Aufgaben TM I

TM I
Aufgabe 1.1
Gegeben sind die Spaltenvektoren




3
2




a = −1  ,
b =  6 ,
7
−2
Man berechne

−3



c =  5 ,
cz

3

 
d =  4 .
0
a) die Summe a + b ,
b) das Skalarprodukt a · b ,
c) die Koordinate cz für den Fall, dass a ⊥ c ist,
d) das Kreuzprodukt a × b ,
e) das Spatprodukt a b c , wenn cz = 4 gesetzt wird,
f) die Beträge von a und d.
Aufgabe 1.2
Für ein beliebiges Dreieck, gegeben durch die Seiten a und b sowie den von diesen
eingeschlossenen Winkel γ, läßt sich die dritte Seite bekanntlich nach dem CosinusSatz
c2 = a2 + b2 − 2 a b cos γ
berechnen. Man leite diesen entsprechend
→
→
→
c2 = k −
c k2 = −
c ·−
c = ...
auf vektoriellem Wege her.
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Aufgabe 1.3
→
→
Welchen Bedingungen müssen die Vektoren −
u und −
v genügen, damit sie die
Relationen
→
→
→
→
a) k−
u +−
v k > k−
u −−
vk ,
→
→
→
→
b) k−
u +−
v k = k−
u −−
vk ,
→
→
→
→
c) k−
u +−
v k < k−
u −−
vk ,
erfüllen (Herleitung)?
Aufgabe 1.4
Betrachtet wird eine (schiefe) Ebene im E3 . Diese sei durch den Normaleneinheitsvektor n sowie den Punkt P mit Ortsvektor rP festgelegt. Gesucht wird eine
Gleichung vom Typ
z = f (x, y) ,
welche die Ebene mithilfe von kartesischen Koordinaten beschreibt. Es sei




−2
1
1 



rP =  1  .
n =
 1 ,
3
2
−1
Aufgabe 1.5
Im
E2 seien die Eckpunkte A, B, C eines Dreiecks durch die Ortsvektoren
a =
0
1
!
,
b =
6
0
!
,
c =
4
5
gegeben. Gesucht ist die Fläche des Dreiecks.
!
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3
Aufgabe 2.1
Auf einen Leitungsmast wirken vier Kräfte F1 , F2 , F3 und F4 in der horizontalen
Ebene:
Gesucht ist die auf den Mast wirkende resultierende Kraft nach Betrag und Richtung.
Aufgabe 2.2
Ein Schiff wird von drei Schleppern gezogen. Schlepper 1 und 2 ziehen mit der Kraft
F1 = 8,78 kN bzw. F2 = 7,93 kN. Mit welcher Kraft F3 und welchem Winkel α
muss Schlepper 3 ziehen, damit am Schiff eine resultierende Kraft R = 15 kN in
x-Richtung wirkt?
Aufgabe 2.3
Am Lasthaken eines Krans ziehen zwei Seile mit den Kräften F1 = 7,8 kN und
F2 = 10,2 kN. Die zugehörigen Winkel betragen α = 30° und β = 50°.
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a) Welchen Betrag hat die auf den Haken ausgeübte Zugkraft?
b) Wirkt diese in lotrechter Richtung?
Aufgabe 2.4
Eine Last Q = 12 kN soll durch ein Seil gehalten werden, dessen Tragfähigkeit mit
25 kN angegeben wird. Wie groß darf der Winkel α sein, damit das Seil nicht reißt?
Aufgabe 2.5
Eine Lampe der Eigengewichtskraft G = 120 N soll an zwei Seilen 1 und 2 so
aufgehängt werden, dass die Maße a = h = 2,20 m eingehalten werden, und die
Kraft im Seil 1 den Wert S1 = 100 N annimmt. Wie groß ist ℓ ?
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Aufgabe 3.1
Zwei Kräfte F1 = 15 N und F2 = 30 N liegen in der x, y-Ebene und greifen an den
Punkten
3,9
1,7
x2
x1
m
=
m
und
=
y2
y1
2,5
3,2
an. Man berechne das resultierende Moment, wenn beide Kräfte im Ursprung 0
zusammengefaßt werden sollen.
Aufgabe 3.2
Die an einem Rahmen angreifenden Kräfte F1 = F2 = F und F3 = 2F sind im
Punkt P zusammenzufassen.
Wie groß ist das resultierende Moment?
Aufgabe 3.3
Die an einem Rahmen unter dem Winkel α angreifende Kraft ist in den Punkt A
zu verschieben.
Welches Moment entsteht dabei?
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Aufgabe 3.4
Welches Moment erzeugen die Kräfte F1 , F2 , F3 bezüglich Punkt P
Aufgabe 3.5
An einem Quader greifen die Kräfte F1 = F3 = F , F2 = F4 = 3F und F5 = F
in der gezeigten Weise an. Die angreifenden Kräfte sind im Ursprung 0 sowie im
Punkt P zusammmenzufassen.
Man berechne (jeweils) den resultierenden Kraftvektor und den zugehörigen Momentenvektor.
Aufgabe 3.6
Ein Radfahrer übt auf die Tretkurbel seines Fahrrades die Kraft F aus. Dabei
wird eine gleichförmige (d. h. unbeschleunigte) Bewegung vorausgesetzt, so daß
das Problem als (quasi-)statisch angesehen werden kann. Gesucht ist
a) das Moment MTret an der Tretkurbelwelle,
b) die Zugkraft Z in der Kette,
c) das auf das Hinterrad wirkende Moment MHR ,
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d) die Vortriebskraft FVor .
gegeben: F, d1 , d2 , ℓ1 , ℓ2
Aufgabe 3.7
Ein Kragbalken wird durch die Kräfte F1 = 2F und F2 = 3F wie folgt belastet:
Gesucht sind alle Lagerreaktionen in Lager A.
gegeben: F, ℓ
Aufgabe 3.8
Mit einem Hakenschlüssel soll auf eine Wellenmutter das Moment F ℓ aufgebracht
werden.
Welche Reaktionskräfte treten an den Stellen A und B auf? Die Berührung in B
sei als reibungsfrei betrachtet.
gegeben: F, d, ℓ
Aufgabe 3.9
Ein Güterwagen steht auf einer Rampe an einem (gut gefetteten) Prellbock. Welche
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Kräfte wirken auf Räder und Puffer?
gegeben: G, h, ℓ, α
Aufgabe 3.10
Für das folgende System berechne man die Lagerreaktionen an den Lagern A und
B sowie die Zwischenreaktionen am Gelenk G:
gegeben: F, a
Aufgabe 3.11
Für das folgende System berechne man die Lagerreaktionen an den Lagern A und
B sowie die Zwischenreaktionen am Gelenk G:
gegeben: F, a
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Aufgabe 3.12
Eine in A drehbare Falltür mit Eigengewichtskraft G und Länge ℓ wird durch ein
Seil gehalten.
Man ermittle die Seilkraft S in Abhängigkeit des Winkels α, d. h. S = S(α).
Aufgabe 3.13
Für das folgende System berechne man die Lagerreaktionen in A, B und C sowie
die Stabkraft S.
gegeben: F, ℓ, α
Aufgabe 3.14
Die gezeigte Robervalsche Waage ist gewissermaßen die Basiskonstruktion“ aller
”
Kaufmannswaagen, die nach dem Abgleichprinzip funktionieren.
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Es seien die Masse mG des aufgelegten Gewichtes sowie die Längen a, b, sW , sG
gegeben. Zu berechnen sind sämtliche Lager- und Zwischenreaktionen sowie die
Masse des Wägegutes mW .
In der Praxis sind aber die Längen sW und sG für gewöhnlich nicht bekannt,
und es muß allgemein von sW 6= sG ausgegangen werden. Warum läßt sich diese
Konstruktion aber dennoch als Waage verwenden?
Aufgabe 3.15
Auf den dargestellten Grubenausbau wirken vier Einzelkräfte F1 = F4 = 15 kN ,
F2 = 40 kN , F3 = 50 kN . Es ist a = 1,2 m.
Man berechne die Lager- und Gelenkreaktionen.
Aufgabe 3.16
Gegeben ist die folgende Brückenkonstruktion:
Man berechne Lager- und Stabkräfte für gegebenes F, a.
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Aufgabe 3.17
Man ermittle Lager- und Stabkräfte für das nachfolgend gezeigte Fachwerk. Alle
Stäbe haben die Länge a.
Hinweis: sin[60°] =
√
3
2 ,
cos[60°] =
1
2
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Aufgabe 4.1
Ein umklappbares Stauwehr (Höhe h, Breite b, Masse m) wird von einem Stab
(Eigengewicht vernachlässigbar) gestützt.
Man berechne die Lagerreaktionen an A sowie die Stabkraft S.
Aufgabe 4.2
Ein Balken auf zwei Stützen mit Festlager bei x = 0 und Loslager bei x = ℓ wird
durch die Streckenlast
x 3
x 2
x
h x 4
i
+ a3
+ a2
+ a1
q(x) = q0 a4
+ a0 ,
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
∀ x ∈ [ 0, ℓ ]
belastet. Man berechne die Lagerreaktionen sowie den Schwerpunkt der Streckenlast.
gegeben: q0 = 20 N/m, ℓ = 12 m
a0 = 30, a1 = −53, a2 = 200, a3 = −177, a4 = 26
q @NmD
800
600
400
200
0
2
4
6
x @mD
8
10
12
Aufgabe 4.3
Auf einem Speicherboden sei die Flächenlast durch
i
h y
i
h x
p(x, y) = p1 cos a + b sin c + d + p0
ℓ
L
für
∀ x ∈ [ 0, ℓ ] , y ∈ [ 0, L ]
auf der Rechteckfläche A = ℓ L gegeben. Man berechne die Gesamtlast sowie die
Lage des Schwerpunktes.
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gegeben: p0 = 10 kN/m2 , p1 = 3 kN/m2 , ℓ = 20 m, L = 30 m
a = 3 , b = 1 , c = −3,6 , d = −1
12
30
p @kNm^2D
10
8
20
0
y @mD
10
10
x @mD
20
0
Aufgabe 4.4
Für den gegebenen Querschnitt berechne man die Koordinate yS des Flächenschwerpunktes.
gegeben: a, b, c, d
Aufgabe 4.5
Für den gegebenen Querschnitt berechne man die Koordinate xS des Flächenschwerpunktes.
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(Die Längenangaben sind – wie in techn. Zeichnungen üblich – in mm gegeben.)
Aufgabe 4.6
Man berechne die Lage des Schwerpunktes für den gezeigten Körper, welcher bereichsweise aus Stahl (St) bzw. Aluminium (Al) zusammengesetzt ist.
gegeben: ̺St = 7,6 · 103 kg/m3 , ̺Al = 2,66 · 103 kg/m3
Aufgabe 4.7
Man berechne die Schwerpunktskoordinate zS für gezeigte Halbkugel:
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Aufgabe 5.1
Der am Seil hängende Körper K3 hat die Gewichtskraft G. Demgegenüber seien
die Gewichtskräfte von K1 und K2 vernachlässigbar.
Welchen Wert muß der Haftungskoeffizient µ0 für gebenes α mindestens aufweisen,
damit Gleichgewicht herrscht?
Aufgabe 5.2
Ein PKW steht mit angezogener Handbremse auf einer schiefen Ebene mit 30 %
Gefälle. Wie groß muß der Haftungskoeffizient µ0 sein, damit der Wagen nicht ins
Rutschen kommt? Die Handbremse wirkt dabei – wie allgemein üblich – auf die
Hinterräder.
Ab welchen Winkel α⋆ erfolgt (theoretisch) die Rolle rückwärts“? Wie groß müßte
”
µ0 dazu sein? Ist das ein realistischer Wert?
gegeben: G = 7,5 kN, a = 2,2 m, b = 1,6 m, h = 0,7 m
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Aufgabe 5.3
Wie weit (ℓ = ?) kann ein Mann der Gewichtskraft G die demgegenüber praktisch
gewichtslose Leiter hinaufsteigen? Welchen Einfluß hat die Gewichtskraft G auf
das Ergebnis?
gegeben: G, L, α, µ0,1 , µ0,2
Aufgabe 5.4
Zwei Klötze mit jeweils der Gewichtskraft G sind in der gezeigten Weise über ein
(näherungsweise) gewichtsloses Seil miteinander verbunden:
Bis zu welchem Winkel α bleiben die beiden Klötze in Ruhe?
gegeben: G, µ0
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Aufgabe 5.5
Gegeben sei folgende Bremskonstruktion:
a) Man ermittle das Bremsmoment bei Rechts- und Linkslauf.
b) Wie ist das Maß b zu wählen, damit das Bremsmoment für beide Drehrichtungen gleich groß ist (Begründung)?
c) Für welches Maß b frißt sich die Bremse fest? Bei welcher Drehrichtung tritt
das auf?
gegeben: F, ℓ, a, b, d, µ
Aufgabe 5.6
Ein Zugmittelgetriebe mit Flachriemen überträgt im Arbeitstrum die Kraft A =
890 N. Der Umschlingungswinkel ist mit α = 160° angegeben; der Haftungskoeffizient beträgt µ0 = 0,3.
a) Für den Grenzfall der Haftung berechne man die Kraft L im Leertrum.
b) Die Kraft im Arbeitstrum wird auf A⋆ = 1100 N erhöht. Die Kraft L im
Leertrum soll hingegen gleich bleiben. Auf welchen Wert α⋆ muß der Umschlingungswinkel nun mithilfe der Spannrolle gebracht werden?
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Aufgabe 5.7
Bei einer Feuerwehrübung wird eine Person (Masse m) abgeseilt. Das Seil läuft
dabei in der gezeigten Weise um ein Geländer:
Mit welcher Kraft F muß am anderen Seilende gegengehalten werden, wenn der
Vorgang mit konstanter Geschwindigkeit erfolgen soll?
gegeben: m, µ
Aufgabe 5.8
Man ermittle das maximale Moment (MR )max bzw. (ML )max , das mit der gezeigten
Bandbremse gehalten werden kann.
In welchem Verhältnis stehen (MR )max und (ML )max ?
gegeben: F, ℓ, r, µ0 = 0,4
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Aufgabe 5.9
Betrachtet sei die nachfolgend dargestellte Bandbremse:
a) Man ermittle das Bremsmoment bei Rechts- und Linkslauf.
b) Welche Bedingung muß gelten, damit das Bremsmoment für beide Drehrichtungen gleich groß ist?
c) Kann sich diese Bremse festfressen?
gegeben: F, ℓ, a, b, d, µ
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Aufgabe 6.1
Für das folgende System die Normalkraft in den drei Stäben zu berechnen.
gegeben: m1 , m2 , ℓ1 , ℓ2 , ℓ3 , α
Aufgabe 6.2
Für die folgenden Rahmentragwerke sind die Schnittgrößen zu ermitteln und graphisch darzustellen.
a)
b)
gegeben: F, ℓ
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Aufgabe 6.3
Man bestimme die Schnittgrößen für die folgenden Systeme:
a)
gegeben: F, ℓ, α
b)
gegeben: q0 , ℓ
c)
gegeben: q0 , ℓ
d)
gegeben: q0 , ℓ
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