U0 / Ra Damit können wir die Kennlinie für die Quelle abgeben. Wenn wir die Rückwirkung des Transistors und dessen Eingangsstrom vernachlässigen, ist dessen Strom auch gegeben durch Ia. Die Spannung kann maximal U0 betragen. Wir kombinieren nun die Kennlinien der Quelle und der Last (Transistor) in einem Diagramm. Der Schnittpunkt der beiden Kennlinien ergibt den möglichen Arbeitspunkt der Schaltung. Dies heißt, daß für diesen Punkt die Stromspannungsabhängigkeiten beider Teilschaltungen erfüllt sind. Der Vollständigkeit halber sei hier angemerkt, daß viele Schaltungen, und dabei gerade die der Digitaltechnik, nicht in einem festen Arbeitspunkt betrieben werden. Beim Transistor zum Beispiel ist die Kennlinie für Spannung / Strom am Ausgang nicht fest, sondern es existiert in Abhängigkeit vom Eingangsstrom ein sogenanntes Kennlinienfeld. In Abhängigkeit vom Eingangsstrom kann der Arbeitspunkt sich auf der durch den Lastwiderstand vorgegebenen Kennlinie verschieben. 27
